Cap. I – Introdução ao betão pré-esforçado

ISEL
DEPARTAMENTO DE ENGª CIVIL
BETÃO ESTRUTURAL III
tgα
FOLHAS DA DISCIPLINA
ANO LECTIVO 2007/08
Setembro de 2007
Luciano Jacinto
[email protected]
Índice
Cap. I – Introdução ao betão pré-esforçado
1. Objectivo do pré-esforço
2. Vantagens do betão pré-esforçado face ao betão armado
3. Economia
4. Classificação dos sistemas de pré-esforço
5. Aplicações
6. Breve história do pré-esforço.
7. Sistemas comerciais de pré-esforço. Terminologia.
8. Aprovação técnica europeia de sistemas de pré-esforço
9. Nota final
Cap. II – Materiais
1. Betão
1.1. Resistência
1.2. Parâmetros de deformação
1.3. Efeitos diferidos
2. Aços de alta resistência
2.1. Formas comerciais
2.2. Processo de fabrico
2.3. Classes de resistência. características geométricas
2.4. Relaxação
3. Bainhas
4. Caldas de Injecção
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
1. Introdução
2. Análise de vigas isostáticas
2.1. Conceito de esforço isostático
2.2. Calculo de deformações devidas ao pré-esforço
3. Análise de vigas hiperstáticas
4. Conceito de carga equivalente à acção do pré-esforço
Cap. IV – Escolha do traçado e da força a aplicar
1. Ideias gerais
2. Ajustamento do traçado para melhor aproveitamento dos mom. hiperstáticos
3. Acessibilidade das ancoragens
4. Troços rectos junto ás ancoragens. Raios mínimos
5. Recobrimentos e afastamentos mínimos
6. O traçado dos cabo e processo construtivo
7. Escolha da força de pré-esforço a aplicar
8. Cálculo de tensões em secções de betão pré-esforçado
Cap. V – Execução do pré-esforço
1. Introdução
2. Projecto de aplicação de pré-esforço
3. Processo construtivo
4. Monitorização da aplicação do pré-esforço
5. Injecção das bainhas
Cap. VI – Dimensionamento das zonas sob as placas de pré-esforço
1. Introdução
2. Distância de regularização
3. Resistência mínima do betão à data de aplicação de pré-esforço
4. Calculo das armaduras específicas para tracções transversais
4.1. Caso de uma só força concentrada
4.2. Caso de 2 forças
4.3. Caso de 3 forças
4.4. Ancoragem embebida
4.5. Juntas de betonagem com cabos acoplados
4.6. Maciços de amarração de cabos
4.7. Caso de secções formadas por banzos e almas
4.8. Outros casos
Cap. VII – Perdas De Pré-Esforço
1. Introdução
2. Perdas instantâneas
2.1. Perdas por atrito
2.1.1. Lei de coulomb
2.1.2. Formula de Euler
2.1.3. Vigas com traçados parabólicos
2.1.4. Calculo dos alongamentos
2.2. Perdas por reentrada das cunhas
2.3. Perdas por deformação instantânea do betão
3. Perdas diferidas
Cap. VIII – Estados limites últimos
1. E.L. Último de flexão
1.1. Critério de verificação da segurança
1.2. Calculo de Mrd
1.2.1. Bases para o cálculo de Mrd
1.2.2. Método geral para o cálculo de Mrd
1.2.3. Método do diagrama rectangular
1.2.4. Flexão composta
1.2.5. Secção com pré-esforço não aderente
1.3.
Armaduras mínimas de flexão
2. E.L. Último de esforço transverso
2.1. Critério geral de verificação da segurança
2.2. Elementos com armadura específica de esforço transverso
2.3. Secção de cálculo de Vsd
2.4.. Cargas suspensas
2.5. Vigas de altura variável
2.6. Corte na ligação entre banzos e almas
2.7. Outros casos tratados no EC2
2.8. Armadura mínima de esforço transverso
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
1. Introdução
2. Pré-dimensionamento
3. Traçado dos cabos
3.1. Traçado em perfil
3.2. Traçado em planta
4. Análise de lajes pré-esforçadas
5. Estados limites últimos
6. Estados limites de serviço
Anexos
Anexo A – Revisões da resistência dos materiais
Anexo B – Critérios de verificação da segurança. Combinações de acções.
Anexo C – Estudo das parábolas
Anexo D – Dedução da expressão para o calculo de λ
Anexo E – Exemplo de desenho contendo os elementos habituais num projecto de
aplicação de pré-esforço.
Referências bibliográficas
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. I - Introdução
Cap. I – Introdução ao betão pré-esforçado
1. Objectivo do pré-esforço
O pré-esforço consiste na introdução de um sistema de forças a uma estrutura recorrendo a
cabos previamente esticados com o objectivo de criar um estado de tensão interno de sinal
contrário ao estado de tensão provocado pelas cargas exteriores. Tal é ilustrado na figura
seguinte:
(-)
S
M
S
S
σ
(+)
(+)
S
P
S
S
(-)
σ
Fig. 1.1 – O estado de tensão associado ao pré-esforço contraria o estado de tensão associado ás cargas
exteriores
Conforme se observa na figura, o carga exterior gera tracções na fibra inferior da secção S e o
pré-esforço gera compressões, contrariando assim as primeiras. A força de pré-esforço, P,
pode ser calculada de forma a anular as tracções provocadas pela carga exterior.
O pré-esforço não está limitado a estruturas de betão armado, mas, no caso destas, tem o
objectivo adicional de melhorar o seu comportamento em serviço (redução de fissuração e
deformações).
2. Vantagens do betão pré-esforçado face ao betão armado
As principais vantagens do betão pré-esforçado face ao betão armado são as seguintes:
• melhor comportamento em serviço (redução de fissuração e redução de flechas);
• permite vigas mais esbeltas (melhora a estética, introduz economia de betão);
• permite descofrar mais cedo;
• permite pormenorizações de armadura menos densas;
• a partir de certa grandeza de vãos, a solução em betão armado não seria viável.
Em relação à vantagem – pormenorizações menos densas, refira-se que um dos critérios que
nos pode levar a optar por uma solução pré-esforçada em vez de uma solução em betão
armado, é, justamente, o de permitir pormenorizações menos densas e consequentemente
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Cap. I - Introdução
permitir betonagens realizadas em melhores condições. Como a resistência do aço de préesforço é cerca de 3 a 4 vezes superior à resistência da armadura passiva, para a mesma força
é necessário 3 a 4 vezes menos área de aço, resultando em pormenorizações menos
congestionadas.
3. Economia
Persiste ainda uma ideia errada de que o pré-esforço encarece as obras. Bem pelo contrário.
Com efeito, mesmo para vãos em que ainda seria viável uma solução em betão armado, é
possível que a solução pré-esforçada seja mais económica.
Para vãos pequenos o custo das ancoragens (dispositivos de amarração dos cabos) tem um
peso apreciável no custo unitário de pré-esforço, o que torna a solução pré-esforçada mais
cara. No entanto, para vãos maiores a situação inverte-se. Como ordem de grandeza, acima
dos 10 a 15 m de vão, a solução pré-esforçada tende a ser mais económica para o dono de
obra do que uma solução em betão armado.
Como é evidente, o custo final depende também de outros factores, tais como, a quantidade a
aplicar e a facilidade de deslocação ao local, pelo que os vãos indicados acima são apenas
indicativos.
4. Classificação dos sistemas de pré-esforço
a) Quanto ao modo de transmissão da força ao betão
• Pré-esforço por pré-tensão
• Pré-esforço por pos-tensão
Na pré-tensão a aplicação do pré-esforço é feita antes da betonagem da peça e a transmissão
da força de pré-esforço ao betão é feita por aderência. Este é o método de pré-esforço
utilizado na indústria de pré-fabricação.
Na pos-tensão a aplicação de pré-esforço é feita depois da betonagem da peça e a transmissão
do pré-esforço é feita através de órgãos especiais colocados nas extremidades dos cabos,
designados por ancoragens. Este método exige o uso de elementos tubulares, designados por
bainhas, no interior das quais é enfiado o aço de pré-esforço. O objectivo das bainhas é
impedir que o betão entre em contacto com o aço no momento da betonagem, o que, se
acontecesse, inviabilizaria o seu esticamento. Depois do esticamento a bainha é injectada com
calda de cimento, tornando o cabo aderente à secção de betão.
b) Quanto ao tipo de aço
O aço de pré-esforço apresenta-se sob 3 formas comerciais, a saber:
• Aço em fio
• Aço em cordão
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• Aço em barra
O pré-esforço com fios é aplicado principalmente na indústria da pré-fabricação que, como se
disse acima, recorre à técnica da pré-tensão.
Os cordões são constituídos por um conjunto de fios enrolados em hélice e são usados quer na
pré-tensão que na pos-tensão. São fabricados cordões com 2, 3 e 7 fios, sendo este último o
que tem maior aplicação.
O pré-esforço em barra aplica-se sobretudo na pos-tensão de elementos de pequeno
comprimento, por duas principais razões:
1 – As ancoragens das barras são mais económicas do que as ancoragens para pré-esforço
em cordão, o que as torna mais vocacionadas para cabos curtos, já que, para estes, o
custo das ancoragens tem maior peso no custo final do pré-esforço.
2 – A reentrada dos fixadores é mais baixa nas barras do que no pré-esforço em cordão, o
que constitui uma grande vantagem para cabos curtos, já que, conforme veremos, estes
são mais sensíveis às perdas por reentrada dos fixadores do que os cabos longos.
c) Quanto à posição dos cabos relativamente à secção
• Pré-esforço interior
• Pré-esforço exterior
Como o nome indica, no pré-esforço exterior os cabos são exteriores à secção. O pré-esforço
exterior é muito utilizado no reforço de estruturas, mas também é utilizado em obras novas.
Trata-se de um pré-esforço necessariamente do tipo não aderente.
Como principais vantagens do pré-esforço exterior, podemos referir: Permite uma melhor
monitorização do pré-esforço ao longo da vida da obra, dada a acessibilidade dos cabos.
Permite também uma substituição futura do pré-esforço, ou um eventual retensionamento dos
cabos.
Apresenta, no entanto, a desvantagem decorrente do facto de se tratar de pré-esforço não
aderente, e portanto menos eficaz quer em relação aos estados limites últimos quer em relação
aos estados limites de utilização, conforme se perceberá mais tarde. Assim, se o espaço
permitir, há vantagem em colocar os cabos no interior da secção de betão e torná-los
aderentes por meio da injecção.
Em obras de grande importância é usual prever no projecto a execução de dispositivos que
permitam a instalação futura de pré-esforço exterior, caso venha a haver necessidade de
corrigir deformações ou seja necessário atender a eventuais aumentos das sobrecargas. Este
pré-esforço designa-se por pré-esforço exterior de reserva.
A figura seguinte mostra um exemplo de um viaduto em que foi executado pré-esforço
exterior. Conforme se vê, o pré-esforço exterior tem traçado poligonal e os únicos pontos de
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contacto com a estrutura são nas zonas de amarração e nas selas de desvio, também
designados por desviadores.
Fig. 1.2 – Exemplo da aplicação de pré-esforço exterior num viaduto
(Florida department of transportation)
d) Quanto à aderência
• Pré-esforço aderente
• Pré-esforço não aderente
Como o nome indica, no pré-esforço aderente o aço está aderente à secção de betão, tal como
a armadura passiva. As variações de extensão no betão e no aço são iguais.
Como exemplos de pré-esforço do tipo aderente, temos a pré-tensão, que é sempre aderente, e
a pos-tensão com injecção de bainhas. Como exemplos de pré-esforço do tipo não aderente,
temos o pré-esforço exterior e ainda o chamado sistema monocordão autoembainhado,
usualmente empregue no pré-esforço de lajes.
No pré-esforço do tipo aderente, o aço de pré-esforço está geralmente em cedência em estado
limite último, mas o mesmo já não acontece com o tipo não aderente. Assim, do ponto de
vista do estado limite último o pré-esforço aderente é mais eficiente, na medida em que
permite tirar partido da capacidade total dos aços. Mas é também mais eficiente do ponto de
vista da fissuração do betão, graças à activação das forças de aderência no momento da
formação da fissura.
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e) Quanto ao grau de pré-esforço
• Pré-esforço parcial
• Pré-esforço total
O critério mais comum, mas não único, para escolher a força de pré-esforço a aplicar, é o de
anular as tensões de tracção associadas a uma determinada combinação de acções. Quando a
combinação é a quase permanente ou a frequente, ou seja, quando a combinação é do tipo :
(1.00×CP + ψ×SC), diz-se que o pré-esforço é parcial. Quando a anulação de tensões é feita
para a combinação rara de acções (1.00×CP + 1.00×SC), diz-se que o pré-esforço é total.
5. Aplicações
O pré-esforço tem inúmeras aplicações. Nas figuras seguintes mostram-se alguns exemplos:
Pré-esforço longitudinal
Pré-esf. no diafragma
Pré-esf. no coroamento
do pilar
Pré-esforço na base da sapata
Fig. 1.3 – Diferentes aplicações de pré-esforço num viaduto
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Fig. 1.4 – Aplicação de pré-esforço numa viga fortemente solicitada
(Florida department of transportation)
Fig. 1.5 – Aplicação de pré-esforço num pilar com “cabeça de martelo”
(Florida department of transportation)
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Cap. I - Introdução
Fig. 1.6 – Exemplos de aplicação de pré-esforço em barra (catálogo dywidadg)
Fig. 1.7 – Outros exemplos de aplicação de pré-esforço em barra
(Florida department of transportation)
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Cap. I - Introdução
6. Breve história do pré-esforço.
A ideia do pré-esforço é bem antiga, podendo citar-se o caso da fabricação de pipas feitas com
ripas de madeira justapostas. Estas ripas eram apertadas umas contra as outras mediante aros
de aço previamente aquecidos e colocadas, ainda quentes, na posição definitiva. Os aros ao
arrefecerem encurtam, introduzindo uma compressão (pré-esforço) diametral.
A aplicação de pré-esforço a peças de betão teve o seu início no século XIX, e a primeira
patente registada de que há memória deve-se a P. Jackson que patenteou em 1886 um sistema
de pavimentos de betão pré-comprimido. No início do século XX outras patentes foram
registadas. No entanto, estas primeiras tentativas de pré-esforçar o betão fracassaram, pois
constatava-se que a força pré-esforço desaparecia algum tempo após a sua aplicação. Nesta
altura o aço disponível era o aço macio, utilizado no betão armado, pelo que a tensão de
esticamento tinha de ser moderada. Esta tensão desaparecia pelos fenómenos de fluência e
retracção do betão, na altura ainda desconhecidos.
Entretanto a tecnologia de fabricos dos aços evoluiu e por volta da primeira guerra mundial
foi possível produzir aços de elevada resistência, abrindo caminho para o sucesso do préesforço. Compreende-se que o sucesso do pré-esforço esteja associado ao aparecimento dos
aços de alta resistência. Na verdade, é necessário que os aços sejam esticados com uma tensão
suficientemente elevada, para que, após as perdas de tensão a que estão sujeitos, ainda fiquem
com uma tensão residual suficiente para cumprir o seu objectivo.
No entanto foi necessário esperar mais alguns anos até que a tecnologia do pré-esforço se
aperfeiçoasse e desenvolvesse o suficiente para passar a ser de aplicação corrente nas
construções. Cabe aqui referir a enorme contribuição que o engenheiro francês Eugene
Freyssinet deu nos anos 20 e 30 ao conhecimento e domínio da tecnologia do pré-esforço. Os
estudos experimentais e teóricos que fez, incluindo o estudo dos fenómenos da fluência e
retracção do betão, deram a necessária confiança a esta nova tecnologia. As primeiras pontes
em betão pré-esforçado foram executadas nos anos 30.
A partir desta altura, o progresso do betão pré-esforçado foi verdadeiramente surpreendente.
Nos anos 50 já se estavam a construir pontes de betão armado pré-esforçado com mais de 100
m de vão. O enorme sucesso que o betão pré-esforçado veio a ter ficará para sempre ligado a
nomes de engenheiros tais como, F. Dischinger, Gustave Magnel, F. Leonhardt, Yves Guyon,
R. Morandi e muitos outros.
Em Portugal, a primeira ponte em betão pré-esforçado, ponte sobre a Vala Nova na E.N. 118,
entre Benavente e Salvaterra de Magos, foi construída em 1954.
Com o passar dos anos a evolução dos diferentes sistemas de pré-esforço foi estabilizando e,
hoje em dia, não há praticamente nenhuma diferença entre os sistemas de pré-esforço
existentes no mercado.
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7. Sistemas comerciais de pré-esforço. Terminologia.
A designação sistema de pré-esforço refere-se a um conjunto de elementos coerentes e
compatíveis entre si, constituído por ancoragens, bainhas, cunhas, macacos, etc. Apesar da
semelhança entre os sistemas existentes, não se podem misturar componentes de sistemas
diferentes, inclusive os macacos, cuja geometria é concebida para determinado sistema. O aço
em cordão, sendo fornecido por trefilarias independentes das empresas aplicadoras de préesforço, é a única excepção.
Existe um sistema português de pré-esforço por pos-tensão, de nome IBL, aplicado pela firma
Indubel e actualmente em vias de homologação. Existem também três trefilarias portuguesas
(Fapricela, Socitrel e Trecem) que produzem, para além de outros produtos metálicos para a
construção, fios e cordões para pré-esforço.
Seguidamente dão-se exemplos de alguns sistemas comerciais que estão consagrados no
mercado mundial:
• Freyssinet (Francês)
• Dywidag (Alemão)www.dywidag-systems.com
• VSL (Suisso)
www.vsl.net
• BBR (Suisso)
• CCL (Inglés)
www.cclstressing.com
www.bbrsystems.ch
As figuras seguintes mostram os componentes típicos dos cabos de pré-esforço usados na postensão:
orifício para injecção
"grip" de extrusão
Cunhas
Cordão
trompete
baínha
cabeça de ancoragem
helice de cintagem
Ancoragem passiva
Ancoragem activa
Fig. 1. 8 – Componentes típicos de um cabo de pré-esforço multi-cordão
Baínha
Barra roscada
Extremidade activa
Porca
Extremidade passiva
Fig. 1. 9 – Componentes típicos de um cabo em barra (barra Macalloy)
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Ancoragem activa é aquela por onde é realizado o esticamento. Seguidamente apresenta-se a
terminologia inglesa e francesa de uma ancoragem activa multi-cordão:
Fig. 1. 10 – Terminologia inglesa de uma ancoragem activa (ancoragem CCL)
Fig. 1. 11 – Terminologia francesa de uma ancoragem activa (ancoragem Freyssinet)
É possível ligar um cabo a outro cabo esticado numa fase anterior recorrendo a dispositivos
designados por acoplamentos, ou por vezes também designados por ancoragens de
continuidade. Estes dispositivos estabelecem a continuidade entre dois cabos esticados em
fases consecutivas. Na figura que segue representa-se um acoplamento do sistema CCL:
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Fig. 1. 12 – Acoplamento CCL
Como se vê na figura acima, a fixação dos cordões é feita através de “grips” de extrusão.
Outros sistemas realizam a fixação com cunhas, semelhantes às adoptadas na ancoragem
activa.
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Cap. I - Introdução
8. Aprovação Técnica Europeia de sistemas de pré-esforço
Ao nível da Europa, a criação e o funcionamento do mercado interno dos produtos de
construção encontra-se enquadrada pela Directiva dos Produtos de Construção, 89/106/EC.
Com base nesta directiva da Comissão Europeia foi constituída em 1990 a EOTA (European
Organization for Technical Approvals, www.eota.eu), cuja missão é conceder aprovações
técnicas europeias (ETA, Eupean Technical Approvals).
Uma Aprovação Técnica Europeia dum produto de construção atesta a aptidão desse produto.
Todos os produtos para os quais tenha sido concedido uma ETA, e que satisfaçam as normas
europeias aplicáveis, podem ser comercializados com a marcação CE.
A apreciação técnica que conduz à concessão de uma ETA é feita com base em Guias de
Aprovação Técnica Europeia (ETAG, Eupean Technical Approvals Guidline) cuja elaboração
é da responsabilidade da EOTA. No caso específico dos sistemas de pré-esforço por postensão foi elaborada a ETAG 013, havendo já sistemas comerciais de pré-esforço com ETA
concedida.
9. Nota final
Para o prosseguimento desta disciplina assume-se que o estudante domina os conceitos
básicos da Resistência dos Materiais (Mecânica dos sólidos, como agora é chamada com a
revisão curricular de Bolonha), bem como os critérios de verificação de segurança das
estruturas. Visto que estes conceitos são essenciais no Betão Estrutural III faz-se uma pequena
revisão nos anexos A e B.
Temos notado em semestres anteriores que vários alunos têm dificuldade em efectuar
combinações de acções. Assim, com a finalidade de rever os conceitos básicos associados às
combinações de acções propõe-se a resolução do seguinte problema:
Problema proposto
Suponha que após a analise de uma estrutura, uma determinada secção apresenta os seguintes
momentos flectores:
Acção
CP
RCP
SC
E
W
VDT
ψ0; ψ1; ψ2
-
-
0.6; 0.4; 0.2
0; 0; 0
0.40; 0.20; 0
0.60; 0.50; 0.30
M [KNm]
-30
-50
-5
-15
80
20
50
50
5
30
Em que: CP – Carga Permanente;
E – Sismo;
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W – Vento;
RCP – Restante Carga Permanente; SC – sobrecarga
VDT – Variação diferencial de temperatura;
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a) Determine Mqp, Mfrq e Mraro (momento quase permanente, frequente e raro);
b) Determine Msd,max (+) e Msd,max(-);
Observação – segundo o EC2 §2.3.1.2 as variações de temperatura não necessitam em geral
ser consideradas na verificação da segurança aos estados limites últimos, mas apenas na
verificação da segurança aos estados limites de serviço. Com efeito, as variações de
temperatura têm efeitos reduzidos nos estados limites últimos por causa da fendilhação
avançada, própria desses estados. Exceptua-se naturalmente situações em que os seus efeitos
podem ser significativos, como por exemplo o efeito que elas podem ter sobre a
excentricidade do esforço normal, a considerar na encurvadura de pilares.
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Cap. II - Materiais
Cap. II – Materiais
1. Betão
1.1.
Resistência
A classe de resistência do betão é identificada por um “C” seguido de dois algarismos:
fck
Exemplo: C30/37 (antigo B35)
fck,cube
O primeiro algarismo, 30, refere-se ao valor característico da tensão de rotura aos 28 dias, em
[MPa], referida a provetes cilíndricos (φ×h = 0.15×0.30) e é denotado no EC2 por fck. O
segundo designa também o valor característico da tensão de rotura, mas referida a provetes
cúbicos com 0.15 m de aresta, denotada por fck,cube.
Como regra geral, em betão pré-esforçado não se deve usar classes de resistência inferiores a
C25/30.
Para efeitos de verificação da segurança é sempre o valor referido a cilindros que se utiliza.
Recorda-se que o valor característico de um parâmetro resistente refere-se, em geral, ao
percentil de 0.05. Assim, afirmar que o valor característico resistência do betão é de 30 MPa,
equivale a afirmar que a probabilidade de que o betão tenha uma resistência superior a 30
MPa é de 0.95. Por outras palavras, espera-se que em 95% das situações a resistência do betão
seja superior a 30 MPa.
Conforme dito acima, o valor fck refere-se aos 28 dias de idade. Como regra, quando não se
especifica a idade de um parâmetro, tal parâmetro refere-se aos 28 dias. O EC2 no paragrafo
§3.1.2 contem expressões que permitem estimar a evolução da resistência do betão com o
tempo, fck(t), e que se reproduzem aqui: O valor médio da resistência à compressão do betão à
idade t, fcm(t), pode ser estimada por:
f cm (t ) = β cc (t ) f cm
em que:
fcm – valor médio da resistência à compressão aos 28 dias (EC2 tabela 3.1)
⎧⎪ ⎡
⎛ 28 ⎞
⎟
⎝ t ⎠
β cc (t ) = exp ⎨ s ⎢1 − ⎜
⎩⎪ ⎢⎣
em que:
0.5 ⎤ ⎫
⎪
⎥⎬
⎥⎦ ⎭⎪
t – idade do betão em dias
s – parâmetro que depende da classe de cimento. Por exemplo, s = 0.25
para cimento das classes CEM 32,5 R e CEM 42,5 N.
O valor característico pode ser obtido do valor médio aplicando a seguinte relação:
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
⎧ f (t ) − 8 MPa , 3 < t < 28 dias
f ck (t ) = ⎨ cm
f ck
, t ≥ 28 dias
⎩
Finalmente, regista-se que a norma que estabelece o comportamento, a produção, a colocação
e os critérios de conformidade dos betões é a NP EN 206-1:2005.
1.2.
Parâmetros de deformação
Os parâmetros de deformação que nos interessam são o módulo de elasticidade e o coeficiente
de Poisson. Relativamente ao módulo de elasticidade usa-se em geral o módulo secante,
definido conforme figura seguinte, e referido aos 28 dias (tal como a resistência). O módulo
de elasticidade secante aos 28 dias, ou simplesmente módulo de elasticidade, é denotado no
EC2 por Ecm.
σc
0.40 fcm
α
εc
E cm = tgα
(modulo secante, aos 28 dias)
Ec = 1.05 E cm
(modulo tangente, aos 28 dias)
f (t ) 0.30
E cm (t) = ⎛ cm ⎞ × E cm
⎝ fcm ⎠
Fig. 2. 1 – Modulo de elasticidade secante e tangente
O módulo de elasticidade secante, Ecm, está definido na tabela 3.1 do EC2 para cada classe de
betão. Os valores aí indicados aplicam-se se os inertes do betão forem à base de quartzito.
Para outras constituições dos inertes o módulo de elasticidade deve ser corrigido da seguinte
forma [EC2 §3.1.3 (2)]:
Ecm
⎧ Ecm ,
⎪0.90 E ,
⎪
cm
=⎨
0.70
E
cm ,
⎪
⎪⎩1.20 Ecm ,
quartzito
calcario
arenito
basalto
Relativamente ao coeficiente de Poisson, os valores a usar são os seguintes [EC2 §3.1.3 (4)]:
⎧0.20, betao nao fissurado
⎩ 0.0 , betao fissurado
ν =⎨
Em seguida trataremos resumidamente da retracção e fluência do betão, fenómenos estes
responsáveis pela perda de tensão nos cabos de pré-esforço, entre outros efeitos. Se o leitor
desejar aprofundar estes fenómenos, recomenda-se a consulta do livro Observação e Análise
do Comportamento diferido de Pontes de Betão, do eng.º Oliveira Santos, editado pelo LNEC
na série Teses e Programas de Investigação LNEC (2002).
Setembro de 2007
II-2
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
1.3.
Cap. II - Materiais
Efeitos diferidos
a) Retracção
Definição
A retracção do betão é o fenómeno de encurtamento lento e gradual que uma peça de betão
sofre ao longo do tempo, nas três direcções, mesmo que não esteja sujeito a nenhuma carga
nem a variações de temperatura.
A retracção inicia-se logo que o betão começa a ganhar presa, ou até antes, e só estabiliza ao
fim de uns 20 ou 30 anos. Tem duas parcelas: a chamada retracção autogénea que ocorre
durante o endurecimento do betão e portanto é significativa apenas nas primeiras idades, e a
retracção de secagem que ocorre lentamente ao longo do tempo e é devida à evaporação da
água de amassadura que não foi usada na hidratação do cimento.
Quantificação
A quantificação da retracção é feita a partir de um parâmetro, designado por extensão de
retracção e denotado por εcs (t,t0), que se lê “extensão devida à retracção entre as idades t0 e
t”.
Depende de muitos factores, entre os quais:
–
dimensões da secção transversal;
–
húmidade relativa;
–
temperatura ambiente;
–
composição do betão.
As dimensões da secção transversal da peça são traduzidas na chamada espessura
equivalente, h0, definida como:
A
h0 =
µ
2A
µ
A – Área da secção transversal
µ - Perímetro em contacto com a atmosfera
Fig. 2. 2 – Definição de espessura equivalente
A húmidade relativa do ambiente é variável, assim como a temperatura. Nas aplicações
correntes podemos adoptar para estes parâmetros os seguintes valores: HR = 70% e T = 20º.
Os elementos para quantificação da extensão de retracção constam no §3.1.4 (6) do EC2.
Setembro de 2007
II-3
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
Perda de tensão devida à retracção
Admitindo aderência perfeita entre o aço de pré-esforço e o betão, a extensão sofrida pelo aço
é, em cada secção, igual à extensão de retracção, pelo que a perda de tensão no aço devida à
retracção, ∆σ pt ,s , é dada por:
∆σ pt ,s = E p ε cs
onde Ep designa o modulo de elasticidade do aço de pré-esforço.
O uso do módulo em εcs tem por finalidade obter-se um valor positivo para a perda de tensão.
A equação ∆σ pt ,s = E p ε cs
aplica-se a uma determinada secção (e a um determinado
instante). Se o pré-esforço não for do tipo aderente, a equação aplica-se a um determinado
troço. Neste caso, o troço estará compreendido entre dois pontos consecutivos de fixação do
cabo à estrutura, em geral as ancoragens. A extensão de retracção a usar corresponderá ao
valor médio da retracção que se verifica nesse troço.
Variação uniforme de temperatura equivalente à retracção
Tem interesse determinar a variação uniforme de temperatura equivalente à retracção.
Conforme sabemos, se sujeitarmos uma peça linear de betão a uma variação uniforme de
temperatura, ∆T , esta, se estiver livre, sofre uma extensão dada por: ε = α × ∆T , onde α
representa o coeficiente de dilatação térmica linear do material. A variação uniforme de
temperatura equivalente à retracção é, pois, dada por:
∆Teq =
ε cs
α
Recordamos que o coeficiente de dilatação térmica linear do betão é de α = 10-5 ºC-1
Exemplo 2.1 – A extensão de retracção de uma determinada secção a longo prazo é de
εcs(∞, t) = -25×10-5. Assim, a variação uniforme de temperatura equivalente a esta retracção é
de ∆Teq = −25 ×10−5 /10−5 = −25º C
b) Fluência
Definição
Se sujeitarmos um provete de betão a uma tensão constante, verifica-se que este, para além da
deformação elástica inicial, continua a deformar ao longo do tempo, de forma lenta e gradual.
Esta deformação lenta designa-se por deformação de fluência.
A origem do fenómeno prende-se com movimentos internos da água e ainda com
escorregamentos lentos das partículas internas do betão. Os factores principais que
influenciam a deformação de fluência são a carga actuante a que se juntam os factores que
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II-4
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
influenciam também a retracção, isto é, as dimensões da secção transversal, a humidade
relativa, a temperatura ambiente e a composição do betão.
