CÓMO SUMAR DOS NÚMEROS REALES.

¿CÓMO SUMAR DOS NÚMEROS REALES?
Rubén Darío Henao Ciro1
Este escrito surge de la necesidad de orientar a los estudiantes de bachillerato sobre la
suma de números reales. No se pretenden aquí construcciones exhaustivas ni
demostraciones fundamentales de la matemática. Nuestro propósito, simple para un
versado en matemáticas, es indicar cómo proceder cada vez que el estudiante se vea
abocado a la necesidad de sumar dos números reales y que no quiera recurrir a la
inmediatez de la calculadora sino ejercitarse en la operatividad numérica.
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. Una entidad se
refiere a algo importante, en filosofía es lo que constituye la esencia del ser, que en
nuestro caso es abstracta. Lo abstracto es aquello que indica una cualidad sin incluir
sujeto alguno, no se puede tocar como las cosas concretas. Ocho es un número
abstracto pero ocho árboles es un número concreto.
El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra. Los números se usan en
la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como
indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), entre otros.
En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales
como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos. De
ahí que al hablar de números no se habla sólo de los naturales (1, 2, 3, 4,…) sino de
entidades abstractas, como  (pi),  (fi), e (épsilon) o 2 entre otras, que igual nacen
de la relación del hombre con la naturaleza y explican múltiples fenómenos de la
realidad real o científica.
Nuestros primeros hombres empezaron a contar con objetos físicos como montones de
piedras o fichas de arcilla, con marcas o muescas hechas en los huesos, con nudos
hechos en los lazos; los cuales les permitían establecer una correspondencia entre las
marcas y la cantidad de objetos que necesitaban contar. No sabían que más adelante el
proceso se iba a simplificar cuando surgieran los números como símbolos que
englobaban diversas cantidades.
No podríamos vivir sin el número; nada podría precisarse sin el uso de esos
enigmáticos símbolos que mencionamos a diario y que nos ayudan a relacionarnos
mejor. Complejo sería emprender operaciones como contar, medir, ordenar, resolver,
calcular, estimar o comercializar sin la ayuda de los números. Más complejo todavía
sería comprender la suma de números sin atender a la naturaleza de los números.
Entremos en la suma de números reales.
Para sumar dos números reales debemos atender fundamentalmente a la naturaleza de
los números a sumar, puesto que se procede diferente si éstos son naturales, enteros,
racionales o irracionales.
Todo número real es decimal; o en términos más precisos, todo número real se puede
expresar como un decimal. Por lo tanto deberíamos empezar a responder cómo sumar
1
Magíster en Didáctica de la Matemática, IPLAC, Cuba. Docente I.E. Escuela Normal Superior – Universidad de Antioquia
dos números decimales, sin embargo la cuestión no es tan rápida. Vamos a proceder
por partes, según los conjuntos numéricos antes citados.
Los números Naturales son N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,… En muchos casos se dice
que son los que sirven para contar unidades, o los que representan el cardinal de un
conjunto.
Para sumar dos números Naturales, se tiene en cuenta la adición de unidades,
décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas.
701+
195
896
La suma de números Naturales se puede representar en la recta numérica.
5+3=8 se puede representar así:
0
5
8
Es de anotar que la suma de dos números Naturales es otro número Natural. Esto es
muy importante. ¿Se imaginan el caos donde la suma de dos números naturales no
pueda ser otro número natural?
Los números Enteros son Z={…-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,… 
Para sumar dos números enteros, hay que observar si son positivos o negativos.
Podemos pensar que existe una ley para sumar enteros positivos, negativos o de
diferente signo, como se muestra en los siguientes ejemplos:
 34+15=15+34=49; se procede como si fueran naturales, dando por hecho que la
suma de dos cantidades positivas tiene que ser otra cantidad positiva.
 32+(-12)=(-12)+32=20; se resta el valor absoluto del menor del valor absoluto del
mayor y se pone el signo del mayor valor absoluto, Entendiendo que cuando se
suman dos cantidades de diferente signo, el signo del resultado puede ser positivo o
negativo, pues depende del mayor valor absoluto.
 (-26)+(-71)=(-71)+(-26)=-87; la suma de dos cantidades negativas siempre da
como resultado otra cantidad negativa.
Recuérdese que el valor absoluto de un número x, denotado con un par de barras IxI,
es un número positivo siempre; así: I-23I=23, I45I=45
En síntesis: para sumar dos números enteros con signos diferentes, hallamos primero el
valor absoluto de cada número y sustraemos el menor del mayor. Si el sumando
positivo tiene el mayor valor absoluto, entonces el resultado es igual a esta diferencia: si
es el sumando negativo el de mayor valor absoluto, entonces el resultado es igual al
opuesto de esta diferencia.
La suma de Enteros se puede representar también en la recta numérica.
Los números racionales se representan con la letra Q y se expresan de la siguiente
a
forma: Q   , a  Z , b  Z , b  0 , lo cual quiere decir que un número racional es de la
b
a
forma
donde a y b son números enteros pero b es diferente de cero.
b
En muchos casos los números racionales son entendidos por los estudiantes como
fraccionarios. A ellos les cuesta comprender la diferencia entre una fracción (léase
cualquier fracción) y el representante de una clase de fracciones (léase un racional).
Los números racionales son esencialmente decimales.
a
Todo número de la forma
con b diferente de cero se puede expresar como número
b
3
decimal si se efectúa la división de a entre b. El número racional, por ejemplo,
es
4
equivalente a 0,75 puesto que ese es el resultado de 3 dividido 4.
5
 1,66666666 ...  1, 6 (la rayita encima del 6 significa
3
que es un periodo de una cifra que se repite indefinidamente)
Así también, el número racional
Dos aspectos importantes se derivan de lo anterior: la naturaleza de los números
racionales y la manera de sumarlos. Vamos con el primero de ellos.
Finitos
Racionales Decimales
Puros
Periódicos
Infinitos
Mixtos
No periódicos
Algunos ejemplos de estos números decimales son:
6
 1,2 (decimal finito) Obsérvese que el residuo de la división es cero.
5
6
 0,85714285 7142857142 8571428571 4286...  0, 857142 (decimal infinito periódico puro) .
7
Obsérvese, al dividir, que los residuos empiezan a repetirse, lo mismo que el periodo de
seis cifras inmediatamente después de la coma.
11
 0,91666666 ...  0,916 (decimal infinito periódico mixto) Obsérvese hay un momento
12
en el cual los residuos empiezan a repetirse, lo mismo que el periodo de una cifra
aunque no empieza a repetirse después de la coma.
Los decimales infinitos no periódicos son los irracionales y los trataremos más adelante.
Vamos ahora al segundo aspecto que habíamos mencionado: la suma de dos números
racionales.
Para sumar dos números racionales existen dos caminos: sumarlos en su expresión
a
b
o sumarlos como decimales.
En el primer caso, para sumar dos números racionales de la forma
lo muestra la siguiente regla:
ejemplo:
4 1 8  5 13
 

