Notas para un curso de´Algebra Abstracta I

Notas para un curso de Álgebra
Abstracta I
Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Bogotá - Colombia.
II
Índice general
1. Grupos
1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Tabla de operación . . . . . . . . . . .
1.4. Grupos Cı́clicos . . . . . . . . . . . . .
1.5. Grupos generados y producto directo .
1.6. Grupos de permutaciones . . . . . . .
1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange
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2. Homomorfismos
2.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Propiedades de Homomorfismos . . . . . .
2.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . .
2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley . . .
2.5. Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo
2.7. Cálculo de Grupo Factor . . . . . . . . . .
2.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. El centro y el conmutador . . . . . . . . .
2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
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20
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23
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3. Conjugación
33
3.1. Elementos y subgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. An para n ≥ 5 es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Acción de grupo sobre un conjunto
4.1. G-conjuntos . . . . . . . . . . . . .
4.2. Subgrupo estabilizador y órbitas .
4.3. La fórmula de Burnside . . . . . .
4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
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37
37
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40
42
IV
ÍNDICE GENERAL
5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos
5.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . .
5.2. Series de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Cadena Central Ascendente . . . . . . . . . . .
5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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52
6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
6.1. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Aplicaciones de la teorı́a de Sylow . . . . . .
6.3. Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . . .
6.4. Teorema fundamental de los grupos abelianos
6.5. Grupos libres y representaciones . . . . . . .
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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53
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63
66
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Índice de figuras
1.1. Subgrupos de Z8 y de Z12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. transformaciones del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. retı́culo de subgrupos de D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
14
15
2.1. Fibras y Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . .
19
24
4.1. Rotaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
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43
45
46
47
6.1. Grupo abeliano libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Grupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
63
Primer Teorema de Isomorfismo .
Tercer Teorema de Isomorfismo .
Lema de la Mariposa . . . . . . .
Teorema de Schreier . . . . . . .
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VI
ÍNDICE DE FIGURAS
Capı́tulo 1
Grupos
1.1.
Grupos
1.1 Definición (Grupo): Una estructura < G, ·, e >, que consta de un
conjunto G, una operación binaria ·, y un elemento distintivo e, es un grupo,
si satisface los siguientes axiomas:
G1: · es asociativa
∀x, y, z ∈ G(x · (y · z) = (x · y) · z)
G2: e es neutro en ·
∀x ∈ G(x · e = x ∧ e · x = x)
G3: existencia de inversa
∀x ∈ G ∃y ∈ G(x · y = e ∧ y · x = e)
Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea < G, ·, e > un
grupo, entonces:
i) Si e0 es tal que para todo x ∈ G, x · e0 = e0 · x = x, entonces e0 = e.
ii) Dado un x ∈ G, si y, y 0 ∈ G son tales que x · y = y · x = e = x · y 0 = y 0 · x,
entonces y 0 = y.
Demostración: Por hipótesis e · e0 = e y por G2, e · e0 = e0 , luego e = e0 .
Por hipótesis x · y 0 = e y por G2, y = y · e, luego y = y · (x · y 0 ), ası́ por G1,
y = (y · x) · y 0 , pero y · x = e por hipótesis, entonces por G2 y = y 0 .
F
1.3 Notación y observación. En general, a < G, ·, e >, la denotaremos
simplemente G, excepto cuando se deba especificar para evitar confusiones. Si
no especificamos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos
2
Capı́tulo 1. Grupos
e. A x · y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, además dado que la
operación binaria es asociativa, x(yz) ó (xy)z lo denotaremos xyz.
Por otro lado el teorema anterior, justifica la siguiente definición.
1.4 Definición (el neutro, la inversa) y notación: Sea < G, ·, e > un
grupo,
i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad.
ii) Dado g ∈ G, al elemento g 0 ∈ G tal que gg 0 = g 0 g = e, lo llamamos la
inversa, o el inverso, de g,y lo notamos g −1 .
1.5 Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostración se
deja al lector.
i) < Z, +, 0 >, < Q, +, 0 >, < R, +, 0 >, < C, +, 0 >.
ii) < Q∗ , ·, 1 >, < R∗ , ·, 1 >, < C∗ , ·, 1 >.
iii) < Zn , +n , [0]=n >, donde a =n b si n|a − b y Zn = Z/ =n .
iu) < GLn (R), ·, In >, donde GLn (R) es el conjunto de matrices invertibles
de dimensión n × n.
u) < S 1 , ·, 1 >, donde S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones lineales
uno a uno, con la composición como la operación y la identidad como el
neutro.
Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x, y, z ∈ G son tales que
xz = yz, entonces x = y.
Demostración: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z −1 = (yz)z −1 = ye = y. F
1.7 Notación y observación. Si x ∈ G y n ∈ N, notamos:
e
si n = 0
n
x =
x · xn−1 de lo contrario
Dado que xn (x−1 )n = xn (xn )−1 = e, entonces extendemos la notación a todo Z
con x−n = (x−1 )n . Cuando la operación se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)),
notaremos xn por nx, y x−1 por −x.
Observe que xn xm = xn+m , para todo n, m ∈ Z, pero (xy)n no es necesariamente igual a xn y n , por ejemplo:
Teorema 1.8 (xy)−1 = y −1 x−1
Demostración: (xy)(y −1 x−1 ) = e.
F
Subgrupos
3
1.9 Posiblemente ya se habrá dado cuenta de cual es la condición para que
(xy)n = xn y n para todo x, y ∈ G. En honor al noruego Niels Henrik Abel
(1802-1829):
1.10 Definición (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operación
sea conmutativa (i.e. ∀a, b ∈ G(ab = ba)), se dice abeliano.
1.11 En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu)
y u) no lo son. Si V = Rn estos dos últimos grupos son bastante parecidos (ya
formalizaremos eso).
1.12 Ejercicios:
1. Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un numero par de
elementos, entonces existe un elemento a ∈ G, con a 6= e, tal que a2 = e.
2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todo
a ∈ G, es abeliano.
3. Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n
es impar. Pruebe que existe k ∈ N tal que x = (x2 )k .
1.2.
Subgrupos
1.13 Definición (Subgrupo): Si < G, ·, e > es un grupo, diremos que
< H, •, e0 > es un subgrupo de G, y lo notaremos H ≤ G, si:
i) H ⊆ G
ii) < H, •, e0 > es grupo
iii) • = · H×H
1.14 Observación a la definición 1.13. Sea H ≤ G y h ∈ H, como h =
h • e0 = h · e0 , y h = h · e entonces por la ley cancelativa, e = e0 . Ası́ un subgrupo
esta unı́vocamente determinado por el conjunto H, pues la identidad es la misma
que en G y la operación es la restricción. Esto justifica nuestra notación H ≤ G.
Por otro lado < {e}, · {e}×{e} , e > es subgrupo de G.
1.15 Definición (Grupo trivial, subgrupo propio)
i) Al grupo < {e}, ·, e >, lo llamamos grupo trivial.
ii) Si H ≤ G y H 6= G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lo
notamos H < G.
1.16 Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en
1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante engorroso bajo nuestra definición, afortunadamente existen caracterizaciones más
adecuadas para esto:
4
Capı́tulo 1. Grupos
Teorema 1.17 Sea < G, ·, e > un grupo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
i) H ≤ G
ii) H no es vacı́o, es cerrado mediante la operación de G, y mediante inversión. Esto es:
H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy ∈ H), ∀x ∈ H(x−1 ∈ H)
iii) H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy −1 ∈ H)
Demostración:
i) ⇒ ii): Como H ≤ G, e ∈ H luego H no es vacı́o. Las otras dos condiciones
se siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operación en H
es la restricción de la G.
ii) ⇒ iii): Si x, y ∈ H, y −1 ∈ H luego xy −1 ∈ H.
iii) ⇒ i): Tomemos • = · H×H , veamos que • es una operación binaria en
H. Sea x ∈ H, el cual existe pues H no es vacı́o. Entonces e = x · x−1 ∈ H, y
ası́ x−1 = e·x−1 ∈ H. Luego si x, y ∈ H, y −1 ∈ H y x•y = x·y = x·(y −1 )−1 ∈ H,
entonces • es una operación binaria en H, ası́ se cumple G1. Además, e ∈ H y
también se cumple G2 pues • = · H×H . Por esto último vemos también que se
cumple G3 pues dado x ∈ H, x−1 ∈ H.
F
1.3.
