Inductancias propias y mutuas de una línea de - U

Inductancias propias y mutuas de una línea de transmisión
En su forma más básica, la inductancia es un parámetro que permite relacionar
la corriente que circula en un circuito con un campo magnético:
o Si este parámetro relaciona la propia corriente con el propio campo, se habla
de inductancia propia o autoinductancia del circuito.
o Si la inductancia relaciona la corriente que circula por el circuito debido a la
presencia de un campo magnético producido por otro circuito, se habla de
inductancia mutua.
1.
Inductancia mutua entre dos circuitos cualesquiera.
Comencemos analizando la Para esto, debemos usar los conceptos de
“distancia media geométrica” y “radio medio geométrico”, introducidos por
Maxwell.
Consideremos el siguiente par de circuitos:
Notemos que las áreas son del orden de magnitud de los radios de separación
entre conductores.
La corriente Ia circula por el Circuito A, mientras que la corriente Ib circula por
el Circuito B.
Para todos los efectos, se supondrá que la corriente varía “lentamente” con el
tiempo, de tal forma de poder despreciar el efecto pelicular.
Cada conductor está dividido en “filamentos” de área “muy pequeña”, por lo
que la corriente que circula por ellos es ∆I=J ∆s.
Además, si se asume que la densidad de corriente es uniforme en toda la
superficie del conductor, se tendrá que J=I/S, para cada conductor según
corresponda. Luego, ∆I=I∆S/S.
El “circuito cerrado” formado por los filamentos k y l del Circuito B, enlaza una
porción del campo magnético producido por los filamentos i y j del Circuito B.
Estos flujos, por unidad de longitud, son los siguientes:
ril
∆Φ kl ,i
µ I ∆S dr µ I ∆S
= o a 1 ∫ = o a 1 [ln(ril ) − ln(rik )]
2π S1 r r
2π S1
ik
r jl
∆Φ kl , j
µ I ∆S dr µ o I a ∆S1
[ln(r jl ) − ln(r jk )]
=− o a 1 ∫
=
2π S 2 r r
2π S 2
jk
Vemos que en las integrales sólo importa la distancia de los puntos l y k al
filamento del circuito a en estudio. Para entender lo anterior, revisemos la
siguiente figura:
Observemos que el flujo enlazado entre los puntos l y k es el mismo enlazado
entre los puntos l y k’, teniendo en cuenta que los puntos k y k’ están a la
misma distancia rik del conductor que genera el campo magnético. Dado lo
anterior, las únicas distancias relevantes para el cálculo del flujo enlazado entre
dos puntos son las distancias al conductor que genera el campo.
Para calcular el flujo total enlazado por los filamentos l y k, se deben sumar los
aportes al flujo enlazado por los filamentos k y l provenientes de los campos
generados tanto por todos los filamentos i del conductor 1 como por todos los
filamentos j del conductor 2.
n
n
i =1
j =1
(Φ kl )a = ∑ ∆Φ kl ,i + ∑ ∆Φ kl , j


(Φ kl )a = µo I a  1 ∑ ln(ril )∆S1 − 1 ∑ ln(rik )∆S1 + 1 ∑ ln(rjk )∆S 2 − 1 ∑ ln (rjl )∆S2 
2π S
S
S
S

n
1 i =1
n
1 i =1
n
2 j =1
n
2 j =1

Recordemos que tanto por el filamento i como por el filamento j circula la
misma corriente. Esto trae como consecuencia que el número de filamentos en
cada conductor sea el mismo, independiente de la superficie de ambos. La
diferencia está en el tamaño de las secciones ∆S1 y ∆S2.
Se puede ver que si en la expresión anterior se elije un delta de superficie
pequeño, n tiende a infinito y lo que se estaría realizando es una integral de
superficie sobre las respectivas superficies. Luego:
1

1
1
1
(
)
(
)
+
I a  ∫ ln (ril )dS1 − ∫ ln (rik )dS1 −
ln
r
dS
ln
r
dS
2
2
jl
jk
2π  S1 S1
S1 S1
S 2 S∫2
S 2 S∫2