Quantificação
Suponhamos um provete de betão sujeito a uma tensão σc aplicada na idade t0, e mantida
constante a partir daí. O provete sofre uma extensão elástica inicial (instantânea), εc0, seguida
de uma extensão,εcc, que vai aumentando gradualmente ao longo do tempo, só estabilizando
ao fim de uns 20 ou 30 anos (fig. 2.2).
ε
σc
εc,tot
εcc
εc0
σc
t
t0
Fig. 2. 3 – Evolução com o tempo da extensão num provete de betão sujeito a uma tensão constante
A extensão εcc designa-se por extensão devida à fluência, ou simplesmente extensão de
fluência, e calcula-se pela expressão [EC2 § 3.1.4 (3)]:
ε cc (t , t0 ) = ϕ (t , t0 ) ×
σc
Ec
(1)
em que:
σc – tensão, por hipótese constante, aplicada na idade t0;
Ec – módulo de elasticidade tangente do betão aos 28 dias de idade, o qual pode ser
obtido aumentando 5% os valores do módulo de elasticidade secante, Ecm, que
constam na tabela 3.1 do EC2. (Ec = 1.05×Ecm).
ϕ(t,t0) – coeficiente de fluência na idade t correspondente a uma tensão aplicada na
idade t0
A expressão (1) pode ser encarada como uma definição do coeficiente de fluência. Verificase, assim, que a extensão de fluência é proporcional á tensão aplicada. Esta proporcionalidade
permite-nos aplicar o princípio da sobreposição dos efeitos a cargas aplicadas em instantes
diferentes. Assim, para calcular a extensão total de fluência devida a duas cargas aplicadas em
instantes diferentes, podemos calcular separadamente a extensão de fluência para cada carga e
somá-las depois.
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II-5
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
A hipótese da linearidade é aceitável na generalidade das situações correntes, podendo no
entanto, não conduzir a resultados satisfatórios no caso de tensões elevadas, superiores a
0.45×fck(t0), como ordem de grandeza [EC2 3.1.4 (2)]. Neste caso, o coeficiente de fluência da
expressão (1) deverá ser substituído pelo coeficiente de fluência não linear, quantificado de
acordo com o §3.1.4 (4) do EC2 e cujo valor depende do nível de tensão aplicada.
Os elementos para quantificação do coeficiente de fluência constam no Anexo B do EC2.
É importante notar que o coeficiente de fluência está associado à carga que lhe dá origem. A
figura seguinte ilustra a dependência da fluência com a carga.
ϕ(t,t0)
ϕ(t,t0)
ϕ(t,t1)
ϕ(t,t2)
t
t0 t1 t2
Fig. 2. 4 – Dependência do coeficiente de fluência com a idade de carregamento
Cada carga permanente possui a sua própria curva de fluência. Dito de maneira simples: “o
betão têm memória”. Existirão, pois, tantas curvas de fluência quantas as cargas permanentes
aplicadas em instantes diferentes. Conforme ilustrado na figura 2.4, verifica-se que quanto
mais cedo se aplicar a carga, maior é o coeficiente de fluência e, consequentemente, maior é a
deformação por fluência.
Para calcular a extensão total à idade t devida a uma tensão constante aplicada na idade t0,
basta adicionar à extensão elástica inicial a extensão de fluência, obtendo-se:
⎡
ϕ (t , t0 ) ⎤
1
+
⎥
Ec ⎦
⎣ Ec (t0 )
εc,tot(t,t0) = σ c ⎢
(2)
em que Ec(t0) designa o módulo de elasticidade tangente na idade t0, o qual pode ser estimado
aumentando em 5% o valor do módulo de elasticidade secante à mesma idade. O termo entre
parêntesis rectos é designado habitualmente por função de fluência e representa-se por Φ(t,t0).
Fazendo intervir a função de fluência na equação (2), esta toma a forma:
1
εc,tot(t,t0)= σc Φ(t,t0) ⇔ σc =
εc,tot(t,t0)
Φ(t , t 0 )
Comparando a expressão acima com a lei de Hooke, σ = E ε, verifica-se que o inverso da
função de fluência ocupa o lugar do modulo de elasticidade. Assim, para analisar em regime
linear uma estrutura de betão sujeita a uma carga constante, o efeito da fluência pode ser
avaliado substituindo o módulo de elasticidade da estrutura pelo inverso da função de
fluência.
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II-6
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
Temos estado a admitir que a tensão aplicada no betão é constante. E se a tensão no betão não
for constante? Se a variação da tensão no intervalo t-t0 for pequena, pode-se continuar a usar a
formulação anterior, tomando-se para o efeito, o valor médio da tensão que se verifica nesse
intervalo. Se, além disso, a variação do módulo de elasticidade poder ser desprezada no
intervalo em questão, a expressão (2) simplifica-se. Com efeito, admitindo que Ec(t0) = Ec, a
expressão (2) transforma-se em:
1 + ϕ (t , t0 )
Ec
ε c,tot (t , t0 ) = σ c
ε c,tot (t , t0 )
⇔ σc =
Ec
1 + ϕ (t , t0 )
O factor:
Ec
designa-se habitualmente por módulo de elasticidade fictício ou módulo
1 + ϕ (t , t0 )
de elasticidade equivalente, e possibilita efectuar uma análise simplificada dos efeitos da
fluência.
Exemplo 2.2 – Uma viga de betão armado está sujeita a uma carga constante aplicada na
idade t0 e mantida constante até à idade t. O modulo de elasticidade, cuja variação no
intervalo (t0, t) se admite desprezável, é igual a Ec. Num determinado ponto da estrutura
observou-se, no momento da aplicação da carga, uma flecha elástica instantânea d0.
Determine a flecha na idade t, d(t).
Ora, admitindo comportamento elástico da estrutura, sabemos que o deslocamento elástico é
inversamente proporcional ao modulo de elasticidade, podendo escrever-se: d0 = k/Ec (k é a
constante de proporcionalidade). O deslocamento d(t) pode ser determinado substituindo
nesta expressão Ec por Ec/[1 + ϕ(t,t0)]. Obtém-se:
d (t ) = (1 + ϕ (t , t0 ) )
k
⇔ d (t ) = (1 + ϕ (t , t0 ) ) × d 0
Ec
Suponhamos por exemplo que ϕ =2.50 (valor típico do coeficiente de fluência a longo prazo).
Vê-se assim que a flecha a longo prazo mais do que triplica. Portanto, para se controlar
eficazmente as deformações em estruturas de betão armado, as deformações elásticas
instantâneas têm de ser muito pequenas. É aqui que reside uma importante vantagem do betão
pré-esforçado – possibilita uma redução significativa das deformações elásticas iniciais e por
conseguinte também uma redução significativa das deformações a longo prazo.
Se as variações da tensão e do módulo de elasticidade não poderem ser desprezadas no
intervalo de tempo em questão, a extensão devida à fluência pode ser calculada usando o
principio da sobreposição dos efeitos. Recordamos que este princípio é aplicável apenas se a
tensão no betão for inferior a cerca de 0.45 de fck, o que se verifica na generalidade das
situações. Este princípio habilita-nos a calcular a extensão de fluência sob tensão variável.
Efectivamente, quando a tensão aplicada varia com o tempo, podemos dividir o intervalo de
tempo em vários subintervalos e aplicar o valor médio do incremento da tensão associado a
cada subintervalo, conforme se mostra na figura seguinte:
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II-7
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
σc
∆σc,ti
σc,t0
t0
t1
ti-1 ti
tn
t
Aplicando o principio da sobreposição, a extensão de fluência sob tensão variável é dada por:
n
σ
∆σ
ε cc (t , t0 ) = ϕ (t , t0 ) c,t 0 + ∑ ϕ (t , ti ) c,ti
Ec
Ec
i =1
Para obter a extensão total, há que adicionar à expressão anterior, as parcelas elásticas, dadas
por:
n ∆σ
σ
ε c 0 = c,t 0 + ∑ c ,ti
Ec (t0 ) i =1 Ec (ti )
Recordamos que Ec e Ec(t0) designam o modulo de elasticidade tangente, respectivamente aos
28 dias e à idade t0.
Perda de tensão devida à fluência
A extensão de fluência irá provocar uma perda de tensão nos cabos que possam existir na
secção. Admitindo aderência perfeita entre o aço de pré-esforço e o betão, a variação de
extensão sofrida pelo aço é igual à extensão de fluência, pelo que a perda de tensão nas
armaduras de pré-esforço é igual a:
|σ |
∆σ pt ,c = α ϕ | σ c |
∆σ pt ,c = E p | ε cc | = E p × ϕ c = α ϕ | σ c |
⇔
em que:
Ec
α = E p / Ec (coeficiente de homogeneização);
σc – tensão de compressão no betão ao nível do cabo devida às acções permanentes,
incluindo a acção do pré-esforço:
A equação ∆σ pt ,c = α ϕ | σ c | aplica-se a uma determinada secção (e a um determinado
instante). Se o pré-esforço não for do tipo aderente, a equação aplica-se a um troço
compreendido entre dois pontos consecutivos de fixação do cabo à estrutura, em geral as
ancoragens. O coeficiente de fluência a usar será o coeficiente de fluência médio que se
verifica nesse troço.
2. Aços de alta resistência
2.1.
Formas comerciais
Os aços de alta resistência usados em pré-esforço apresentam-se em 3 formas comerciais, a
saber:
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II-8
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
• Fios (wire)
• Cordões (strand)
• Barras (bar)
A norma europeia que estabelece as características dos aços de pré-esforço é a norma EN
10138, que se compõe de 4 partes. A primeira trata dos requisitos gerais, a segunda trata dos
fios, a terceira dos cordões e a quarta das barras. O LNEC está preparado para homologar os
dois primeiros tipos de aço, para o que elaborou duas especificações, baseadas aliás na EN
10138, a especificação E452-2004 e a E453-2002, respectivamente para aço em fio e aço em
cordão.
A aplicação dos fios está sobretudo virada para a indústria da pré-fabricação, que recorre ao
método da pré-tensão. Já os cordões, aplicam-se sobretudo na pos-tensão, embora também o
sejam na pré-tensão.
Os cordões são formados por 2, 3 ou 7 fios, sendo este último o mais utilizado. Podem ser
fornecidos com uma bainha de polietileno de alta densidade, designando-se neste caso cordão
auto-embainhado. Os cordões auto-embainhados utilizam-se em pré-esforço exterior e
também no pré-esforço de lajes (sistema monocordão). As barras são varões em aço de
elevada resistência e podem ser parcial ou totalmente roscadas.
A figura seguinte mostra dois fios, um liso e outro indentado, dois cordões de 7 fios, um
simples e outro auto-embainhado e ainda uma barra de pré-esforço.
Fig. 2. 5 – Fios, cordões, e barras para pré-esforço
2.2.
Processo de fabrico
No caso dos fios e cordões o processo de fabrico segue as seguintes etapas:
1- Recepção da matéria-prima (fio máquina)
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II-9
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
O fio máquina para pré-esforço é fornecido pelas siderurgias e é caracterizado por
possuir levados teores de carbono.
2- Decapagem e fosfatação
3- Trefilagem
A trefilagem consiste na passagem do fio em várias fieiras consecutivas a fim de
reduzir a sua secção e, consequentemente, aumentar a tensão de rotura.
4- Encordoamento (apenas no caso dos cordões)
Os fios exteriores são enrolados em torno do fio central, através de máquinas
próprias.
5- Estabilização
A estabilização consiste num tratamento térmico acompanhado de um esforço de
tracção, destinado a eliminar tensões residuais e reduzir a relaxação.
2.3.
Classes de Resistência. Características geométricas
a) Fios e cordões
A classe de resistência mais utilizada para aço em cordão é a classe Y1860S7, sendo esta a
notação da norma europeia atrás referida, onde 1860 designa o valor característico da tensão
de rotura em [MPa], fpk, e o símbolo S7 designa secção com sete fios.
O diagrama σ-ε típico de um cordão de pré-esforço é o indicado na figura seguinte:
σ
fpk
fp01.k
Ep = 195 GPa
ε
0.1%
~50%o
Fig. 2. 6 – Diagrama σ-ε típico dum cordão de pré-esforço
O módulo de elasticidade médio de um cordão é de 195 GPa, admitindo-se variações de ±10
GPa. Já para o fio, o módulo de elasticidade é de 205±10 GPa. A razão desta diferença nos
módulos de elasticidade tem a ver com o efeito de desenrolamento dos fios do cordão quando
este é esticado.
Uma vez que estes aços não têm um patamar de cedência bem definido, não é possível
quantificar a tensão de cedência. Assim, em alternativa, define-se a denominada tensão limite
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II-10
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
convencional de proporcionalidade a 0.1%, fp0.1k, (0.1% proof stress na literatura inglesa)
quantificada conforme mostrado na figura 2.6.
De acordo com a norma EN 10138 o valor de fp0.1k para os cordões da classe Y1860 S7 é de
1600 MPa, a que corresponde 0.86×fpuk. O EC2 refere que se não existir informação mais
precisa, pode-se atribuir a fp0.1k. o valor de 0.90×fpuk (que dá 1670 MPa), valor este que não
está em harmonia com a EN 10138. Os aços fabricados segundo esta norma têm de facto uma
tensão limite convencional de proporcionalidade característica de 1600 MPa e não 1670 MPa,
como se pode constatar consultando os certificados de qualidade que acompanham as bobines
de aço que chegam à obra. Este aspecto reveste-se de alguma importância na medida em que o
valor de cálculo da tensão de rotura é calculado a partir de fp0.1k, (fpyd = fp0.1k /1.15).
No quadro seguinte, indicam-se as características geométricas e pesos dos cordões mais
utilizados, todos de 7 fios:
Quadro 3.1 – Cordões mais utilizados (EN 10138-3)
Diâmetro nominal
Área [cm2]
Peso [kg/m]
15 mm
1.4
1.10
16 mm
1.5
1.18
Por influência das normas americanas ASTM, o cordão de 15 mm é por vezes designado
cordão STANDARD e o cordão de 16 mm cordão SUPER.
b) Barras
As classes de resistência mais utilizadas em pré-esforço com barras são a classe Y1030H e
Y1230H, a que correspondem tensões de rotura características de, respectivamente, 1030 e
1230 MPa. As tensões limites convencionais de proporcionalidade são de 835 e 1080 MPa,
respectivamente. O módulo de elasticidade médio das barras é de 170 GPa, inferior, portanto,
ao dos cordões.
Na tabela seguinte apresentam-se as características de algumas das barras mais utilizadas:
Quadro 3.2 – Barras mais utilizadas (EN 10138-4)
Diâmetro nominal
Área [cm2]
Peso [kg/m]
32 mm
8.04
6.313 / 6.53 (1)
36 mm
10.18
7.99 / 8.27 (1)
40 mm
12.57
9.865 / 10.205 (1)
(1) – barra lisa / barra roscada
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II-11
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.4.
Cap. II - Materiais
Relaxação
Definição
A relaxação consiste na diminuição lenta e gradual da tensão no aço quando este é submetido
a uma extensão constante.
Quantificação
A relaxação depende do processo de fabrico dos aços, da temperatura e do nível de tensão
aplicada. É medida a partir do ensaio de relaxação que consiste, resumidamente, em sujeitar
um provete a uma tensão inicial σ p 0 = 70% da tensão de rotura (desse provete) e manter a
deformação constante durante 1000 horas. A variação de tensão ocorrida no provete no final
do ensaio designa-se por perda por relaxação às 1000 horas e denota-se por ∆σ p1000, r .
Com base em ∆σ p1000,r , define-se o parâmetro ρ1000, da seguinte forma:
ρ1000 =
∆σ p1000,r
σ p0
× 100 [%]
O EC2 classifica os aços em 3 classes de relaxação, a saber:
− classe 1 – fios e cordões de relaxação normal;
− classe 2 – fios e cordões de baixa relaxação;
− classe 3 – barras de pré-esforço.
Em geral só se utiliza fios e cordões de baixa relaxação, a que corresponde ρ1000 = 2.5%. Este
é o valor máximo que a EN 10132 especifica para os aços que sejam produzidos segundo essa
norma. A relaxação das barras às 1000 horas é um pouco superior, podendo-se considerar
ρ1000 = 4.0%, ou inferior se garantido pelo fabricante.
Para calcular a perda de tensão por relaxação em função do tempo, o EC2 apresenta as
seguintes expressões:
⎛ t ⎞
⎜
⎟
⎝ 1000 ⎠
− classe 1:
∆σ pt ,r = 5.39 ρ1000 e
− classe 2:
⎛ t ⎞
∆σ pt ,r = 0.66 ρ1000 e9.1 µ ⎜
⎟
⎝ 1000 ⎠
− classe 3:
em que:
6.7 µ
µ=
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σ p0
f pk
∆σ pt ,r = 1.98 ρ1000 e
;
8µ
⎛ t ⎞
⎜
⎟
⎝ 1000 ⎠
0.75(1− µ )
0.75(1− µ )
0.75(1− µ )
σ p 0 – tensão inicial no aço;
II-12
×10−5 σ p 0
× 10−5 σ p 0
× 10−5 σ p 0
t em horas.
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
Para efeitos de perdas por relaxação, podemos considerar o longo prazo (tempo infinito) como
sendo 500 000 horas [~ 57 anos, EC2 3.3.2 (8)].
Exemplo 2.3 – Numa determinada secção de uma estrutura a tensão inicial no aço de préesforço é de 1300 MPa. Admitindo que ρ1000 = 2.5% e que o aço é da classe Y1860,
determine a perda de tensão por relaxação a longo prazo usando as expressões do EC2.
Tem-se: ∆σ p∞,r = 0.66 × 2.5 × e
9.1
1300
1860
⎛ 500000 ⎞
⎜
⎟
⎝ 1000 ⎠
0.75(1−
1300
)
1860
×10−5 × 1300 = 50.5 MPa. (3.9 %).
Pré-esforço útil
O pré-esforço útil, ou pré-esforço a longo prazo, obtém-se subtraindo ao pré-esforço inicial as
perdas diferidas, ou seja:
σ p∞ = σ p 0 − ∆σ p∞,s − ∆σ p∞,c − ∆σ p∞,r ;
P∞ = σ p∞ × Ap
Este procedimento é simplificado, pois não leva em conta a interdependência entre os 3 tipos
de perdas diferidas. No capítulo VII apresentaremos a expressão do EC2 que tem em conta a
interacção entre as perdas por retracção, fluência e relaxação.
3. Baínhas
As bainhas a usar nos sistemas pos-tensionados poderão ser metálicas ou de plástico, sendo as
primeiras as mais utilizadas. A figura seguinte mostra exemplos de bainhas:
Fig. 2. 7 – Bainhas metálicas, em aço corrogado, e de plástico usadas na pos-tensão (catálogo CCL)
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II-13
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
O objectivo das bainhas é impedir que, aquando da betonagem, o betão entre em contacto
com o aço o que, se acontecesse, inviabilizaria o esticamento posterior do aço.
São fabricadas geralmente com comprimentos de 6.00 m e emendadas em obra com o auxílio
de pequenos troços de bainha com diâmetro ligeiramente superior.
Após o esticamento do aço, o espaço vazio entre os cordões e a bainha é preenchido com
calda de cimento, a fim de proteger o aço da corrosão e possibilitar a aderência.
O diâmetro das bainhas é estabelecido normalmente de forma a que a sua área seja cerca do
dobro da área dos cabos. Um diâmetro mais pequeno, além de criar dificuldades de injecção,
aumentaria o coeficiente de atrito cabo-baínha.
No quadro seguinte indicam-se os diâmetros interiores das bainhas para os tipos mais usuais
de cabos:
Quadro 3.3 – Diâmetro interior das bainhas
Nº de cordões
φbainha [mm]
4
50
7
60
12
80
15
90
19
100
27
120
Existem normas europeias, já adoptadas de resto, como normas portuguesas, que estabelecem
os ensaios a realizar a fim de garantir a qualidade das bainhas. São elas a NP EN 523 e NP
EN 524. Os principais ensaios a realizar são:
• ensaio de flexibilidade;
• resistência à carga lateral;
• ensaio de estanquidade.
4. Caldas de Injecção
As caldas de injecção são, basicamente, constituídas por cimento, água e plastificante,
podendo, em alguns casos, adicionar-se um expansivo. O objectivo do plastificante é
assegurar uma boa trabalhabilidade com uma relação A/C baixa.
A injecção das bainhas, a realizar após o esticamento dos cabos, tem um objectivo duplo:
−
protecção dos aços contra a corrosão;
−
assegurar a aderência entre o cabo e a secção de betão.
Setembro de 2007
II-14
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. II - Materiais
Visto que esses objectivos são muito importantes, o estudo da composição, a amassadura e a
injecção propriamente dita deve ser efectuada por pessoal tecnicamente qualificado. As
normas europeias que especificam os ensaios a realizar, os procedimentos de injecção e os
parâmetros de aceitação, são as seguintes: NP EN 445, NP EN 446 e NP EN 447.
No capítulo V faremos uma breve descrição dos procedimentos habituais de injecção bem
como um breve resumo dos ensaios especificados nessas normas.
*** Problema proposto ***
Problema 2.1 (quantificação dos parâmetros de fluência e retracção)
Considere a secção representada na figura seguinte:
HR = 70%; T = 20º
1.00
Betão C30/37 (Cimento da classe CEM 42.5 N)
Ep = 195 GPa
Compressão no betão ao nível do cabo, devida às acções permanentes,
incluindo a acção do pré-esforço: 5MPa;
0.30
a) Calcule os parâmetros de retracção e fluência a longo prazo, εcs(∞,15) e ϕc(∞,15)
utilizando a formulação do EC2
b) Descreva sucintamente o significado físico dos parâmetros de retracção e fluência;
c) Suponha que a viga cuja secção é a indicada acima, possui 10 m de comprimento.
Determine o encurtamento total (elástico inicial mais o provocado pela retracção e
fluência) a longo prazo, supondo que está sujeita a uma compressão de 5 MPa,
aplicada ao 15 dias de idade do betão e mantida constante ao longo da vida da
estrutura;
d) Determine a variação uniforme de temperatura equivalente à retracção;
e) Determine a variação uniforme de temperatura equivalente à fluência;
f) Determine as perdas de tensão nos cabos de pré-esforço devidas à retracção e fluência
utilizando os parâmetros calculados na alínea a);
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II-15
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
(pagina propositadamente em branco)
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II-16
Cap. II - Materiais
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Cap. III – Análise de Vigas Pré-esforçadas
1. Introdução
Considere-se uma viga simplesmente apoiada, pré-esforçada, e admita-se que o cabo é
esticado pela extremidade direita, conforme representado na figura seguinte:
ANCORAGEM ACTIVA
ANCORAGEM PASSIVA
Fig. 3.1 – Viga simplesmente apoiada pré-esforçada com um cabo
No momento do esticamento, as forças que o cabo exerce na viga são de três tipos, a saber
(figura 3.2):
− forças transmitidas pelas ancoragens;
− forças de desvio, perpendiculares ao cabo;
− forças de atrito, tangenciais ao cabo.
ACÇÃO DO CABO NA VIGA
ACÇÃO DA VIGA NO CABO
Fig. 3.2 – Acção dum cabo de pré-esforço numa viga
Segundo a lei da acção-reacção (3ª lei de Newton), as forças que o cabo exerce na viga são
iguais e de sinal contrário às forças que a viga exerce no cabo. Ora, visto que o cabo está em
equilíbrio, as forças a que está sujeito têm de estar em equilíbrio, isto é, têm de ter resultante
nula, o mesmo acontecendo com as forças que o cabo exerce na viga.
Assim, a acção do pré-esforço na viga é uma acção auto-equilibrada. Consequentemente,
numa viga isostática as reacções devidas ao pré-esforço são nulas, e numa viga hiperstática a
sua soma tem de ser nula, embora, individualmente, possam não sê-lo.
Setembro de 2007
III-1
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
2. Análise de vigas isostáticas
2.1.
Conceito de esforço isostático
Seja uma viga isostática e uma secção genérica S à distância x do apoio. A acção do cabo na
secção genérica S é equivalente a uma força de compressão com intensidade igual ao valor do
pré-esforço e direcção igual à direcção do cabo nessa secção (figura 3.3).
y
S
c.g.
x
S
x
S
S
M(x)
N(x)
e(x)
P(x)
α(x)
V(x)
S
S
Fig. 3.3 – Esforços equivalentes à acção do pré-esforço (esforços isostáticos)
Chama-se excentricidade do cabo à distância do cabo ao c.g. da secção e representa-se
habitualmente por e. Os esforços na secção genérica x, estaticamente equivalentes à acção do
pré-esforço, são, de acordo com a figura 3.3, iguais a:
N ( x ) = − P( x )
N ( x ) = − P( x ) cos α ( x ) ≈ − P( x )
V ( x ) = P( x ) sin α ( x ) ≈ P( x ) tan α ( x )
⇔
M ( x ) = − P( x ) cos α ( x ) e( x ) ≈ − P( x ) e ( x )
V ( x ) = P( x ) tan α ( x )
M ( x ) = − P( x ) e ( x )
Estes esforços designam-se por esforços isostáticos.
Nas expressões acima introduziu-se a seguinte simplificação: cosα ~ 1 e sinα ~ α ~ tgα,
aproximação esta válida para α pequeno. Em muitas aplicações práticas o ângulo α é
efectivamente um ângulo pequeno, tornando legítima a simplificação acima.
As expressões que acabamos de deduzir permitem-nos desenhar diagramas de esforços
devidos ao pré-esforço com relativa facilidade. O pré-esforço varia de secção para secção por
causa do atrito. No entanto, em muitas aplicações é admissível (e prático) considerá-lo
constante ao longo de um determinado comprimento, para o que se pode usar o valor médio
do pré-esforço nesse comprimento.
Setembro de 2007
III-2
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Exemplo 3.1
Traçar os diagramas de esforços devidos ao pré-esforço na seguinte viga:
e2
e1
P=cte
L1
L2
L1
Resolução
Aplicando o conceito de esforço isostático resulta imediatamente:
N
(-)
P
P2(e2-e1)
L1
(+)
V
(-)
Pe2
(-)
M
Pe1
Convém referir que o valor de P depende das acções que actuam depois da aplicação do préesforço, uma vez que o seu valor é afectado pela deformação da viga, sobretudo se o préesforço for do tipo aderente. Assim, por exemplo, suponhamos que após a aplicação do préesforço é aplicada uma determinada carga que provoca numa determinada secção um aumento
∆N de esforço axial e um aumento ∆M de momento flector. Então é fácil verificar recorrendo
à teoria das peças lineares que o aumento de tensão no aço de pré-esforço (admitindo
aderência perfeita) é dada por:
∆σ p =
E p ⎛ ∆N ∆M ⎞
+
e⎟
⎜
Ec ⎝ Ac
Ic ⎠
Na expressão acima, Ep e Ec designam o módulo de elasticidade do pré-esforço e do betão,
respectivamente; Ac e Ic designam a área e inércia da secção e e designa a excentricidade do
cabo de pré-esforço. É fácil comprovar a expressão acima. Com efeito, o esforço axial ∆N
provoca na secção uma variação de tensão ∆σc = ∆N / Ac e portanto uma variação de extensão
Setembro de 2007
III-3
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
de ∆εc = ∆N /(Ac Ec). O momento ∆M
tensão ∆σc = ∆M / Ic × e, e portanto
incremento de extensão total será a
aderência perfeita entre o betão e a
expressão acima.
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
provoca na secção, ao nível do cabo, uma variação de
uma variação de extensão de ∆εc = ∆M /(Ic Ec)×e. O
soma das duas parcelas. Ora, visto que se admite
armadura e ∆σp = Ep ∆εc, resulta imediatamente a
Vê-se assim que o valor do pré-esforço que actua na secção é afectado pelas cargas que
actuam após a aplicação do pré-esforço. Porém, em algumas aplicações, como por exemplo na
verificação da descompressão, é usual desprezar-se a influência que essas acções têm no valor
do pré-esforço.
Refira-se, finalmente, que o conceito de esforço isostático generaliza-se facilmente a um cabo
com traçado espacial.
z
ey
ez
β
P
α
x
y
Fig. 3.4 – Generalização do conceito de esforço isostático a um cabo espacial
Os esforços isostáticos na secção, estaticamente equivalentes à acção do pré-esforço, são
dados por:
N = − P cos α cos β
N =− P
V y = P sin α
V y = P tan α
Vz = P cos α sin β
≈
Vz = P tan β
T = − P (tan α × ez + tan β × e y )
T = − P (tan α × e z + tan β × e y )
M y = P cos α cos β ez
M y = P ez
M z = P cos α cos β e y
M z = P ey
A aproximação efectuada é admissível para α e β pequenos, podendo-se escrever:
Cosα ≈ cosβ ≈ 1; sinα ≈ tanα; sinβ ≈ tanβ
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III-4
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.2.
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Calculo de deformações devidas ao pré-esforço
Vimos no ponto anterior como desenhar diagramas de esforços devidos ao pré-esforço.
Veremos agora como calcular deformações.
Um dos métodos disponíveis para o cálculo de deformações é o conhecido método da carga
unitária, método este baseado, conforme sabemos, no principio dos trabalhos virtuais.
Recorda-se que, segundo este método, o deslocamento (ou rotação) num ponto qualquer da
estrutura, é dado pela expressão:
δ =∫
M 0M1
N N
TT
dx + ∫ 0 1 dx + ∫ 0 1 dx
EI
EA
GJ
onde:
−
M0, N0, T0, designam, respectivamente, o momento flector, o esforço axial e o
momento torsor, devidos à acção para a qual se pretende calcular o deslocamento;
−
M1, N1, T1, designam, respectivamente, o momento flector, o esforço axial e o
momento torsor, devidos a uma carga unitária (ou momento unitário) aplicado no
ponto onde se pretende calcular o deslocamento e com a direcção deste.
−
E e G, designam, respectivamente, o módulo de elasticidade e o módulo de distorção
da estrutura.
−
I, A e J, designam, respectivamente, a inércia de flexão, a área e a inércia de torção
das secções. Esta última é também conhecida como constante de S. Venant.
e
Exemplo 3.2
P=cte
A, I
L
L
Questões:
a) Determine a flecha na extremidade da consola por acção do pré-esforço.
b) Que modificações introduziria no traçado do cabo se desejasse aumentar a flecha?
c) Suponha que inverte a viga, mantendo no entanto o traçado original. Nestas
circunstancias, indique se a flecha aumenta, diminui ou se mantém constante.