Tabla de operación
1.18 Dado un grupo G finito podemos representar completamente la operación
gracias a una tabla, al igual que solı́amos hacer tablas de multiplicación en
los números naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda),
ponemos el signo de la operación, en el resto de la primera columna de la tabla
ponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en la
primera fila. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operación.
Por el axioma G3 sabemos que en cada fila debe aparecer e una vez, y por la
unicidad de la inversa, una única vez. Según la ley cancelativa, lo mismo sucede
con cada elemento. Este mismo fenómeno se repite con las columnas. Si el grupo
es abeliano la tabla será simétrica. Estas pautas nos permiten generar grupos
nuevos (ver el cuadro 1.3).
Z4
+4
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
4-grupo de Klein V
·
e
a
b
c
e
e
a
b
c
Cuadro 1.1: Los dos únicos grupos de cuatro elementos
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Grupos Cı́clicos
1.4.
5
Grupos Cı́clicos
1.19 Definición (Orden de un grupo, orden de un elemento):
i) el orden de un grupo G, que notamos ord(G) (o simplemente |G|), es el
número de elementos de G, si G es infinito notamos ord(G) = +∞,
ii) el orden de un elemento g ∈ G, que notamos ord(g), es el mı́nimo n ∈ N∗
tal que g n = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +∞.
Lema 1.20 Si am = e, ord(a) | m.
Demostración: Sea n = ord(a). Por definición, n es el menor entero positivo
tal que an = e y por lo tanto m ≥ n. Usando el algoritmo de la división,
podemos escribir a m como m = qn + r, donde q ≥ 1 y 0 ≤ r < n. Ahora,
e = am = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ar . Si r 6= 0, entonces se tiene una
contradicción a la minimalidad de n. Luego r = 0 y ası́ n | m.
F
Teorema 1.21 Sea a ∈ G, y H = {an }n∈Z . Entonces H ≤ G y ord(H) =
ord(a).
Demostración: Como e = a0 ∈ H, an am = an+m ∈ H y (an )−1 = a−n , por el
teorema 1.17, H ≤ G.
Suponga que ord(a) = +∞. Si i, j ∈ Z con i ≤ j son tales que ai = aj , aj−i = e
luego j − i = 0. Entonces si i 6= j, ai 6= aj , luego ord(H) = +∞.
Ahora sea n = ord(a). Si i, j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} con i ≤ j, son tales que ai = aj ,
por el lema anterior n|j − i, luego j − i = 0, esto es i = j. Entonces n ≤ |H|. Y
si m ≥ n, y m = qn + r, con 0 ≤ r < n, am = ar , luego |H| = n.
F
1.22 Definición (Grupo generado por un elemento, grupo cı́clico):
Sea G un grupo.
i) Dado a ∈ G, llamamos a {an }n∈Z , el grupo generado por a, y lo notamos
< a >.
ii) Decimos que G es cı́clico si es un grupo generado por un elemento.
1.23 Ejemplos.
i) Z =< 1 >, es un grupo cı́clico de orden infinito.
ii) Zn =< 1 >, es un grupo cı́clico de orden n.
Ya veremos que todo grupo cı́clico tiene esta forma.
1.24 Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos cı́clicos, esto
es, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener una
estructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes.
Teorema 1.25 Todo grupo cı́clico es abeliano.
6
Capı́tulo 1. Grupos
Demostración: Sea G =< a >. Ası́ dos elementos elementos arbitrarios en G,
son de la forma am , y an , con m, n ∈ Z. Pero como vimos en 1.7, am an =
am+n = an am . Luego G es abeliano.
F
Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo cı́clico es cı́clico.
Demostración: Sea G =< a > y H ≤ G. Si H es el grupo trivial, H =< e >, es
cı́clico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elemento
diferente de e. Como H ≤ G y G =< a >, entonces todos los elementos de H
son potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que am ∈ H. Se probara
entonces que b = am genera H, es decir, H =< b >. Para ello, tomemos un
elemento arbitrario c ∈ H y probemos que c es una potencia de b. Como c ∈ H,
H ≤ G y G =< a >, entonces c = an para algún n entero positivo. Por la
minimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la división, y escribir n como
n = qm + r, donde q > 0 y 0 ≤ r < m. Entonces, an = aqm+r = (am )q ar .
