SOBRE RUEDAS

DE DADOS A DADOS
CUBOS
En esta fotografía puedes ver seis dados, etiquetados
desde la (a) hasta la (f). Hay una regla que es válida para
todos los dados:
La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada
dado es siempre siete.
(a)
(b)
(c)
1. Escribe en cada casilla de la
tabla siguiente el número de
puntos que tiene la cara inferior del dado correspondiente
que aparece en la foto.
(d)
(e)
(f)
2. Calcula la suma de todos los puntos de los seis dados.
A la derecha puedes ver tres dados colocados uno encima del otro.
El dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba.
3. ¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que
no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de
debajo de los dados 2 y 3)?
CARRERAS DE CABALLOS (por parejas)

Abrid la hoja carreras.xls. Pulsad el botón NUEVA para
empezar una partida. Cada vez que tocáis la tecla F9 es como si
tirarais dos dados Se suman las puntuaciones y el caballo que
está en ese carril avanza una posición. Antes de empezar a jugar, contestad:
1. ¿Cuál es el caballo que tiene más posibilidades de ganar? ¿Por qué?
2. ¿Y el que menos?
Nº
%
2
Jugad una partida.
3. Escribid el número total de tiradas hasta que alguien gane.
3
4. Elaborad una tabla en la que aparezca el porcentaje de veces que ha ….
salido cada suma. (Cada cual hace la suya)
12
5. ¿Ha salido con más frecuencia la suma que pensabais?
1
Antes de tirar los dados, podríamos haber echado las cuentas de que suma esperábamos más frecuente y también el porcentaje esperado. Sólo rellenando esta tabla:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
4
5
6
7
6. Completadla.
7. ¿Cuántas posibilidades distintas hay?
8. ¿En cuántas de ellas sale el 7 como suma?
9. ¿Cuál es el porcentaje esperado para la suma 7?

Abre la hoja simullgn.xls. Cada vez que pulsas F9 es como si tiraras dos dados 1000 veces.
Pulsad F9 diez veces e id apuntando las veces que
sale 7 de suma. (¡Es como si jugarais 10.000 veces!)
8
5
6
10. Calculad la media de las diez tiradas. Apuntadla.
11. ¿Sale parecido a lo esperado?
12. Si hablamos en tanto por cien, ¿cuál es la diferencia entre la media esperada
(teórica) con la real después de tirar 10.000 veces?
13. ¿Cuál es el error relativo?
Jugar con el programa 0Preideas.exe y realizar posteriormente el análisis como en PreProbabilidad.doc.
Abriendo las hojas correspondientes, realizad las actividades
que se proponen en PROBABILIDAD.doc.
APOSTANDO
Ahora tiramos sólo un dado. El jugador apuesta 1 €. Si sale par, la banca le
paga 40 €, pero si sale tres, debe pagar el jugador 6 € y 60 si saca cinco,
como se describe en el sistema de pérdidas y ganancias de la tabla.
PAR
+40 euros
UNO
0 euros
TRES
-6 euros
CINCO
-60 euros
1. ¿Qué prefieres ser?, ¿jugador o banca?
2. ¿Te parece un juego justo?
3. Si tú, siendo jugador, jugaras 60 partidas, ¿Cuál estimas que, aproximadamente, podría ser tu balance final?
4. ¿Cuántos euros de pérdida habría que adjudicarle al uno para que el juego fuera justo?
2
Vamos con tres dados. Este juego se llama Tragasuertes.
El feriante tira 3 dados (numerados del 1 al 6). Los jugadores apuestan por cualquier número del 1 al 6, y reciben de
premio la misma cantidad que apuesten por cada dado que
salga con su número.
Algunos jugadores creen que el juego les favorece. ¿Es así?
Supongamos, para analizar el problema (y minimizar la suerte) que las apuestas
están cubiertas. Completa los huecos. Contesta a las preguntas.
1
1e
0e
1
1e
2
1e
1e
2
1e
3
1e
1e
3
1e
4
1e
0e
4
1e
5
1e
0e
5
1e
6
1e
1e
6
1e
Sale 2-3-6 (sin repetición)
el feriante se queda en paz
(-3)+(+3)=0
Sale 2-2-6 (una repetición)
el feriante ……
1
1e
2
1e
3
1e
4
1e
5
1e
6
1e
Sale 2-2-2 (dos repeticiones)
el feriante ……..
Si hay repetición el feriante, ¿gana o pierde? Luego, el jugador ¿pierde o gana?
Proyectar
y comentar la presentación PROBABILIDAD.ppt y proponer una exposición oral (en grupo) de uno de los siguientes temas:
1. El juego de la taba. Orígenes. Reglas del juego en España en el s. XX.
2. El juego de los dados. Orígenes. Reglas
del juego en los casinos.
3. Lotería. Orígenes. Tipos de loterías
hoy en España. Reglas y premios.
4. Naipes. Orígenes. Juegos de naipes a
los que se juega hoy en España.
5. La ruleta. Orígenes. Tipos de ruletas.
Reglas del juego.
6. Descripción de dos juegos: uno de puro azar y
otro de azar/estrategia.
3
El Chevalier de Méré fue un gentleman con bastante
experiencia en juegos de azar y, aparentemente, con buen
sentido para intuir las diferentes posibilidades que ofrecían las distintas apuestas en el juego de los dados. Habiendo conseguido a lo largo de los años una fortuna considerable apostando a obtener un seis en cuatro lanzamientos de un dado, de Méré razonó, siguiendo un argumento común en su época, que apostar a sacar un doble
seis en veinticuatro lanzamientos con dos dados sería
igual de provechoso. Hay que señalar en su descargo que
después de dolorosos ensayos llegó a la conclusión de
que esta última apuesta no le reportaba ningún beneficio;
así, en 1645 de Méré retó a su célebre amigo Blaise Pascal a que le ofreciese una explicación. En correspondencia mantenida entre Pascal y Pierre de Fermat se resolvió
el problema propuesto por de Méré, y de paso, surgieron
la idea formal de probabilidad, el famoso triángulo de
Pascal y la omnipresente distribución binomial.
M. Barreras, “Matemáticas con Microft Excel, pág. 138
Los gráficos muestran que Méré debería haber consultado con Pascal antes de cambiar de
juego.