Setembro de 2007
III-5
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Resolução
a) Dada a simetria da estrutura e da acção em apreço (pré-esforço), calcularemos a flecha
admitindo encastramento perfeito no pilar central. Há que desenhar os diagramas de
momentos devidos ao pré-esforço e devidos a uma carga unitária aplicada na extremidade da
consola. Tem-se:
1
M0
M1
1
Pe
d=
∫
L
M 0 M1
1 (
dx =
(+)
EI
EI
P×e
×
L
(+)
1
)
⇔
d=
2
5 Pe L
12 EI
b) As modificações a introduzir deverão vir no sentido de aumentar a área do diagrama M0 =
P×e. Pode-se, por exemplo, subir a cota do cabo na extremidade. Outra modificação seria, por
exemplo, criar um troço rectilíneo junto ao encastramento.
c) Se se invertesse a viga, o centro de gravidade iria subir e a área do diagrama M0 = P×e iria
diminuir, pelo que a flecha iria também diminuir.
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III-6
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
3. Análise de vigas hiperstáticas
conforme vimos no ponto anterior, a aplicação do pré-esforço impõe uma deformação na
estrutura. Se a estrutura for isostática, a deformação é totalmente livre, não havendo quaisquer
reacções nos apoios. Já se for hiperstática, a deformação imposta pelo pré-esforço não é livre,
surgindo esforços adicionais, designados por esforços hiperstáticos, ou, por vezes também
designados por esforços secundários. Os esforços totais obtêm-se somando os esforços
hiperstáticos com os esforços isostáticos, ou seja:
S tot = S iso + S hip
No caso da hiperstaticidade resultar da existência de ligações superabundantes ao exterior, a
deformação imposta pelo pré-esforço gera reacções. Os esforços hiperstáticos são o resultado
destas reacções. Ilustremos com o exemplo da figura 3.5:
Deformada (1)
L
L
Deformada real
R
R
2R
Mhip
(+)
R× L
V hip
R
(+)
(-)
R
Fig. 3.5 – Esforços hiperstáticos devidos ao pré-esforço
Neste exemplo, se o apoio central não existisse, a estrutura seria isostática e a deformada
imposta pelo pré-esforço seria a deformada (1). Acontece, porém, que o apoio existe, o que
equivale a introduzir uma carga vertical de forma a anular o deslocamento nessa secção. Os
esforços hiperstáticos resultam dessa carga, ou reacção, e têm o andamento indicado na figura
anterior.
O cálculo dos esforços hiperstáticos pode ser efectuado recorrendo ao conhecido método das
forças. Vejamos um exemplo:
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III-7
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Exemplo 3.3 – Determinemos os esforços hiperstáticos na viga da figura anterior.
P = cte
e
P = cte
⇔
L
L
⇔
X
"sistema base"
"estrutura dada"
P = cte
P = cte
+X
×
1
"0"
"1"
Fig. 3.6 – Aplicação do método das forças
Conforme se sabe, na aplicação do método das forças começa-se por escolher um sistema
base, ou seja uma estrutura isostática obtida da estrutura dada por libertação de esforços ou
reacções, tantos quantos os necessários para transformar a estrutura dada numa estrutura
isostática. Os esforços ou reacções libertados constituem as incógnitas hiperstáticas. No
exemplo acima, por se tratar de uma estrutura hiperstática do 1º grau, basta libertar apenas um
esforço ou reacção, tendo-se optado por libertar a reacção no apoio central.
O cálculo das incógnitas hiperstáticas é feito a partir das equações de compatibilidade. No
caso acima, a equação de compatibilidade consiste em igualar a zero o deslocamento no apoio
central, vindo:
δ =0
(1)
Decompondo este deslocamento nas parcelas “0” (acção do pré-esforço) e nas parcelas “1”
(acção da força unitária), tem-se:
δ = 0 ⇔ δ 0 + X × δ1 = 0 ⇔ X = −
δ0
δ1
Os deslocamentos δ0 e δ1 referem-se a estruturas isostáticas e podem ser calculados
recorrendo ao método da carga unitária:
M M
δ 0 = ∫ 0 1 dx ;
EI
M 12
δ1 = ∫
dx
EI
Há pois que desenhar os diagramas M0 e M1:
M1
2L
M0
L
P× e
L
1
(-)
(+)
L
2
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III-8
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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
δ0 = ∫
M 0M1
1
1 L
PeL2
dx = −
P×e× × 2×L = −
;
EI
EI
2 2
2 EI
δ1 = ∫
M 12
1
1 L2
L3
2×
dx =
×L =
;
3 4
6 EI
EI
EI
X =−
δ0
3Pe
=
;
δ1
L
O momento hiperstático, conforme vimos, tem variação linear e o seu valor junto ao apoio
central é igual a:
M hip =
3
X
× L = Pe
2
2
Verifica-se que o valor dos esforços hiperstáticos são sempre proporcionais ao valor do préesforço P, podendo escrever-se:
M hip = c P
O parâmetro c depende do traçado do cabo e da geometria da secção.
Poderíamos ter resolvido a estrutura usando outro sistema base, por exemplo libertando o
momento flector junto ao apoio central. Neste caso, a incógnita hiperstática seria o momento
nessa secção e o resultado teria de ser, obviamente, o mesmo.
Estruturas com grau de hiperstaticidade superior a 1
No caso de estruturas com grau de hiperstaticidade superior a 1, digamos n, a aplicação do
método das forças é inteiramente semelhante, com a diferença de que passamos a ter n
incógnitas e n equações de compatibilidade.
Vejamos um exemplo. Seja a viga representada na figura 3.7. Nesta viga o grau de
hiperstaticidade é n = 2. Na figura representa-se esquematicamente a aplicação do método das
forças.
Acção do PE
X1 X1
⇔
Acção do PE
X2 X2
⇔
Acção do PE
+ X1×
M0
M0 = P × e
1 1
+ X2 ×
M2
M1
1
1
Fig. 3.7 – Aplicação do método das forças a uma estrutura hiperstática do 2º grau
Setembro de 2007
1 1
III-9
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Por razões de compatibilidade, a rotação relativa na secção 1, representada por δ1, tem de ser
nula, o mesmo acontecendo com a rotação relativa na secção 2, δ2, ou seja:
⎧δ 10 + X 1δ 11 + X 2δ 12 = 0
⎧δ 1 = 0
;
⇔ ⎨
⎨
⎩δ 2 = 0
⎩δ 20 + X 1δ 21 + X 2δ 22 = 0
ou, usando notação matricial:
⎧δ 10 ⎫ ⎡δ 11 δ 12 ⎤ ⎧ X 1 ⎫ ⎧0⎫
⎨ ⎬+⎢
⎥×⎨ ⎬ = ⎨ ⎬;
⎩δ 20 ⎭ ⎣δ 21 δ 22 ⎦ ⎩ X 2 ⎭ ⎩0⎭
As equações de compatibilidade podem ser escritas na seguinte forma genérica:
{δ i 0 }+ [δ ij ]× {X i } = {0};
ou ainda
{δ }+ [F ]× {X } = {0};
onde:
- {δ } representa o vector dos termos independentes;
- [F ] representa a matriz de flexibilidade;
- {X } representa o vector das incógnitas hiperstáticas;
Os termos da matriz de flexibilidade são dados por:
δ ij = ∫
MiM j
EI
dx + ∫
Ni N j
EA
dx + ∫
Ti T j
GJ
dx
Consideração da variabilidade de P com x
No caso de desejarmos ter em conta a influência do atrito aço-bainha, o valor de pré-esforço
não é constante ao longo da viga, o que conduz a andamentos do diagrama
M ( x ) = − P( x ) e ( x ) mais complicados. O cálculo dos integrais acima torna-se um pouco
mais complicado e é feito normalmente recorrendo a métodos numéricos, como o método dos
trapézios ou o método de Simpson.
Setembro de 2007
III-10
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
4. Conceito de carga equivalente à acção do pré-esforço
Conforme já vimos, admitindo a hipótese de que o ângulo que o cabo faz com o eixo da viga é
pequeno, os momentos isostáticos devidos ao pré-esforço são dados por:
M ( x ) = − P ( x ) × e( x )
(1)
onde e(x) designa a excentricidade do cabo de pré-esforço (figura 3.8).
e(x)
Fig. 3.8 – Excentricidade do cabo de pré-esforço
A partir da equação (1), podemos calcular a carga equivalente à acção do pré-esforço,
recorrendo às conhecidas equações diferenciais de equilíbrio:
V=
dM
;
dx
p=−
dV
dx
Admitindo a hipótese de que o pré-esforço é constante ao longo da viga, tem-se:
V=
dM
= − P × e ' ( x) ;
dx
p eq = −
e
dV
= P × e ' ' ( x) ;
dx
(2)
Particularizando agora para o caso dum cabo com traçado parabólico, a excentricidade e(x)
terá uma equação do tipo: e( x ) = ax 2 + bx + c ; e as respectivas derivadas têm as seguintes
expressões:
e ' ( x ) = 2ax + b ;
e ' ' ( x ) = 2a
(3)
A segunda derivada da excentricidade é, pois, uma constante, função da geometria da
parábola. O parâmetro a da parábola é, conforme sabemos, dado por: a = f / L2, onde f designa
a flecha da parábola e L o seu comprimento.
Substituindo a equação (3) em (2), obtém-se a expressão para a carga equivalente:
p eq =
2fP
L2
Constata-se assim que( admitindo validas as hipóteses anteriores) a carga equivalente à acção
do pré-esforço é uma carga uniforme, função da força no cabo e da geometria da parábola e
independente da posição do centro de gravidade da secção.
Na figura seguinte resume-se o conceito de carga equivalente:
Setembro de 2007
III-11
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
peq
P
2fP
L2
f
HIPOTESES:
- P = cte
-Traçado parabólico
- α pequeno
tg=0
P
α
peq =
L
Fig. 3.9 – Sistema de cargas equivalentes à acção do pré-esforço
Como exercício, sugere-se ao leitor comprovar que o sistema de cargas equivalentes
representado na figura 3.9 tem resultante nula, isto é, verifica as equações de equilíbrio:
∑F
x
=0 ;
∑F
y
∑M = 0;
=0;
Conforme vimos, admitiu-se a hipótese do pré-esforço ser constante ao longo da viga, o que,
na prática, em geral não se verifica, por causa do atrito. No entanto, em muitos casos, a
variação de pré-esforço num determinado troço de parábola é pequena, sendo perfeitamente
admissível adoptar, nesse troço, o valor médio do pré-esforço.
Como se disse acima, a carga equivalente não depende da posição do centro de gravidade,
mas somente da flecha do cabo. Assim, mesmo em vigas de altura variável o conceito de
carga equivalente é de fácil aplicação. Vejamos um exemplo:
h
c
d
Exemplo 3.4 – Pretende-se definir o sistema de cargas equivalentes na seguinte viga:
L
Resolução
peq
peq
M
M
P
P
V
p eq =
2 f P 2 × (c − d ) × P
=
;
L2
L2
Setembro de 2007
V
h
M = P × e = P × ( − c) ;
2
III-12
V = Ptgα = P
2 × (c − d )
L
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
*** Problemas propostos ***
Problema 3.1 (Conceito de esforço isostático)
Desenhe os diagramas de esforços devidos ao pré-esforço nas seguintes vigas, em função de
P, que se admite constante ao longo da viga:
P = 2100 KN
e)
e
0.10
P = cte
L1
r
p
g)
0.80
1.00
0.90
6.00
e2
e1
P = 2000 KN
f)
6.00
6.00
6.00
P = cte
e1
L2
p
e1
L1
8.00
0.10
e
0.45
b)
c)
8.00
1.00
L
0.3
0.6
e2
a)
L
r
p
r
h)
e1
L1
e2
L2
e1
L1
d)
P = 2000 KN
0.10
2.00
8.00
1.00
8.00
0.10
0.50
L
FACE INFERIOR PARABÓLICA
10.00
Setembro de 2007
III-13
Var.
1.00
0.65
1.00
0.65
CABO RECTILÍNEO; P = 3000 KN
0.50
i) (Exame 8/7/2005)
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Problema 3.2 (Calculo de deslocamentos pelo método da carga unitária)
Recorrendo ao Método da Carga Unitária, calcule as flechas devidas ao pré-esforço nas
seguintes vigas, admitindo que o pré-esforço tem o valor P e é constante ao longo da viga. As
flechas a calcular são a meio vão no caso das vigas simplesmente apoiadas e na extremidade
no caso das consolas.
P = cte
a)
(R : f =
e
(1)
P e L2
)
8EI
L
(R : f =
e
(2)
5PeL2
)
48EI
e
b)
e
L
L
L
(1)
(2)
PeL2
(R : f =
)
2EI
(R : f =
5PeL2
)
12EI
P (Cabo exterior)
c)
e
(R : f =
a
b
a
P (Cabo exterior)
(R : f =
e
d)
a
Setembro de 2007
Pe (4a + b)b
)
8EI
b
a
III-14
[
Pe 3b(4a + b)+ 8a 2
24EI
])
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Problema 3.3 (Levantamento da hiperstaticidade pelo Método da Forças)
Recorrendo ao Método das Forças, desenhe os diagramas de esforços hiperstáticos associados
ao pré-esforço (Mhip, Vhip) e determine as respectivas reacções nas seguintes vigas:
e
a)
L
L
(R: Mhip = - P e)
P = 900 KN
0.10
0.40
0.10
b)
12.00
15.00
(R: M = - 315 KNm)
0.80
0.25
0.25
P = 1500 KN
c)
0.30
6.00
3.60
3.60
3.60
3.60
6.00
(R: M = 27.1 KNm)
Determine também a tensão na fibra superior no apoio central devido ao pré-esforço
5.00
5.00
5.00
5.00
0.15
5.00
5.00
1.20
1.50
5.00
0.30
0.15
5.00
0.60
0.60
5.00
P = 2500 KN
0.60
d)
5.00
0.80
15.00
20.00
15.00
Determine também a tensão na fibra inferior no vão central devido ao pré-esforço
a
P
a
C
e
e)
B
A
L
L
[R: M = - 3
P
a
e
e
L
Setembro de 2007
a
) P e]
2L
P
a
f)
a
(1 L
III-15
(R: M = -
2ae
L
P)
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
P
g)
[R: M =
e
3
2
Pe(
a
L
2
) ]
a
L
h)
P=1500 KN
0.38
1.00
4.50
0.50
1.00
0.28
0.50
0.50
0.50
20.00
Problema 3.4 (Conceito de carga equivalente à acção do pré-esforço)
Defina o carregamento equivalente à acção do pré-esforço nas seguintes vigas:
P = 3600 KN
0.80 0.45
0.12
0.95
4.00
8.50
8.50
4.00
r
p
p
r
25.00
Determine por dois processos os esforços internos em A, devidos á acção do pré-esforço
Setembro de 2007
2.00
III-16
8.00
1.00
0.75
8.00
P = 2000 KN
0.10
1.50
0.10
.5 .5
b)
1.25
A
a)
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
P = 1500 KN
0.25
0.25
c)
6.00
3.60
3.60
3.60
3.60
6.00
SUGESTÃO: Modelar esta viga no SAP2000, introduzir as cargas equivalentes,
determinar o momento hiperstático e comparar com o valor calculado no problema anterior.
P = 2100 KN
0.10
d)
0.30
0.60
1.00
8.00
1.00
8.00
Determine, recorrendo ao conceito de carga equivalente, os esforços
internos na secção a 5.00 m do apoio.
Confirme os esforços calculados, recorrendo á definição de esforço isostático.
e)
e1
e1
e2
P = cte
L
P (Cabo exterior)
e
f)
a
b
a
Problema 3.5 (Exame de época especial 29/10/2005)
Determine a equação da carga equivalente ao pré-esforço, peq(x), para o traçado genérico
representado na figura, admitindo que a força de pré-esforço é igual P e é constante ao
longo do cabo:
peq (x)
y
vi
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
x
P
Setembro de 2007
III-17
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas
Problema 3.6 (1º Teste 5/05/2005)
Considere a seguinte viga hiperstática, pré-esforçada com o cabo assinalado. Responda às
seguintes questões:
P=1000 KN
0.30
0.30
5.00
5.00
10.00
10.00
a) Desenhe os diagramas de esforços isostáticos (N, V e M) devidos ao pré-esforço
b) Recorrendo ao método das forças, desenhe o diagramas de esforços hiperstáticos
(Nhip, Vhip e Mhip).
c) Determine as reacções devidas ao pré-esforço.
d) Defina o carregamento equivalente à acção do pré-esforço.
e) Desenhe o diagrama de corpo livre do cabo e marque todas as forças que nele actuam.
Problema 3.7 (Exame de época especial 4/4/2007)
Considere a seguinte viga hiperstática pré-esforçada. Admita que a reacção em A devida ao
pré-esforço é de 50 KN e dirigida para cima. Quantifique e desenhe os diagramas de
esforços hiperstáticos, Mhip e Vhip.
A
B
C
14.00
18.00
Problema 3.8 (Exame de época especial 20/11/2006)
Trace qualitativamente o diagrama de momentos hiperstáticos devidos ao pré-esforço no
seguinte pórtico:
Setembro de 2007
III-18
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Cap. IV – Escolha do traçado e da força a aplicar
1. Ideias gerais
A escolha do traçado dos cabos não oferece dificuldade de maior. A ideia básica consiste em
posicionar os cabos nas zonas onde ocorrem tracções, procurando-se que os momentos
isostáticos do pré-esforço (M = P×e) tenham andamento semelhante aos momentos devidos às
cargas permanentes.
Ilustremos este princípio simples com uma viga de dois vãos.
Mg
P.I.
c.g.
Fig. 4.1 – Viga de dois vãos. Ilustração da escolha do traçado dos cabos
Na secção de origem, o cabo foi posicionado com excentricidade nula, pois o momento é aí
nulo. Nas secções de momento máximo positivo e negativo, o cabo foi posicionado com
excentricidade máxima. Entre estas duas secções houve necessidade de criar um ponto de
inflexão, optando-se por localizá-lo a uma distância do apoio de um decimo do vão.
O exemplo acima mostra que na maioria dos casos, o traçado dos cabos fica automaticamente
definido por leitura directa do diagrama de momentos flectores, não se justificando grandes
estudos de optimização.
Os traçados curvos serão preferencialmente parabólicos, por dois motivos principais.
Primeiro, a parábola é a curva mais simples logo a seguir à recta. Segundo, se a
excentricidade do cabo variar parabolicamente, então o momento isostático devido ao préesforço também variará (admitindo P=cte) parabolicamente, o que vem ao encontro dos
momentos devidos às cargas exteriores que, se forem constantes, também variarão
parabolicamente.
As parábolas desempenham assim um importante papel na definição dos traçados dos cabos.
Vale a pena, pois, rever alguns conceitos acerca destas curvas. No anexo C é feita essa
revisão, incluindo algumas regras para o cálculo de pontos de inflexão por simples construção
geométrica. Estas regras são muitas úteis, especialmente quando se trabalha em Autocad.
Setembro de 2007
IV-1
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
2. Ajustamento do traçado para melhor aproveitamento dos momentos
hiperstáticos
Uma vez definido o traçado dos cabos, o passo seguinte será calcular os momentos
hiperstáticos associados a esse traçado, em função da força de pré-esforço P. No exemplo
acima, fica evidente que os momentos hiperstáticos são positivos, pois a área dos cabos
abaixo do c.g. é bastante superior à área acima. Assim, neste exemplo, os momentos
hiperstáticos são favoráveis no apoio e desfavoráveis no vão.
Admitamos para já que a força de pré-esforço, P, é constante ao longo do cabo. Conforme
vimos no capítulo anterior, os momentos hiperstáticos são proporcionais a P, podendo
escrever-se:
M hip ( x) = c( x) P
(4.1)
Pode-se acrescentar que c(x) é uma função linear de x e depende do traçado do cabo de préesforço e da posição do centro de gravidade da secção. Se recorrermos ao calculo automático
para calcularmos os momentos hiperstáticos, recorrendo por exemplo ao conceito de carga
equivalente, pode-se atribuir a P o valor unitário.
Uma vez calculados os momentos hiperstáticos, determina-se seguidamente o valor de P
escolhendo previamente um determinado critério. Conforme veremos no ponto 5 deste
capítulo, o critério mais comum, mas não único, é o que tem por base o anulamento das
tensões de tracção nas fibras extremas que ficariam traccionadas se não existisse pré-esforço
(estado limite de descompressão). Ou seja, P será tal que σ ≤ 0 nas fibras extremas
(superiores e inferiores). Tem-se, pois:
σ ≤0 ⇔
Ms
Pe
P cP
v−
v− ±
v ⇔ P≥
I
I
A I
Ms
I
e+
±c
Av
(4.2)
Nesta equação Ms representa o momento de serviço na secção, calculado por uma expressão
do tipo Ms = Mg + ψ Mq. I e A representam, respectivamente, a inércia e a área da secção. e
designa a excentricidade do cabo na secção e v a distância do centro de gravidade à fibra onde
existiriam tracções se não existisse pré-esforço (fibra superior, vs, ou fibra inferior, vi). O
coeficiente c é o indicado na expressão (4.1). Relativamente ao sinal, é fácil verificar que se
deve usar o sinal “+” se o momento hiperstático for favorável e sinal “–“ no caso contrário.
A expressão (4.2) é aplicada nas secções determinantes, escolhendo-se depois o pré-esforço
máximo obtido nas diferentes secções.
Nesta fase poderá justificar-se introduzir modificações pontuais ao traçado anteriormente
definido. Por exemplo, suponhamos que o pré-esforço necessário no apoio é bastante superior
ao do vão, o que de resto até é de esperar no exemplo acima, já que o momento negativo é
superior ao positivo e a excentricidade dos cabos no apoio é inferior à excentricidade no vão.
Setembro de 2007
IV-2
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Num caso assim, poderá valer a pena tentar aumentar os momentos hiperstáticos a fim de
reduzir essa diferença. Tais momentos poderão ser aumentados alterando o traçado de forma a
aumentar a área do cabo abaixo do c.g., como por exemplo:
−
baixar a cota inicial do cabo, posicionando a ancoragem abaixo do c.g., mas ainda
dentro do núcleo central;
−
criar um troço recto horizontal na zona do vão;
−
aproximar o P.I. do apoio.
A criação de troços rectos horizontais é uma medida eficaz se desejarmos alterar o valor dos
momentos hiperstáticos. Um troço recto no vão faz aumentar os momentos hiperstáticos, isto
é, torna-os mais positivos. Um troço recto junto aos apoios faz baixá-los, isto é, torna-os
menos positivos (ou mais negativos).
Se após estas modificações, o pré-esforço necessário à verificação da descompressão no apoio
e vão continuarem a diferir significativamente, poder-se-á estudar um layout dos cabos que
conduza a uma área de pré-esforço no apoio superior à do vão. No exemplo a seguir, a
disposição de cabos conduz a: Ap,apoio = 1.5×Ap,vão.
P.I.
c.g.
3
1
2,3
1,2
1
2
3
Fig. 4.2 – Disposição de cabos que conduz a maior pré-esforço no apoio do que no vão
3. Acessibilidade das ancoragens
Um outro aspecto a ter em conta na escolha do traçado dos cabos tem a ver com o facto de
pelo menos uma das ancoragens do cabo ter de ser acessível, de forma a ser possível realizar o
tensionamento. No exemplo da figura 4.2, o esticamento será realizado pelas extremidades
junto aos apoios extremos e as ancoragens junto ao apoio central poderão ser passivas.
Em outros casos haverá necessidade de tornar as ancoragens acessíveis usando um dos
seguintes métodos:
− execução de juntas de betonagem;
− criação nichos (figura 4.3);
− criação de maciços salientes (figura 4.4).
Setembro de 2007
IV-3
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Fig. 4.3 – Criação de um nicho para realizar o esticamento
Fig. 4.4 – Criação de uma bossage a fim de tornar a ancoragem acessível para o esticamento
As dimensões dos nichos e das bossages são função das dimensões do macaco a usar e devem
permitir que o macaco seja posicionado sem tocar lateralmente em nenhum elemento. Se tal
acontecesse, a força seria aplicada de forma excêntrica, o que poderia danificar o betão nas
imediações da ancoragem, ou mesmo partir a ancoragem.
Nas figuras seguintes mostram-se fotografias de soluções destinadas a tornar as ancoragens
acessíveis:
Fig. 4.5 – Bossage na laje inferior
Fig. 4.6 – Bossage na laje superior
Setembro de 2007
IV-4
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Fig. 4.7 – Espessamento da alma de uma viga
Fig. 4.8 – Nicho junto à face superior (se a ancoragem for passiva, as armaduras não precisam ser
cortadas)
Setembro de 2007
IV-5
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
4. Troços rectos junto às ancoragens. Raios mínimos
A fim de facilitar a instalação das ancoragens e, consequentemente, minimizar possíveis erros
na sua montagem, é usual prever troços rectilíneos com cerca de 1 m junto às ancoragens. No
caso dos acoplamentos, o comprimento deve ser superior ao comprimento do funil, pelo que 1
m pode não ser suficiente.
Nas zonas curvas, há também raios mínimos a respeitar. Raios muito pequenos aumentam as
forças de desvio e consequentemente as perdas por atrito. Um valor usualmente empregue é o
que se obtém a partir da seguinte expressão: Rmin = 3 Puk
[m], onde Puk designa a força
última do cabo, expressa em [MN]. Por exemplo, para um cabo de 19 cordões da classeY1860
S7 15.2, o raio mínimo será de: R = 3 1860 × 10 −6 × 19 × 140 = 6.7 m;
No quadro seguinte apresenta-se os raios mínimos para diferentes tipos de cabos obtidos a
partir da expressão acima:
Quadro 4.1 – Raios mínimos
N.º de cordões
Rmin
4
3
7
4
12
5
15
6
19
7
25
8
27
8
5. Recobrimentos e afastamentos mínimos
a) Recobrimento mínimo
O traçado dos cabos é também limitado pela necessidade de respeitar recobrimentos e
afastamentos mínimos. Como regra geral, o recobrimento mínimo a respeitar, c, é igual ao
diâmetro da bainha, não precisando contudo ser superior a 80 mm [EC2 §4.4.1.2 (3) nota]. De
acordo com o EC2 estes 80 mm são suficientes para garantir quer a protecção adequada do
aço contra a corrosão, quer a transmissão eficaz das forças de aderência.
b) Afastamento mínimo
Como regra geral, o afastamento mínimo do cabo, a, é igual ao diâmetro da bainha. Para
pormenores ver EC2 §8.10.1 (3).
Setembro de 2007
IV-6
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
c
c
a
ADMISSÍVEL
Recobrimento e afastamento
NÃO ACONSELHÁVEL
Agrupamento de cabos
Fig. 4.9 – Recobrimento, afastamento e agrupamento de baínhas
c) Agrupamento de bainhas.
Pese embora a necessidade de respeitar afastamentos mínimos, é admissível agrupar cabos. O
agrupamento está, contudo, limitado a dois cabos, e na vertical (figura 4.9).
Compreende-se que o agrupamento na horizontal não seja aconselhável. Tal conduz a uma
redução substancial na largura da alma, o que diminui a resistência das bielas de betão e
consequentemente a resistência ao esforço transverso. Por outro lado, o agrupamento na
horizontal prejudica a vibração do betão com a consequente possibilidade de formação de
“chochos” debaixo dos cabos.
Relativamente ao agrupamento na vertical, embora seja admissível, se se poder evitar melhor.
Na verdade, existe a possibilidade de, ao injectar um cabo, passar calda para o cabo adjacente,
o que poderia trazer dificuldades na injecção deste.
No que se refere às ancoragens, é necessário prever espaço suficiente para instalá-las, tendo
em conta que as hélices que normalmente as acompanham, têm de ter, elas próprias,
recobrimentos aceitáveis. Também, sempre que possível, deve-se evitar que fiquem muito
próximas, pois quanto mais próximas estiverem, maior é a resistência exigida ao betão à data
de aplicação de pré-esforço.
Convém referir ainda que as dimensões dos elementos estruturais devem ser estabelecidas de
forma a que seja possível alojar os cabos e ancoragens de maneira folgada. As limitações de
espaço podem conduzir a traçados complicados, mais difíceis de materializar e com maiores
perdas por atrito. Aliás, as dimensões dos elementos estruturais são condicionadas muitas
vezes, não por razões de resistência necessária, mas, justamente, pelo espaço mínimo
necessário à instalação do pré-esforço.
6. O traçado dos cabos e processo construtivo
O traçado dos cabos está intimamente associado ao processo construtivo. Por exemplo, o
traçado de cabos a adoptar num viaduto construído tramo a tramo é totalmente diferente do
traçado a adoptar num viaduto construído por avanços em consola. Estes aspectos serão
desenvolvidos em pormenor na cadeira de Pontes e Viadutos.
Setembro de 2007
IV-7
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
7. Escolha da força de pré-esforço a aplicar
O critério para definir a força de pré-esforço a aplicar varia, mas o mais comum é o que tem
por base o anulamento de tensões de tracção (estado limite de descompressão). Assim, o valor
de pré-esforço é estabelecido de forma a anular as tensões de tracção nas fibras extremas que
ficariam traccionadas se não houvesse pré-esforço. A combinação a usar será a quase
permanente ou a frequente, dependendo da agressividade do meio ambiente.
De acordo com o EC2 tabela 7.1 N, se a classe de exposição ambiental for do tipo XC2, XC3
ou XC4, a descompressão deve ser garantida para a combinação quase permanente. Se a
classe de exposição for XD1, XD2, XS1, XS2 ou XS3, a descompressão deve ser garantida
para a combinação frequente.
A experiência tem mostrado que, garantida a descompressão para a combinação quase
permanente de acções, a segurança aos restantes estados limites de serviço fica em geral
satisfeita. Também em relação aos estados limites últimos as armaduras passivas necessárias,
ou são as mínimas, ou um pouco superiores. Portanto, do ponto de vista dos estados limites,
fixar a força de pré-esforço de forma a anular as tracções para uma combinação quase
permanente, é um critério racional e económico. Garantir a descompressão para uma
combinação frequente ou superior só se justifica em casos de elevada agressividade do
ambiente.
Em casos especiais, dependendo do objectivo por que se adopta pré-esforço, pode haver
conveniência em adoptar outros critérios, como seja o anulamento de um esforço (momento
flector, esforço transverso ou esforço normal), anulamento de uma flecha, etc. Estes critérios
alternativos conduzem normalmente a valores superiores de pré-esforço.