Por lo tanto, como an ∈ H y (am )−q ∈ H puesto que am ∈ H, entonces,
ar = (am )−q an ∈ H, puesto que H es grupo. Si r 6= 0, entonces se tiene una
contradicción a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendo
si que c = an = aqm = (am )q = bq , es decir, c es una potencia de b, lo cual
implica que H =< b > y por lo tanto H es cı́clico.
F
Corolario 1.27 Si G =< a > es de orden infinito todo subgrupo de G es de
orden infinito.
1.28 Observación. Todo subgrupo de Z es de la forma < n >= nZ = {nk :
k ∈ Z}, para algún n. Aquı́ usamos la notación aditiva.
Teorema 1.29 Sea G =< a > de orden n. Entonces:
i) Si s | n, entonces < as >= {e, as , a2s , . . . , a
n−1
s s
} tiene tamaño n/s.
ii) Todo subgrupo de G es de la forma < ar >, con r ∈ Z, | < ar > | =
n
(n,r)
y < ar >=< a(n,r) >.
iii) Todo subgrupo de G es de la forma < as > donde s | n.
iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G.
u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de tamaño
n
s, que es < a s >.
ui) si H, K ≤ G entonces, H ≤ K si y sólo si |H| | |K|.
Demostración: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuencias
inmediatas, tomando s = (n, r) y recordando el teorema 1.21.
Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de G
es de la forma < ar >. Ahora sea s = (n, r), entonces existe q tal que r = qs.
Ası́ ar = (as )q , luego < ar >≤< as >. Por otro lado existen u, v ∈ Z tales que
un + vr = s luego as = (an )u (ar )v = (ar )v , y ası́ < as >≤< ar >. Es claro que
Grupos Cı́clicos
7
n
enunciado de i) que | < a(n,r) > | = (n,r)
Probemos ahora la unicidad que se afirma en u). Por lo que acabamos de ver
n
n
si s | n, (n, n/s) = n/s y ası́ | < a s > | = n/s
= s. Ahora, si < ar > es un
subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n/(n, r), luego (n, r) = n/s y
n
ası́, < ar >=< a s >.
Finalmente veamos ui). Suponga que K =< ak > y H =< ah > con k, h
divisores de n, suponsición valida en vista de u). Ası́ si H ≤ K por iu), poniendo
K como G, |H| | |K|. Ahora, si |H| | |K|. existe q tal que ord(ah )q = ord(ak ),
pero por u), ord(ah ) = n/h y ord(ak ) = n/k, luego kq = h, ası́ (ak )q = ah ,
entonces < ah >≤< ak >.
F
1.30 Observaciónes.
i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, podemos representar sus cadenas de subgrupos por un retı́culo (i.e. lattice, en
inglés).
ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de orden
finito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anterior
quedan completamente caracterizados los grupos cı́clicos (ver figura 1.1),
en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupo
cı́clico es de la forma de Z, o de Zn .
PSfrag replacements
Z8
Z12
<2>
<3>
<2>
<4>
<6>
<4>
{0}
{0}
Figura 1.1: Subgrupos de Z8 y de Z12
1.31 Ejercicios:
1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces
HK = {hk : n ∈ H y k ∈ K} es un subgrupo de G.
2. Pruebe que un grupo cı́clico con únicamente un generador puede tener a
los sumo dos elementos.
3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los
elementos x ∈ G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalice
al caso donde n ≥ 1 es un entero fijo y H = {x ∈ G : xn = e}.
8
Capı́tulo 1. Grupos
4. Sea G un grupo y sea a un elemento de fijo de G. Pruebe que Ha = {x ∈
G : xa = ax} es un subgrupo de G. Sea S ⊆ G, y sea HS = {x ∈ G :
xs = sx para todo s ∈ S}. Pruebe que HS ≤ G. Si S = G, entonces HG
es llamado el centro de G. Pruebe que HG es un grupo abeliano.
5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es cı́clico.
6. Pruebe que un grupo que tiene un numero finito de subgrupos es finito.
7. Pruebe que Zp no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo.
8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos cı́clicos finitos con
|H| = r y |K| = s.
(a) Pruebe que si (r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo cı́clico de
orden rs.
(b) Pruebe que G contiene un subgrupo cı́clico de orden [r, s] (recuerde
que [r, s] denota al máximo común múltiplo de r y s).
1.5.
Grupos generados y producto directo
1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un retı́culo, podemos buscar
los mı́nimos subgrupos, en la relación ser subgrupo, que contienen un subconjunto de los elementos del grupo.