5 2
10
10
a
se procede como
b
a c ad  bc
 
y al final se simplifica si es posible.
b d
bd
Por
En el segundo caso, la suma puede hacerse con los decimales que se corresponden
con cada uno de los racionales; esto es: 0,8+0,5=1,3. Observe usted que 0,8 es lo
4
mismo que
y 0,5 es lo mismo que ½.
5
Recuerde, además, que para sumar dos números decimales se ubican de tal manera
que queden unidades debajo de unidades, décimas debajo de décimas y centésimas
debajo de centésimas y se procede a sumar. Veamos como ejemplo, la suma de
0,37+71,062
0,370+
71,062
71,432
En los ejemplos anteriores, los decimales a sumar son finitos, veamos qué pasa con
decimales infinitos como seis séptimos y un tercio.
6 1 18  7 25
 

 1,190476
7 3
21
21
Si se efectúan las divisiones que transforman cada racional en decimal y se suman
queda:
0,8571428571428…+
0,3333333333333…
1,1904761904761… que es el mismo resultado obtenido arriba.
En este caso puede verse que la suma de dos decimales infinitos periódicos es otro
decimal infinito periódico.
Si se suma un decimal finito con un decimal infinito, se procede igual.
1 1 3 2 5
 
  0,83 , la respuesta es un decimal infinito periódico mixto, que igual
2 3
6
6
puede verse si se suman como decimales.
0,5000+
0,3333…
0,8333…
Surge aquí otro hallazgo interesante que a veces poco se explora en el trabajo
matemático y que nosotros vamos a considerar.
La suma de dos decimales infinitos periódicos es otro número decimal periódico; la
suma de dos números finitos es otro número finito, pero lo más importante y extraño: la
suma de un decimal finito con un decimal infinito periódico puro da como resultado un
decimal periódico mixto.
Es de anotar que entre los racionales siempre se va a encontrar un decimal que sea no
finito o infinito periódico; es decir, nunca aparecerá un decimal infinito no periódico y
esto quiere decir que por compleja y extensa que sea una división de dos números
enteros siempre habrá un lugar en el cual empiezan a repetirse los residuos.
Analicemos ahora lo que pasa con los irracionales.
Los números irracionales son los decimales infinitos no periódicos, como ya hemos
escrito. Varios aspectos interesantes surgen del estudio de este conjunto numérico.
Los números irracionales no son racionales, puesto que no se pueden expresar de la
a
forma .
b
Los irracionales provienen de las raíces inexactas que existen; es decir, 2, 3, 5, 6,
7, 8,… 3 2 , 3 3, 3  5,...,4 2 , 4 3,.... en general, todo número de la forma n a que
represente una raíz posible pero inexacta es un número irracional.
Dos aclaraciones interesantes respecto a las raíces son: las raíces deben existir; es
decir, tiene que ser posible encontrar la raíz indicada, no importa que la raíz no sea un
número entero sino un decimal infinito no periódico.
Algunas representaciones decimales de irracionales son:
2=1,4142135623730950488016887242097…
5=2,2360679774997896964091736687313…
3
6  1,8171205928321396588912117563273..
Otros irracionales famosos son ,  y e. Vamos a dar una
explicación superficial de estos tres números.
El Número π (pi), además de ser un número irracional, es la relación entre la longitud
de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es una de las constantes
matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e
ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es
=3,14159265358979323846…
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia,
siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la
física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata
entre los matemáticos profesionales y aficionados.
El número φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), no sólo es un número irracional.
También se le llama El número áureo o de oro, número dorado, razón áurea, razón
dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción. Su valor aproximado es
=1,618033988749894848204586834365638…