No ponto 1 deste capítulo, vimos como calcular o pré-esforço necessário à verificação da
segurança ao estado limite de descompressão – expressão (4.2). Visto que o pré-esforço vai
diminuindo ao longo do tempo, o pré-esforço assim calculado deve ser encarado como o préesforço a longo prazo, P∞. Torna-se necessário calcular, pois, as perdas diferidas e
instantâneas (assunto a tratar no capítulo VII) de forma a calcular a força de esticamento,
Pmax. O valor máximo da tensão de esticamento, σp,max, é fixado pelos regulamentos, pelo que,
conhecida a força de esticamento, a área de pré-esforço é calculada por Ap = Pmax / σmax.
Uma vez definida a área de pré-esforço escolhe-se o n.º de cordões e, bem assim, o n.º de
cabos. Por razões económicas, deve-se, sempre que possível, escolher cabos que utilizem toda
a capacidade das ancoragens disponíveis no mercado. A capacidade das ancoragens é muito
idêntica entre os diferentes sistemas comerciais de pré-esforço. Quase todos eles têm
ancoragens para 4, 7, 12, 15, 19, 22, 27 e 31 cordões. Suponhamos, por exemplo, que o
cálculo conduziu a cabos de 18 cordões. Num caso assim é preferível adoptar cabos de 19
cordões, pois, nessas circunstâncias, o dono de obra terá sempre de pagar uma ancoragem
com capacidade para 19 cordões e seria desperdício não aproveitar a total capacidade da
ancoragem. O ligeiro aumento de pré-esforço pode ser compensado com uma correspondente
diminuição de armadura passiva.
Setembro de 2007
IV-8
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Relativamente à tensão de esticamento, O REBAP artigo 36.º fixa os valores máximos da
tensão a aplicar num cabo em 0.75 do valor característico da tensão de rotura (fpk) ou 0.85 do
valor característico da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0.1% (fp0.1k),
escolhendo-se o menor dos dois.
O EC2 §5.10.2.1 subiu esses limites para, respectivamente, 0.80 e 0.90, podendo este último
subir para 0.95, caso a precisão nos equipamentos de medição seja de pelo menos ±5%. Isto
sem dúvida reflecte um aumento de confiança na qualidade dos aços produzidos.
Exemplo 4.1 – Vamos especificar a tensão de esticamento para um aço da classe Y1860,
fabricado segundo a norma EN 10132. De acordo com esta norma, esse aço terá fp0.1k = 1600
MPa. Assim, tem-se
⎧0.75 × 1860 = 1395⎫
⎬ = 1360 MPa
⎩0.85 ×1600 = 1360 ⎭
Segundo o REBAP:
σ p ,max = min ⎨
Segundo o EC2:
σ p ,max = min ⎨
⎧0.80 × 1860 = 1488⎫
⎬ = 1488 MPa;
⎩0.90 × 1600 = 1440 ⎭
Há, no entanto, uma característica dos aços que não recebe normalmente muita atenção. Diz
respeito ao limite elástico, isto é, a tensão correspondente ao início da curvatura no diagrama
σ-ε. Uma leitura atenta aos diagramas reais dos aços mostra que este limite se situa entre 0.85
e 0.90 de fp0.1k. Isto significa que os valores estipulados pelo EC2 estão claramente próximos
do limite elástico, podendo até ultrapassá-los. Ora, como é do bom senso, não é bom que se
ultrapasse o limite elástico, pois isso tenderia a aumentar os alongamentos medidos, com as
consequentes dificuldades de interpretação que isso traria.
A tensão de esticamento deve sempre ser especificada no projecto de execução. Todavia,
pelas razões apontadas acima, é prudente especificar no projecto uma tensão inferior ao limite
máximo recomendado no EC2, deixando uma margem para a eventualidade de, em obra, ser
necessário aplicar alguma sobretensão nos cabos a fim de compensar eventuais perdas por
atrito que venham a ser superiores às previstas.
Juntamente com os aspectos mencionados acima, deve-se levar em conta o facto de ser muito
difícil garantir que os cordões dum mesmo cabo tenham a mesma tensão. Haverá sempre
cordões com tensão inferior e outros com tensão superior em relação ao valor médio aplicado.
Isto acontece por 3 razões principais: por um lado as cunhas do macaco que agarram os
cordões podem não possuir o mesmo grau de aperto inicial o que faz com que os cordões não
comecem a ser esticados ao mesmo tempo. Por outro lado, os cordões dentro da bainha
poderão possuir folgas diferentes, o que também contribui para que comecem a receber tensão
de modo diferenciado. Finalmente, pode acontecer que os cordões dum mesmo cabo
pertençam a bobines com módulos de elasticidade diferentes, o que também vai influenciar a
tensão que cada cordão recebe. Assim, se estivermos a trabalhar com uma tensão muito
próxima do limite elástico, é muito provável que alguns dos cordões fiquem com uma tensão
superior a esse limite.
Setembro de 2007
IV-9
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Uma vez definida a tensão de esticamento, σp,max , é necessário efectuar as seguintes
verificações:
a) A tensão nos cabos após perdas instantâneas, σ p 0 ( x) , não deve exceder os seguintes
valores [EC2 §5.10.3 (2)]:
⎧⎪ 0.75 f pk
⎪⎩0.85 f p 0.1k
σ p 0 ( x) ≤ ⎨
b) A tensão de compressão no betão, no momento da aplicação do pré-esforço não deve
exceder o seguinte valor [EC2 §5.10.2.1 (5)]
σ c ≤ 0.60 fck (t )
Onde fck(t) designa o valor característico da resistência à compressão do betão no
momento de aplicação do pré-esforço (idade t).
8. Cálculo de tensões em secções de betão pré-esforçado
A verificação da segurança de um elemento pré-esforçado passa quase sempre pelo cálculo de
tensões. Se, para a combinação de acções em causa, a secção estiver totalmente comprimida,
ou se, havendo tracções, estas forem inferiores ao valor médio da resistência do betão à
tracção, fctm, o calculo das tensões será feito em fase não fendilhada, descontado os vazios
correspondentes à eventual existência de cabos ainda não aderentes (não injectados). Note-se,
porém, que se ignoramos tais vazios estaremos do lado da segurança do ponto de vista da
descompressão, pois as compressões que se obtêm desprezando os vazios são inferiores às
compressões reais.
Salienta-se ainda o facto da presença das armaduras passivas ser desfavorável do ponto de
vista da descompressão, e isto por duas razões principais. Primeiro, porque parte da
compressão devida ao pré-esforço é absorvida pelas armaduras, pelo que as tensões de
compressão que se obtêm desprezando a sua presença, são superiores às reais, e, portanto,
contra a segurança. Segundo, as armaduras passivas tendem a opor-se aos efeitos diferidos
(retracção e fluência), o que faz diminuir a compressão do betão.
Assim, se desejarmos calcular as tensões com maior rigor, deve-se levar em conta a presença
das armaduras, calculando as tensões em secção homogénea. Para este efeito, o valor do
coeficiente de homogeneização α = Es/Ec deverá reflectir a influência da duração das acções
sobre o valor do módulo de elasticidade do betão. Nos casos correntes poderá considerar-se α
= 18 para acções permanentes a longo prazo e α = 6 para acções permanentes a curto prazo e
acções variáveis (REBAP artigo 69.º). Note-se que a influência da duração das acções pode
ser tida em conta de forma simplificada substituindo o modulo de elasticidade Ec por
Ec / (1 + ϕ), pelo que o coeficiente de homogeneização, variável ao longo do tempo, será dado
por α = Es/Ec×(1+ϕ).
Setembro de 2007
IV-10
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Em algumas aplicações, porém, desprezar a presença das armaduras é compensado ao se
desprezar também os vazios correspondentes às bainhas não injectadas, pelo que a tensão
calculada desse modo simplificado pode ser ainda aceitável.
Setembro de 2007
IV-11
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
*** Problemas propostos ***
Problema 4.1 (Estudo das parábolas)
Relativamente ao cabo esquematizado na figura seguinte:
4
5
1.00
3.50
1.50
y5
0.67
6
1.00
Recta
0.42
2
1
4.00
y3
0.42
0.08
0
0.08
3
1.00
Recta
a) Determine a tangente em “0”
b) Escreva a equação da parábola 0-1
c) Determine as cotas y3 e y5
d) Determine os raios de curvatura das parábolas 3-4 e 4-5.
Problema 4.2 (Escolha do traçado dos cabos)
Considere a viga representada na figura:
q
g
20.00
5.00
Características mecânicas da secção:
A = 0.41 m 2
I = 0.04 m 4
vs = 0.39 m
vi = 0.61 m
As acções são as seguintes:
• Permanentes:
g = 25 KN/m (peso próprio incluído)
• Variáveis
q = 5 KN/m (ψ0 = 0.70; ψ1 = 0.50 ψ2 = 0.30)
a) Proponha um traçado de cabos ajustado às cargas permanentes. Considere que o
diâmetro das bainhas é de 60 mm. Justifique as opções que tomou.
b) Determine o pré-esforço mínimo nas secções de vão e apoio por forma a anular as
tensões de tracção devidas à combinação frequente de acções.
c) Que modificações introduziria ao traçado proposto caso desejasse aumentar o
deslocamento na extremidade da consola devida ao pré-esforço?
Setembro de 2007
IV-12
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
Problema 4.3 (Características mecânicas das secções; secção homogénea)
Seja a secção representada na figura:
0.12
2 cabos 7 cordões cada
0.05
0.10
1.00
2.50
4Ø20
AREA DE CADA CORDÃO: 1.4 cm2
0.30
DIÂMETRO DAS BAÍNHAS: 6 cm
a) Determine as características mecânicas da secção (c.g., área e inércia) considerando a
secção bruta de betão (i.e. ignorando a existência de cabos de pré-esforço e armaduras
passivas).
b) Determine as mesmas características, mas agora em secção homogénea:
1) curto prazo e bainhas ainda não injectadas;
2) curto prazo e bainhas injectadas;
3) longo prazo e bainhas injectadas.
Adopte para o coeficiente de homogeneização, α, os seguintes valores: 6 e 18,
respectivamente curto e longo prazo.
Problema 4.4 (Cálculo de tensões em secções de betão armado pré-esforçado)
Considere uma viga simplesmente apoiada com 23 m de vão. A secção da viga é a secção
indicada no problema 4.3 e as acções são as seguintes:
−
Peso próprio
−
Pré-esforço:
−
Restante carga permanente: 5 KN/m
−
Sobrecarga:
( P0 = 1200 KN/cabo; P∞ = 1025 KN/cabo)
15 KN/m (ψ0 = 0.60; ψ1 = 0.40; ψ2 = 0.30)
a) Determine a tensão na fibra inferior a longo prazo, a meio vão, devida à combinação
quase permanente de acções, nas seguintes situações:
1) considerando a secção bruta de betão, isto é, desprezando a presença dos cabos
de pré-esforço e armaduras passivas;
2) considerando as característica da secção homogénea determinadas no problema
1.1. Considere que a aplicação da restante carga permanente dá-se após
injecção das bainhas.
Setembro de 2007
IV-13
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IV – Escolha do traçado e da força
b) A consideração de um coeficiente de homogeneização superior a 6 pretende traduzir
que efeito?
c) Descreva a influência da presença das armaduras passivas no calculo de tensões em
secções de betão armado.
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IV-14
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
Cap. V – Execução do pré-esforço
1. Introdução
Este capítulo abordará essencialmente aspectos práticos ligados à execução do pré-esforço por
pos-tensão. Recorda-se que as duas técnicas principais de pré-esforço são a pré-tensão e a
pos-tensão. Conforme já referido, na pré-tensão o pré-esforço é aplicado antes da betonagem e
na pos-tensão o pré-esforço é aplicado depois da betonagem.
A técnica da pré-tensão é usada sobretudo nas estruturas pré-fabricadas e consiste
basicamente em esticar os aços de pré-esforço e em seguida betonar a viga. Logo que o betão
ganhe resistência suficiente, os macacos são libertados, transmitindo-se a força de pré-esforço
ao betão. A transmissão da força ao betão dá-se integralmente por aderência, não havendo
qualquer necessidade órgãos de amarração nas extremidades. Os betões usados são
normalmente de elevada resistência e sujeitos a tratamento térmico de vapor, o que conduz a
endurecimentos do betão mais rápidos, possibilitando aplicar o pré-esforço algumas horas
após a betonagem.
Na pré-tensão os aços a utilizar poderão ser tanto fios como cordões. Se se desejar que alguns
dos cordões só transmitam pré-esforço a partir de um certo comprimento da extremidade,
deverão ser embainhados nesse comprimento. Na pos-tensão, técnica que requer órgãos de
amarração nas extremidades (ancoragens), é usado o aço em cordão e o aço em barra.
Concentremos agora a nossa atenção na execução de obras com pré-esforço por pos-tensão.
2. Projecto de aplicação de pré-esforço
Certos pormenores de execução do pré-esforço dependem do sistema comercial de préesforço, normalmente desconhecido na fase de elaboração do projecto de execução da obra.
Isto obriga a que depois de adjudicada a obra e conhecido o sistema comercial de pré-esforço,
se elabore um projecto de detalhe, conhecido como projecto de aplicação de pré-esforço.
Este projecto, da responsabilidade do empreiteiro ou do sub-empreiteiro que executará o préesforço, adapta o projecto de execução ao sistema de pré-esforço específico e contém
informação pertinente à execução, designadamente:
− definição do traçado dos cabos, quer em perfil, quer em planta, com indicação das
cotas de montagem, em geral de metro a metro;
− identificação inequívoca de todos os cabos, a fim de facilitar os registos;
− definição da geometria dos nichos junto às ancoragens, função das dimensões do
macaco;
− calculo dos alongamentos teóricos dos cabos;
− calculo e pormenorização das armaduras a dispor junto às ancoragens;
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
− definição da resistência mínima do betão à data de aplicação de pré-esforço;
− definição da sequência de tensionamento.
No Anexo E mostra-se um desenho contendo os elementos habituais que constam num
projecto de aplicação de pré-esforço.
3. Processo construtivo
A aplicação do pré-esforço por pos-tensão segue normalmente a seguinte sequência de
operações:
1.º – montagem das bainhas e ancoragens em conjunto com as armaduras passivas;
2.º – enfiamento do aço;
3.º – betonagem;
4.º – aplicação do pré-esforço logo que o betão ganhe resistência suficiente;
5.º – desmoldagem;
6.º – injecção das bainhas e selagem dos nichos de ancoragem;
A aplicação da força de pré-esforço é feita através de macacos accionados por bombas
hidráulicas. A figura seguinte mostra um macaco de pré-esforço a ser posicionado no cabo e
uma bomba com as respectivas mangueiras ligadas ao macaco.
Fig. 5.1 – Macaco e bomba de pré-esforço
Durante a aplicação de pré-esforço nenhum operário deve estar atrás do macaco. Se a
ancoragem da outra extremidade do cabo também for do tipo activo, também ninguém deve
permanecer atrás dela, especialmente se o cabo for curto.
A figura 5.2 mostra a sequência de operações envolvidas na preparação do macaco.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
Fig. 5.2 – Sequência de operações na preparação do macaco (procedimento CCL)
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
Para uma correcta aplicação do pré-esforço devem ter-se os seguintes cuidados:
− deve-se eliminar todas as rebarbas de betão que possam existir na face da ancoragem
por forma a garantir um bom apoio do nariz do macaco;
− antes de iniciar o esticamento, deve-se verificar que o êmbolo de aperto das cunhas está
completamente recolhido. Se não estiver completamente recolhido durante o
esticamento, as cunhas da ancoragem não vão abrir devidamente o que causará atrito
naquela zona e, consequentemente, uma deficiente aplicação da força.
− a primeira leitura deve ser efectuada a uma pressão suficientemente elevada por forma
a garantir que foram vencidas todas as folgas do cabo e que o macaco se encontra
perfeitamente solidário com a ancoragem; caso contrário, corre-se o risco de registar
um falso alongamento. Regra geral, este objectivo é conseguido se o primeiro patamar
não for inferior a um quarto da pressão final nem a 80 bar.
− o macaco não deve ter nenhum ponto de contacto lateral. Deve estar completamente
livre, pois, de contrário, haveria o risco de aplicar a força excentricamente e, em
consequência, partir o betão junto à ancoragem, ou partir a própria ancoragem.
− As cunhas do macaco devem ser colocadas e apertadas com idêntico aperto, o que
contribuirá para uniformização da força nos diferentes cordões que compõem o cabo.
4. Controlo da aplicação do pré-esforço
Antes da aplicação do pré-esforço em obra é elaborado um boletim de tensionamento,
também conhecido como protocolo de tensionamento, e nele devem constar todas as
informações pertinentes à operação, nomeadamente:
− pressão a aplicar em cada cabo (em geral aplicada em patamares);
− alongamentos teóricos;
− características técnicas das bobines usadas (modulo de elasticidade e áreas dos
cordões);
− referência do macaco a usar.
A aplicação do pré-esforço por patamares e os consequentes registos intermédios é importante
porque possibilita observar a evolução do alongamento. O operador experiente apercebe-se de
qualquer evolução anormal mesmo antes de chegar ao último patamar. Se tal acontecer ele
interrompe os trabalhos e só avança depois de esclarecer o que está a acontecer. Para esse
efeito, alguns aplicadores de pré-esforço prevêem um patamar próximo do último (95% por
exemplo) designado por patamar de alerta, no qual se determina o alongamento até então
obtido e se verifica se está dentro do que é espectável.
Note-se que aplicar mais força a um cabo já esticado não levanta quaisquer dificuldades, mas
o mesmo já não acontece se houver necessidade de retirar força a um cabo. Destensionar um
cabo é uma operação difícil e delicada.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
Se no final da aplicação do pré-esforço verificarem-se desvios significativos entre
alongamento teóricos e medidos, o registo das leituras patamar a patamar é de muita ajuda em
determinar a causa, ou causas, por detrás desses desvios.
Com a finalidade de se garantir que o pré-esforço foi correctamente aplicado, duas grandezas
devem ser controladas: a força a aplicar e o alongamento obtido.
Controlo da força aplicada
A força aplicada é uma força controlada, na medida em que o equipamento usado está sujeito
a calibração periódica, em geral anual, em organismo credenciado e independente. O cálculo
da pressão final a aplicar em cada cabo deve ser efectuado com base no certificado de
calibração emitido por tal organismo. A calibração a efectuar dirá respeito ao conjunto
macaco-bomba, pelo que o certificado de calibração já contempla as perdas internas do
equipamento. Se desejarmos efectuar uma estimativa da pressão a aplicar na bomba de óleo,
podemos admitir 4% de perdas internas. Assim, se Pmax for a força a aplicar no cabo e se A for
a secção do êmbolo do macaco, a pressão a aplicar pode ser estimada pela expressão:
p = Pmax / ( 0.96 × A ) .
Controlo do alongamento
A garantia de que a força aplicada foi a prevista não é suficiente para se ter a certeza de que se
aplicou o pré-esforço correctamente. A garantia de que a força aplicada foi a prevista apenas
nos assegura que a força junto à ancoragem está correcta, nada nos garantindo que a força ao
longo do cabo é a pretendida. Eventuais anomalias no cabo, tais como obstrução na bainha,
erros de montagem, etc., só são detectadas quando se compara o alongamento medido com o
teórico. Torna-se pois necessário medir o alongamento em obra e compará-lo com o
alongamento teórico.
Desvios entre alongamentos medidos e teóricos são inevitáveis por variadas razões. No
entanto tais desvios devem ser inferiores à tolerância previamente estabelecida. O MC90
(§11.7.2), sugere que se aceite um desvio de 15% para um cabo individual, desde que o
desvio médio para os cabos da mesma secção seja inferior a 5%.
A medição dos alongamentos é feita directamente sobre o êmbolo do macaco, ou, em
alternativa, pela leitura do deslocamento da extremidade dos cordões. Visto que a posição
inicial do êmbolo é registada com o cabo já em tensão (1.ª leitura), dada a necessidade de
vencer todas as folgas que haja no cabo, o alongamento total é calculado por extrapolação do
deslocamento do êmbolo entre a 1.ª leitura e a última, ou seja:
∆l medido =
d f − di
p f − pi
pf
onde df e di representam as posições do êmbolo na primeira e última leitura, e pf e pi as
correspondentes pressões na bomba de óleo.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
Sugere-se que a leitura dos alongamentos nas operações de retensionamento seja feita
preferencialmente sobre os cordões. Estes alongamentos, por serem mais pequenos, são mais
susceptíveis a desvios, exigindo um rigor acrescido na sua medição. A medição do
alongamento directamente sobre os cordões é mais rigorosa na medida em que não é afectada
por eventual escorregamento das cunhas do macaco nem afectada pelo alongamento do troço
do cabo no interior do macaco.
Na figura seguinte mostra-se um exemplo dum caso em que o alongamento foi medido
directamente sobre os cordões, com auxílio de uma pintura.
Fig. 5.3 – Pintura nos cordões para leitura directa do alongamento
Sempre que surgirem diferenças significativas entre os alongamentos medidos e teóricos é da
máxima importância procurar a razão e nunca tentar esconder tais diferenças. Se o problema
não for devidamente detectado e esclarecido, provavelmente irá repetir-se.
De seguida, alistam-se causas possíveis que podem estar na origem de diferenças importantes
entre alongamentos medidos e teóricos:
Quando o alongamento medido é substancialmente inferior ao previsto:
a) Causas mais prováveis
−
modulo de elasticidade real do aço e/ou área superiores às do projecto;
−
montagem do cabo com desvios superiores aos do projecto;
−
montagem deficiente da ancoragem, causando forte atrito e, consequentemente,
perdas de tensão no aço;
b) Outras causas possíveis:
−
erro de calculo da pressão a aplicar, e/ou equipamento descalibrado;
−
aplicação por parte do operador de uma pressão inferior à prevista;
−
erro no calculo do alongamento teórico;
−
corrosão acentuada do aço e/ou bainhas, aumentando o atrito;
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
Quando o alongamento medido é substancialmente superior ao previsto:
a) Causas mais prováveis
−
modulo de elasticidade real do aço e/ou área inferiores às do projecto;
−
montagem do cabo com desvios inferiores aos do projecto; (por exemplo, os
pontos de cota mais alta poderão estar a uma cota inferior, o que acarretará
desvios inferiores)
−
deslizamento das cunhas do macaco e/ou da ancoragem passiva;
−
patamar inicial com pressão insuficiente para ajustar o cabo no interior da
bainha e/ou ajustar o macaco contra as ancoragens.
b) Outras causas possíveis:
−
erro de calculo da pressão a aplicar, e/ou equipamento descalibrado;
−
aplicação por parte do operador de uma pressão superior à prevista;
−
erro no calculo do alongamento teórico;
−
existência de óleo lubrificante em excesso (causa pouco provável).
5. Injecção das bainhas
No capítulo II foram referidas a composição das caldas de injecção e as normas europeias que
especificam os ensaios a realizar, os procedimentos de injecção e os parâmetros de aceitação.
Faremos de seguida um breve resumo dos aspectos essenciais dessas normas e dos
procedimentos de injecção.
O estudo da composição das caldas, a ser realizado antes dos trabalhos de injecção, deverá ser
efectuado usando os mesmos materiais, equipamento e pessoal que executará as injecções.
5.1.
Estudo da composição das caldas – ensaios a realizar
Estes ensaios poderão eventualmente ser dispensados, com o acordo prévio da fiscalização,
caso se disponha de ensaios feitos no máximo 2 meses antes, usando constituintes
semelhantes aos que se pretende utilizar, conforme refere a NP EN 446 §5.2.
A aferição da composição das caldas (traço) é feita através dos seguintes ensaios:
a) Ensaio de fluidez – método do cone de Marsh
Serão realizados dois ensaios 30 min depois da amassadura. Mede-se o tempo necessário
para o enchimento do recipiente de 1 L em segundos (com aproximação ao 0.5 s) em cada
ensaio. O resultado será a média dos dois ensaios.
Considera-se aceitável se a fluidez for no máximo 25 segundos.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
b) Ensaio de exsudação – método da proveta cilíndrica
O ensaio é feito após o ensaio de fluidez e com a calda da mesma amassadura. Começa-se
por verter calda até à altura aproximada de 150 mm (h). Decorridas 3 h depois, mede-se a
altura de água que refluiu à superfície (h1). A exsudação é dada por:
Exsudação = h1/h×100%;
A exsudação deve ser suficientemente baixa para evitar a segregação e a sedimentação.
Considera-se aceitável se a exsudação for inferior a 2%.
c) Ensaio de variação de volume – método da proveta cilíndrica
O ensaio consiste em verter calda até um nível h. Decorridas 24 h mede-se a altura h2.
Variação de volume = (h2-h)/h×100%;
Considera-se aceitável se a variação de volume estiver compreendida entre -1% e +5%.
d) Ensaio de resistência à compressão – método dos provetes cúbicos
Começa-se por encher os moldes, retirando-se imediatamente a calda em excesso usando
uma régua metálica em posição ligeiramente inclinada e com movimentos de serra. A
superfície superior da calda deve ser alisada com a régua em posição horizontal. Por fim,
os moldes serão cobertos com chapa de vidro.
A conservação e cura dos provetes até ao momento do ensaio será feita de acordo com a
EN 196-1.
De acordo com a prática adoptada no nosso pais, a resistência da calda é medida pelo
rebentamento de 3 provetes cúbicos com 100 mm de aresta aos 28 dias de idade. A
resistência média obtida nos 3 provetes deve ser superior ou igual a 30 MPa.
Em alternativa, a resistência também pode ser aferida pelo rebentamento de 3 provetes aos
7 dias, não devendo a média ser, neste caso, inferior a 27 MPa.
Para efeitos do ensaio de resistência das caldas devem ser preparados 6 provetes, devidamente
numerados; 3 serão rebentados os 7 dias e os outros 3, aos 28 dias.
5.2.
Procedimentos de injecção
No decurso das injecções propriamente ditas, serão feitos os seguintes ensaios:
–
um ensaio de fluidez por cada amassadura;
–
um ensaio de exsudação e outro de retracção/expansão por dia;
–
por cada tabuleiro injectado serão preparados 6 provetes cúbicos de 100 mm de lado
para posterior ensaio de resistência à compressão.
Antes de cada operação de injecção será feita uma vistoria a todas as purgas para verificação
do seu estado de desobstrução. As purgas deverão estar distanciadas no máximo de 50 m.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
As bainhas serão limpas recorrendo a jacto de ar, seguido de jacto de água e novamente jacto
de ar. Em tempo quente é especialmente importante a passagem do jacto de água a fim de
humedecer a bainha, o que impedirá que a calda sofra perda prematura de água.
Quanto a diferença entre a cota máxima e mínima do cabo for superior a 1.50 m, a injecção
deverá ser feita a partir do ponto de cota mais baixa.
Os limites de temperatura ambiente fora dos quais não se deve injectar são 5 e 30ºC. O limite
máximo da temperatura de calda é de 35ºC.
A pressão de injecção deverá situar-se entre 5 a 10 bar e a velocidade entre 5 e 15 m por
minuto. À medida que a calda avança dentro da bainha proceder-se-á à obturação sucessiva
das purgas. A obturação será feita quando a calda, à saída da purga, reflua sem vestígios de
água ou bolsas de ar (figura 5.4). Após tamponamento da última purga, a pressão de injecção
será mantida durante cinco minutos. Serão tomadas precauções no sentido de evitar qualquer
saída acidental de calda.
Fig. 5.4 – Calda a refluir num tubo de purga no decurso da injecção
Por cada trabalho de injecção será preenchido um boletim de injecção, onde se regista, para
além da composição da calda, os resultados dos ensaios realizados, a temperatura ambiente, a
temperatura da calda, etc.
Como última nota, refere-se que deverá existir em permanência equipamento de ar
comprimido de reserva, bem como equipamento de jacto de água, ligado a fonte de
alimentação independente. Se no decurso da injecção, ocorrer uma avaria, a calda entretanto
injectada deverá ser rapidamente retirada usando este equipamento de reserva.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. V – Execução do pré-esforço
*** Problemas propostos ***
Problema 5.1 (Medição de alongamentos a partir do movimento do êmbolo)
No quadro seguinte reproduz-se um registo efectuado em obra durante o esticamento dum
cabo de pré-esforço:
Pressão na bomba Posição do êmbolo
de óleo [bar]
δ [mm]
100
85
200
161
200
53
300
129
415
216
δ
a) Determine o alongamento real do cabo.
b) Suponha que o alongamento medido é substancialmente mais baixo do que o
alongamento teórico. Faça uma lista de causas possíveis.
c) Suponha agora que o alongamento medido é substancialmente superior ao teórico.
Faça uma lista de causas possíveis.
Observação – Conforme se observa no quadro, o patamar de 200 bar está repetido. Tal devese ao facto de o curso do êmbolo não ser suficiente para se aplicar o pré-esforço de uma só
vez. Assim, o que se faz é proceder à recolha do êmbolo num determinado patamar (200 bar
no exemplo acima), aplicar seguidamente tensão até se atingir novamente esse patamar,
registar a posição do êmbolo, e continuar a partir daí. Em geral o curso (stroke em inglês) do
êmbolo dos macacos é da ordem dos 200 a 250 mm.
Problema 5.2 (Controlo da aplicação do pré-esforço)
Explique por que razão não chega controlar a força que se aplicou, mas é necessário controlar
também o alongamento medido, comparando-o com o teórico.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
Cap. VI – Dimensionamento das zonas sob as placas de
ancoragem
1. Introdução
Os modos de rotura possíveis junto às ancoragens de pré-esforço são essencialmente dois:
(1) esmagamento do betão por excesso de compressão;
(2) fissuração paralela ao cabo por falta de armadura transversal.
O dimensionamento das zonas de ancoragem envolve, por isso, (1) determinar a carga
máxima a aplicar de forma a não esmagar o betão, ou o inverso, isto é, determinar a
resistência que o betão tem de ter para suportar a força transmitida pela ancoragem e (2)
determinar as tracções transversais que vão existir na zona da ancoragem, com base nas quais
se determinam as armaduras necessárias.
Antes de abordarmos esses dois problemas, veremos o conceito de distância de
regularização.
2. Distância de regularização
Chama-se distância de regularização, representada por lbp, à distância da extremidade do
cabo a partir da qual se pode considerar que as tensões no betão, devidas ao pré-esforço, estão
linearmente distribuídas, isto é, obedecem à conhecida equação da teoria das peças lineares:
σ=
M
N
y+
I
A
A partir dessa distância diz-se que as tensões devidas ao pré-esforço estão regularizadas.
A distância de regularização pode ser estimada aplicando o princípio de S. Venant, segundo o
qual a uma distância da aplicação da carga sensivelmente igual à dimensão da secção
transversal, as tensões encontram-se linearmente distribuídas. Em alternativa pode-se utilizar
as disposições constantes no EC2 §8.10.3, segundo as quais a distância de regularização a
adoptar no caso da pos-tensão pode ser determinada admitindo que as forças de pré-esforço se
difundem, a partir da ancoragem, no interior de um ângulo β, definido conforme figura 6.1.