Teorema 1.33 Sea {Hi }i∈J una colección indexada de subgrupos de G, entonces:
\
Hi ≤ G
i∈J
T
Demostración:
Como cada Hi contiene e, i∈J Hi 6= ∅. Ahora sean x, y ∈
T
−1
−1
i∈J Hi , como y ∈ Hi , y T ∈ Hi , para cada i ∈ J. Ası́ xy
T ∈ Hi , para
−1
todo i ∈ J, esto es xy ∈ i∈J Hi , luego por el teorema 1.17 i∈J Hi ≤ G. F
Corolario
1.34 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H}. Entonces
T
H∈H H ≤ G.
Teorema 1.35 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = T
{H ≤ G : A ⊆ H}. Si HA ∈ H
es tal que, si H ∈ H, HA ≤ H entonces HA = H∈H H ≤ G.
T
Demostración: Esto
T es trivial, puesTHA ∈ H, luego H∈H HT ⊆ HA . Por otro
lado
T como A ⊆ H∈H H, entonces H∈H H ∈ H ası́ HA ≤ H∈H H, y HA =
F
H∈H H ≤ G.
1.36 Observación. Los dos teoremas anteriores justifican nuestra próxima
definición, el teorema que le sigue la explica. Note como se extiende el concepto
de 1.22
1.37 Definición (grupo generado, grupo finitamente generado):
Grupos generados y producto directo
9
i) Dado A ⊆ G, con A 6= ∅. Al mı́nimo subgrupo que contiene A lo llamamos
el grupo generado por A, y lo notamos < A >.
ii) Decimos que un grupo G es finitamente generado si G =< A > para
algún A ⊂ G finito.
mn
1 m2
Teorema 1.38 Dado A ⊆ G, < A >= {am
1 a2 . . . an : ai ∈ A, mi ∈ Z}.
mn
1 m2
Demostración: Sea HA = {am
: ai ∈ A, mi ∈ Z}. Como A 6=
1 a2 . . . an
p
m1 m2
n
∅, HA 6= ∅. Si x, y ∈ HA , x = a1 a2 . . . am
e y = bp11 bp22 . . . bq q , para
n
−p
q
q
q
2
1
algunos ai , bj ∈ A y mi , pi ∈ Z. Ası́, y −1 = bq . . . b2 b1 , luego xy −1 =
2 −q1
mn −pq
1 m2
am
∈ HA . Entonces HA ≤ G. Ahora como A ⊆ HA ,
. . . b−q
1 a 2 . . . a n bq
2 b1
< A >≤ HA . Por otro lado un elemento arbitrario de HA es de la forma de
x, pero cada ai ∈ A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicación,
x ∈< A >. Ası́ HA ⊆< A > y HA =< A >.
F
Teorema 1.39 Sea {Gi }i∈{1,2,...,n} una colección de grupos. G1 ×G2 ×. . .×Gn
bajo la operación ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) 7→ (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn ) es
un grupo.
Demostración: La operación es asociativa, pues la operación de cada G i lo es.
Si ei es el neutro de Gi , (e1 , e2 , . . . , en ) es el neutro para nuestra operación. Fi−1
−1
nalmente (x1 , x2 , . . . , xn )(x−1
1 , x2 , . . . , xn ) = (e1 , e2 , . . . , en ), luego cada elemento tiene inversa. Esto completa la demostración.
F
1.40 Definición (Producto directo): Dada {Gi }i∈{1,2,...,n} una colección
de grupos. Al grupo G1 × G2 × . . . × Gn bajo la operación:
((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) 7→ (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn )
lo llamamos el producto directo (externo) de G1 , G2 , . . . , Gn .
1.41 Cuando decı́amos que dos grupos tienen la misma forma, formalmente
nos referı́amos a lo siguiente (a esto volveremos luego con más detalle):
1.42 Definición (Isomorfismo, isomorfo): Sean < G, ·, e >, < G0 , •, e0 >
dos grupos dados. Una biyección φ : G → G0 es un isomorfismo si φ(x · y) =
φ(x) • φ(y), para todo x, y ∈ G. Dos grupos se dicen isomorfos si existe un
isomorfismo entre ellos.
