T: Fuerzas paralelas de igual magnitud

RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS DE IGUAL MAGNITUD
Consideremos el caso de un conjunto de fuerzas iguales y paralelas actuando sobre un cuerpo.
El mejor ejemplo de esta situación es el peso, que puede considerarse como la resultante de un conjunto de
fuerzas paralelas, cada una de las cuales actúa sobre una porción mi del cuerpo, cuya masa total es M.
r
j
El peso del cuerpo es la
resultante (suma) de los
r
i
pesos de todas las
porciones:
r
r
r
r
k
r
r
r
r
r
W=
mi g − j = Mg − j
mi g (− j )
mi g (− j )
mi g (− j )
mi g (− j ) mi g (− j )
∑
(Se dibujan algunas porciones del cuerpo, y el vector peso de esa porción)
( )
( )
i
Pero ¿dónde se aplica esta resultante? ¿Cómo debemos proceder si escogemos arbitrariamente un punto
O donde aplicar esta resultante?
Razonaremos eligiendo una porción mi cualquiera:
1. Sumamos dos vectores iguales y opuestos en O.
r
Al ser iguales y opuestos, sus efectos
mi g j
r r
se contrarrestan en lo que a fuerzas se
ri − rO
refiere…
… pero ahí tenemos un par junto con
un vector en dirección vertical y
sentido hacia abajo aplicado en el
punto O.
O
r
rO
r
ri
Origen
arbitrario
r
mi g (− j )
r
mi g (− j )
2. Tomamos un origen arbitrario
1
RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS DE IGUAL MAGNITUD (Cont.)
¿Cómo se interpreta esto?
CM
r
rCM
r
r
rCM − rO
r
mi g j
r r
ri − rO
Nosotros podemos sustituir el peso de cada
porción mi aplicado en el lugar donde se
encuentra la porción mi por un vector de
igual módulo y dirección que esté aplicado en
el punto O más el momento del vector peso
de la porción mi con respecto al punto O.
O
r
rO
r
ri
r
mi g (− j )
Origen
arbitrario
r
mi g (− j )
3. Cálculo del momento respecto a O
r
τO =
∑
El momento de todos los elementos mi respecto a O está dado por:
r
r
r
r
r
r
r
r r
(
)
(
=
M
r
−
r
×
g
−
j)
(
)
(
)
=
m
r
−
m
r
×
g
−
j
(ri − rO )× mi g (− j )
CM
O
i i
i O
∑
i
i
Recordemos cómo se calcula la posición del C.M.
∑m r
=
∑m
r
r
rCM
i i
i
i
=
1
M
∑
r
mi ri
i
i
RESUMEN: Podemos considerar que el sistema de fuerzas paralelas iguales es equivalente al vector peso del
cuerpo - ecuación (1) - aplicado en el punto arbitrario O más el momento creado por el peso aplicado O
respecto al C.M. – ecuación (2) -.
r
r
r
W=
mi g − j = Mg − j
Consecuencia: si hacemos coincidir el punto O con el propio C.M.,
(1)
entonces el momento es nulo y el sistema equivalente a todas las
i
fuerzas paralelas es el peso aplicado en el centro de masas.
r
r
r
r
2
τ O = M (rCM − rO )× g (− j ) (2)
∑
( )
( )
RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS DE IGUAL MAGNITUD (Cont.)
EJEMPLO
Considere una varilla delgada homogénea de 20 kg y longitud 1.80 m en posición horizontal. Encuentre
el momento, según la ecuación (2), si suponemos: a) que el peso se aplica a 10 cm del extremo izquierdo.
b) que el peso se aplica a 80 cm del extremo derecho.
r
r
r
r
r
r
r
W=
mi g − j = Mg − j
τ O = M (rCM − rO )× g (− j ) (2)
(1)
i
a)
r
r
r
90 cm
r
r
−
r
=
0
.
80
i
m
CM
O
r
r
j
rCM − rO
r
r
CM
10 cm
W
(
j
)
=
196
(
j)N
r
i
r
r
r
r
O
τO
τ O = 20 ⋅ 0.80 i × 9.8(− j )
r
r
r
r
r
k
r
τ
=
156
.
8
k
N⋅m
O
CM
rO
r
W (- j )
∑
( )
( )
( )
Origen
arbitrario
b)
r
j
10 cm
CM
r
τO
r
r
rCM − rO
r
rCM
O
r
rO
Origen
arbitrario
r
i
r
W (- j )
r
k
r
r
r
rCM − rO = 0.10 (- i ) m
r
r
W (- j ) = 196 (- j ) N
r
r
r
τ O = 20 ⋅ 0.10(− i )× 9.8(− j )
r
r
τ O = 19.6 k N ⋅ m
3