Análisis Matemático I Tarea 5 1. Demuestra que si {xn} es una

Análisis Matemático I
Tarea 5
1. Demuestra que si {xn } es una sucesión de números reales, entonces
lı́m ı́nf xn = sup{ı́nf{xk : k ≥ m} : m ∈ N}
n→∞
lı́m sup xn = ı́nf{sup{xk : k ≥ m} : m ∈ N}
n→∞
[ Hacemos la demostración para el lı́m sup. Para cada m ∈ N, sea αm =
sup{xk : k ≥ m}.
Dado que {xk : k ≥ m} ⊃ {xk : k ≥ m + 1}, se tiene que αm ≥ αm+1 para
toda m ∈ N.
Sea α = ı́nf{sup{xk : k ≥ m} : m ∈ N} = ı́nf{αm : m ∈ N}.
Caso 1. α ∈ R.
Demuestra, por inducción, que existen subsucesiones {xnk } y {αmk } tales
que
1
1
1
nk ≥ mk y α − ≤ αmk − < xnk ≤ αmk < α +
k
k
k
para cada k ∈ N. Por lo tanto, xnk → α cuando k → ∞.
Si y > α = ı́nf{αm : m ∈ N}, entonces existe M ∈ N tal que α ≤ αM < y.
Por tanto, si n ≥ M , entonces xn ≤ αM < y.
Caso 2. α = +∞.
Dado que la sucesión {αm } es decreciente, αm = +∞ para toda m ∈ N.
Construye inductivamente una subsucesión de xn que tiende a +∞.
Caso 3. α = −∞.
Para cada k ∈ N, existe αmk < −k. Elige nk ≥ mk , entonces
xnk ≤ αmk < −k.
Por tanto xnk → −∞ cuando k → ∞.
Si x ∈ R, entonces x no es cota inferior de {αm : m ∈ N}. Luego, existe
M ∈ N tal que αM < x. Por tanto xn ≤ αM < x siempre que n ≥ M . ]
2. Demuestra que si para algún N ∈ N fijo, se cumple que
sn ≤ tn
∀n ≥ N,
entonces
lı́m ı́nf sn ≤ lı́m ı́nf tn
n→∞
n→∞
lı́m sup sn ≤ lı́m sup tn
n→∞
n→∞
[Para cada m ∈ N, sea σm = ı́nf{sk : k ≥ m} y τm = ı́nf{tk : k ≥ m}.
Dado que para algún N ∈ N fijo, se cumple que
sn ≤ tn
∀n ≥ N,
entonces σm ≤ τm para toda m ≥ N . Ası́ que
sup{σm : m ≥ N } ≤ sup{τm : m ≥ N }
Como {σm }m∈N y {τm }m∈N son sucesiones crecientes, se sigue que
lı́m ı́nf sn = sup{σm : m ∈ N} = sup{σm : m ≥ N }
n→∞
y
lı́m ı́nf tn = sup{τm : m ∈ N} = sup{τm : m ≥ N }.
n→∞
Por lo tanto,
lı́m ı́nf sn ≤ lı́m ı́nf tn
n→∞
n→∞
]
3. Hallar los lı́mites inferior y superior de la sucesión definida mediante:
s1 = 0;
s2m =
s2m−1
;
2
s2m+1 =
1
+ s2m
2
4. Averiguar la convergencia o divergencia de Σan , si
√
√
a) an = n + 1 − n.
√
∑k
[sk = n=1 an = k + 1 − 1]
√
b) an =
[an =
√
n+1− n
,
n
√ 1 √
n( n+1+ n)
≤
1
]
n2/3
√
c) an = ( n n − 1)n .
[Usa el criterio de la raı́z]
5. Demostrar que la convergencia de
∑
an implica la de
∑ √an
,
n
si an ≥ 0.
[La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que
k
k √
k
)1/2 ( ∑
)1/2
(∑
∑
an
√
≤
(1/n)2
( an )2
n
n=1
n=1
n=1
]
6. Demuestra que el conjunto
U = {(x, y) ∈ R2 | x + 2x3 + 4y 5 − 6x7 y 8 ̸= 0}
es abierto.
[U = f −1 (R − {0}), con f continua]
7. Si K1 , K2 son subconjuntos compactos y no vacı́os de R, demuestra que
existen x0 ∈ K1 y y0 ∈ K2 tales que
|x0 − y0 | = ı́nf{|x − y| : x ∈ K1 , y ∈ K2 }
[La función f : R2 → R, f (x, y) = |x − y| es continua y K1 × K2 es un
subconjunto cerrado y acotado de R2 .]
8. Sea f : R → R una función continua. Si I y J son intervalos cerrados con
I ⊂ J y f (I) ⊃ J, demuestra que f tiene un punto fijo en I.
[f (I) es un intervalo porque f es continua e I es conexo. Además, f (I)
es cerrado y acotado porque I es compacto. Suponer que f (I) = [α, β].
Considera la función continua g : I → R definida por g(x) = f (x) − x y
usa el teorema del valor intermedio para g.]