A zona delimitada pelo comprimento de regularização é vulgarmente classificada como região
D (D de descontinuidade). Existem outros tipos de descontinuidade, como sejam variações
bruscas de secção, nós de pórticos, aberturas, entre outros. Fora da zona D, a região classificase como região B (B de Bernoulli). Recordamos que a hipótese de Bernoulli, na qual assenta a
teoria da flexão das peças lineares, admite que as secções se mantêm planas após deformação,
o que conduz a uma variação linear de extensões na secção.
Setembro de 2007
VI-1
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
Portanto, visto que na zona delimitada pelo comprimento de regularização não é valida a
hipótese de Bernoulli, não é possível aplicar a teoria das peças lineares. Voltaremos a este
assunto.
lbp
β
β = arctg ⎛ 2 ⎞
⎝3⎠
β
PLANTA
β
β
ALÇADO
Fig. 6. 1 – Definição de distância de regularização, lbp (pos-tensão)
Para finalizar, refere-se apenas que no caso da pré-tensão, os elementos necessários ao cálculo
da distância de regularização encontram-se no parágrafo §8.10.2 do EC2.
3. Resistência mínima do betão à data de aplicação de pré-esforço
O cálculo da resistência que o betão tem de ter para suportar a força transmitida pela
ancoragem no momento da aplicação do pré-esforço é em geral da responsabilidade da
empresa que fornece o pré-esforço. Os documentos de homologação dos diferentes sistemas
comerciais contêm disposições que tratam deste assunto, as quais resultaram dos ensaios
experimentais obrigatórios para a concessão da homologação ou de uma Aprovação Técnica
Europeia (ver capítulo I, 8 - Aprovação Técnica Europeia de sistemas de pré-esforço).
O comportamento da zona junto à ancoragem depende da própria configuração desta. A
ancoragem mais utilizada, e que se tem mostrado muito eficiente, tem formato cónico e é
constituída por um ou mais anéis de transmissão de força. No capítulo I mostramos alguns
desenhos com estas ancoragens. Vários estudos de investigação têm sido feitos no sentido de
estudar o comportamento destas ancoragens e desses estudos têm resultado expressões
analíticas que permitem estimar a carga máxima que essas ancoragens conseguem transmitir.
Trata-se de uma área muito específica e, como dissemos acima, faz parte do campo de
actuação das empresas fornecedoras de pré-esforço. Portanto, faremos aqui apenas algumas
considerações de natureza geral. Aliás, o EC2, não tem elementos suficientes para tratar
devidamente do problema, nem se esperaria que tivesse, em face da sua especificidade.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
As tensões no betão junto às ancoragens de pré-esforço são muito elevadas e só são
suportadas pelo betão porque este encontra-se confinado. O confinamento do betão tem
basicamente duas origens: (1) confinamento induzido pelo betão envolvente e (2)
confinamento induzido pelas armaduras de cintagem.
Relativamente ao confinamento induzido pelo próprio betão, ele resulta do facto das
dimensões da ancoragem serem inferiores às dimensões do elemento estrutural. Com efeito,
as tensões transmitidas pela ancoragem tendem a espalhar-se, como se exemplifica na figura
6.2. Como se vê na figura, as compressões no betão são inclinadas, e é a componente
horizontal destas compressões que confere o confinamento de que estamos a falar. (Ver EC2
§6.7).
Fig. 6. 2 – Confinamento realizado pelo betão
Relativamente ao confinamento realizado pelas armaduras, é intuitivo que a cintagem que
estas induzem amplifica significativamente a carga de rotura. No EC2 o betão confinado é
tratado no parágrafo §3.1.9. As disposições aí indicadas estão em harmonia com as do Model
Code 1990 (MC90), porém, estas últimas são mais detalhadas, pelo que o leitor se delas
necessitar poderá recorrer ao MC90.
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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
4. Calculo das armaduras específicas para tracções transversais
Conforme já referimos, sob a placa de ancoragem, as tensões de compressão no betão tendem
a espalhar-se até ocuparem toda a área da secção transversal. A trajectória das compressões
principais tem o formato representado na figura junta. A curvatura das compressões obriga ao
aparecimento de tensões transversais, tracções estas que deverão ser resistidas por armaduras
transversais.
F
F
F
z
σy
T
F/ 2
F/ 2
x
compressão
tracção
TRAJECTÓRIAS DAS
TENSÕES PRINCIPAIS
TENSÕES TRANSVERSAIS NO
EIXO DA PEÇA
MODELO DE TRELIÇA
INTERPRETATIVO
Fig. 6. 3 – Elemento de betão sujeito a força concentrada
Conforme também já referimos, as regiões sujeitas a cargas concentradas enquadram-se na
categoria das chamadas regiões D, nas quais não é aplicável a teoria das peças lineares.
Assim, para o seu dimensionamento temos de recorrer a outros modelos, como por exemplo
modelos de elementos finitos ou modelos de treliça. Estes últimos são conhecidos também
como modelos de bielas-e-tirantes, ou, mais recentemente, por modelos de campos de tensões
(stress fields). (Muttoni, A. et al., 1997).
Qualquer destes métodos apresenta vantagens e desvantagens. O método dos elementos
finitos em regime linear é facilmente aplicável e os resultados são praticamente imediatos. As
dificuldades podem surgir na interpretação dos resultados, pois o cálculo das forças
resultantes obriga à integração de tensões e, no caso de existirem tensões de corte
conjuntamente com tensões normais, o cálculo pode tornar-se trabalhoso.
Os modelos de treliça apresentam a grande vantagem de permitirem uma percepção clara do
percurso das cargas, e o cálculo das armaduras e a sua pormenorização ficam bastante
facilitados. A dificuldade destes modelos reside no facto de nem sempre ser fácil desenvolver
um modelo de treliça adequado, dado ser possível desenvolver vários modelos, todos eles
equilibrados, mas que dão resultados muito diferentes, quer em termos de valores das
resultantes, quer em termos das posições destas. Por exemplo, que braço z se deve adoptar no
modelo da figura 6.3? Repare-se que para cada valor de z, obtém-se uma força diferente no
tirante.
Setembro de 2007
VI-4
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
É importante que o modelo de treliça não se afaste muito do percurso elástico das cargas,
dado que isso nos dá a garantia de que o dimensionamento resultante é adequado em relação
aos estados limites de serviço. Do ponto de vista dos estados limites últimos, a liberdade de
escolha do modelo é um pouco maior, tendo em conta o teorema estático (ou teorema do
limite inferior) da teoria da plasticidade.
Como é evidente, se houver dúvidas sobre se o modelo é adequado ou não, sempre poderemos
elaborar um modelo de elementos finitos (MEF) e, se for caso disso, modificar o modelo de
forma a que a resultante das tracções se situe nas posições ditadas pelo MEF.
Nos pontos seguintes apresentam-se modelos de treliça para situações comuns que aparecem
na prática. O valor do braço z indicado, com base no qual se determinou a força no tirante, é
próximo do obtido em modelo elástico linear.
Conhecida a força no tirante, a armadura é determinada pela expressão: As =
Tsd
f syd
Segundo o EC2 (§8.10.3), se limitarmos fsyd a 300 MPa, não é necessário verificar a abertura
de fendas.
O valor de dimensionamento da força transmitida pela ancoragem será calculado pela
expressão:
Fsd = γ p Pmax
onde Pmax designa a força a aplicar na ancoragem. Segundo o EC2 §2.4.2.2 (3), o factor de
segurança, γp, deve ser tomado com valor igual a 1.20 (era 1.35 segundo o REBAP 47.2º).
4.1.
Caso de uma só força concentrada
a) Força dentro do núcleo central
c
F
a1
z
a0
T1
a1 = 2 c
z ≅ a1 / 2
a0 ⎞
⎛
T1 = 0.25 × F ⎜1 − a ⎟
1⎠
⎝
(EC2 §6.5.3)
a1
Fig. 6. 4 – Força única, aplicada dentro do núcleo central
Setembro de 2007
VI-5
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
b) Força fora do núcleo central
c
e
F
a0
T0
a1
T1
a0 ⎞
⎛
T1 = 0.25 × F ⎜1 − a ⎟
1⎠
⎝
a1
T0 =
0.015F
2e
1−
b
(Leonhardt, 1979)
1 ⎞
⎛ e
− ⎟
6 ⎠
⎝ b
(REBAP)
T0 = F ⎜
b
Fig. 6. 5 – Força única, aplicada fora do núcleo central
4.2.
Caso de 2 forças
a) Forças aplicadas sensivelmente a quartos da dimensão transversal
c
a0
F
a0
a1
z
F
T1
T1
a1 = 2 c
z ≅ a1 / 2
a0 ⎞
⎛
T1 = 0.25 × F ⎜1 − a ⎟
1⎠
⎝
a1
Fig. 6. 6 – Caso de duas forças, aplicadas a quartos da dimensão transversal da peça
Setembro de 2007
VI-6
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
b) Forças actuando próximas (l < a2 / 2)
l
c
F
T1
T1
z
a1
F a
0
a2
a1
a1 = l
a2 = 2 c
z ≅ a2 / 2
a0 ⎞
⎛
T1 = 0.25 × F ⎜1 − a ⎟
1⎠
⎝
T2
2a ⎞
⎛
T2 = 0.5 × F ⎜1 − a 1⎟
2⎠
⎝
a2
Fig. 6. 7 – Caso de duas forças, actuando próximas uma da outra
Para facilidade de linguagem, podemos chamar à força T1, a força de primeira regularização e
T2, força de 2ª regularização.
c) Forças actuando afastadas (l > a2 / 2)
l
c
F
F
a0
T1
a1 = 2 c
z ≅ 0.6 l
z
a1
T0
a1
a0 ⎞
⎛
T1 = 0.25 × F ⎜1 − a ⎟
1⎠
⎝
⎛
⎝
T0 = 0.83 × F ⎜1 −
b⎞
⎟
2l ⎠
b
Fig. 6. 8 – Caso de duas forças, actuando afastadas uma da outra
Embora o modelo de treliça não permita tirar esta conclusão, a força no tirante T2 é máxima
na zona central, reduzindo-se sob a placa de ancoragem. Assim, se a armadura para esse
tirante for prolongada até à extremidade da peça e aí convenientemente amarrada, pode-se
tirar partido de parte desta armadura para efeitos do cálculo da armadura do tirante T1.
Setembro de 2007
VI-7
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
4.3.
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
Caso de 3 forças
a) Forças actuando próximas (l < a2 / 3)
c
l
F
l
F
F
T1
z
a1
a0
a1
T2
T2
a2
a1 = l
a2 = 2 c
z ≅ a2 / 2
a0 ⎞
⎛
T1 = 0.25 × F ⎜1 − a ⎟
1⎠
⎝
T2 =
3l
2
× F ⎛⎜1 − a ⎞⎟
3
2⎠
⎝
a2
Fig. 6. 9 – Caso de 3 forças, actuando próximas umas das outra
b) Forças actuando afastadas (l > a2 / 3)
l
F
l
F
F
a0
T0
z
z ≅ 0.6 l
T0
T0 = 1.7× F ⎛⎜1 − b ⎞⎟
⎝ 3l ⎠
b
Fig. 6. 10 – Caso de 3 forças, actuando afastadas umas das outra
Setembro de 2007
VI-8
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
4.4.
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
Ancoragem embebida
A figura seguinte mostra as trajectórias das tensões principais que se desenvolvem numa peça
com uma ancoragem intermédia, ou ancoragem embebida:
Fig. 6. 11 – Trajectórias das tensões principais associadas a uma ancoragem embebida (Leonhardt, 1979)
A análise da figura mostra a existência de tracções longitudinais atrás da ancoragem. Em
regime elástico linear essas tracções são da ordem de 0.25 da força na ancoragem. Na figura
seguinte mostra-se um possível modelo de treliça que discretiza os campos de tensões:
F/ 2
⎧
⎩
T ⎨
F
F/ 2
T ≅ 0.25 F
Fig. 6. 12 – Modelo de treliça para uma ancoragem embebida
4.5.
Juntas de betonagem com cabos acoplados
As juntas de betonagem, associadas normalmente à construção por fases, permitem o
esticamento dos cabos fase a fase. Em cada fase os cabos poderão ser acoplados aos cabos da
fase anterior ou ser amarrados numa secção anterior à junta de betonagem. O EC2 §8.10.4 (5)
recomenda evitar acoplar mais do que 50% dos cabos na mesma secção, a não ser que se
demonstre que uma percentagem superior não traz risco acrescido para a estrutura.
Refira-se que esta recomendação nem sempre é fácil de cumprir, dadas as limitações de
espaço que normalmente existem. O problema que se levanta tem a ver com a possibilidade
de as fibras extremas na junta de betonagem se encontrarem descomprimidas, e portanto com
risco de fissuração, tal como se pretende ilustrar na figura seguinte:
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VI-9
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
T
T
T
T
T
T
Fig. 6.13 - Descompressão nas fibras extremas nas juntas de betonagem
Assim, uma vez que as fibras extremas tendem a ficar descomprimidas, é necessário verificar,
para os esforços actuantes na vizinhança da junta de betonagem, se eventuais tracções que
possam existir não excedem a resistência à tracção do betão. Se excederem, pode ser
necessário reforçar a armadura local, a fim de controlar a abertura de fendas.
O reforço, caso seja necessário, deve ser localizado nas fibras extremas da secção, tal como
ilustra a figura seguinte:
Fig. 6.14 - Localização preferencial de eventual armadura de reforço
Como é evidente, se as ancoragens estiverem bem distribuídas na secção e próximas das
fibras extremas, em principio não é necessário tomar precauções especiais, uma vez que,
nessas circunstâncias, toda a secção se encontra comprimida.
Setembro de 2007
VI-10
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
4.6.
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
Maciços de amarração de cabos
Aparecem frequentemente, especialmente em pontes com viga-caixão, maciços destinados a
tornar as ancoragens acessíveis ao esticamento. Para dimensionar as armaduras destes
maciços, designados na literatura francesa por bossages, os modelos de bielas e tirantes são,
novamente, bastante eficazes.
A titulo de exemplo, a figura seguinte mostra o diagrama de corpo livre de um maciço de
amarração para um cabo de 19 cordões, pondo em evidência as forças que o cabo exerce no
maciço. Mostra-se também um possível modelo de bielas e tirantes. Se o modelo for
isostático, o cálculo das forças nas barras pode ser feito com qualquer programa de estruturas
e, além disso, os esforços não dependem das respectivas características mecânicas (área e
modulo de elasticidade). As diagonais, usadas com a finalidade de tornar a estrutura
isostática, devem ser escolhidas de forma a estarem comprimidas.
2250
2250
Fig. 6.15: Exemplo de uma bossage analisada com modelo de bielas e tirantes
Uma vez calculados os esforços nas barras, a pormenorização é imediata.
Setembro de 2007
VI-11
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
4.7.
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
Caso de secções formadas por banzos e almas
No caso de secções formadas por banzos e almas, a migração de tensões entre estes elementos
origina tracções transversais. Uma maneira simples de determinar estas tracções é recorrer aos
fluxos de corte nas interfaces entre os banzos e as almas. Estes fluxos são determinados
facilmente por simples considerações de equilíbrio, considerando de um lado as forças
concentradas e do outro as tensões regularizadas, tal como exemplificado na figura:
F
L bp
T
σ(y)
Fc
V
v
Lbp
V = v × L bp = F
σ( y ) = ±
Pe
P
y−
A
I
T=
V
cot gθ
L bp
Fig. 6.16: Determinação das tracções nas interfaces banzo-alma
De acordo com a figura, a área de armadura é dada por:
As =
Tsd
Vsd
Fsd
=
=
f syd f syd cot gθ f syd cot gθ
A força Fsd pode ser calculada multiplicando a tensão no banzo pela área do banzo. As
armaduras serão distribuídas em correspondência com o comprimento de regularização, lbp.
De acordo com o EC2 §6.2.4 (4) o ângulo θ é escolhido entre os limites de 45º e 26.5º. Um
valor usualmente empregue é 30º.
4.8.
Outros casos
Conforme dissemos anteriormente, haverá situações em que teremos dúvidas na elaboração
dum modelo de treliça adequado. Num caso assim, é vantajoso elaborarmos um modelo de
elementos finitos e com base nele aferirmos o modelo de treliça.
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VI-12
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
A figura seguinte mostra um exemplo em que houve necessidade de amarrar cabos de préesforço lateralmente à alma de uma viga.
Fig. 6 17– Geometria do maciço
A força de tracção existente entre as duas ancoragens foi determinada através do modelo de
elementos finitos representado na figura seguinte:
4040 KN
4040 KN
Tensões transversais no eixo da peça
Modelo de elementos finitos
Modelo de treliça
Fig. 6. 18– Modelo de elementos finitos e de treliça
A força de tracção foi calculada por integração das tensões transversais obtidas, cujo
diagrama também se representa na figura. A força obtida foi de 555 KN. A inclinação das
bielas no modelo de treliça foi escolhida de forma a obter idêntica força.
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VI-13
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VI – Zonas sob as placas de ancoragem
*** Problema proposto ***
Problema 6.1 (Armaduras de reforço junto a ancoragens de pré-esforço)
0.60
0.40
0.40
0.40
Considere as seguintes secções de extremidade de vigas pré-esforçadas, com as ancoragens aí
indicadas:
0.30x0.30
1.30
0.80
0.24x0.24
0.30x0.30
0.40
0.40
2x19T15
C35/45
Y1860 S7
0.40
12T15
C30/37
Y1860 S7
0.40
(1)
0.60
0.60
0.40
3x19T16
C35/45
Y1860 S7
0.40
(2)
(3)
Determine e pormenorize as armaduras específicas para absorverem as tracções devidas às
forças transmitidas pelas ancoragens.
Setembro de 2007
VI-14
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
1. Introdução
As perdas de pré-esforço dividem-se em dois grupos: perdas instantâneas e perdas diferidas.
As perdas instantâneas são as que ocorrem durante a aplicação do pré-esforço e são de 3 tipos:
− perdas por atrito;
− perdas por deformação instantânea do betão;
− perdas por reentrada dos fixadores.
As perdas diferidas, já mencionadas no capítulo II, são também de 3 tipos:
− perdas por retracção do betão;
− perdas por fluência do betão;
− perdas por relaxação dos aços.
Note-se que no caso da pré-tensão não existem perdas por atrito (se os cabos forem
rectilíneos, obviamente) nem perdas por reentrada das cunhas.
Designando o pré-esforço na origem por Pmax, o pré-esforço após perdas instantâneas,
chamado de pré-esforço inicial, P0 (x), é definido da seguinte forma:
P0 (x) = Pmax – perdas instantâneas
O pré-esforço no instante t obtém-se subtraindo ao pré-esforço inicial as perdas diferidas que
ocorrem até esse instante, ou seja:
Pt (x) = P0 (x) – perdas diferidas.
Como caso particular, o pré-esforço após perdas totais, designado por pré-esforço a longo
prazo ou pré-esforço útil, P∞ (x), é definido assim:
P∞ (x) = P0 (x) - perdas diferidas totais
O EC2 denota o pré-esforço inicial por Pm0 em que o índice “m” denota valor médio. Nestes
apontamentos omitiremos o índice m, ficando entendido que P0 e Pt representam valores
médios de pré-esforço, respectivamente após perdas instantâneas e após perdas diferidas no
instante t.
Antes de tratarmos das perdas uma a uma, recordamos que a tensão de esticamento não pode
ser superior aos seguintes valores [EC2 §5.10.2.1]:
⎧⎪ 0.80 × f pk
⎪⎩0.90 × f p 0.1k
σ p ,max = min ⎨
Setembro de 2007
VII-1
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Conforme mencionamos no capítulo IV é prudente especificarmos no projecto um valor
inferior a este. Uma das razões é que assim ficaremos com alguma folga para aplicar em obra
uma eventual sobretensão caso se torne necessário compensar perdas de atrito não previstas.
Nestes
σ p ,max
apontamentos usaremos preferencialmente, para tensão de esticamento,
= 0.75 f pk , ficando desde já entendido que se não especificarmos a tensão de
esticamento é este valor a usar. Algumas vezes, por conveniência de notação, denotaremos a
tensão de esticamento por σp0’, em vez de σ p ,max .
2. Perdas instantâneas
2.1.
Perdas por atrito
Quando se estica um cabo de pré-esforço, o contacto entre os cordões (ou as barras, se se
tratar de pré-esforço em barra) é acompanhado por atrito, daí resultando uma perda e uma
consequente diminuição da força ao longo do cabo. O pré-esforço será, portanto, máximo
junto à ancoragem activa e mínimo junto à ancoragem passiva.
A figura seguinte mostra as diferentes forças que actuam no cabo, incluindo a força de atrito.
Força de atrito
Fig. 7. 1 – Força de atrito cabo-baínha
2.1.1. Lei de Coulomb
Conforme sabemos, a força de atrito é calculada por uma lei empírica, conhecida como lei de
Coulomb, dada por:
Fa = µ×N
em que µ é o coeficiente de atrito e N a força de contacto entre as superfícies, normal a estas.
O valor do coeficiente de atrito cabo-baínha depende do estado de corrosão e/ou lubrificação
destes elementos e da percentagem de espaço da bainha ocupado pelos cordões. Também
depende do valor da tensão de contacto entre as superfícies, embora isso seja usualmente
desprezado.
Valores típicos para o coeficiente de atrito cordão-baínha situam-se entre 0.19 e 0.20. No caso
dos cordões auto-embainhados o valor típico é de 0.06.
Setembro de 2007
VII-2
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
2.1.2. Formula de Euler
Estudemos o equilíbrio de um troço de cabo de comprimento infinitesimal, ds. A figura
seguinte mostra as forças que actuam no elemento de cabo:
dβ
dN
dβ
2
P
dFa
dβ
2
P+dp
ds
Fig. 7. 2 – Forças actuantes num troço de cabo de comprimento elementar
As forças dN e dFa estão relacionadas pelo lei de Coulomb, vindo:
dFa = µ dN
∑F
x
∑F
y
(1)
= 0 ⇔ P − dFa − P − dp = 0 ⇔ dFa + dp = 0
=0 ⇔ P
(2)
dβ
dβ
dβ
− dN + P
+ dp
= 0 ⇔ Pdβ − dN = 0
2
2
2
(3)
dβ
, por se tratar de um infinitésimo de 2ª ordem é desprezável face aos
2
infinitésimos de 1ª ordem.
A parcela dp
Substituindo (1) e (2) em (3) e desenvolvendo esta ultima, vem:
µ dN + dp = 0 ⇔ µ Pdβ + dp = 0 ⇔
dp
= − µdβ
P
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, facilmente resolúvel.
Integremos esta equação entre dois pontos genéricos, 0 e 1:
1
1
dp
∫ P = ∫ −µ d β
0
0
⇔ ln( P1 ) − ln( P0 ) = − µβ
⎛P
⇔ ln ⎜⎜ 1
⎝ P0
⎞
⎟⎟ = − µβ
⎠
onde β designa o angulo de desvio, ou ângulo ao centro, entre os pontos 0 e 1. Aplicando
agora exponenciais a ambos os membros da equação acima, vem:
P1
= e − µβ ⇔ P1 = P0 e − µβ
P0
A formula acima, conhecida como formula de Euler, permite calcular a força de pré-esforço
num ponto de um cabo a partir de outro ponto onde se conheça a força de pré-esforço. A
Setembro de 2007
VII-3
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
variação da força de pré-esforço segue, assim, uma lei do tipo exponencial. No entanto, como
o argumento da exponencial, µβ, é, em muitas situações, muito pequeno, a variação é quase
linear.
O ponto 1 é o ponto mais afastado da ancoragem activa, daí que P1 < P0. Como é evidente, se
quiséssemos calcular a força num ponto mais próximo da ancoragem activa a partir de um
ponto mais afastado, a formula de Euler tomaria a forma:
P0 = P1 e + µβ
A formula de Euler pode também ser escrita na forma de tensões. Para tal, basta dividir ambos
os termos da equação acima pela área do cabo, obtendo-se:
σ 1 = σ 0 e − µβ
Desvio angular unitário
Entre os pontos 0 e 1 vão existir inevitavelmente desvios, designados por desvios parasitas,
devidos a:
− deformação da bainha entre duas travincas consecutivas;
− deslocamento acidental no cabo na ocasião de betonagem;
− erros de montagem;
Estes desvios angulares não intencionais dependem da rigidez das bainhas, da distância entre
as travincas e da qualidade da execução dos trabalhos.
Para ter em conta os desvios angulares não intencionais, define-se o chamado desvio angular
unitário ou coeficiente de perdas em linha que mede o desvio angular por metro de cabo.
Trata-se evidentemente de um parâmetro empírico. Valores usuais do desvio angular unitário,
k, situam-se entre 0.005 e 0.01 rad/m. Assim, designando a distância entre dois pontos do
cabo por s, medida ao longo deste, o desvio não intencional total entre esses dois pontos é
igual a ks, desvio este que deverá ser adicionado ao desvio β para se obter o desvio angular
total, e a formula de Euler passa a ter a forma:
σ ( s) = σ 0 e− µ ( β ( s )+ ks )
onde:
σ0 e σ(s) – tensões nos pontos 0 e s. O ponto s é o mais afastado da ancoragem activa.
µ – coeficiente de atrito cabo-baínha;
β – desvio angular entre os pontos 0 e s;
k – desvio angular unitário.
No caso dos cabos com traçado espacial, conhecidos os desvios relativos às projecções do
cabo em planos perpendiculares, βx e βy, o desvio total, β, pode ser determinado por aplicação
do teorema de Pitágoras:
β = β x2 + β y2
Setembro de 2007
VII-4
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Exemplo 7.1 – O diafragma de um viaduto é pré-esforçado com um cabo de 19 cordões de 15
mm (1.40 cm2 de área). A directriz do cabo é circular (R = 7.5 m) e o comprimento do cabo é
de 9.60 m. Determine o valor do pré-esforço nos pontos 1 e 2 (ver figura junta), antes da
reentrada das cunhas, admitindo que o cabo é esticado a uma tensão de 1395 MPa pela
extremidade esquerda, e apenas por esta.
s = 9.60 m
7.5
0m
1
R=
0
2
µ = 0.20
k = 0.01 m-1
Resolução
O ângulo de desvio entre 0 e 2 é β = s / R = 9.60 / 7.5 = 1.28 rad. Entre 0 e 1 é metade, ou
seja, 0.64 rad. Aplicando a fórmula de Euler, vem:
σ (1) = 1395 e−0.20( 0.64+0.01×9.6 / 2) = 1215.7 MPa ;
σ (2) = 1395 e−0.20(1.28+0.01×9.6) = 1059.4MPa ; (entre 0 e 2 perdeu 24%!).
Para calcular as forças, basta multiplicar as tensões pela área do cabo:
Assim: P(1) = 121.57×19×1.4 = 3234 KN;
P(2) = 105.94×19×1.4 = 2818 KN;
Observação – Visto que existe apenas um cabo não há lugar a perdas por deformação
instantânea do betão. Conforme veremos, num caso assim, as perdas por deformação
instantânea do betão são automaticamente compensadas pelo macaco durante o esticamento.
2.1.3. Aplicação da formula de Euler ao caso de vigas com traçados parabólicos
No caso especifico do pré-esforço em vigas, os ângulos que o cabo faz com a horizontal, α,
são, regra geral, pequenos, podendo efectuar-se as seguintes simplificações:
-
O comprimento do cabo é sensivelmente igual à sua projecção no plano horizontal,
ou seja: s ~ x
-
O ângulo α é aproximadamente igual à sua tangente: α ~ tgα
Seja, então, o troço genérico de cabo com variação parabólica representado na figura:
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VII-5
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
y
α0
y = ax2 + bx + c
α1
x
Fig. 7. 3 – Troço genérico de cabo com traçado parabólico
O ângulo de desvio entre as extremidades desse troço é igual a:
β = α1 − α 0 = tgα 1 − tgα 0 = y1' − y 0' = 2ax1 + b − 2ax 0 − b = 2a ( x1 − x 0 ) = 2ax ;
Substituindo este valor na fórmula de Euler, vem:
σ 1 = σ 0 e− µ ( β + ks ) ~ σ 0e− µ (2 ax + kx ) = σ 0e− µ (2 a + k ) x ;
Designando o factor µ(2a+k) por m, a que chamaremos factor de atrito, a fórmula de Euler
toma a forma:
σ 1 = σ 0 e− mx
com
m = µ(2a+k)
O parâmetro a da parábola deve ser sempre tomado com valor positivo. O factor de atrito, m,
é, assim, uma grandeza sempre positiva e constante ao longo de cada troço de parábola.
No caso do traçado ser constituído por mais do que um troço de parábola, é fácil de
comprovar que, neste caso, a tensão no cabo é dada por:
− |m ∆x |
σ1 = σ 0 e ∑
onde:
i
i
-
mi = µ (2ai+k) – factor de atrito do troço parabólico i;
-
∆xi – comprimento (em projecção) do troço i.
2.1.4. Calculo dos alongamentos
No ponto anterior vimos como calcular as tensões ao longo do cabo. As extensões na secção
genérica s determinam-se pela lei de Hooke, ou seja:
ε ( s) =
σ ( s)
Ep
onde Ep representa o módulo de elasticidade do cabo.
O alongamento, ∆l, é calculado por integração das extensões, conforme segue:
∆l = ∫ ε ( s )ds = ∫
σ ( s)
Ep
ds =
1
σ ( s )ds ;
Ep ∫
O integral ∫ σ ( s)ds é igual à área do diagrama das tensões, conforme representado na figura
que segue:
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VII-6
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
σ( s )
Ω
∆l = Ω
Ep
s
Fig. 7. 4 – Calculo do alongamento
O integral pode ser calculado numericamente, dividindo o intervalo de integração num certo
número de subintervalos e usando a tensão média em cada subintervalo (regra dos trapézios).
Neste caso o integral transforma-se num somatório e o alongamento é dado por:
∆l =
1
Ep
∑σ
mi
∆s i
onde:
σmi – representa a tensão média no intervalo i, de comprimento si.
Exemplo 7.2 – Determinemos o alongamento do cabo do exemplo 7.1. considerando os dois
troços definidos, 0-1 e 1-2, vem:
∆l =
1 ⎛ 1395 + 1215.7
1215.7 + 1059.4
×⎜
× 4.8 +
× 4.8 ⎞⎟ = 60.1 mm;
195 ⎝
2
2
⎠
Como é evidente, se desejássemos calcular o alongamento com maior rigor deveríamos
dividir o cabo num numero superior de troços.
