3.multiplicacion de matrices

1.- Dadas las matrices A,B,C,D, encontrar los costos asociados al orden asociativo del producto.
Las dimensiones de las matrices son:
A[10x30], B[30x50], C[50x1], D[1x100]
(AxB)xC)xD = 16500
(AxB)x(CxD) = 70000
(Ax(BxC)xD = 2800
Ax((BxC)xD) = 34500
Ax(Bx(CxD) = 185000
2.- Para multiplicar n matrices M1,M2,M3...Mn.
¿ De cuantas formas distintas se puede realizar este producto?
¿ Encuentre y solucione la ecuación de recurrencia que tiene el problema?
El producto de n matrices se puede realizar de p maneras posibles:
Siendo M = M1xM2XM3x...xMn-1
P = [ 2(n - 2) ]! / ( (n - 2)! (n - 1)! )
Esto implica para el caso de 4 matrices que n-1=4 ! n=5
P = [ 2(5 - 3) ]! / ( (5 - 2)! (5 - 1)! ) ! P = 5
La ecuación de recurrencia de este problema, gira en lo que es el factorial de la formula propuesta.
T(n) = 2T(n - 2) / T(n - 2) x T(n - 1)
Se sabe que existe una única forma de multiplicar 2 matrices ! T(2) = 1.
3.- Aplicar la técnica divide para vencer, al problema de multiplicar n matrices, con costo optimo.
Si S es un conjunto de matrices, el problema de multiplicar con costo optimo reside solamente en decidir que
matrices se han de multiplicar primero.
Si tomamos en cuenta que al multiplicar 2 matrices, solo existe una sola opción a seguir, por lo que un
algoritmo no puede decidir como multiplicar 2 matrices, en cambio al tener 3 matrices, existen 2 formas de llevar a
cabo la operación. Ahora si se pretende que el algoritmo decida como multiplicar 4 matrices eso, ya lleva tomar en
cuenta 5 formas distintas de realizar dicha multiplicación.
Multiplicación( S, Conjunto de matrices )
{Si #S = 0
Ent (`Error')
Si #S = 1
Ent Retornar(S)
Si #S > 1
Ent
{Si #S es par
Ent
{Dividir a S en dos conjutos de igual tamaño (S1,S2)
Multiplicación(S1)
Multiplicación(S2)
S ! S1xS2
Retornar(S)
}
Si #S es impar
Ent
{Sn ! elemento central de S
S1 ! Las matrices anteriores a Sn
S2 ! Las matrices posteriores a Sn
Multiplicación(S1)
Multiplicación(S2)
Si S1xSn es costo menor //Implica conocer el costo de SnxS2
Ent S1!S1xSn //Esta comparación se hace
Sino S2!SnxS2 // en base a las dimensiones
S ! S1xS2 // de las matrices (pxqxr)
Retornar(S)
}
}
}
Para el caso de multiplicar 3 matrices, el algoritmo funciona bien, pero si se quieren multiplicar 4 matrices, el algoritmo
realiza las siguientes llamadas:
S ={ A[10x30] B[30x50] C[50x1] D[1x100] }
Multiplicar(S)
#S es par
S1 = { A,B }
S2 = { C,D }
Multiplicar(S1 = { A,B })
#S es par
S1 = { A }
S2 = { B }
Multiplicar(S1 = { A })
#S = 1
Retornar(S = { A })
Multiplicar(S2 = { B })
#S = 1
Retornar(S = { B })
S = AB
Retornar(S1 = { AB })
Multiplicar(S2 = { C,D })
#S es par
S1 = { C }
S2 = { D }
Multiplicar(S1 = { C })
#S = 1
Retornar(S = { C })
Multiplicar(S2 = { D })
#S = 1
Retornar(S = { D })
S = CD
Retornar(S2 = { CD })
S = (AB)(CD)
Retornar( S = (ABCD)
Si nos damos cuenta, el algoritmo multiplico en (AB) primero y luego (BC) y por último los resultados de dicha
multiplicación, obteniendo un costo de 70000 multiplicaciones y no el costo mínimo de 2800 operaciones.
Esto es debido a la concepción del algoritmo, ya que la decisión de multiplicar con costo mínimo se toma solo
en el caso que n sea impar.
Si se realiza un pequeño cambio en el algoritmo, de tal manera que en el caso que #S sea par, se elija un a " #S, de
tal manera que se formen dos grupos de conjunto, #S1 = a y #S2 = #S - a.
El problema que se enfrenta ahora es derechamente la elección de a, ¿cómo elijo a para que la multiplicación tenga
costo mínimo?
Si intentamos analizar las dimensiones de las matrices e inferir que a se puede elegir para multiplicar con costo mínimo,
nos podremos encontrar que para el caso de las cuatro matrices se tiene que, al multiplicar BC primero obtenemos un
costo mínimo.