1.43 Ejemplo: φ : R → R∗+ definida por φ(x) = ex , es un isomorfismo entre
< R, +, 0 > y < R∗+ , ·, 1 > pues ex+y = ex ey .
Teorema 1.44 Sea G =< a >. Si ord(G) = +∞, G es isomorfo a Z, si
ord(G) = n, G es isomorfo a Zn .
Demostración: Si ord(G) = +∞, defina φ : Z → G, por φ(k) = ak y si ord(G) =
n, defina φ : Zn → G, por φ(k) = ak . Es claro que φ es sobreyectiva, ahora
si φ(m1 ) = φ(m2 ), entonces am1 −m2 = e. Ası́ si +∞ = ord(G) = ord(a),
m1 − m2 = 0 ó m1 = m2 . Si n = ord(a), por el lema 1.20, n | m1 − m2 luego
m1 = m2 . De esto concluimos que φ es biyectiva. Finalmente como ak1 ak2 =
ak1 +k2 , φ es isomorfismo.
F
10
Capı́tulo 1. Grupos
Teorema 1.45 Sean m, n ∈ Z. Existe un isomorfismo entre Zm × Zn y Zmn si
y solo si (m, n) = 1.
Demostración: Por el teorema 1.44, basta ver que Zm × Zn es cı́clico de orden
mn si y sólo si (m, n) = 1. Suponga primero (m, n) = 1 y sea k = ord((1, 1)).
Ası́ (1, 1)k = (0, 0) luego m | k y n | k pero si k 0 ∈ Z es tal que m | k 0 y n | k 0 ,
0
(1, 1)k = (0, 0) luego k es el mı́nimo común múltiplo de m y n, este es mn.
Entonces Zm × Zn =< (1, 1) >
Ahora suponga que Zm × Zn es cı́clico de orden mn con Zm × Zn =< (a, b) >.
Entonces en particular Zm =< a > y Zn =< b >. Ası́, si k es el mı́nimo común
múltiplo de m y n, (a, b)k = (0, 0) luego por el lema 1.20, mn | k. Ası́ k = mn
y (m, n) = 1.
F
Corolario 1.46 Zm1 × Zm2 × . . . × Zmn es isomorfo a Zm1 m2 ...mn si y sólo si
(m1 , m2 , . . . , mn ) = 1
1.47 Los grupos abelianos finitamente generados tienen una estructura particular. El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Zpn , con p primo,
son como los ladrillos para construirlos. Su demostración la pospondremos para
cuando tengamos un poco más de experiencia, y esta nos parezca más natural. Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los grupos
abelianos finitamente generados, y al cual nos referiremos como al teorema
TFGAFG por comodidad.
Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un único grupo de la forma Zpr11 × Zpr22 × . . . × Zprnn × Z × . . . × Z,
con los pi , para i ∈ {1, . . . , n}, primos tales que pi ≤ pi+1 , y los ri naturales no
nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1 .
1.49 Ejemplos:
Qn
i) Si i=1 pri i es la expresión
de m en potencias de primos con pi < pi+1 ,
Q
Zm es isomorfo a ni=1 Zpri .
i
ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z2 × Z2 .
1.50 Ejercicios:
1. Encuentre el orden del elemento (3, 10, 9) en el grupo Z4 × Z12 × Z15 .
2. Pruebe que un grupo abeliano finito no es cı́clico si y solo si este contiene
un subgrupo isomorfo a Zp × Zp para algún primo p.
3. Pruebe que si un grupo abeliano finito tiene orden una potencia de un
primo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potencia
de p.
4. Sean G, H, y K grupos abelianos finitamente generados. Pruebe que si
G × K es isomorfo a H × K, entonces G es isomorfo a H.
Grupos de permutaciones
1.6.
11
Grupos de permutaciones
1.51 Definición (Permutación): Sea A un conjunto. Una permutación
de A es una función biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones de
A lo notamos SA . Si A = {1, 2, . . . , n}, SA lo notamos Sn .
1.52 Observaciónes.
i) |Sn | = n!
ii) La composición de dos permutaciones es una permutación. La identidad
es una permutación y la inversa de un permutación es una permutación.
En resumen, se tiene lo siguiente:
1.53 Definición (Grupo de Permutación). Sea A un conjunto. Al grupo
< SA , ◦, id >, donde ◦ es la composición, lo llamamos el grupo de permutaciones de A.