Abre la hoja mere.xls y comprueba cómo, normalmente, gana en
un juego y pierde en el otro.
En los gráficos puede verse la probabilidad teórica.
1. Intenta calcular la probabilidad de al tirar un dado 4 veces no salga ningún seis. Ayúdate de
un diagrama de árbol.
Estos dos problemas supusieron, allá por mil seiscientos y pico, los comienzos de la probabilidad. Otro se une a éstos, el de la partida interrumpida. Contamos aquí una versión actualizada. A ver si lo resuelves.
Jimmy y Telma están en plena partida de un juego donde se tienen que conseguir 6 puntos
para ganar, y en el que cada uno de los jugadores tiene las mismas oportunidades para vencer en una ronda y llevarse un punto. Jimmy está ganando por 5 a 3, cuando llega la policía
y se interrumpe la partida.
2. ¿Cómo deberán repartirse las apuestas depositadas?
[problema propuesto por Fibonacci (11801250 en su “Liber Abaci” , mal resuelto por
Luca Pacioli (1445-1514), que sostenía que la
repartición debería ser de 5 a 3, cuando, realmente, debe ser de 7 a 1]
DADOS DE COLORES
4
Dos amigos quieren renovar el juego de los dados. Cada uno de ellos tiene un pequeño cubo en el que ha pintado varias caras de verde y el resto de amarillo.
Los dos lanzan su dado a la vez. Si salen dos caras del mismo color gana Aurora, y
si los colores son distintos, gana Beto. Beto sabe que Aurora ha pintado su dado
con tres caras verdes y tres amarillas.
1. ¿Habrá alguna manera de que, pintando adecuadamente sus caras, Beto aumente sus posibilidades de ganar? ¿Cómo?
[uno más general]
2. ¿Y si Aurora hubiera pintado 4 verdes y dos amarillos?
3. ¿Cuál crees que es, en general, la estrategia para obtener más posibilidades de
ganar?
MÁS CARAS
En la vida corriente no es difícil encontrar cubos. Se ven en todos los ámbitos:
arquitectura
tecnología
velas
macetas envases
publicidad
Menos corrientes son los poliedros que no tienen seis caras.
Por ejemplo, de cuatro caras (tetraedro).
Hubo un tiempo en que algunos zumos se
empaquetaban así:
Y en la estructura del agua, los electrones
saben bien cómo colocarse:
La fluorita (CaF2) es caprichosa cristalizando (en octaedros,
polígono regular de ocho caras). (También la magnetita, el
oro o el cobre)
5
El dodecaedro (12 caras pentagonales)
va bien para calendario.
La pirita eligió esta forma para cristalizar.
Los que practican los juegos de rol lo
usan a menudo.
Algunos han diseñado con esta forma
altavoces que emiten llenando el espacio.
Por fin, hay quien confunde los icosaedros (20 caras triangulares) con flores, y,
otros, prefieren bailar dentro de ellos.
¿Hay más poliedros regulares que estos cinco?
Abre en Internet la ruta Poliedros / Poliedros regulares de la
página
http://mimosa.cnice.mecd.es/%7Eclobo/geoweb/2eso.htm
¿Por qué no hay poliedros regulares de caras hexagonales?
¿Por qué no hay de caras octogonales?
Un balón de fútbol, ¿es un poliedro? ¿Es
regular? Analiza los tres de la figura.
¿Es un balón de rugby un poliedro regular?
¿Cómo definirías un balón de rugby?
6

