ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES Cuestiones y

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
Cuestiones y problemas
Juan García Cabrera
Título: Elasticidad y resistencia de materiales. Cuestiones y problemas
Autor: © Juan García Cabrera
ISBN: 84-8454-499-0
Depósito legal: A-146-2006
Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33
C/ Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
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A mi madre y a Cecilia
INDICE
I. CUESTIONES DE ELASTICIDAD................................................ 7
II. CUESTIONES DE RESISTENCIA de MATERIALES................. 17
III. CUESTIONES RELATIVAS a los PROGRAMAS BASADOS
en el MÉTODO de los ELEMENTOS FINITOS .......................... 25
IV. PROBLEMAS de ELASTICIDAD................................................ 29
V. PROBLEMAS de RESISTENCIA de MATERIALES................... 79
5
I.
I.1
CUESTIONES DE ELASTICIDAD
Diferencia entre límite de proporcionalidad y límite
elástico.
El límite de proporcionalidad es el límite superior del valor de
la tensión por debajo del cual se cumple que la relación entre
tensiones y deformaciones es lineal. Por encima de dicho valor de la
tensión, la relación entre tensiones y deformaciones ya no es lineal.
El límite elástico es el valor de la tensión que separa dos
zonas de comportamiento diferente. Si el cuerpo se encuentra
sometido a una tensión menor del límite elástico, cuando se retire la
carga el cuerpo recuperará su deformación. Si el cuerpo se
encuentra sometido a una tensión mayor del límite elástico, cuando
se retire la carga el cuerpo no recuperará toda la deformación
inducida por dicha carga.
Estos dos límites no tienen por qué coincidir.
I.2
Forma geométrica del elipsoide de tensiones de
Lamé cuando dos direcciones principales forman un
ángulo de 60º ¿Y en el caso de que formen un ángulo
de 120º?
Las direcciones principales son siempre perpendiculares entre
sí.... Por otra parte, el elipsoide de tensiones de Lamé tiene forma,
en general, de... ¡elipsoide!.
I.3
En el caso de que dos direcciones principales formen
un ángulo de 60º, ¿qué forma tendrá el círculo de
Mhor? ¿Y en el caso de que formen un ángulo de
120º?
Al igual que en la cuestión Nº 2, las direcciones principales
son siempre perpendiculares entre sí.
7
ELASTICIDAD y RESISTENCIA de MATERIALES – Juan García Cabrera
I.4
¿Qué representa el elipsoide de tensiones de Lamé?
Para un determinado punto del sólido elástico y un
determinado estado tensional, el elipsoide de tensiones de Lamé
representa los extremos de todos los vectores tensión en dicho
punto. Dichos vectores tensión son los obtenidos para cada uno de
los infinitos planos con los que se puede “cortar” el sólido elástico,
en dicho punto.
(Por tanto, el elipsoide de tensiones de Lamé es una
superficie en el espacio.)
I.5
Diferencias en el tensor de tensiones entre los
estados de tensión plana y deformación plana.
El estado de tensión plana se define como aquel en el que
y el tensor de tensiones tiene la forma:
y en el caso de deformación plana, sus condiciones son :
y el tensor de tensiones tiene la forma:
8
I. Cuestiones de elasticidad
Por tanto su diferencia (–formal–) estriba en que en el caso de
tensión plana la tensión σ z = 0 .
I.6
Sean σI, σII y σIII las tensiones principales en un
determinado punto de un sólido elástico y para un
determinado estado tensional. Si σI = σII = σIII, ¿qué
forma geométrica adopta el círculo de Mhor?
El círculo de Mhor es una representación plana de las
componentes intrínsecas (σ y τ ) de los vectores tensión en un
punto. El círculo de Mhor será un punto; en concreto, el punto de
coordenadas (σI, 0).
I.7
Sean σI, σII y σIII las tensiones principales en un
determinado punto y para un determinado estado
tensional en un cuerpo elástico. Si σI = σII > 0 y σIII = 0,
dibujar el círculo de Mhor.
El dibujo de los círculos de Mhor será el siguiente:
I.8
Sean σI, σII y σIII las tensiones principales en un
determinado punto y para un determinado estado
9
ELASTICIDAD y RESISTENCIA de MATERIALES – Juan García Cabrera
tensional en un cuerpo elástico. Si σII = 0, σI = – σIII,
¿qué forma geométrica adopta el círculo de Mhor?
El dibujo de los círculos de Mhor será el siguiente:
I.9
Sean σI, σII y σIII las tensiones principales en un
determinado punto de un sólido elástico y para un
determinado estado tensional. Si σI = σII ≠ σIII, ¿qué
forma geométrica adopta el elipsoide de tensiones de
Lamé?