Este número algebraico está presenta en algunas figuras geométricas, en la naturaleza
(caracolas, hojas, árboles). También tiene una especial importancia en las artes y en la
arquitectura.
El número e (épsilon), conocido como número de Euler fue reconocido y utilizado por
primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de
logaritmo
en
el
cálculo
matemático.
Su
valor
aproximado
es
e=2,71828182845904552354…
Se utiliza para resolver problemas relacionados con la química (concentración de
iones), la física (descarga de un condensador), la biología (crecimiento celular), la
sociología (crecimiento poblacional) y la aritmética comercial (cálculo de intereses),
entre otras ciencias.
Es de observar que por muy extensa que sea la cola de decimales que obtengamos
para cada uno de los números anteriores nunca empezará a repetirse un periodo
numérico como ocurre con los números decimales infinitos periódicos.
La suma de dos números irracionales se puede hacer de varias formas.
Puede dejarse indicado 2+3, puede representarse en la recta numérica o puede
aproximarse con decimales, así:
2  1,414…+
3  1,732…
3,146
Si los irracionales a sumar son semejantes, ocurre que: 42+52=92; 2+(-2)=0
Los números reales son la unión de los racionales con los irracionales. Por
consiguiente, para sumar dos números reales hay que tener en cuenta todo lo expuesto
hasta aquí. Aunque todavía surgen algunas cuestiones interesantes.
Puede presentarse la suma de un racional y un irracional, como sigue:
a
a
c ab c
 c 

b
b 1
b
Veamos un ejemplo:
5
5
5 5  9 5 5  9(2,23606...) 5  20,12454..
. 25,12454
 5 




 2,791615..
.
9
9 1
9
9
9
9
Aproximando la suma con decimales sería:
0,555555555… que es el resultado de dividir 5 entre 9.
+2,236067977… que es la raíz aproximada de 5.
2,791623532…
Los dos números reales a sumar pueden estar escritos en notación científica. Un
número está escrito en notación científica cuando se expresa como un decimal
comprendido entre uno y diez, multiplicado por una potencia de diez.
Por ejemplo: 2,3x107=23000000, estas son dos maneras de escribir veintitrés millones,
la primera de ellas se llama notación científica, la segunda es la escritura en el sistema
decimal nuestro.
Algunos datos interesantes que se expresan mejor en notación científica son:
Masa de la tierra: 5980 000 000 000 000 000 000 000 Kg
= 5,98x10 24 Kg
Masa de un átomo: 0, 000 000 000 000 000 000 1 Kg
= 1x10 -19 Kg
Masa del sol:
600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kg = 6x10 29 Kg
Para sumar dos números reales, escritos en notación científica, existen dos formas: una
consiste en reescribir los números con la misma potencia de diez y luego utilizar la
propiedad distributiva, la otra consiste en llevar los números a su escritura decimal
normal y sumarlos como números decimales.
Sumar, por ejemplo: 1,5x106+2,3x107 se procede de la siguiente forma:
0,15x107+2,3x107=(0,15+2,3)x107=2,45x107
La otra forma sería:
1500000 +
23000000
24500000
Observe que el resultado de la suma es el mismo; la diferencia está sólo en la forma de
escribir el número real.
Y como este es un tema cuyo tratamiento tiende al infinito, terminemos por ahora
respondiendo en forma rápida a la pregunta inicial: ¿Cómo sumar dos números reales?
Bien, debemos utilizar fundamentos importantes como:
1. La naturaleza de los números a sumar, si son naturales, enteros, racionales o
irracionales.
2. El signo de los números a sumar, sean positivos o negativos.
3. Las propiedades de la suma como clausurativa, conmutativa, modulativa, de los
inversos aditivos y distributiva.
Y, aunque algunos reduzcan el problema inicial al uso de la calculadora, nosotros, sin
estar contra la tecnología, recomendamos ejercitarse en el cálculo de operaciones
matemáticas para adquirir un mejor desarrollo de nuestra inteligencia y no quedarnos
vacíos sin nada que pensar ni con qué hacerlo, puesto que órgano que no se usa se
atrofia.