A los cinco sólidos regulares se les llama Cuerpos Platónicos
porque Platón en uno de sus dialogos más significativos, el ``Timeo'', en
el que se explica la construcción del universo, establece una asociación
entre ellos y los elementos fundamentales de los que éste está compuesto, que según sostenían los griegos estaba hecho con átomos de agua,
aire, tierra y fuego.
Según lo que allí se expone, el mundo real es una copia imperfecta del
mundo de las ideas hecha por el Demiurgo, ser inteligente y bueno al
que le atrae la belleza y trata de recrearla. Este personaje crea en primer
lugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace dándole forma esférica, la más perfecta) en cuyo centro está la Tierra. Después se ocupa de
la materia con la que está hecho el mundo; se compone de cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua, que han de tener la propiedad de ser
``sólidos'' (pues las cosas no solamente son planas sino que tienen profundidad) y han de ser capaces de recomponerse unos en otros. Puesto
que han de ser sólidos, esto es, limitados por planos y un plano está
compuesto por piezas sencillas (triángulos), el Demiurgo elige de éstos
los más bellos: el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas catetos- iguales) y el triángulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la
propiedad de tener la hipotenusa de doble longitud que uno de sus catetos. A partir de seis de estos últimos triángulos construye el triángulo
equilátero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro.
Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado y con
seis de éstos el cubo.
Incluimos a continuación extractos literales del ``Timeo'' según la traducción castellana [23]:
``... Antes de la creación, por cierto, todo esto carecía de proporción y
medida. Cuando dios se puso a ordenar el universo, primero dio forma
y número al fuego, agua, tierra y aire, de los que, si bien había algunas
huellas, se encontraban en el estado en que probablemente se halle
todo cuando dios está ausente. Sea siempre esto lo que afirmamos en
toda ocasión: que dios los compuso tan bellos y excelsos como era posible de aquello que no era así. Ahora, en verdad, debo intentar demostraros el orden y origen de cada uno de los elementos con un discurso
poco habitual... En primer lugar, creo que para cualquiera está más
allá de toda duda que fuego, tierra, agua y aire son cuerpos. Ahora
bien, toda forma corporal tiene también profundidad. Y, además, es de
toda necesidad que la superficie rodee la profundidad. La superficie de
una cara plana está compuesta de triángulos. Todos los triángulos se
desarrollan a partir de dos, cada uno con un ángulo recto y los otros
agudos. Uno tiene a ambos lados una fracción de ángulo recto dividido
por lados iguales, el otro partes desiguales de un ángulo recto atribuida a lados desiguales... suponemos que éste es el principio del fuego y
de los otros cuerpos... Ciertamente, debemos explicar cuáles serían los
cuatro cuerpos más perfectos, que, aunque disímiles entre sí, podrían
nacer unos de otros cuando se desintegran. En efecto, si lo logramos,
tendremos la verdad acerca del origen de la tierra y el fuego y de sus
medios proporcionales. Pues no coincidiremos con nadie en que hay
cuerpos visibles más bellos que éstos, de los que cada uno representa
7
un género particular. Debemos, entonces, esforzarnos por componer
estos cuatro géneros de cuerpos de extraordinaria belleza y decir que
hemos captado su naturaleza suficientemente...''
Debe haber cuatro elementos por el siguiente razonamiento: las cosas
deben tener fuego, puesto que se ven, y tierra, puesto que son materiales; dos cosas necesitan de una tercera para poder ser unidas. Si el universo fuese plano bastaría con un tercer elemento, pero, como tiene profundidad, necesita de otro más para poder hacer esta unión. Así, para
unir el fuego y la tierra se precisan otros dos: el aire y el agua. Analizando las propiedades de los elementos y la proporción en la que deben
estar en la naturaleza, llega a la conclusión de que los átomos de fuego
son tetraedros, los de tierra son cubos, los de aire octaedros y los de
agua icosaedros. Queda una única combinación, el dodecaedro, que lo
reserva para el universo.
http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/Divul/POLIEDROS/cuerpos.html
(Entra en esta página para SABER MÁS)
El texto habla de dos figuras planas básicas que generarán el tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro. Son “el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas -catetos- iguales) y el triángulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la propiedad de tener la hipotenusa de doble longitud que uno de sus catetos”.
Supongamos que los catetos del triángulo rectángulo isósceles miden 1 (una unidad) y el cateto pequeño del cojo mide también 1 (así que 2 la hipotenusa).
“Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado”. ¿Cómo?
“A partir de seis de estos últimos triángulos (triángulos cojos) construye el triángulo equilátero”. ¿Cómo?
Recorta 6 iguales e inténtalo.