Para que el algoritmo hubiese realizado una multiplicación con el mínimo costo, era necesario que este dividiera a S en
los conjuntos:
S1 = { A,B,C }, S2 = { D }, teniendo un costo de 2800 mínimo.
En base a esto, la elección de a radica en :
#S1 = a impar
#S2 = #S - a impar
De no ser posible la condición, se debe elegir a impar.
Lo que indudablemente es poca información ya que en base a estas ecuaciones se podrían haber elegido los conjuntos
de la siguiente manera:
S1 = { A }, S2 = { B,C,D }, teniendo un costo de 34500.
Si generamos un conjunto S de 5 matrices, con dimensiones al azar, podremos observar lo siguiente:
S ={ A[57x34] B[34x83] C[83x11] D[11x85] E[85x45] }
S ={ A[21x66] B[66x72] C[72x79] D[79x49] E[49x54] }
S ={ A[54x36] B[36x12] C[12x76] D[76x81] E[81x41] }
S ={ A[62x86] B[86x70] C[70x36] D[36x45] E[45x23] }
Analizando visualmente estos gráficos, es obvio que la distribución del mínimo costo sigue un orden aleatorio, que
habría que estimar, transformándose el problema en la estimación de un modelo estadístico, que permita determinar un
valor a, de división del conjunto s, para que la multiplicación de matrices resulte con costo mínimo la gran mayoría de
las veces (más de un 15% de las veces).
Para nuestro caso de 4 matrices S = { A,B,C,D }, podemos realizar alguna comparación rápida (costo irrelevante), de
tal manera que esta nos pueda entregar una pista sobre la división de el conjunto S, para así aplicar el algoritmo
anterior.
No olvidar que S ={ A[10x30] B[30x50] C[50x1] D[1x100] }
De esta manera se puede inferir que el menor costo esta asociado hacia el lado izquierdo del conjunto S, de esta
manera se puede elegir una a = 3, que involucra a los vértices A,B,C.
S1 = { A,B,C }
S2 = { D }
El algoritmo planteado anteriormente, multiplica con costo mínimo a un conjunto de 3 matrices.
Si tenemos un conjunto de 5 matrices, cuales quiera, de tal manera que, basándose en los principios de programación
dinámica, se puedan elegir las tres mejores matrices a multiplicar.
Si S ={ A[57x34] B[34x83] C[83x11] D[11x85] E[85x45] }, si llevamos a cabo el calculo propuesto
anteriormente obtendríamos que:
ABC = 57x34x83x11 = 1769394
BCD = 34x83x11x85 = 2638570
CDE = 83x11x85x45 = 3492225
Por lo que las mejores 3 matrices a multiplicar primero son ABC, si aplicamos el algoritmo de multiplicación propuesto,
se obtiene que el orden de multiplicación es:
Ax(BxC) = 52360, ABC[57x11]
Si restablecemos nuestra lista, se obtiene que:
Esto implica que queda una única opción de aplicación del algoritmo de multiplicación, comportándose de la siguiente
manera:
ABCx(DxE) = 70290, ABCDE[57x45]
Por lo que el costo total otorgado por este método es de 122650
Si hallamos el costo mínimo de la multiplicación de estas 5 matrices, esta resulta ser:
(Ax(BxC))x(DxE) = 122650
De tal manera, de que la combinación entre los mejores triángulos y el algoritmo de multiplicación de 3 matrices resulta
entregar el costo mínimo.
Multiplicación( S, Conjunto de matrices )
{Si #S = 0
Ent (`Error')
Si #S = 1
Ent Retornar(S)
Si #S = 2
Ent
{ Dividir a S en dos conjuntos iguales de un elemento cada uno S1,S2
S ! S1xS2
Retornar(S)
}
Si #S = 3
Ent
{Sn ! elemento central de S
S1 ! La matriz anterior a Sn
S2 ! La matriz posterior a Sn
Si S1xSn es costo menor
Ent S1 ! S1xSn
Sino S2 ! SnxS2
S ! S1xS2
Retornar(S)
}
Si #S > 3
Ent
{ Elegir las mejores 3 matrices y dividir el conjunto de la siguiente manera
Si las mejores 3 matrices están al inicio
Ent
{S1 ! Tres mejores matrices
S2 ! El resto de matrices.
Multiplicación(S1)
S ! S1 + S2.
}
Si las mejores matrices están al final
Ent
{S2 ! Tres mejores matrices
S1 ! El Resto de matrices.
Multiplicación(S2)
S ! S1 + S2
}
Si las mejores matrices están en el centro
Ent
{Sn ! Tres mejores matrices
S1 ! Las matrices anteriores
S2 ! Las matrices posteriores
Multiplicación(Sn)
S ! S1 + Sn +S2
}
Multiplicación(S)
Retornar(S)
}
}
Este Algoritmo permite multiplicar n matrices con un costo mínimo.
A
B
C
D
B
10x30x50x1
A
30x50x1x100
E
D
C
D
ABC
E