(Φ kl )a = µo
Recordemos lo que estamos buscando: Una constante de proporcionalidad que
indique cual es el flujo que enlaza el circuito b, generado por el circuito a.
Se presenta un problema: dependiendo de cómo se escojan los pares (k,l), se
tendrán distintas expresiones para el flujo enlazado. Para esto veamos la
siguiente figura:
Se puede ver que dependiendo de cuál es el “filamento k” que se elija en el
circuito B, se enlaza o no el aporte al campo generado por el filamento i del
circuito A. Dado esto, aparece la siguiente pregunta ¿Cuál es el par de
filamentos en el circuito B que se debe escoger de tal forma de enlazar todo el
flujo generado por el circuito A?
Para resolver lo anterior, se puede tomar un promedio: se suman los flujos
enlazados por los n2 pares posibles de (k,l) y se promedia (cada conductor
tiene n filamentos diferentes). Luego se asume que ese es flujo enlazado por
todo el circuito.
El flujo promedio enlazado por los n2 pares (k,l) se obtiene al calcular una doble
sumatoria sobre (Φ kl )a :
(Φkl )a =
1 µo I a
n 2 2π
n
n
1
∑∑  S ∫ ln(r )dS

l =1 k =1

il
1 S1
1
−

1
1
1
ln (rik )dS1 −
ln (rjl )dS 2 +
ln (rjk )dS 2 
∫
∫
∫
S1 S1
S2 S 2
S2 S2

=
 n 1

1 µ o I a  n  1
1
1




(
)
(
)
ln
ln
ln
ln
−
+
−
n
(
r
)
dS
r
dS
r
dS
(
r
)
dS
∑
1
2
2
1 
jk
ik
il
jl
∫
∫
 ∑


n 2 2π  l =1  S1 S∫1
S 2 S∫2
S
S
1 S1
 k =1  2 S 2


=

 n  1
1 µ o I a  n  1
1
1

 + ∑
∑
(
)
(
)
ln
ln
ln
ln
−
(
)
(
)
−
r
dS
r
dS
r
dS
r
dS
jk
ik
1
2
2
1 
il
jl
∫

 k =1  S 2 S∫
n 2π  l =1  S1 S∫1
S 2 S∫2
S
1 S1



2



1
1
 1 n 1
1 n  1
1 n  1
µo I a  n  1
 






(
)
(
)
(
)
(
)
ln
ln
ln
ln
−
+
−
r
dS
r
dS
r
dS
r
dS
∑
∑
∑
ik
jk
jl
il
1
2
2
1
∫
∫
∫
 n




n ∑

2π  l =1  S1 S∫
S
n
S
n
S
k =1  1 S
k =1  2 S
l =1  2 S





1
2
2
1

Las sumatorias en l se realizan sobre el área S4, mientras que las sumatorias
S
S
en k se realizan sobre el área S3. Recordando que n = 3 = 4 se tiene:
∆S3 ∆S 4












(Φ kl )a = µo I a ∑  1 ∫ ln(ril )dS1  ∆S4 − ∑  1 ∫ ln(rjl )dS 2  ∆S4 + ∑  1 ∫ ln(rjk )dS2  ∆S3 − ∑  1 ∫ ln(rik )dS1  ∆S3 
S4
S 4 k =1 S 2 S
S3 k =1 S1 S
S3 
2π  l =1 S1 S
l =1 S 2 S
n


1
n


n


2
2

n

1
Nuevamente, al hacer tender los delta de superficie a cero, las sumatorias se
convierten en una integral sobre la superficie correspondiente:
(Φkl )a = µo I a  ∫ ∫ ln(ril ) dS1dS 4 − ∫ ∫

2π  S4 S1 S1S 4
S4 S2
ln (rjl )
S2S4
dS 2 dS 4 + ∫ ∫
S3 S 2
ln(rjk )
S 2 S3

ln(rik )
dS1dS3 
S1S3

S3 S1
dS 2 dS3 − ∫ ∫
Luego, la inductancia mutua entre el circuito a y el circuito b es:
Lab =
2.
 ln (ril )

ln (r jl )
ln (r jk )
ln(rik )
dS1 dS 4 − ∫ ∫
dS 2 dS 4 + ∫ ∫
dS 2 dS 3 − ∫ ∫
dS1dS 3 
∫ ∫
2π  S4 S1 S1 S 4
S2 S4
S 2 S3
S1 S 3

S4 S 2
S3 S 2
S 3 S1
(Φ ) = µ
kl
Ia
o
Distancia media geométrica entre circuitos
La distancia media geométrica entre un área i y un área j se define como:
ln g ij =
1
Si S j
∫ ∫ ln(r )dS dS
ij
i
j
S i Sj
De esta forma, la expresión de la inductancia mutua entre dos circuitos
se puede definir como:
Lab =
µ o  g14 g 23 

ln
2π  g 24 g13 