Si no tienes tijeras a mano, ve a tri_cojo.doc e inténtalo en Word.
Si no te sale, piensa. ¿Cuál es el área del triángulo básico cojo?
¿Cuál será el área del equilátero formado con 6 cojos?
¿Cuál será su base y su altura?
Ahora las posibilidades quedan muy acotadas.

Comprueba tu solución en cojosol.doc.
8
Calcula el volumen del tetraedro y del octaedro. Compara tus resultados con los que aparecen
en la tabla siguiente.
POLIEDRO
REGULAR
HEXAEDRO
REGULAR
TETRAEDRO
REGULAR
DODECAEDRO
REGULAR
ICOSAEDRO
REGULAR
OCTAEDRO
REGULAR
CARAS
6 cuadrados
4 triángulos
equiláteros
12 pentágonos
regulares
20 triángulos
equiláteros
8 triángulos
equiláteros
VÉRTICES
8
4
20
12
6
ARISTAS
12
6
30
30
12
ARISTAS
POR VËRTICE
3
3
3
5
4
SENO DEL ÁNGULO
ENTRE CARAS
1
MODELO
ÁREA DE LA SUPERFICIE EXTERIOR
VOLUMEN
RADIO DE LA ESFERA CIRCUNSCRIPTA
RADIO DE LA ESFERA INSCRIPTA
En las fórmulas, a = arista.
GENIAL Y MÍSTICO KEPLER
 Johannes Kepler (1571-1630)
Astrónomo alemán, nacido en Weilderstadt, en Würtemberg. Estudia
teología, astronomía y matemáticas en el seminario de Tubinga. Posteriormente, deja la teología para dedicarse a la astronomía y las matemáticas y a ejercer la profesión de astrólogo.
Concibe, en una primera fase de su pensamiento condicionada por la
místico-pitagórica-platónica, la posibilidad de una nueva astronomía,
cosa que persigue, en un primer momento, por la vía del misterio y de
los símbolos. En Mysterium Cosmographicum (1596) utiliza las distancias de los planetas al sol para encajar la imagen del mundo en un sistema geométrico que consideraba representativo de la armonía universal: las órbitas de los planetas quedan organizadas de tal manera que
cada una de ellas quedaba inscrita en un sólido regular sobre el que
quedaba circunscrita la órbita del planeta exterior siguiente: la esfera
de Saturno quedaba circunscrita a un cubo en el que se inscribía la esfera de Júpiter, que circunscribía el tetraedro, etc. Siguiendo este orden:
Saturno -Cubo-Júpiter -Tetraedro- Marte -Dodecaedro- Tierra Icosaedro- Venus -Octaedro- Mercurio.
(Entra en www.unirioja.es/.../ Divul/POLIEDROS/cuerpos.html para SABER MÁS)
9
Comprueba la hipótesis de Kepler con los datos de la tabla.
¿Cuál fue el mayor descubrimiento de Kepler? Escribe las tres
leyes de Kepler.
http://www.luventicus.org/articulos/03C001/kepler.html
http://enciclopedia.us.es/index.php/Kepler