No caso específico de vigas com traçados parabólicos, o alongamento é dado por:
x
∆l =
[
x
1 2
1 2
1
(
x
)
dx
σ
=
σ 0 e −mx dx = −
σ 0 e −mx
∫
∫
E p x1
E p x1
mE p
]
x2
x1
=−
1
(σ ( x2 ) − σ ( x1 ) ) = | ∆σ |
mE p
mE p
No caso do traçado do cabo ser constituído por várias parábolas em sucessão, o alongamento
do cabo é dado pela soma do alongamento de cada parábola, vindo:
∆l =
Setembro de 2007
1
Ep
∑
i
| ∆σ i |
mi
VII-7
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Exemplo 7.3 – Considere o cabo de pré-esforço da figura junta. Admitindo que o cabo é
esticado a uma tensão de 1395 MPa pela extremidade esquerda, determine o alongamento do
cabo, considerando que µ = 0.20 e k = 0.01 m-1.
B'
A'
0.31
0.846
0.31
8.00
C
0.88
B
0.846
A
2.00
8.00
Resolução:
m = 0.20×(0 + 0.01) = 0.002 m-1.
Troço AB:
a = 0;
Troço BB’
a = y / x2 = (0.88 – 0.846) / 1.002 = 0.034 m-1;
m = 0.20×(2×0.034 + 0.01) = 0.0156 m-1.
A
A'
B C B'
σ ( x)
σB
σA
σB'
σA'
x
σA = 1395 MPa;
σB = 1395×exp(–0.002×8) = 1372.9 MPa;
σB’ = σB ×exp(–0.0156×2) = 1330.7 MPa;
∆l =
1
Ep
∑
i
σC’ = σB’ ×exp(–0.002×8) = 1309.6 MPa
| ∆σ i |
1 ⎛ 1395 − 1372.9 1372.9 − 1330.7 1330.7 − 1309.6 ⎞
=
+
+
⎜
⎟ = 126.6 mm
mi
195 ⎝
0.002
0.0156
0.002
⎠
0.6
0.20
Exemplo 7.4 – O cabo exterior indicado na figura seguinte é esticado a uma tensão de 1395
MPa pela extremidade esquerda.
4.80
Setembro de 2007
8.00
VII-8
4.80
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Considerando que na zona dos desviadores µ = 0.06 e k = 0, determine o alongamento do
cabo de pré-esforço.
Resolução:
Fora da zona dos desviadores, isto é, nos troços livres do cabo, tem-se, evidentemente, µ = 0 e
k = 0, pelo que, de acordo com a fórmula de Euler, a tensão do cabo é constante. Assim, a
tensão no cabo diminui apenas nos desviadores, conforme se mostra no esquema seguinte:
β
σ ( x)
σ0
σ1
σ 1 = σ0 e −µ β
x
Uma vez que em geral os desviadores são de pequeno comprimento, é admissível
concentramos a perda de tensão num único ponto, como se mostra na linha a traço
interrompido da figura. Introduzindo esta simplificação no nosso exemplo, tem-se:
σ1 = 1395 MPa;
σ ( x)
σ 2 = 1395 × exp ( −0.06 × 0.167 ) = 1381 MPa;
σ1
σ2
σ 3 = 1381× exp ( −0.06 × 0.167 ) = 1367
σ3
MPa;
x
Visto que a tensão é constante em cada troço, o alongamento de cada troço é igual a: ∆l =
O alongamento total será a soma dos alongamentos dos 3 troços, ou seja:
∆l =
1
Ep
1
∑ σ i Li = 195 (1395 × 4.80 + 1381× 8.00 + 1367 × 4.80 ) = 124.6mm
i
Setembro de 2007
VII-9
σL
Ep
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.2.
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Perdas por reentrada das cunhas
Uma vez aplicado o último patamar de pressão no cabo, procede-se ao relaxamento do
macaco, após o que os cordões voltariam a ocupar a posição original se não fossem impedidos
pelas cunhas junto à ancoragem (ou pelas porcas, no caso do pré-esforço em barra). Na fase
de fixação dos cordões (ou das barras) sempre ocorre um certo escorregamento, ou uma certa
reentrada, daí resultando uma perda de tensão no cabo, tal como se ilustra na figura seguinte:
δr
S = E pδr
σ( x)
σ 0'
S
σ ( x) = σ0' e −mx
λ
0
x
Fig. 7. 5 – Perdas por reentrada das cunhas
Na fase de reentrada das cunhas o atrito é favorável, visto se opor a tal movimento. Assim,
conforme se observa na figura acima, as perdas são máximas junto à ancoragem activa,
diminuindo a partir daí até que se anulam a uma certa distância da origem. Esta distância
designa-se por alcance das perdas por reentrada das cunhas e representa-se por λ.
O valor da reentrada, δr, depende do sistema de pré-esforço. Se o macaco permitir o aperto
das cunhas antes do relaxamento, o valor da reentrada é pequeno, entre 4 a 6 mm. Se o aperto
das cunhas se der por arrastamento do cordão, o valor da reentrada pode ser significativo,
podendo atingir valores da ordem dos 10 ou 15 mm, ou mais, dependendo do sistema. No
caso das barras a reentrada a considerar é de cerca de 1 mm.
Recomenda-se que se faça pelo menos uma leitura da reentrada das cunhas e se registe o valor
no boletim de tensionamento, especialmente se o macaco não permitir o aperto das cunhas
antes do relaxamento. Infelizmente, não é prática corrente efectuar este registo. Conforme
veremos, o controlo da reentrada das cunhas assume particular importância no caso dos cabos
curtos, pois as perdas de tensão nestes cabos são relativamente grandes.
Setembro de 2007
VII-10
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
O valor da reentrada, δr, tem de ser igual ao integral entre 0 e λ das variações de extensão
sofridas pelo cabo devidas à reentrada, podendo escrever-se:
λ
λ
λ
∆σ
S
1
⇔
dx =
∆σ dx =
∫
E
E
E
p
p
p
0
0
δ r = ∫ ∆ε dx = ∫
0
S = E pδ r
(1)
S
S é a área indicada na figura 7.5. Nestes apontamentos chamaremos à fórmula (1) fórmula
fundamental das perdas por reentrada das cunhas.
Exemplo 7.5 – Uma viga com secção em caixão possui um cabo exterior com comprimento
igual a L. Admitindo que o cabo é esticado a uma tensão de σ0’, determine a tensão final após
uma reentrada igual a δr.
σ ( x)
S
σ 0'
σ0
L
L
0
x
Resolução:
Denotando a tensão após a reentrada das cunhas por σ 0 e usando a equação (1) vem:
S = E pδ r
⇔
( σ 0 ' − σ 0 ) × L = E pδ r
⇔ σ 0 = σ 0' −
E pδ r
L
Suponhamos, por exemplo, que L = 8.00 m, σ0’ = 1395 MPa, Ep= 195 GPa e δr = 5 mm.
Obtém-se σ 0 =1273 MPa (perdeu 8.7% de tensão)
Suponhamos agora que o cabo é bastante curto: L = 2.00 m.
Obter-se-ia σ 0 =907.5 MPa (perdeu 35% de tensão!)
Vê-se assim que as perdas por reentrada das cunhas em cabos curtos são significativas e que
quanto menor é o cabo maiores são as perdas.
As conclusões tiradas no exemplo acima constituem as razões por que se aconselha recorrer a
pré-esforço em barra no caso de cabos curtos, visto que a fixação da barra é feita com porca
roscada e a reentrada é muito mais pequena do que no caso dos cordões, fixos com cunhas.
Setembro de 2007
VII-11
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Calculo do alcance λ
Considerando que a tensão no cabo é dada por σ ( x ) = σ 0' e − mx , desenvolvendo a fórmula
fundamental das perdas por reentrada das cunhas, obtém-se a seguinte expressão para o
cálculo de λ:
λ=−
m E pδ r
1 ⎛⎜
ln 1 −
σ 0'
m ⎜⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(2)
No anexo D apresenta-se uma dedução desta fórmula, feita com base nos antigos
apontamentos desta cadeira, da autoria do eng.º Pedrosa de Abreu.
A tensão inicial na ancoragem activa, após perdas por reentrada das cunhas, pode ser
calculada pela fórmula Euler, vindo: σ 0 ( x ) = σ 0' e − m 2 λ
Uma expressão alternativa para o calculo de λ, frequentemente apresentada na bibliografia, é
deduzida substituindo a lei de variação da tensão no cabo, lei exponencial, por uma variação
linear. Esta simplificação resulta do facto do argumento da exponencial, mx, possuir, em
geral, um valor pequeno, resultando que e − mx ≅ 1 − mx 1. Atendendo à figura seguinte, tem-se:
σ ( x)
S = E pδ r
σ 0'
a
σ ( x) = σ0' (1 - m x)
σ ( x) = σ0' (1 + m x)
a = σ0 ' m 2 λ
x
λ
0
Fig. 7. 6 – Formula aproximada para o cálculo das perdas por reentrada das cunhas
S = E pδ r ⇔
1
1
a λ = E pδ r ⇔
σ 0' m 2 λ × λ = E pδ r ⇔
2
2
λ=
E pδ r
mσ 0 '
(3)
Qualquer das expressões (2) ou (3) só podem se aplicadas quando o alcance estiver contido no
primeiro troço de parábola. Quando tal não acontece, o calculo torna-se iterativo e o valor de
λ é determinado de forma a respeitar a equação S=Epδr, deduzida anteriormente.
1
Recordamos
que
2
o
3
desenvolvimento
em
série
n
de
Taylor
da
função
exponencial
é:
x
x
x
+
+ ... +
+ ... ; sabe-se que esta série converge para todos os valores de x, pelo
2! 3!
n!
(mx) n
(mx) 2 (mx) 3
− mx
que se pode escrever: e
= 1 − mx +
−
+ ... +
− ... ; para mx pequeno,
n!
2!
3!
− mx
efectivamente, e
≅ 1 − mx
ex =1+ x +
Setembro de 2007
VII-12
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
As expressões acima também não poderão ser usadas quando o alcance atinge a ancoragem
passiva. Vejamos como calcular as perdas de tensão quando tal sucede. Seja, então, um cabo
de comprimento L e admita-se que o alcance atinge a ancoragem passiva, ou seja, λ= L.
Aplicando a formula fundamental vem (ver figura 7.7):
E pδ r
1
S = E p δ r ⇔ 2 × σ 0' mL × L + y × L = E p δ r ⇔ y =
− σ 0' mL
L
2
A tensão inicial na ancoragem activa é dada por:
σ 0 (0) = σ 0' − 2σ 0' mL − y ⇔ σ 0 (0) = σ 0' − σ 0' mL −
E pδ r
L
σ ( x)
S
σ0' m L
σ ( x) = σ0' (1 - m x)
σ 0'
y
σ0' m L
σ( x) = σ0' (1 + m x)
x
0
L
Fig. 7. 7 – Quando o alcance das perdas por reentrada atinge a ancoragem passiva
Por fim, refira-se que nas expressões acima admitiu-se, como de resto é usual, que o atrito na
fase de reentrada é igual ao atrito na fase de esticamento. Em boa verdade, tal como dizia o
professor Leonhardt, o coeficiente de atrito na reentrada é superior ao coeficiente de atrito na
fase de esticamento. Tal pode ser confirmado com a seguinte experiência: Se passarmos uma
lixa num superfície várias vezes sempre no mesmo sentido, verifica-se que a superfície fica
polida nesse sentido e áspera no sentido oposto. A figura seguinte mostra as curvas de tensão
após a reentrada das cunhas na hipótese de idêntico atrito e na hipótese de atrito superior na
reentrada:
σ ( x)
σ 0'
µ
µ
reentrada
> µ
reentrada
= µ
esticamento
esticamento
x
0
Conforme se observa, dado que as áreas S têm de ser idênticas numa situação e noutra, visto
que ambas são dadas por S = Epδr , a hipótese de atrito superior na reentrada conduz a um
alcance inferior, mas a maiores perdas de tensão na ancoragem activa.
Setembro de 2007
VII-13
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.3.
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Perdas por deformação instantânea do betão
No caso dos elementos pos-tensionados, as perdas de tensão por deformação instantânea do
betão variam de cabo para cabo, sendo máximas no primeiro cabo a ser esticado e nulas no
último cabo. Se os cabos não estiverem muito afastados, a perda de tensão média pode ser
calculada pela seguinte expressão (adaptada do EC2 §5.10.5.1):
∆σ p 0,e ( x) =
1 n −1 E p
| σ c ( x) |
2 n Ecm (t0 )
em que:
Ep – módulo de elasticidade do aço de pré-esforço
Ecm(t0) – módulo de elasticidade do betão à idade de aplicação do pré-esforço
σc(x) – tensão de compressão no betão, calculada ao nível do centro mecânico da
armadura de pré-esforço, resultante do pré-esforço aplicado e de outras acções
permanentes que actuem depois da aplicação do pré-esforço.
Notas:
1) No Capítulo II apresentaram-se as expressões do EC2 para o calculo Ecm(t).
2) Na expressão acima a tensão foi colocada em módulo a fim de obter um valor positivo
para a perda de tensão.
3) Como se disse acima, o calculo de σc(x) inclui o pré-esforço na secção e ainda as
acções permanentes, ∆g, que actuem depois da aplicação de pré-esforço. Estas
poderão provocar uma perda (ou um ganho!) de tensão no cabo. Admitindo que a
secção está em fase não fendilhada, podemos usar as seguintes expressões:
σ c = σ c , p 0 + σ c,∆g ; σ c, p 0 = −
N hip
P0 e2 P0 M hip
− ±
;
e+
I
A
I
A
σ c,∆g = ±
M ∆g
I
e+
N ∆g
A
A razão de indicarmos ± foi porque não se especificou nenhuma convenção de sinais
para a excentricidade, e. A e I representam a área e a inércia da secção.
4) Se existir no elemento estrutural apenas um cabo de pré-esforço (n = 1) não haverá
lugar a perdas por deformação instantânea do betão (no momento da aplicação de préesforço!). Com efeito, visto que a deformação do elemento é instantânea, a diminuição
de força no cabo é automaticamente compensada pelo operador que continua a
aumentar a pressão na bomba hidráulica até esta estabilizar no valor pretendido.
No caso dos elementos pré-tensionados, todos os fios são igualmente afectados pela
deformação do betão e a perda de tensão devida à deformação instantânea do betão pode ser
calculada pela expressão:
∆σ p 0,e ( x) =
Setembro de 2007
Ep
Ecm (t0 )
| σ c ( x) |
VII-14
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
3. Perdas diferidas
As perdas diferidas são de três tipos: perdas devidas à retracção do betão, devidas à fluência
do betão e devidas é relaxação dos aços. No capítulo II vimos como calcular cada uma destas
perdas de forma independente e depois calculamos as perdas totais somando as três, sem
qualquer preocupação acerca da interdependência entre elas. Acontece, porém, que estas
perdas são realmente interdependentes. Por exemplo, as perdas por retracção influenciam as
perdas por fluência, uma vez que a diminuição de tensão nos aços devida à retracção provoca
uma diminuição de compressão no betão e consequentemente uma diminuição da deformação
de fluência. Também as perdas por retracção e fluência fazem diminuir as perdas por
relaxação dos aços, uma vez que provocam uma diminuição de tensão nos aços e, conforme
vimos, as perdas por relaxação crescem com a tensão nos aços.
De seguida apresentamos a expressão proposta pelo EC2 §5.10.6 (2) relativa ao calculo
simplificado das perdas diferidas totais numa secção genérica, tendo em conta a interacção
entre os três tipos de perdas:
∆σ pt , s +c + r =
∆σ pt , s + ∆σ pt ,c + 0.80∆σ pt ,r
Ap ⎛ A 2 ⎞
1+ α
⎜ 1 + e ⎟ (1 + 0.80ϕ (t , t0 ) )
A ⎝
I ⎠
Nesta expressão:
− ∆σ pt ,s = E p | ε cs (t ) | ; ε cs (t ) é a extensão de retracção desde o início até ao dia t;
− ∆σ pt ,c = α ϕ (t , t0 ) | σ c,QP | ;
α=
Ep
Ecm
;
− ϕ (t , t0 ) é o coeficiente de fluência entre o dia t e o dia t0, o dia de aplicação do préesforço;
− σ c,QP representa a tensão no betão calculada ao nível do centro mecânico da armadura
de pré-esforço, resultante da combinação quase permanente, incluindo acção do préesforço.
− ∆σ pt ,r representa as perdas diferidas às t horas após a aplicação do pré-esforço,
calculada para uma tensão inicial igual a σp0 (pré-esforço após perdas instantâneas).
− Ap denota a área dos cabos de pré-esforço na secção.
− A e I representam, respectivamente, a área e a inércia da secção de betão.
− e representa a excentricidade dos cabos (distância entre os cabos e o centro de
gravidade da secção);
Setembro de 2007
VII-15
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Notas:
1) A expressão do coeficiente de homogeneização acima, α = E p / Ecm , difere da
apresentada no capítulo 2 onde se usou Ec (modulo tangente) em vez de Ecm (modulo
secante.
2) O coeficiente 0.80 que afecta as perdas por relaxação, pretende naturalmente traduzir a
redução que ocorre nas perdas por relaxação por causa das outras perdas diferidas.
3) Como se indicou acima, o cálculo da tensão de compressão no betão deve ser efectuado
para a combinação quase permanente de acções. Assim, admitindo que a secção está em
fase não fendilhada, podemos usar as seguintes expressões:
σ c,QP = ±
M QP
I
e+
NQP
A
; em que:
M QP = M g ± P0 e + M hip + ψ 2 M q ; M QP = N g − P0 + N hip +ψ 2 N q
g – indica carga permanente, com exclusão do pré-esforço;
q – indica sobrecarga.
Usou-se acima o símbolo ± visto não se ter definido uma convenção específica para o
sinal da excentricidade.
4) Recordamos que para fios e cordões de baixa relaxação (classe de relaxação 2), a
expressão proposta pelo EC2 é a seguinte:
∆σ pt ,r = 0.66 ρ1000 e
µ=
Setembro de 2007
σ p0
f pk
9.1 µ
⎛ t ⎞
⎜
⎟
⎝ 1000 ⎠
0.75(1− µ )
; ρ1000 = 2.5 %;
VII-16
× 10−5 σ p 0 ; em que:
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
*** Problemas propostos ***
Problema 7.1 (Aplicação da fórmula de Euler)
Considere o reservatório circular representado na figura:
2.00
2.00
R=
10
.0
0
B
A
Recorrendo à formula de Euler determine a força no cabo na secção B, sabendo que a força na
origem (secção A) é de 1000 KN. Considere apenas as perdas por atrito e admita µ = 0.20 e k
= 0.01.
Problema 7.2 (Aplicação da formula de Euler ao caso de vigas. Cálculo de alongam.)
Uma viga simplesmente apoiada com 18.00 m de vão é pré-esforçada com um cabo de 7
cordões de 15 mm (1.4 cm2 de área).
1x7T15 (aço Y1860 S7)
C
4.00
18.00
Parâmetros de atrito: µ = 0.20; k = 0.01 m-1;
VII-17
0.60
0.60
8.00
Setembro de 2007
D
0.09
B
0.09
A
6.00
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
a) Determine a força ao longo do cabo, antes das perdas por reentrada das cunhas, nas
seguintes situações:
1) O cabo é esticado apenas pela extremidade esquerda;
2) O cabo é apenas esticado pela extremidade direita;
3) O cabo é esticado por ambas as extremidades.
b) Calcule o alongamento do cabo, antes da reentrada das cunhas, para cada uma das
situações anteriores. Adopte Ep = 195 GPa.
Problema 7.3 (Perdas instantâneas; alcance da reentrada atinge a ancoragem passiva)
Uma viga de betão armado é pré-esforçada com um único cabo, esticado a uma tensão de
1395 Mpa pela extremidade esquerda.
0.40
0.40
0.10
7.50
7.50
15.00
a) Trace o diagrama de tensão no cabo após as perdas instantâneas, considerando os
seguintes parâmetros:
• Parâmetros de atrito: µ = 0.20; k = 0.005 m-1; Ep = 195 GPa;
• Reentrada das cunhas: δr = 6 mm;
Note que o alcance das perdas por reentrada das cunhas atinge a ancoragem passiva;
b) Admita agora que o cabo é retensionado pela extremidade direita, à mesma tensão,
isto é, a 1395 Mpa. Trace o diagrama de tensão no cabo após o retensionamento;
c) Compare os diagramas de tensão obtidos nas alíneas a) e b). Que conclusões se
podem tirar?
Setembro de 2007
VII-18
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Problema 7.4 (Perdas totais; calculo de alongamentos)
Considere a viga de betão armado pré-esforçado representada na figura:
2x7T15
12.50
0.85
0.10
1,2
0.85
CABO
S
12.50
25.00
CABO 1
0.20
CABO 2
1.40
2.00
A = 0.76 m2; I = 0.137 m4;
Betão: C25/30
vs = 0.432 m; vi = 0.968 m;
Aço: Y1860 S7
Ep = 195 Gpa;
0.30
a) Trace e cote o diagrama de pré-esforço inicial que fica instalado na viga,
calculando as perdas instantâneas de acordo com as hipóteses:
• Parâmetros de atrito: µ = 0.20; k = 0.01 m-1;
• Reentrada das cunhas: δr = 6 mm;
Despreze as perdas por deformação instantânea do betão.
b) Determine o alongamento de cada cabo, antes da reentrada das cunhas.
c) Recorrendo à formula de interacção de perdas do EC2 determine o pré-esforço
útil a meio vão, avaliando as perdas diferidas de acordo com as seguintes
hipóteses:
• Carga quase permanente, com exclusão do pré-esforço: 26 KN/m;
• Parâmetros de retracção e fluência: εcs = -25×10-5; ϕc = 2.5;
• ρ1000 = 2.5 %.
Setembro de 2007
VII-19
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Problema 7.5 (Perdas totais; calculo de alongamentos)
Considere a viga de betão armado pré-esforçado representada na figura:
CABO 1
0.50
CABO 2
0.10
A
0.10
B
8.00
Parábola
2x7T15
D
C
2.00
Recta
8.00
Parábola
1.00
MATERIAIS
- BETÃO: C25/30; Ec = 30.5 GPa;
- AÇO DE PRÉ-ESFORÇO: cordão de 15 mm (A = 1.40 cm2); Ep = 195 GPa; Y1860 S7
CARGAS QUASE PERMANENTES: 30 KN/m;
0.50
a) Determine o pré-esforço inicial que fica instalado nas secções A e B, avaliando
do as perdas instantâneas de acordo com as seguintes hipóteses:
• Parâmetros de atrito: µ = 0.20; k = 0.01;
• Alcance das perdas por reentrada das cunhas: λ = 13.00 m;
• Módulo de elasticidade do betão à idade de aplicação do pré-esforço:
Ecm (7) = 27 Mpa;
b) Determine o alongamento de cada cabo;
c) Recorrendo à formula de interacção de perdas do EC2 determine o pré-esforço
útil na secção B, avaliando as perdas diferidas de acordo com as seguintes
hipóteses:
• Parâmetros de retracção e fluência: εcs = -25×10-5; ϕc = 2.5;
• ρ1000 = 2.5 %.
Problema 7.6 (Calculo de perdas devidas à reentrada das cunhas)
Deduza a expressão para o cálculo do alcance das perdas por reentrada das cunhas,
considerando que o atrito na reentrada é α vezes o atrito que se manifesta no tensionamento.
R: λ =
2E pδ r
(1 + α )σ 0' m
Setembro de 2007
; m = µ (2a + k) a: y = a x2;
VII-20
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Problema 7.7 (2º teste 9/1/2004)
Suponha que foram levantadas dúvidas sobre o real coeficiente de atrito cabo-baínha dos
cabos do Problema 7.4. Foi feita a seguinte experiência: Foram introduzidos dois macacos
iguais e em simultâneo nas extremidades do cabo 1. Aplicou-se uma pressão de 400 bares no
macaco junto à ancoragem activa e, mantendo essa tensão estabilizada, constatou-se que a
bomba do 2º macaco acusou uma pressão de 364 bares. Determine o coeficiente de atrito,
considerando que pode ser atribuído ao desvio angular unitário o valor de k = 0.01 rad/m.
Problema 7.8 (2º teste 9/1/2004)
Suponha que para um dado cabo e para uma tensão de esticamento de 700 MPa se obtém um
alongamento ∆l = 150 mm. Qual das seguintes afirmações é a correcta:
a) Para uma tensão de esticamento de 1400 MPa, ∆l < 300 mm
b) Para uma tensão de esticamento de 1400 MPa, ∆l = 300 mm
c) Para uma tensão de esticamento de 1400 MPa, ∆l > 300 mm
Problema 7.9 (Pré-esforço exterior)
Considere o cabo exterior com a geometria indicada na figura. Admita as seguintes hipóteses:
−
Tensão de esticamento: 1300 Mpa (~ 0.70fpuk), pela extremidade direita.
−
Ep = 195 GPa;
µ = 0.06;
δr = 6 mm;
a) Determine o alongamento do cabo antes da reentrada das cunhas;
b) Desenhe o diagrama de tensões que fica instalado no cabo após perdas
instantâneas. Despreze as perdas por deformação instantânea do betão.
Esboço da resolução:
β
σ1
σ0
S
σ2
σ3
x
Setembro de 2007
VII-21
S = Epδr
σ (x)
σ 1 = σ0 e −µ β
σ 3 = σ2 e −µ β
3 equações / 3 incognitas
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VII – Perdas de pré-esforço
Problema 7.10 (Exame de época especial – 20/4/2005)
0.07
Considere o cabo assinalado na figura seguinte. O cabo é esticado a uma tensão de 1395
MPa por ambas as extremidades. Adopte µ = 0.20; k = 0.01 rad/m; Ep = 195 Mpa;
1
0
1.00
2
0.50
3.00
0.50
4.00
a) Determine a tensão no cabo nos pontos 1 e 2, antes da reentrada da cunhas.
b) Usando a tensão média em cada troço, determine o alongamento total do cabo, isto é,
o alongamento obtido no 1º tensionamento, mais o alongamento obtido no 2º
tensionamento.
Problema 7.11 (2.º teste 20/12/2006)
Explique por que razão as perdas para o conjunto dos fenómenos diferidas é inferior à soma
das perdas individuais de cada fenómeno, isto é:
∆σ pt , s +c + r < ∆σ pt , s + ∆σ pt ,c + ∆σ pt ,r
Problema 7.12 (2.º exame 19/7/2006)
Considere uma viga pré-esforçada com um cabo assimétrico, tal como se mostra na figura.
A
B
Admitindo que o cabo é esticado por apenas uma das extremidades (A ou B), classifique as
seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas. Justifique as respostas.
a) Quando o cabo é esticado por A, o alongamento obtido é inferior ao que se obteria se
o cabo fosse esticado por B.
b) Quando o cabo é esticado por A, o alcance das perdas por reentrada das cunhas é
inferior ao alcance que se obteria se o cabo fosse esticado por B. Admita que em
qualquer das situações o alcance não atinge a outra extremidade.
Setembro de 2007
VII-22
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
Cap. VIII – Estados limites últimos
1. E.L. Último de flexão
1.1.
Critério de verificação da segurança
A verificação da segurança em relação ao estado limite último de flexão consiste em
satisfazer, para todas as secções, a seguinte condição:
M sd ≤ M Rd
onde Msd designa o momento actuante de calculo e MRd o momento resistente de calculo.
O momento actuante de cálculo deverá ser determinado de acordo com as regras de
combinação de acções para estado limite último. Na parcela relativa ao pré-esforço deverá
figurar apenas o momento hiperstático de pré-esforço, ou seja:
M sd = (...) +
{ }M
1.00
1.20
hip
+ (...)
Conforme veremos, os esforço isostáticos de pré-esforço1 serão incluídos do lado do MRd. De
acordo o EC2 §2.4.2.2, os factores de segurança a aplicar à parcela de pré-esforço são de 1.00
e 1.20, respectivamente quando o pré-esforço é favorável e quando é desfavorável.
1.2.
Calculo de MRd
1.2.1. Bases para o cálculo de MRd
Hipóteses de base
O cálculo do MRd assenta nas seguintes hipóteses de base:
− as secções mantêm-se planas até à rotura (hipótese de Bernoulli).
− o betão não resiste à tracção;
− verifica-se aderência perfeita entre as armaduras e o betão.
Diagramas de cálculo
Relativamente aos diagramas de cálculo dos materiais (relações constitutivas para estado
limite último), adoptam-se os seguintes diagramas:
1
M iso = P × e ;
Setembro de 2007
N iso = − P
VIII-1
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
σc
α cc = 1.00
f
fcd
f
cd
f ( t ) = α cc
cd
εc
2‰
= α cc γ
c
ck
3.5‰
γc =
1.50 , caso geral
1.20 , Situação de acidente
f ( t)
ck
γc
Fig. 8. 1 – Diagrama de cálculo do betão
σs
fsyd
fsyk
fsyd =
Es
-3.5 ‰
εy
εs
γs =
γs
Es = 200 GPa
1.15 , caso geral
1.00 , Situação de acidente
Classe
fsyd [MPa]
ε y [‰]
A235
204
1.0
A400
348
1.7
A500
435
2.2
Es = 200 GPa
fsyd
Fig. 8. 2 – Diagrama de cálculo da armadura passiva
σp
fpk
fp0.1k
fpyd
fpyd =
γs =
fp0.1k
γp
205 GPa, fios
Ep = 195 GPa, cordões
170 GPa, barras
1.15 , caso geral
1.00 , Situação de acidente
Exemplo: Aço Y1860 S7:
fpyd = 1600 ~ 1400 MPa
1.15
f
ε y = pyd = 1390 ~ 7 ‰
195
Ep
Ep
0.1% ε y
εp
Fig. 8. 3 – Diagrama de cálculo das armaduras de pré-esforço
Observações:
1) Relativamente aos aços, o EC2 prevê a possibilidade de se considerar o ramo de cedência
com uma certa inclinação (cedência com endurecimento). No entanto, neste caso, há
limites da extensão última a respeitar. No caso de se adoptar diagramas com patamar de
cedência horizontal, como os diagramas acima (cedência perfeitamente plástica), não há
limites a considerar para a extensão última.
2) O EC2 denota os valores de cálculo das resistências dos aços por fyd e fpd, respectivamente
para aço ordinário e aço de pré-esforço. Parece-nos preferível usar as notações
tradicionais no nosso país, fsyd e fpyd. Assim, nestes apontamentos usaremos
preferencialmente estas notações.