La ecuación del elipsoide de tensiones de Lamé es:
X2
σ I2
+
Y2
σ II2
+
Z2
σ III2
=1
siendo σ I, σ II, y σ III las tensiones principales en dicho punto.
Dicha ecuación representa, en general, un elipsoide de radios
σ I, σ II, y σ III.
10
I. Cuestiones de elasticidad
En el caso que nos ocupa, (σI = σII ≠ σIII ) la forma geométrica
será la de un elipsoide de revolución, cuyo eje de revolución será la
dirección principal correspondiente a la tensión principal σIII .
I.10
Sean σI, σII y σIII las tensiones principales en un
determinado punto de un sólido elástico y para un
determinado estado tensional. Si σI = σII = σIII, ¿qué
forma geométrica adopta el elipsoide de tensiones de
Lamé?
La ecuación del elipsoide de tensiones de Lamé será, en este
caso:
X2
σ I2
+
Y2
σ I2
+
Z2
σ I2
=1 ;
por tanto, el elipsoide de tensiones de Lamé será una
superficie esférica de radio σ I.
I.11
Sean σI, σII y σIII las tensiones principales en un
determinado punto de un sólido elástico y para un
determinado estado tensional. Si σI = σII = σIII, ¿qué
podemos decir de las direcciones principales?
Nada en particular. Los valores de σI, σII, y σIII son los valores
de las tensiones principales, pero el hecho de que su valor sea igual,
no implica ninguna característica especialmente significativa para las
direcciones principales.
I.12
Sean σI, σII y σIII las tensiones principales en un
determinado punto y para un determinado estado
tensional en un cuerpo elástico. Si σII = 0, σI = – σIII,
¿qué forma geométrica adopta el elipsoide de
tensiones de Lamé?
La ecuación del elipsoide de tensiones de Lamé será, en este
caso:
X2
σ I2
+
Z2
σ I2
= 1.
11
ELASTICIDAD y RESISTENCIA de MATERIALES – Juan García Cabrera
Por tanto, el elipsoide de tensiones de Lamé será una
circunferencia de radio σ I situada en el plano Y = 0.
NOTA: obsérvese que es una circunferencia y no un círculo.
I.13
Explicar el concepto de deformación longitudinal
unitaria.
La deformación longitudinal unitaria es la deformación a lo
largo de una dirección recta por unidad de longitud inicial.
Si la deformación es 0,2 mm. y la longitud inicial es 10 m., la
0,2
deformación longitudinal unitaria es ε =
= 0,00002 = 0,002%
10.000
I.14
¿Qué representa el invariante lineal del tensor de
deformaciones?
El invariante lineal del tensor de deformaciones representa la
deformación cúbica unitaria: I 1 = ε x + ε y + ε z = e . Es, por tanto,
una deformación volumétrica.
I.15
Concepto de módulo de elasticidad.
El módulo de elasticidad (E) es la relación entre la tensión y la
deformación longitudinal unitaria.
E=
12
σ
ε
I. Cuestiones de elasticidad
En la zona de comportamiento elástico del diagrama tensióndeformación, el módulo de elasticidad representa la tangente del
ángulo que forma la recta del diagrama con la horizontal.
I.16
¿Qué significado tiene el coeficiente de Poisson?
El coeficiente de Poisson (µ) relaciona la deformación
longitudinal unitaria en la dirección en la que se aplica la fuerza con
la deformación longitudinal unitaria en la dirección perpendicular a la
que se aplica la fuerza.
Si, por ejemplo, la fuerza se aplica en el eje X, µ =
I.17
εy
εx
.
Formulación de la Ley de Hooke Generalizada.
Para los ejes principales:
1
⎧
⎪ ε I = E (σ I − µ (σ II + σ III ))
⎪⎪
1
⎨ ε II = (σ II − µ (σ I + σ III ))
E
⎪
⎪ε III = 1 (σ III − µ (σ I + σ II ))
⎪⎩
E
Para cualquier dirección:
1
⎧
⎪ε x = E (σ x − µ (σ y + σ z ))
⎪⎪
1
⎨ε y = (σ y − µ (σ x + σ z ))
E
⎪
⎪ε = 1 (σ − µ (σ + σ ))
x
y
⎪⎩ z E z
τ xy
⎧
⎪γ xy =
G
⎪
τ xz
⎪
⎨γ xz =
G
⎪
⎪γ = τ yz
⎪⎩ yz
G
13