Podemos descubrir poliedros regulares en muchos ámbitos del
conocimiento humano. Abre los enlaces (palabras subrayadas) para ver,
las figuras correspondientes en la página
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geomet
ria/poliedros/
En la naturaleza
En 1.996 se concedió el premio Nobel de Química a tres investigadores por el descubrimiento
del fullereno cuya forma es un icosaedro truncado.
Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales; El virus de la poliomelitis y de la
verruga tienen forma de Icosaedro; Las células del tejido epitelial tienen forma de Cubos y
Prismas; Los Radiolarios presentan formas de Octaedros con apéndices, Icosaedros regulares
y dodecaedros; etc.
En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos.
Así, por ejemplo, algunos de los más conocidos son:
- Galena, Sal Gema, Platino y Diamante, cristalizan formando Hexaedros.
- Fluorita, Magnetita, Oro y Cobre, cristalizan formando Octaedros.
En Literatura
En Literatura también hay algunas muestras de utilización de poliedros, como en el
soneto de Rafael Alberti:
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños, angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
10
En pintura
Salvador Dalí, utiliza el dodecaedro en un óleo para enmarcar su escena sobre la última cena
(con sus 12 Apóstoles). También lo utiliza en su obra Crucifixión (la cruz se compone de 8
hexaedros adosados)
Escher también utilizó poliedros regulares (tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) en
sus famosos dibujos, así como Leonardo da Vinci (ucocedrón abscisus vacuus)
En arquitectura
El mausoleo de Gol Gumbaz de Bijapur (India) tiene forma de cubo, el Planetario de New
York (obra de Polshek y Schliemann) es otro cubo de cristal de 29 metros de arista que contiene una esfera blanca de 27 metros de diámetro, en cuyo interior se ha representado el centro
de la Tierra y el Espacio.
En escultura
En Escocia se han encontrado piedras de formas poliédricas que tienen más de 4.000 años.

Lectura recomendada: Planilandia, de Edwin Abbott Abbott. Un
capítulo en SIGMA, págs. 319-332. (J. R. Newman)

foreuler.doc. Relación entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo. Fórmula de Euler.

arpoli.doc. Áreas laterales de los poliedros regulares.
Problemas.
Los ocho hexaedros adosados que aparecen en el cuadro Crucifixión de Salvador Dalí son el desarrollo de un tetracubo, un
cubo en la cuarta dimensión. Para más información sobre la
cuarta dimensión:

Lectura recomendada. Martín Garner, Carnaval matemático, cap. Hipercubos, págs. 51-66.
Para una ficción sobre el mundo bidimensional:
 Lectura recomendada. AGNOSIA.doc.
11
CUBOS EN EQUILIBRIO
El escultor Marcu Bista ha diseñado una obra compuesta de
cubos apoyados (soldados) en otros por un vértice, como se ve
en la figura.
El cubo base tiene 1 m de arista y cada uno 3/4 del anterior.
1. ¿Qué altura alcanzará una estructura de 5 cubos?
2. ¿Qué longitud total tendrán todas las varillas de la estructura?
(Te serán de ayuda:)

tpitagoras.zip
3. ¿Le cabrá en una nave de 5 m. de altura?
4. ¿Cuántos cubos le cabrían en una nave de 6 m. de altura?
5. ¿Y en una de 7 m. de altura?
CUBOS (DE FREGAR)
Hay unos objetos imprescindibles en cualquier casa que se llaman cubos pero no
son hexaedros. Son las fregonas.
¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que es un cubo de agua? (La superficie está
ligeramente abombada, pero, para simplificar el problema, la vamos a suponer
recta)
Una fregona estándar tiene estas dimensiones:
Diámetro grande, 29 cm., diámetro pequeño, 20 cm., longitud
lateral, 26 cm.
Imagina que tienes una fábrica de montaje de fregonas. El distribuidor del material te proporciona planchas de 1 m. de ancho
y lo que tu le pidas de largo (mínimo 1 m.)
Dibuja el desarrollo de una fregona a escala 1:10.
¿Qué dimensiones de planchas encargarías para desaprovechar en el corte el mínimo material posible?
(Ten en cuenta también los fondos)
Si venden el m2 a 1,2 €, ¿cuánto te costarían 1500 fregonas?
12
Calcula el volumen de la fregona.
En la foto de la izquierda casi no se ve, pero está fregona está graduada por la parte de dentro del 1 al 12. (Si haces zoom en la pantalla,
lo verás)
¿Qué significa esa graduación?
¿Estarán todas las rayas a la misma distancia unas de otras?
Gradua un recipiente de forma de tronco de cono de las siguientes
dimensiones:
Diámetro grande, 50 cm., diámetro pequeño, 20 cm., longitud lateral, 40 cm.
Cubo de Necker.
Es éste uno de los ejemplos más típicos de
ilusión óptica: unas veces veremos el cubo
desde abajo y otras veces desde arriba.
Más curioso aún es que si lo miramos durante
un rato ambos puntos de vista se irán alternando cada pocos segundos. La explicación parece estribar en que nuestro pobre cerebro
capta las dos posibilidades pero no es capaz
de decidirse por ninguna de ellas, de modo que
nos muestra las dos.
JUEGOS EN LA RED
http://www.jugarjuegos.com/juegos/java/wissetris3d/index.htm
13