Setembro de 2007
VIII-2
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
3) Se a avaliação de fck for efectuada pelo rebentamento de provetes e estes tiverem mais do
que 28 dias, então a expressão a usar para fcd é a seguinte: f cd = 0.85 f ck / γ c [EC2 §3.1.2
(4)]
Rotura convencional
Considerando os diagramas de cálculo das armaduras com patamar de cedência horizontal,
não há, como vimos, limite a impor à extensão da armadura (activa ou passiva). Assim,
Considera-se que uma secção esgotou a sua capacidade resistente à flexão quando se atingir
no betão:
|εc| = εcu2 = 3.5‰ .
Para betões da classe C55/67 ou superior o limite da extensão é inferior a 3.5% (ver EC2
tabela 3.1).
1.2.2. Método geral para o cálculo de MRd
A figura seguinte mostra uma secção genérica em betão armado pré-esforçado bem como os
diagramas das extensões e tensões associados à rotura da secção:
|εc| ≤ 3.5‰
fcd
x
Fc
Ap
∆εp
As
Fp
εs
ε
zs
d
zp
linha neutra
Fs
σ
Fig. 8. 4 – Diagramas de extensões e tensões na rotura de uma secção
Uma vez que a rotura de uma secção à flexão foi convencionada em termos de extensões, o
método geral para o calculo de MRd consiste em “varrer” de forma iterativa os diagramas de
extensões possíveis, ε, até encontrar o diagrama que satisfaz simultaneamente as seguintes
condições:
− |εc| ≤ 3.5‰
− Fc = Fp + Fs (se a flexão for simples)
Uma vez encontrado o diagrama das extensões, é calculado o correspondente diagrama das
tensões por aplicação directa dos diagramas de calculo dos materiais σ-ε. As forças nas
armaduras são dadas por:
Fp = f pyd Ap , caso εp ≥ εy, ou F p = E p ε p Ap , caso contrário
Fs = f syd As , caso εs ≥ εy, ou Fs = E s ε s As , caso contrário.
Setembro de 2007
VIII-3
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
A força resultante no betão, Fc, é determinada por integração das tensões de compressão.
Uma vez determinadas as forças internas (Fp, Fs e Fc) o momento resistente da secção obtémse pela soma dos momentos de cada uma dessas forças em relação ao centro de gravidade da
secção. No caso específico da flexão simples, o momento resistente é igual qualquer que seja
o ponto tomado como referência. No caso da figura 8.4, em que não há esforço axial exterior,
o momento resistente é dado simplesmente por:
M Rd = Fp z p + Fs z s
Uma vez que Fp representa a força total no pré-esforço (e não apenas o incremento na
passagem ao estado limite), significa isto que o momento resistente calculado pela expressão
acima inclui o momento isostático de pré-esforço. Assim, com dissemos no princípio, na
determinação do Msd deve figurar apenas a parcela hiperstática.
Como última nota, refere-se que se desejarmos calcular a extensão no aço de pré-esforço na
rotura, haverá que adicionar à extensão que o cabo já tem, o incremento de extensão
verificado na rotura, ou seja ε p = ε p∞ + ∆ε p .
Por aqui se percebe que o aço de pré-esforço deva ser esticado previamente a fim de se tirar
partido da sua total resistência. Efectivamente, se não fosse esticado previamente, tal como
não são esticadas as armaduras passivas, haveria a possibilidade do incremento ∆ε p não ser
suficiente para levar o aço à cedência, não nos permitindo tirar partido da total capacidade
resistente dos aços.
1.2.3. Método do diagrama rectangular
Um método simplificado muito útil quando se pretende calcular manualmente o momento
resistente de uma secção, conhecido como método do diagrama rectangular, consiste em
substituir o diagrama parábola-rectangulo do betão por um diagrama rectangular
aproximadamente equivalente, conforme indicado na figura seguinte:
0.90 fcd
y
x
x
y
fcd
y = 0.80 x
y = 0.80 x
Fig. 8. 5 – Diagrama rectangular apróximadamente equivalente ao diagrama parábola-rectangulo
Este método facilita muito a determinação da força Fc. Assim, se por exemplo a área
comprimida for rectangular, a força resultante no betão será dada simplesmente por:
Fc = f cd × b × y
(b – largura da zona comprimida)
É interessante que este método tem gozado de uma aceitação praticamente universal.
Setembro de 2007
VIII-4
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
Exemplo 8.1
Considere a viga em consola representada na figura:
0.12
0.60
q = 10 KN/m
2x12Ø15
2.00
0.12
S
2.00
20.00
0.24
h - varia linearmente entre 2.00 e 0.60
h
0.24
Pré esforço: É constituído por 2 cabos de 12 cordões
2
de 15 mm (1.4 cm de área).
1.00
Materiais: – Betão: C30/37; fcd = 20.0 MPa;
– Armaduras de pré-esforço: Y1860S7; fpyd = 1400 MPa;
– Armaduras passivas: Aço A500NR;
Acções:
– Permanentes:
g = peso próprio;
– Variáveis:
q = 10 KN/m
fsyd = 435 MPa;
(ψ0 = 0.60; ψ1 = 0.40; ψ2 = 0.30);
Verifique a segurança ao EL Último de flexão na secção S. Admita que a armadura passiva é
composta por duas camadas de 6φ16 cada, distantes de 5 cm e 19 cm da face superior.
Resolução:
Fs1
Momento actuante de calculo:
Secção S: 1.00×2.00 – 0.52×1.52 =1.21 m2;
Fs2
Secção extrema: 1.00×0.60 – 0.52×0.12 = 0.538 m2
Mg = 3809 KNm;
Mq = 10×202/2 = 2000 KNm;
0.24
2.00
Msd = 1.50×(3809 + 2000) = 8714 KNm
Momento resistente de calculo:
Forças nas armaduras:
4704 KN
Fs1 = 43.5×6×2.01 =
525 KN
Fs2 = 43.5×6×2.01 =
525 KN
Fc2
a
Fp = 140×2×12×1.4 =
0.24
Fc1
1.00
Setembro de 2007
VIII-5
Fp
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Total:
Cap. VIII – E.L. Últimos
5754 KN
Posição da linha neutra:
Betão C30/37 ⇒ fcd = 30/1.5 = 20 MPa;
Por equilíbrio: Fc = Fp + Fs1 + Fs2 ⇔ 20×103×1.00×y = 5754 ⇔ y = 0.289 m
Assim, a compressão atinge as almas, pelo que é necessário corrigir a equação de equil.:
A força que actua no banzo inferior é: Fc1 = 20×103×1.00×0.24 = 4800 KN
Fc1+ Fc2 = Fp + Fs1 + Fs2 ⇔ 4800 + 20×103×2×0.24×a = 5754 ⇔ a = 0.099 m
Assim,
x = (0.24 + 0.099)/0.80 = 0.424 m;
Extensões no betão e nas armaduras:
εc = 3.5 ‰;
εs1 = (d1 – x)/x ×εc = (2.00 – 0.05 – 0.424)/0.424 ×3.5 = 12.6 ‰;
εs2 = (d2 – x)/x ×εc = (2.00 – 0.19 – 0.424)/0.424×3.5 = 11.4 ‰;
∆εp = (dp – x)/x ×εc = (2.00 – 0.12 – 0.424)/0.424×3.5 = 12.0 ‰;
εp = εp∞ + ∆εp = 5‰ + 12.0‰ = 17.0 ‰ (εp∞ = 5‰ foi estimado)
Fs1
Fp
0.05
0.07
0.07
Fs2
ε s1
∆ε p
εs 2
x
d1
dp
d2
2.00
1.520
εc
Fc2
Fc1
0.170
0.12
Calculando os momentos das forças internas em torno de Fc2, vem:
MRd = 525×(0.07+0.07+1.52) + 4704×(0.07+1.52) + 525×1.52 + 4080×0.17 =
= 9842 KN > 8714 KNm, pelo que verifica a segurança.
Obervação: O leitor mais atento provavelmente notou que o pré-esforço na consola
(2×12φ15) é relativamente grande na zona de extremidade da consola, face à área da secção
disponível. Assim, se se tratasse de um projecto real haveria vantagem em dispensar um dos
cabos e modificar a secção de forma a que o cabo remanescente se situasse simetricamente na
secção.
Setembro de 2007
VIII-6
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
1.2.4. Flexão composta
No caso de haver esforço axial, o processo de cálculo é inteiramente semelhante ao que vimos
anteriormente, com a diferença de que as forças internas Fc, Fp e Fs têm de estar em equilíbrio
com o esforço axial, ou seja: Fp + Fs − Fc = N sd .
1.2.5. Secção com pré-esforço não aderente
Se o pré-esforço for do tipo não aderente, como é o caso do pré-esforço exterior e o caso do
pré-esforço interior com monocordões auto-embainhados, existem duas possibilidades para a
verificação da segurança ao estado limite último de flexão.
Uma consiste em tratar o pré-esforço como acção e os esforços correspondentes (isostáticos e
hiperstáticos) serão combinados juntamente com as outras acções. Neste caso o pré-esforço,
com as suas parcelas isostática e hiperstática, aparece integralmente do lado dos esforços
actuantes e o momento resistente é calculado como se se tratasse de uma secção em betão
armado. A flexão a considerar seria composta, em virtude da compressão provocada pelo préesforço.
A outra possibilidade, semelhante ao método anteriormente descrito, consiste em colocar a
parcela isostática do lado do momento resistente. A parcela hiperstática será colocada,
evidentemente do lado das acções. Mas agora a força Fp é a força existente no cabo,
eventualmente acrescida de um valor dependente da deformação global da viga na passagem
ao estado limite, e não a força última no cabo, ou seja: F p = (σ p∞ + ∆σ p , ELU )Ap .
De acordo com o EC2 §5.10.8, se não forem efectuados cálculos mais precisos, podemos
considerar ∆σ p , ELU = 100MPa .
Por aqui se vê que o pré-esforço não aderente é muito menos eficaz do que o pré-esforço
aderente, dado que não é possível tirar partido da total capacidade resistente dos aços. Por
exemplo, numa situação típica com os cordões de pré-esforço a uma tensão a longo prazo de
1050 MPa, acrescentado 100 MPa, obtém-se 1150 MPa, a que corresponde a cerca de 80% da
tensão de cálculo da armadura (~1400 MPa), pelo que se perde cerca de 20% da capacidade
dos aços de pré-esforço.
1.3.
Armaduras mínimas de flexão
De acordo com o EC2 §9.2.1.1 a armadura mínima em vigas é dada por:
f ctm
⎧
⎪0.26 f bt d
⎪
syk
As ,min = max ⎨
⎪ 0.13 b d
⎪⎩ 100 t
onde bt representa a largura média da zona traccionada e d a altura útil. Note-se que as
armaduras mínimas a adoptar são independentes da armadura de pré-esforço. Por outras
palavras, a armadura de pré-esforço não conta para efeitos de armadura mínima.
Setembro de 2007
VIII-7
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
2. E.L. Último de esforço transverso
2.1.
Critério geral de verificação da segurança
A verificação da segurança em relação ao estado limite último de esforço transverso, tal como
em relação à flexão, é feita em termos de esforços e consiste em satisfazer, para todas as
secções, a seguinte condição:
Vsd ≤ VRd
(1)
onde Vsd designa o valor de calculo do esforço transverso actuante e VRd o valor de cálculo do
esforço transverso resistente. O esforço transverso actuante deverá ser calculado de acordo
com as regras de combinação de acções para estado limite último. Na parte relativa ao préesforço, figurarão ambas as parcelas isostática e hiperstática, ou seja:
Vsd = (...) +
em que:
V p = Viso + Vhip
{ }V
1.00
1.20
p
+ (...)
e Viso = P∞ tan α
Nota-se aqui uma diferença entre o modo de tratar o ELU de esforço transverso e o ELU de
flexão. Enquanto que no primeiro o pré-esforço aparece integralmente do lado das acções, no
segundo uma parte do pré-esforço (parcela hiperstática) aparece do lado da resistência e a
outra parte (parcela isostática) aparece do lado da resistência.
No que diz respeito ao cálculo de VRd , há a distinguir elementos com armadura específica de
esforço transverso (em geral as vigas) e elementos sem armadura específica de esforço
transverso (em geral as lajes).
No que segue, trataremos dos elementos com armadura específica de esforço transverso. Os
elementos sem armadura específica de esforço transverso serão tratados no capítulo IX – lajes
pré-esforçadas.
2.2.
Formulação geral da resistência ao esforço transverso
A formulação do EC2 é relativamente diferente da do REBAP. A diferença principal resulta
do facto do EC2 abandonar o conceito do termo corrector da treliça de Mörsch, Vcd, e, dentro
de certos limites, dar liberdade de escolha da inclinação das bielas.
A verificação da segurança ao esforço transverso baseia-se, conforme sabemos, no modelo de
treliça, conhecido como treliça de Mörsch, no qual a viga é idealizada por um conjunto de
bielas e tirantes em correspondência com as compressões e tracções existentes. A figura
seguinte mostra um troço de viga e o respectivo modelo de treliça:
Setembro de 2007
VIII-8
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
db = z (cot gθ + cot gα) senθ
Fc
db
Fb
VRd
Fsw
α
θ
1
z
d
Msd
Vsd
Fs
z (cot gθ + cot gα)
bw
Fig. 8. 6 – Modelo de treliça de um troço genérico de viga de altura constante
A verificação da segurança considera-se satisfeita se:
1 – A área dos estribos for suficiente para resistir à força Fsw (segurança pelas armaduras)
2 – As bielas possuírem resistência suficiente à absorção da força Fb (segurança pelo betão)
As forças no tirante, Fsw , e na biela, Fb, determinam-se facilmente por equilíbrio. Da figura
anterior resulta imediatamente:
VRd = Fb senθ
Por outro lado, do equilíbrio do nó 1, assinalado na figura, tira-se que:
Fb senθ = Fsw senα ;
ou seja,
VRd = Fsw senα
Asw
(área por unidade de comprimento) e considerando
s
que o comprimento de influência do tirante, calculado por considerações geométricas, é de
z (cot gθ + cot gα ) , o esforço transverso correspondente à cedência dos estribos é dado por:
Designando a área dos estribos por
VRd = Fsw senα ⇔
VRd = f syd
Asw
z (cot gθ + cot gα ) senα
s
(2)
Vejamos agora como verificar a segurança das bielas de betão. Denotando o esforço
transverso associado ao esmagamento das bielas de betão por VRd,max, tem-se, conforme
vimos:
VRd ,max = Fb senθ
A força na biela, Fb, associada ao esmagamento, é igual à tensão máxima admitida para o
betão vezes área da biela, que é igual a z (cot gθ + cot gα ) senθ bw (ver figura 8.6).
De acordo com o EC2, a tensão máxima admitida para o betão é dada por α cν f cd onde
α c pretende traduzir a influência de eventuais esforços normais de compressão e ν é um factor
de redução da resistência do betão para ter em conta o facto de se tratar de betão com fissuras
de esforço transverso. Tem-se:
VRd ,max = Fb senθ = α cν f cd z (cot gθ + cot gα ) senθ bw senθ ⇔
Setembro de 2007
VIII-9
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
V Rd , max = α cν f cd bw z
Cap. VIII – E.L. Últimos
(cot gθ + cot gα )
1 + cot g 2θ
(3)
De acordo com o EC2, o factor αc é sempre superior, ou quando muito igual a 1.00, pelo que
se tomarmos αc = 1 estaremos do lado da segurança. Relativamente ao coeficiente ν, é
calculado de acordo com a expressão:
⎛
⎝
ν = 0.60 ⎜1 −
f ck ⎞
⎟
250 ⎠
com fck , resistência característica do betão em provetes cilíndricos, expresso em [MPa].
No caso específico de estribos verticais, ou melhor, estribos perpendiculares ao eixo da viga
(α = 90º), a equação (2) transforma-se em:
VRd = f syd
Asw
z cot gθ
s
(4)
A área dos estribos necessária à verificação da segurança obtém-se substituindo (4) em (1) e
A
resolvendo esta última em ordem a sw :
s
Vsd ≤ VRd
⇔
Asw
Vsd
≥
s
z f syd cot gθ
Em resumo:
No caso específico de estribos perpendiculares ao eixo da viga, a segurança ao estado limite
de esforço transverso é satisfeita quando se verificam simultaneamente as seguintes
condições:
1-
Asw
Vsd
≥
s
z f syd cot gθ
2 - Vsd ≤
α cν f cd bw z
cot gθ + tgθ
(segurança pelas armaduras)
(segurança pelo betão)
A inclinação das bielas, θ, deve estar compreendida entre 22 e 45º. Nas aplicações correntes,
particularmente em estruturas de betão pré-esforçado, é usual adoptar-se θ = 30º.
Braço das forças internas, z
Relativamente ao braço das forças internas, z, podemos adoptar, na generalidade das situações
em flexão simples: z = 0.9 d . [EC2 §6.2.3 (1)]
Como é evidente, se conhecermos o momento resistente da secção, MRd, podemos calcular z
de forma mais rigorosa usando a expressão: z = MRd / (Fp + Fs), onde Fp e Fs designam as
forças em ELU na armadura de pré-esforço e na armadura passiva. Isto em flexão simples.
Setembro de 2007
VIII-10
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
No caso da existência de esforço axial exterior importante (o pré-esforço não conta para efeito
de calculo de Nsd) o braço z pode ser calculado pela expressão:
z=
M Rd − N sd u
Fp + Fs − N sd
onde:
MRd – momento resistente da secção, dado com valor positivo;
Nsd – esforço axial exterior, dado com o verdadeiro sinal;
u – distância do centro de gravidade da secção ao centro mecânico da armadura de
flexão;
No caso de vigas-caixão, comuns em pontes de grande vão, pode-se tomar para z a distância
entre as linhas medias dos banzos superior e inferior.
Largura bw
A largura bw refere-se à largura mínima da viga ao longo da altura z, conforme se exemplifica
na figura seguinte:
bw
b2
b1
bw = b1 + b2
Fig. 8. 7 – Exemplos de calculo de bw
Se existirem cabos de pré-esforço pos-tensionados, a largura da alma será eventualmente
reduzida de acordo com as seguintes regras [EC2 §6.2.3 (6)]:
a) Caso de bainhas metálicas que venham a ser injectadas:
Se φb >
bw
8
então
bw,nom = bw − 0.5∑ φb ;
Onde φb designa o diâmetro da bainha e
Se φb ≤
∑φ
b
bw
8
então
bw,nom = bw
deve ser determinado para o nível de
cabos mais desfavorável da secção em estudo.
b) Caso de bainhas que não venham a ser injectadas, ou o caso de bainhas de plástico
injectadas:
bw,nom = bw − 1.2∑φb
O factor 1.2 pretende ter em conta a existência de tracções transversais na vizinhança do cabo
associadas ao espalhamento das tensões de contacto cabo-betão. No entanto, se forem
previstas armaduras transversais suficientes, o factor pode ser reduzido para 1.0. A figura
seguinte mostra um esquema possível para a determinação destas tracções [P. Marti, Detailing
for post-tensioning, VSL):
Setembro de 2007
VIII-11
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
3P
8R
P
R
3P
8R
T1
T2
Cap. VIII – E.L. Últimos
T1 =
P
4R
T2 =
P
8R
P
T
R 2
Fig. 8. 8 – Tracções transversais e verticais junto a um cabo de pré-esforço
Como dissemos acima,
∑φ
b
deve ser determinado para o nível de cabos mais desfavorável.
Na figura seguinte ilustra-se a determinação de
∑φ
b
:
∑φb = 2φb
Fig. 8. 9 – Determinação de
Setembro de 2007
VIII-12
∑φb = φb
∑φ
b
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.3.
Cap. VIII – E.L. Últimos
Secção de cálculo de Vsd
Conforme sabemos, o esforço transverso máximo ocorre nas secções de apoio. Porém, no
caso de vigas sujeitas predominantemente a cargas distribuídas, o calculo das armaduras de
esforço transverso não necessita ser feito nesta secção, mas sim, de acordo com o EC2, a uma
distância da secção de apoio até ao limite de d.
Na verdade, se observarmos a treliça de Mörsch, o primeiro tirante surge a z×cotgθ do apoio,
de modo que, se a armadura for calculada nesta secção e prolongada até ao apoio, a
verificação da segurança estará satisfeita. Já a verificação da segurança das bielas deve ser
efectuada calculando Vsd na secção junto ao apoio.
Note-se, porém, que é preciso garantir que a armadura longitudinal no apoio seja suficiente
para resistir à força Fs (figura 8.10). Estudemos o equilíbrio de um troço extremo de viga:
Fc
z
1
Fsw
θ
Fs
z cot gθ
R
Fig. 8. 10 – O primeiro tirante surge a zcotgθ do apoio
∑ M1 = 0 ⇔ Fs z + R z cot gθ = 0 ⇔ Fs = R cot gθ , pelo que a armadura longitudinal
mínima a adoptar no apoio é dada por:
As ,ap =
Setembro de 2007
R
cot gθ
f syd
VIII-13
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.4.
Cap. VIII – E.L. Últimos
Cargas suspensas
As cargas suspensas na face inferior das vigas exigem uma armadura especifica, designada
por armadura de suspensão, destinada a “levar” a carga até à face superior. No caso de cargas
suspensas distribuídas, a armadura de suspensão deve ser adicionada à armadura de esforço
transverso, como se esquematiza na figura seguinte:
Asw
s
As,susp
Psd
psd
As,susp = Psd
f syd
Asw
Vsd
=
+
s
z f syd cot gθ
psd
f syd
Fig. 8. 11 – Cargas suspensas, concentrada e distribuída
A figura seguinte mostra claramente, recorrendo a modelos de bielas e tirantes, a diferença
entre aplicar uma carga na face superior ou suspendê-la na face inferior.
T=F
F
F
Fig. 8. 12 – Diferença entre aplicar uma carga na face superior ou suspendê-la na face inferior
Setembro de 2007
VIII-14
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.5.
Cap. VIII – E.L. Últimos
Vigas de altura variável
No caso de vigas com altura variável, as forças nos banzos são inclinadas, possuindo, por
isso, uma componente vertical. Esta componente pode ser favorável ou desfavorável ao
esforço transverso. A figura seguinte mostra um troço de viga com ambos os banzos
inclinados:
Fc
θ
+
βc
Msd
Fb
Vsd
Fs
βs+
Esforços internos
Esforços externos
Fig. 8. 13 – Troço de viga com altura variável
Os esforços externos têm de estar em equilíbrio com os esforços internos, isto é Sext = Sint,
pelo que se tem: Vsd = Fb senθ + Fc senβ c + Fs senβ s .
As componentes verticais das forças nos banzos podem ser colocadas, conforme é usual, do
lado dos esforços actuantes (esforços externos), vindo: Vsd − Fc senβ c − Fs senβ s = Fb senθ
Esta equação mostra que um possível método de verificação da segurança de vigas de altura
variável consiste em corrigir o esforço transverso actuante da seguinte forma:
Vsd' = Vsd − Fc senβ c − Fs senβ s
(1)
Assim, a componente vertical das forças nos banzos é favorável se possuir o mesmo sentido
do esforço transverso actuante e desfavorável, caso contrário.
No caso da flexão simples, isto é, flexão sem esforço axial, pode-se demonstrar que (deixa-se
isso como exercício):
Vsd' = Vsd −
M sd
(tan β c + tan β s )
z
Na equação acima deve-se ter cuidado com os sinais. O importante é ter presente que se a
inclinação do banzo for favorável, o esforço transverso diminui (em valor absoluto) e aumenta
caso contrário.
Setembro de 2007
VIII-15
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
Exemplo 8.2 – Considere novamente a consola do exemplo 8.1. Pretende-se verificar a
segurança ao esforço transverso na secção S, adoptando bielas a 30.º e considerando que as
bainhas têm diâmetro de 80 mm.
Resolução:
Em primeiro lugar calcularemos Vsd:
Área da secção S:
1.00×2.00 – 0.52×1.52 =1.21 m2;
Área da secção extrema:
1.00×0.60 – 0.52×0.12 = 0.538 m2
Vg = 1/2×(25×1.21 + 25×0.538)×20 = 437 KN;
Vq = 10×20 = 200 KN,
Vsd = 1.50×(437 + 200) = 956 KN;
Nota: Apesar do cabo ter tangente nula na secção S, o esforço transverso isostático devido
ao pré-esforço não é nulo, visto que o eixo da viga tem uma certa inclinação. Calculemos Viso:
P∞ = 1050×103×2×12×1.4×10-4 = 3528 KN; (estimou-se σp∞ = 1050 MPa).
2.00 / 2 + 0.60 / 2
= – 229 KN;
20
Viso é assim favorável. Iremos, todavia, desprezar este valor.
Viso = – P∞ ×tgα = 3528 ×
20.00
2.00
2x12Ø15
0.60
Correção a Vsd de forma a ter e conta a inclinação do banzo:
Fs + Fp = 5754 KN
S
Fc cos β = Fs + Fp
Msd
β
tg β =
Vsd
2.00 + 0.60
= 0.13
20.00
Fc
Vsd’ = Vsd – Fc senβ = Vsd – (Fs + Fp) / cosβ × senβ
⇔
Vsd’ = Vsd – (Fs + Fp) tg β
Vsd’ = 956 – 5754×0.13 = 208 KN (O valor 5754 veio do exemplo 8.1).
Uma vez que a secção é constituída por duas almas, temos 208/2 = 104 KN / alma.
(Repare-se que uma boa parte do esforço tranverso é anulado pela componente vertical da
força no banzo!)
Setembro de 2007
VIII-16
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
Área de armaduras necessárias (por alma):
z=
M Rd
9754
=
= 1.70 m; (MRd veio do exemplo 8.1)
Fp + Fs 5754
Asw
Vsd
104
≥
=
= 0.81 cm2/m;
s
z f syd cot gθ 1.70 × 43.5 × cotg30º
0.08 f ck
0.08 30
⎛ Asw ⎞
bw sin α =
0.24 ×1.00 = 2.1 cm2/m;
⎜ s ⎟ =
f yk
500
⎝
⎠min
Adopta-se em cada alma φ10//0.20 – 2R (7.9 cm2/m).
Verificação do esmagamento das bielas de betão:
φb = 0.08 < > bw / 8 = 0.24 / 8 = 0.03 m
⇒
bw,nom = 0.24 – 1/2×0.08 = 0.20 m;
Betão C30/37 ⇒ fcd = 30/1.5 = 20 MPa;
⎛
⎝
ν = 0.60 ⎜1 −
VRd ,max =
f ck ⎞
30 ⎞
⎛
= 0.60 ⎜ 1 −
⎟ = 0.528
⎟
250 ⎠
⎝ 250 ⎠
α cν f cd bw z 1.00 × 0.528 × 20 ×103 × 0.20 × 1.70
=
= 1555 KN >> Vsd;
cot gθ + tan θ
cot g 30º + tan 30º
Setembro de 2007
VIII-17
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.6.
Cap. VIII – E.L. Últimos
Corte na ligação entre banzos e almas
Nas secções formadas por banzos e almas (secções T, I, U, etc.), sempre que o momento
flector variar na direcção longitudinal, ou, por outras palavras, sempre que existir esforço
transverso, existirão fluxos de corte na ligação entre os banzos e as almas, cujo sentido, para
esforço transverso positivo, é o indicado na figura seguinte (secção T):
∆x
Fd
fc
vsd
fs
Fd + ∆ Fd
vsd θ
fc
fs =
fs
vsd
cot gθ
Fig. 8. 14 – Secção T com os banzos destacados, pondo em evidência os fluxos de corte nas interfaces
banzo-alma
Estes fluxos são transmitidos aos banzos através de bielas inclinadas (força fc na figura),
originando tracções transversais (força fs na figura), para as quais é necessário prever
armadura (conhecida como armadura de costura).
Designando o fluxo de corte na interface banzo-alma por vsd, a armadura necessária, para
estribos perpendiculares à interface banzo-alma, é dada por:
Asf
s
=
v sd
f syd cot gθ
O fluxo de corte, vsd, é determinado por equilíbrio de forças na direcção longitudinal de uma
das partes do banzo, obtendo-se
v sd =
∆Fd
∆x
Relativamente ao ângulo que as bielas fazem com o eixo da viga, θ, podemos atribuir-lhe o
valor de 30º no caso dos banzos comprimidos e 40º no caso dos banzos traccionados.
O EC2 refere ainda que o comprimento ∆x a considerar será, no máximo, metade da distância
entre as secções de momento máximo e nulo, o que equivale a afirmar que se pode calcular a
Setembro de 2007
VIII-18
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
armadura no banzo (armadura de costura) usando o fluxo médio nesse comprimento. A
Asf
armadura no banzo,
, será uniformemente distribuída neste comprimento.
s
É necessário ainda verificar a segurança ao esmagamento das bielas nos banzos, o que
equivale a verificar que o fluxo de corte na interface banzo-alma não excede o seguinte valor
máximo:
v sd ≤
ν f cd b f
cot gθ + tgθ
onde bf designa a espessura do banzo. Se exceder, uma medida possível a tomar será aumentar
a espessura do banzo.
Refere-se ainda que no caso de secções “T” ou “I” de banzos simétricos, é suficiente, em
geral, dispormos nos banzos uma armadura igual a metade da armadura na alma. A razão é
que o fluxo de corte na alma é sensivelmente igual (um pouco inferior até) aos fluxos
provenientes dos banzos, pelo que, se as abas forem iguais, o fluxo em cada aba é
sensivelmente metade do fluxo na alma (ver figura seguinte).
Asf
Asw
= 0.50
s
s
vf1
vf2
vw
Asw
s
vw ≅ v f 1 + v f 2
Fig. 8. 15 – Relação aproximada entre os fluxos nos banzos e na alma
Por último, refere-se que se, para além dos fluxos de corte, os banzos estiverem sujeitos a
flexão transversal, é necessário levar este facto em conta na determinação da armadura de
costura. O EC2 sugere um método simplificado de calculo das armaduras. Na disciplina de
Pontes e Viadutos veremos um método mais rigoroso para ter em conta a interacção entre o
corte e a flexão transversal.
2.7.
Outros casos tratados no EC2
O EC2 trata ainda de outros casos, como sejam a eventual redução de Vsd se existirem cargas
concentradas nas proximidades dos apoio e a verificação da segurança ao corte nas interfaces
entre betões de idades diferentes.
Setembro de 2007
VIII-19
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2.8.
