operaciones de multiplicación y división con polinomios

OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON POLINOMIOS
Ahora se estudiarán las operaciones de multiplicación y división entre polinomios, como
complemento de las operaciones vistas anteriormente.
Multiplicación de expresiones algebraicas
En álgebra se cumple la ley conmutativa que dice que el orden de los factores no altera el producto.
a × b puede escribirse también b × a.
axb=bxa
También se cumple la ley distributiva; a x b x c = a (b x c) = c (a x b)
Ley de los signos
El producto de términos con signos iguales da como resultado otro término con signo positivo, y el
producto de términos con signos diferentes da como resultado otro término con signo negativo.
Ley de los exponentes
Para multiplicar potencias de igual base, se escribe como resultado la misma base elevada a la
suma de los exponentes de los factores.
Ley de los coeficientes
El coeficiente del producto de dos o más factores, es el producto entre los coeficientes de cada uno
de los factores.
4b x 5c = 20bc
3b x 5c x 2d = 30bcd
Multiplicación de monomios por polinomios
Para multiplicar monomios por polinomios se aplica la ley distributiva de la multiplicación con
respecto a la suma o la resta, es decir, se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el
monomio teniendo en cuenta la ley de los signos. Luego se separan los productos parciales por sus
respectivos signos.
Multiplicar:
Multiplicación entre polinomios
Para multiplicar dos polinomios se ordena el polinomio multiplicando y se efectúan los productos
entre todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, se tiene en
cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes.
Multiplicar:
6x - 4y por -3y + 4x
Se ordena de mayor a menor respecto de la x.
Se multiplica el primer término del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicando, y el
segundo término del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicando.
Luego, se escriben los productos parciales de manera que queden organizados en forma de columna
los términos semejantes para luego reducirlos.
Multiplicación de polinomios con exponentes literales
Multiplicar:
Ordenando respecto de la letra a de mayor a menor:
Explicación de los productos:
División de expresiones algebraicas
Para dividir expresiones algebraicas se utiliza la ley de los signos que es igual a la de la
multiplicación. Recordando que: la división de signos iguales da positivo +; y la división de signos
diferentes da negativo -.
Ley de los exponentes
Para dividir potencias de igual base se escribe como resultado la misma base elevada a la resta de
los exponentes del dividendo menos los del divisor.
Ley de los coeficientes
El coeficiente de la división de dos o más factores es el resultado de dividir el coeficiente del
dividendo entre el coeficiente del divisor.
División entre monomios
Se aplica la ley de los signos, de los exponentes y coeficientes.
División de polinomios por monomios
División entre polinomios
Para dividir dos polinomios se aplica el mismo procedimiento aritmético, cuando se realiza la división
indicando las restas correspondientes. La división puede ser exacta o inexacta.
División exacta
Se ordena el dividendo y el divisor respecto de una letra. Si cuando se ordena el dividendo los
exponentes de los términos no siguen una secuencia ascendente o descendente, se deja el espacio
donde debería estar escrito el exponente que complete la secuencia.
Luego se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el
primer término del cociente.
El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor aplicando la ley
de los signos. Cada uno de los productos se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo a
cada producto y se escribe cada término debajo de su semejante. Si algún término de estos
productos no tiene término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente de
acuerdo como se haya ordenado inicialmente el dividendo y el divisor. Se baja el o los términos
siguientes y se repite de nuevo el proceso hasta que el residuo de la división sea cero, cuando la
división es exacta.
Prueba de la división
Como la división es el proceso inverso de la multiplicación, entonces el cociente se multiplica por el
divisor y debe dar como resultado directo el dividendo.
División inexacta
Una división es inexacta cuando su residuo es diferente de cero.
TEOREMA DEL RESIDUO
El residuo de una división inexacta entre un polinomio entero y racional en x y un binomio (dos
monomios) de la forma (x - a) se puede hallar reemplazando en el polinomio dado, la x por a.
Este procedimiento es práctico para hallar el residuo de una división sin la necesidad de realizar la
división completamente.
DIVISIÓN SINTÉTICA O REGLA DE RUFFINI
La única condición indispensable para utilizar esta regla es que el divisor de la división sea de la
forma (x ± a). Esta regla se utiliza para realizar en forma rápida una división entre polinomios.
El dividendo para este caso está ordenado, entonces se separan los coeficientes del polinomio
dividendo y se indica la división entre el valor que toma a.
Como el polinomio respecto de la letra a, es de tercer grado, el cociente será un polinomio de tercer
grado con respecto de a
Dividir:
Como el divisor está dividido entre dos, los valores del cociente se deben dividir entre dos,
resultando:
2/2 = 1
- 4/2 = -2
2/2 = 1
- 8/2 = - 4
Luego el cociente será:
Realiza las siguientes operaciones entre polinomios:
....Pasar el arroyo
Con cuatro tablas iguales trata de cruzar un arroyo, pero sin cerrarlas ni empalmarlas.
¿Cómo lo harías?
Solución
Coloca las tablas de este modo:
¡Y ten cuidado con los cocodrilos!.. no sea que se empachen.
......El globo
En el interior de un coche se lleva un globo.
¿Hacia dónde se moverá el globo, si se da una curva a la derecha?
Solución
A la derecha también, es decir, hacia el interior de la curva ya que el aire se comprime hacia la
izquierda, desviando el globo hacia la derecha (menor presión). Por este motivo, en las carreras
llevan un casco en la cabeza. ¿O no?.
Respuestas a las adivinanzas de la unidad anterior:
1. Campana
2. Zorra
3. La lengua
4. Un clavo
5. La letra o