Cap. VIII – E.L. Últimos
Armadura mínima de esforço transverso
a) EC2
0.08 f ck
⎛ Asw ⎞
bw sin α
⎟ =
⎜
f yk
⎝ s ⎠ min
fck e fyk em [MPa]
b) REBAP
A400:
Setembro de 2007
0.10
⎛ Asw ⎞
bw sin α ; A500:
⎜
⎟ =
⎝ s ⎠ min 100
VIII-20
0.08
⎛ Asw ⎞
bw sin α
⎜
⎟ =
⎝ s ⎠ min 100
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
*** Problemas propostos ***
Problema 8.1 (Calculo de mom. resist.- aplicação do método do diagr. rectangular)
Considere as seguintes secções:
SECÇÃO 1
SECÇÃO 2
0.12
0.12
0.05
0.10
0.05
1.25
1.00
2.00
0.40
0.50
Pré-esforço: 2x12T15
Arm. passivas: 3Ø20
Ap = 19.6 cm2
As = 10.05 cm2
SECÇÃO 3
0.30
2x25T15
0.06
0.30
2.50
10.00
MATERIAIS:
4Ø25
0.60
BETÃO: C35/45
AÇO DE PRÉ-ESF.: cordão Y1860 s7
AÇO PASSIVO.: A500
SECÇÃO 4
0.17
12x19T15
0.39
17.74
6.20
4x19T15
0.85
5
0.4
6.00
(A secção em caixão acima é a secção sobre os pilares do Viaduto sobre o Rio
Grande da Pipa, projecto da autoria do eng.º Armando Rito)
a) Usando o método do diagrama rectangular, determine o momento resistente positivo
[MRd (+)] das secções (1) a (3);
Setembro de 2007
VIII-21
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
b) Determine o momento resistente negativo [MRd(-)] da secção (4). Despreze a
contribuição da armadura passiva;
c) No caso da secção (1) determine também o momento resistente aos 7 dias de idade. O
coeficiente de endurecimento para esta idade é de 0.85.
d) No que se refere ainda à secção (1), determine o momento resistente na hipótese de se
tratar de pré-esforço não aderente. Considere σp∞ = 1050 MPa.
e) Ainda no que se refere à secção (1), determine o momento resistente associado a um
esforço axial exterior de:
e1) Nsd = - 1000 KN;
e2) Nsd = +500 KN;
Problema 8.2 (E.L. de flexão)
Uma viga de dois vãos de 13.20 é pré-esforçada com dois cabos de 7 cordões. Os cabos têm o
traçado da figura junta:
g, q
0.25
0.25
2x7T15
3.60
3.60
ACÇÕES:
Permanentes: g = 30 KN/m
Variáveis: q = 20 KN/m
Pré-esforço: Mhip = +0.01807 P
(σp∞ = 1050 MPa)
3.60
6.00
13.20
MATERIAIS:
BETÃO: C30/37
AÇO DE PRÉ-ESF.: cordão Y1860 s7
AÇO PASSIVO.: A500
0.30
0.70
3.60
13.20
0.20
6.00
0.80
Verifique a segurança ao E.L. de flexão na secção do apoio central. Comece por adoptar a
armadura mínima de flexão. Se não chegar, aumente-a até que se verifique a segurança.
Setembro de 2007
VIII-22
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
Problema 8.3 (E.L. de Esforço transverso)
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura:
1.50
1.50
0.10
0.89
0.10
2X7T15
CABO
1
CABO 2
9.00
9.00
0.12
18.00
1.80
MATERIAIS:
BETÃO: C30/37
1.10
AÇO DE PRÉ-ESF.: cordão Y1860 s7
AÇO PASSIVO.: A500
ACÇÕES:
Permanentes: g = 20 KN/m; σp∞ = 1050 MPa.
Variáveis: veículo constituído por 3 cargas de 100 KN cada
0.30
SECÇÃO: A = 0.51 m2; I = 0.0615 m4
Ø das baínhas: 65 mm
vs = 0.377 m; vi = 0.723 m
Adoptando bielas a 30º, tanto na alma como no banzo:
a) Verifique a segurança ao E.L. de esforço transverso na secção a d do apoio,
determinando a área de armadura a dispor na alma e verificando a segurança contra o
esmagamento do betão.
b) Determine, na mesma secção, a área de armadura transversal a dispor no banzo.
Verifique se a espessura do banzo é suficiente para garantir o não esmagamento das
bielas de betão.
Problema 8.4 (Vigas de altura variável)
Em cada uma das situações seguintes diga se a inclinação do banzo é favorável ou
desfavorável do ponto de vista do EL último de esforço transverso.
(1)
(2)
(4)
Setembro de 2007
(3)
(5)
VIII-23
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
Problema 8.5 (adaptado do 2.º teste de 11/6/2007)
Considere a viga indicada na figura seguinte:
G, Q
0.45
0.90
0.45
g
C
A
B
3.00
10.00
0.20
0.20
0.20
1.00
A = 0.52 m2; vs = 0.592 m
I = 0.049 m4; vi = 0.408 m
1.00
Materiais:
− Betão: C30/37; fcd = 20.0 MPa;
− Armaduras de pré-esforço: Y1860 S7; fpk = 1860 MPa; fpyd = 1400 MPa;
− Armaduras passivas: Aço A500NR; fsyd = 435 MPa;
Acções:
− Permanentes: g = peso próprio da viga = 25×0.52 = 13 KN/m;
G = 40 KN;
− Variáveis:
Q = 60 KN
(ψ0 = 0.60; ψ1 = 0.50; ψ2 = 0.40);
Pré-esforço: Será realizado com dois cabos de 7 cordões de 15.2 mm (1.4 cm2 de área). O
traçado é constituído por 2 troços parabólicos: AB e BC.
a) Determine as reacções em A e B devidas a g, G e Q.
b) Verifique a segurança na secção B em relação ao ELU de flexão. Admita que a
armadura passiva é constituída por 4φ16 dispostos a 5 cm da face superior.
c) Verifique a segurança em relação ao ELU de esforço transverso na secção B à
esquerda. Adopte estribos verticais e bielas a 30º. (φbainha = 65 mm)
d) Esboce o modelo de treliça da viga completa. Desenhe a traço interrompido as bielas e
a traço continuo os tirantes.(2 val.)
Setembro de 2007
VIII-24
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. VIII – E.L. Últimos
Problema 8.6 (adaptado do 2.º teste de 11/6/2007)
2.00
Considere novamente a estrutura do problema 8.5. Considerando que o apoio A está a
trabalhar à tracção, admita que se pretende ancorar a viga nesse apoio recorrendo a barras de
pré-esforço, conforme se esquematiza na figura seguinte:
a) Admita que se pretende utilizar barras φ32 da classe Y1030H (fp0.1k = 835 MPa).
Determine o número de barras necessárias utilizando um critério de EL Ultimo.
b) Determine a força mínima que deve existir nas barras (P∞) de forma a manter o apoio
comprimido para a combinação rara de acções.
c) Admitindo 15% de perdas diferidas, determine a força de esticamento nas barras de
forma a garantir o P∞ calculado na alínea anterior. Considere 1 mm de reentrada da
barra e despreze as perdas por atrito e deformação elástica instantânea. Adopte Ep =
170 GPa.
___
Resolução
a) As reacções no apoio A para cada uma das acções são as seguintes:
Rg = 197.2 KN;
RG = 133.3 KN; RQ = 200 KN;
Assim, Rsd = 1.35×197.2 + 1.50×133.3 + 1.50×200 = 766.2 KN;
Considerando que a área de uma barra φ32 é de 8.04 cm2, o valor de cálculo da
resistência dessa barra é: FRd = fpyd×Ap = 835/1.15×8.04×10-1 = 583.8 KN.
Número de barras necessárias: n = 766.2/583.8 = 1.3. Adoptam-se 2 barras.
b) Rrar = 197.2 + 133.3 + 200 = 530.5 KN; Portanto P∞ = 530.5/2 = 265 KN/barra.
c) A tensão inicial nas barras é: σ0 = 265/(8.04×10-4) = 330 MPa; Vimos no capítulo
VII (exemplo 7.5) que as perdas por reentrada dos fixadores num cabo sem atrito são
iguais a Epδr/L sendo L o comprimento do cabo.
Assim, a tensão de esticamento deve ser pelo menos: σ0’ = 330 + 170×1.0/2.00 = 415
MPa, pelo que P0’ ≥ 415×8.04×10-1 = 334 KN.
Setembro de 2007
VIII-25
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
(pagina propositadamente em branco)
Setembro de 2007
VIII-26
Cap. VIII – E.L. Últimos
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
1. Introdução
Muitas das considerações feitas em capítulos anteriores relativas a vigas aplicam-se também a
lajes. O pré-esforço nas lajes apresenta, porém, algumas particularidades de que daremos
conta no presente capítulo.
Tal como nas vigas, o pré-esforço nas lajes apresenta vantagens óbvias. A principal limitação
das lajes decorre do facto de se tratarem de elementos de pequena espessura, o que limita as
excentricidades dos cabos e consequentemente a sua eficiência estrutural.
Por essa razão, os sistemas de pré-esforço vocacionados para aplicação em lajes visam
maximizar a excentricidade dos cabos e são, basicamente, de dois tipos: um é constituído por
cabos monocordão auto-embainhados. O outro é constituído por cabos de 3 ou 4 cordões
inseridos em bainhas achatadas (flat duct), posteriormente injectadas. O primeiro é do tipo
não aderente e o segundo é do tipo aderente. A figura seguinte ilustra estes dois tipos de
sistemas:
Fig. 9. 1 – Sistemas de pré-esforço para lajes (Catálogo VSL)
Vejamos de seguida as principais vantagens dum e doutro sistema:
a) vantagens do sistema não aderente
− permite um ligeiro ganho de excentricidade face ao sistema aderente;
Setembro de 2007
IX-1
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
− possibilita uma maior rapidez de execução, dado que não requer a colocação
de bainhas nem a injecção;
− as perdas por atrito são muito pequenas;
− os cordões estão melhor protegidos contra a corrosão desde a fábrica até à
betonagem da laje.
b) vantagens do sistema aderente
− para a mesma quantidade de aço, o momento resistente é superior, graças à
aderência;
− permite um melhor comportamento à fissuração, graças também à aderência;
− uma rotura local nunca se transforma em rotura global;
− assegura uma protecção ao fogo um pouco superior em relação ao sistema não
aderente.
As vantagens do sistema aderente parecem ser globalmente superiores às do sistema não
aderente. No entanto, como é evidente, isto não quer dizer que se deva excluir à partida o
sistema não aderente. Suponhamos, por exemplo, que a principal razão que nos levou a optar
por pré-esforçar determinada laje, foi o controlo de deformações. Sob este ponto de vista, a
eficiência dum e doutro sistema são idênticas, pelo que poderíamos optar pelo sistema não
aderente e assim aproveitar a vantagem da maior rapidez de execução e do menor atrito cabobaínha.
Refira-se, aliás, que muitas vezes a razão que nos leva a optar por pré-esforçar a laje é
justamente a redução das deformações. Conforme já vimos no capítulo II, as deformações por
fluência podem ser estimadas por d∞ = d0 (1 + ϕ), com ϕ o coeficiente de fluência e d0 a
deformação elástica inicial. Portanto, quanto menor for a deformação elástica inicial, e aqui o
pré-esforço é favorável, menor será a deformação a longo prazo.
2. Pré-dimensionamento
Um critério prático para estabelecer a quantidade de pré-esforço a aplicar, consiste em
determinar a força de pré-esforço que equilibra determinada percentagem da carga quase
permanente, 70% por exemplo, isto é:
p∞ :
q eq = 0.70 ( g + ψ 2 q )
No que diz respeito à espessura da laje, sugerem-se seguidamente valores de esbeltez, λ=l/h
que conduzem normalmente a deformações da laje aceitáveis. Tais valores foram calibrados
na hipótese do pré-esforço equilibrar cerca de 70% da carga quase permanente (Fib, 1999).
Setembro de 2007
IX-2
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
λ
l [m]
(g+q)/g
7.5
10.0
15.0
20.0
1.0
45
42
33
27
2.0
41
34
26
20
3.0
35
29
22
16
>l/4
λ
l [m]
(g+q)/g
10.0
15.0
20.0
1.0
37
29
24
2.0
30
22
17
3.0
25
18
14
<l/4
Fig. 9. 2 – Esbeltezas λ=l/h a adoptar em lajes fungiformes pré-esforçadas
Como espessura mínima a adoptar numa laje pré-esforçada, recomenda-se o valor de 0.25.
Abaixo dessa espessura o pré-esforço perde muita eficiência.
3. Traçado dos cabos
3.1.
Traçado em perfil
O que foi dito no capítulo IV sobre o traçado dos cabos é aplicável na generalidade às lajes.
No caso específico das lajes, uma vez que os cabos são em geral de fraca potência, pode-se
adoptar raios de curvatura relativamente pequenos, o que permite criar troços rectilíneos na
zona de ½ vão com razoável comprimento. Isto poderá ser vantajoso do ponto de vista das
deformações. Assim, muitas vezes adoptam-se traçados com formato poligonal, com
concordâncias curvas de raio pequeno nos vértices de polígono. O Raio mínimo a adoptar
poderá ser calculado pela expressão apresentada no capítulo IV: Rmin = 3 Puk .
3.2.
Traçado em planta
Dependendo da relação de vãos, os cabos poderão ser dispostos em uma ou em ambas as
direcções, e isto aplica-se tanto a lajes vigadas como lajes fungiformes.
No caso especifico das lajes fungiformes, do ponto de vista das deformações e do ponto de
vista do punçoamento, os cabos são mais eficientes se forem colocados nas bandas definidas
pelos alinhamentos dos pilares. Portanto, é aí que devemos privilegiar a colocação dos cabos.
No entanto, também se admite a possibilidade de dispor alguns cabos na zona do vão. De
Setembro de 2007
IX-3
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
qualquer forma, pelo menos 50% dos cabos devem ser posicionados na bandas definidas pelos
pilares.
Temos, assim, duas disposições possíveis dos cabos em planta:
Cabos apenas nas bandas centrais
Cabos nas bandas centrais e laterais
Fig. 9. 3 – Disposição de cabos em lajes fungiformes
4. Análise de lajes pré-esforçadas
Um aspecto muito importante a levar em conta quando se analisa uma laje pré-esforçada tem
a ver com eventuais restrições ao encurtamento da laje provocadas pelos pilares e paredes.
Efectivamente, o pré-esforço tenderá a encurtar a laje, mas os elementos verticais irão oporse. Irão aparecer, por isso, esforços transversos (de natureza hiperstática) nos pilares e
paredes, e esforços de tracção (também de natureza hiperstática) na laje, esforços estes que
terão como efeito anular parte dos esforços de compressão isostáticos. Este efeito será tanto
mais significativo quanto mais rígidos forem os pilares e as paredes.
Em alguns casos, como por exemplo, lajes apoiadas em paredes de cave, pode ser prudente
desprezar totalmente os esforços normais de compressão na laje devida ao pré-esforço, tirando
partido apenas dos momentos flectores isostáticos e hiperstáticos.
O método mais comum utilizado na análise de lajes pré-esforçadas é o método dos elementos
finitos em regime elástico linear, seguida de eventual redistribuição de esforços. O préesforço é introduzido recorrendo à técnica das cargas equivalentes.
Se houver conveniência, o pré-esforço pode ser definido por metro de largura e a carga
equivalente dá lugar a uma pressão equivalente. Se existirem cabos nas duas direcções, as
pressões equivalentes em cada direcção somam-se, e a pressão equivalente é dada por:
Setembro de 2007
IX-4
ly
q
fy
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
eq
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
q
eq
fx
lx
Fig. 9. 4 – Cargas equivalentes à acção do pré-esforço.
qeq =
8 f x px 8 f y p y
+
l x2
l y2
onde px e py referem-se ao pré-esforço por metro de largura e os restantes parâmetros às
características geométricas das parábolas (figura acima).
No caso de se adoptar traçados com formato poligonal, as cargas equivalentes ao pré-esforço
poderão ser materializadas com cargas concentradas verticais aplicadas nos vértices do
polígono e dadas por P tgα (figura 9.5).
Ptgα
P
α
Fig. 9. 5 – Cargas equivalentes no caso de traçados poligonais
Setembro de 2007
IX-5
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
5. Estados limites últimos
Os estados limites últimos a considerar são, basicamente:
−
estado limite último de flexão
−
estado limite de esforço transverso
−
punçoamento
Estado limite último de flexão
O estado limite último de flexão foi tratado no cap. VIII e o que aí foi dito é aplicável na
generalidade às lajes. A verificação da segurança consiste em satisfazer a desigualdade:
m sd ≤ m Rd
Em geral o pré-esforço será introduzido no modelo recorrendo à técnica das cargas
equivalentes, calculadas considerando P = P∞ . Porém, no caso das lajes, vai ser difícil separar
a parcela isostática da parcela hiperstática, pelo que o pré-esforço aparecerá integralmente do
lado do msd.
Assim, no cálculo do momento resistente apenas poderemos incluir o incremente de força no
cabo de pré-esforço na passagem ao estado limite, isto é:
m Rd = ∆P z p + Fs z s
O valor de ∆P depende se o pré-esforço é ou não aderente. Se o pré-esforço for do tipo
aderente, tem-se:
∆P = f pyd Ap − P∞
Se o pré-esforço for do tipo não aderente, ∆P depende do aumento de comprimento que o
cabo sofre na passagem ao estado limite. Conforme vimos no capítulo VIII, §1.2.5, se não
forem efectuados cálculos mais rigorosos, podemos considerar que o incremento de tensão no
cabo é da ordem dos 100 MPa, pelo que se tem:
∆P = 100 MPa × Ap
Relativamente à determinação do momento actuante de cálculo, msd, deve-se levar em conta
eventual presença de momentos torsores. Se tais momentos não poderem ser desprezados na
secção em análise, as armaduras poderão ser calculadas adoptando o seguinte procedimento
simplificado:
a) armadura superior:
b) armadura inferior:
Setembro de 2007
direcção x:
m sd' , x = m sd , x − | m sd , xy |
direcção y:
m sd' , y = m sd , y − | m sd , xy |
direcção x:
m sd' , x = m sd , x + | m sd , xy |
direcção y:
m sd' , y = m sd , y + | m sd , xy |
IX-6
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
Estado limite último de esforço transverso
A verificação da segurança ao esforço transverso será satisfeita se se verificar a seguinte
condição:
v sd ≤ v Rd
Para calcular o esforço transverso actuante de calculo, vsd,
expressão simplificada (Fib, 1999):
pode-se utilizar a seguinte
v = v x2 + v 2y
Relativamente ao calculo do esforço transverso resistente de calculo, devem-se usar
expressões específicas para elementos se armadura de esforço transverso, visto que as lajes
não têm em geral tal armadura. A expressão preconizada no EC2 é a seguinte:
(
VRd = VRd ,c = 0.12 k (100 ρ 1 f ck )
1/ 3
)
+ 0.15σ cp bw d
em que:
k = 1+
ρ1 =
200
≤ 2 .0 ;
d
Asl
≤ 0.02 ;
bw d
Asl – área da armadura longitudinal de tracção, que se estenda pelo menos de (lbd +
d) para além da secção em análise;
Fck – expresso em MPa
σ cp =
N sd
< 0.2 fcd - expresso em [MPa]
Ac
Nsd – esforço axial de calculo – tomado com valor positivo se for de compressão. A
parcela isostática de pré-esforço deve ser incluída;
Os valores de bw (largura) e d (altura útil) devem ser expressos em [mm] (bw = 1000 mm em
geral) e o valor de VRd vem dado em [N].
Recordamos a expressão do REBAP:
VRd = 0.60 (
1
.6
−
d )τ 1 bw d
≥ 1.0
em que:
d – altura útil da secção, expressa em m;
τ1 = 0.60 fctd
Setembro de 2007
IX-7
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
bw – largura mínima da secção, em geral tomada com valor unitário.
A principal vantagem da formulação do EC2 em relação ao REBAP é que faz depender o
cálculo de VRd da quantidade de armadura longitudinal.
Exemplo 9.1 – Calculemos o esforço transverso resistente de uma laje com 0.20 de
espessura (d = 0.16), armada com φ16/0.20 (A400; C25/30)
a) EC2
K = 2.00;
ρ1= 10.05 / (100×16)×100 = 0.63;
VRd = 0.12×2.0×(0.63×25)1/3×1000×160/1000 = 96 KN/m;
b) REBAP
VRd = 0.60×(1.6 – 0.16)×750×1.00×0.16 = 104 KN/m;
Punçoamento
A verificação da segurança devera ser efectuada de acordo com o exposto no EC2 §6.4.
6. Estados limites de serviço
Os estados limites últimos a considerar são, basicamente:
−
estado limite de deformação;
−
estado limite de abertura de fendas;
−
estado limite de vibração.
Estado limite de deformação
A verificação será efectuada de acordo com o EC2 §7.4.
Se uma parte significativa das cargas permanentes forem equilibradas pelo pré-esforço, as
deformações poderão ser calculadas em modelo elástico, desprezando a influência da
fissuração.
As deformações por fluência poderão ser estimadas pela expressão:
d ∞ = d 0 (1 + ϕ )
Estado limite de abertura de fendas
A verificação será efectuada de acordo com o EC2 §7.3.
Setembro de 2007
IX-8
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
Estado limite de vibração
No sentido de evitar desconforto para as pessoas, o MC90 sugere que a frequência própria
fundamental das lajes de alguns casos particulares de edifícios seja superior aos valores
constantes na seguinte tabela:
Tipo de estrutura
Frequência mínima
[Hz]
Ginásios
8.0
Salas de espectáculo e dança sem lugares sentados permanentes
7.0
Salas de espectáculo com lugares sentados permanentes
3.4
Setembro de 2007
IX-9
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
(pagina propositadamente em branco)
Setembro de 2007
IX-10
Cap. IX – Lajes pré-esforçadas
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Anexos
ANEXOS
Anexo A – Revisões da resistência dos materiais
CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DAS SECÇÕES
• Centro de gravidade de uma secção
y
∫∫ x dxdy → ∑
xcg =
∫∫ dxdy ∑ A
x i Ai
i
i
i
c.g.
∫∫ y dxdy → ∑
ycg =
∑A
∫∫ dxdy
y i Ai
ycg
i
i
i
x
xcg
• Momentos de inércia
y
I x = ∫∫ y 2 dxdy
I y = ∫∫ x 2 dxdy
I xy = ∫∫ x ⋅ y dxdy
dx
x
dy
I p = ∫∫ r 2 dxdy = I x + I y (Momento polar de inércia)
y
r
x
• Teorema de Steiner
c.g.
g
e
d
g
e
Ie = Ig + A×d2
• Núcleo central de uma secção
Definição:
Lugar geométrico dos pontos de aplicação de uma força à secção que produz
tensões normais do mesmo sinal.
Setembro de 2007
Anexos-1
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Anexos
Este conceito tem interesse na análise de vigas pré-esforçadas. Encarando o pré-esforço como
compressão excêntrica, se o cabo, ou resultante dos cabos, estiver contida no núcleo central,
tem-se a garantia de que não existem tracções em nenhuma fibra da secção.
Limite superior do núcleo central: ks =
vs
c.g.
ks
ki
vi
Limite inferior do núcleo central: ki =
I
;
Avi
I
; em que:
Av s
vs = distância do c.g. da secção à fibra superior;
vi = distância do c.g. da secção à fibra inferior;
CONVENÇÕES DE SINAIS DE ESFORÇOS E TENSÕES
N(+)
N(+)
V(+)
M(+)
M(+)
V(+)
ESFORÇO TRANSVERSO
ESFORÇO NORMAL
σ(+)
MOMENTO FLECTOR
σ(+)
TENSÕES NORMAIS
CÁLCULO DE TENSÕES NORMAIS EM PEÇAS LINEARES
M
c.g.
x
σ(y)
N
y
Setembro de 2007
Anexos-2
σ ( y) =
M
N
y+
Ix
A
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Anexos
Anexo B – Critérios de verificação da segurança. Combinações
de acções.
1. Estados Limites
A verificação da segurança das estruturas é feita em relação a determinados estados limites
distinguindo-se dois tipos de estados limites:
• Estados limites de utilização, ou de serviço (ELS)
• Estados limites últimos (ELU)
Os primeiros referem-se a estados que, uma vez atingidos, resultam em prejuízos pouco
severos. A estrutura, embora tenha sido prejudicada na sua capacidade de utilização, pode
continuar em serviço.
Exemplos de ELS:
• Estado limite de fendilhação:
–
E.L. de descompressão.
–
E.L. de largura de fendas.
–
E.L. de compressão máxima.
• Estado Limite de deformação.
• Estado limite de vibração.
Os estados limites últimos referem-se a estados que, uma vez atingidos, resultam em prejuízos
muito severos para a estrutura, a qual não mais pode ser utilizada. São exemplos de ELU os
seguintes:
• ELU de resistência:
–
flexão (com ou sem esforço axial)
–
esforço transverso (com ou sem torção)
–
punçoamento
• ELU de flexão com encurvadura
• ELU de perda de equilíbrio:
–
deslizamento
–
derrubamento
• ELU de fadiga
Setembro de 2007
Anexos-3
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
2. Combinações de Acções
(a) ELU
• Combinações fundamentais:
Em geral:
m
∑γ
i =1
n
gi S gki + γ q ( S Q1K + ∑ψ 0 j S Qjk )
j =2
Quando a acção sísmica é a acção variável base:
m
n
i =1
j =2
∑ S gki + γ q S EK + ∑ψ 2 j SQjk
• Combinações acidentais:
m
n
i =1
j =1
∑ S gki + S Fa + ∑ψ 2 j SQjk
(a) ELS
• Combinação quase permanente de acções
m
n
i =1
j =1
∑ S gmi + ∑ψ 2 j SQjk
• Combinações frequentes de acções
m
∑S
i =1
n
gmi
+ ψ 11 S Q1k + ∑ψ 2 j S Qjk
j =2
• Combinações raras de acções
m
n
i =1
j =2
∑ S gmi + SQ1k + ∑ψ 1 j SQjk
Setembro de 2007
Anexos-4
Anexos
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Anexos
Anexo C – Estudo das Parábolas
y
y = a x2; a =
L
A
f
L2
f
tg(A) = y’ = 2ax ⇔ tg(A) =
y’’ = 2a; R≈
y = x2
2f
L
1
L2
⇔ R≈
y' '
2f
x
VERTICE DA PARÁBOLA
Interpretação geométrica da tangente à parábola:
y
L
Tg(α) =
f
Ou seja, a tangente à parabola
intersecta o eixo das abcissas a meia
distância.
α
x
L/2
f
2f
⇔
L
L
2
L/2
Esta regra pode ser utilizada na determinação de tangentes e pontos de inflexão por simples
construção geométrica, conforme se mostra nos exemplos seguintes:
=
=
Ponto de Inflexão
Rec
ta
=
=
=
PARÁBOLA COM TROÇO RECTO NA EXTREMIDADE
=
PARÁBOLA / CONTRA-PARÁBOLA
=
Rec
ta
=
=
PARÁBOLA / CONTRA-PARÁBOLA COM TROÇO RECTO
Setembro de 2007
Anexos-5
=
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Anexos
cg
3/8 L
L
L
1
A = Lf
3
2
A = Lf
3
Setembro de 2007
Anexos-6
L/4
f
cg
f
Área e centro de gravidade de uma parábola
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Anexos
Anexo D – Dedução da expressão para o calculo de λ
(Alcance das perdas por reentrada das cunhas)
Atente-se na figura:
σ( x)
S
B
0'
σ ( x) = σ0' e −mx
C
S = E pδr
A
x
λ
0
Pela formula de formula de Euler:
λ
σ 0'
SOBCλ = ∫ σ 0 'e − mx dx = −
m
0
λ
SOACλ = ∫ σ λ e − mx dx = −
σλ
m
0
× e− mx
× e− mx
=
σ 0'
=
σλ
λ
0
λ
0
1− e λ )
(
m
−m
1− e λ )
(
m
−m
e portanto:
SOBCλ − SOACλ
=
=
σ 0' σ 0'
m
σ 0'
m
−
m
(1 − 2e
e − mλ −
− mλ
σλ
m
+ e−2 mλ
+
)
σλ
m
e− mλ
=
σ 0' σ 0'
m
−
m
e− mλ −
σ 0'
m
e− mλ +
σ 0'
m
e− mλ e− mλ
Mas como S = E pδ r , tem-se:
σ 0'
(1 − 2e
m
− mλ
⇔ 1 − e− mλ =
⇔
λ=−
)
+ e−2mλ = E pδ r
mE pδ r
σ 0'
(1 − 2e
⇔ e− mλ = 1 −
mE pδ r
1 ⎛
ln ⎜1 −
m ⎜⎝
σ 0'
Setembro de 2007
⇔
− mλ
)
+ e−2 mλ =
mE pδ r
σ 0'
⎞
⎟
⎟
⎠
Anexos-7
mE pδ r
σ 0'
⇔
(1 − e λ )
−m
⎛
mE pδ r
⇔ − mλ = ln ⎜1 −
⎜
σ 0'
⎝
2
=
mE pδ r
⎞
⎟ ⇔
⎟
⎠
σ 0'
⇔
DEC – BETÃO ESTRUTURAL III
Anexo E –
Anexos
Exemplo de desenho contendo os elementos habituais num
projecto de aplicação de pré-esforço.
Setembro de 2007
Anexos-8
Referências bibliográficas
Collins, M.P., and Mitchell, D. – Prestressed Concrete Structures, Response Publications,
1997.
EN 1992-1-1: 2004. Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1-1: General rules and
rules for buildings.
Fib (1999) - Recommendations for the design of post-tensioned slabs and foundation rafts /
Fédération Internationale de la Précontrainte. – London.
Ghali, A.; Favre, R. – Concrete Structures: Stresses and Deformations. Second Edition. E &
FN SPON, 1994.
Leonhardt, F. – Hormigon Pretensado. Instituto Eduardo Torroja de la Construccion del
Cemento, 1977.
Leonhardt, F., et al., Construções de Concreto, Vol. 2 – Casos Especiais de
Dimensionamento. Interciência, 1979.
Muttoni, A. et al. – Design of Concrete Structures with Stress Fields. Birkhäuser, 1997.
NP EN 206-1:2005 – Betão. Parte 1: Especificação, desempenho, produção e conformidade.
Part 1: General requirements
Part 2: Wire
Part 3: Strand
Part 4: Bar
prEN 10138: 2004 - Prestressing steels
REBAP, D.L. N.º 349-C/83, de 30 de Julho e D.L. N.º 357/85, de 2 de Setembro.
Rogowsky, D.M.; Marti, P. – Detailing for post-tensioning / VSL Report series N.º 3, 1991
Santos, Oliveira (2002) - Observação e Análise do Comportamento diferido de Pontes de
Betão. Laboratório Nacional de Engenharia Civil. Série “Teses e Programas de
Investigação LNEC”.