Teorema 1.54 Si A = {ai }i∈{1,...,n} , SA y Sn son isomorfos.
Demostración: Defina φ : Sn → SA por φ(τ ) : τ (i) 7→ aτ (i) . Sea α ∈ SA y
defina σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} por σ(i) = j si α(ai ) = aj . Como α es
una permutación σ también y φ(σ) = α, luego φ es sobreyectiva. Verificar que
también es inyectiva es pura rutina, ası́ que se lo dejamos al lector. Ahora:
φ(σ ◦ σ 0 )(ai ) = aσ◦σ0 (i) = φ(σ)(aσ0 (i) ) = φ(σ) ◦ φ(σ 0 )(ai )
ası́ φ(σ ◦ σ 0 ) = φ(σ) ◦ φ(σ). Luego φ es un isomorfismo.
F
1
2 ... n
.
1.55 Notación. A la permutación σ ∈ Sn , la notamos
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
123
123
1.56 Ejemplo: S3 = {id, ρ, ρ2 , σ, ρσ, ρ2 σ} con id =
,ρ=
,
123
231
123
123
123
123
ρ2 =
,σ =
, ρσ =
, y ρ2 σ =
. Note
312
213
321
132
que σρ = ρ2 σ.
1.57 Definición (Orbita): Sea σ ∈ SA y sea a ∈ A. Al conjunto {σ k (a) :
k ∈ Z} lo llamamos la órbita de a según σ.
Teorema 1.58 Sea σ ∈ SA . Las órbitas de σ forman una partición de A.
Demostración: Defina en A la relación ∼ por: a ∼ b si existe k ∈ Z tal que
σ k (a) = b. Ası́ a ∼ b si y sólo si b esta en la órbita de a según σ. Ahora σ 0 = id
luego ∼ es reflexiva. Si b = σ k (a), entonces a = σ −k (b), luego ∼ es simétrica.
Ahora bien si b = σ k1 (a) y c = σ k2 (b), c = σ k2 +k1 (a), luego ∼ es transitiva.
Ahora como ∼ es relación de equivalencia, sus clases, que son las órbitas de σ
forman un partición de A.
F
1.59 Definición (Ciclo, transposición):
12
Capı́tulo 1. Grupos
i) Una permutación con a lo más una órbita de más de un elemento es un
ciclo. Si σ ∈ SA es un ciclo tal que la órbita con más de un elemento es
{σ i (a)}i∈{0,1,...,n−1} , notamos σ por (a σ(a) σ 2 (a) . . . σ n−1 (a)), y decimos
que σ es un n-ciclo.
ii) Una transposición es un 2-ciclo.
iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus órbitas de más de un elemento son
disyuntas.
1.60 Ejemplo. Continuando con 1.56, en S3 , ρ = (1 2 3), ρ2 = (1 3 2),
σ = (1 2), ρσ = (1 3) y ρ2 σ = (2 3).
Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n − 1 transposiciones.
Demostración: Sea σ ∈ SA un n-ciclo, con σ = (a1 a2 . . . an ). Tenemos entonces
σ = (a1 an )(a1 an−1 ) . . . (a1 a2 ).
F
Teorema 1.62 Toda permutación en Sn se puede escribir como producto ciclos
disyuntos.
Demostración: Sea σ ∈ Sn , y {Oi }i∈{1,...,m} la colección de sus órbitas. Sea
σi ∈ Sn tal que σi (a) =Qσ(a) si a ∈ Oi y σi (a) = a de lo contrario. Ası́ los σi son
ciclos disyuntos y σ = i∈{1,...,m} σi (observe que como los ciclos son disyuntos
no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho de
usar la productoria aunque el grupo no sea abeliano).
F
Corolario 1.63 Toda permutación en Sn , con n > 1, se puede expresar como
producto de transposiciones.
1.64 Veamos ahora que Sn se divide en dos clases disyuntas, las permutaciones
que son el producto de un número par de transposiciones, y las que son el
producto de un número impar.
1.65 Definición (Signo) Sea σ ∈ Sn , el signo de σ que notamos sg(σ), esta
definido por:
Y σ(i) − σ(j)
sg(σ) =
i−j
1≤i<j≤n
Lema 1.66 sg(σ) es 1 ó −1.
Demostración: si i − j aparece en el denominador, en el numerador aparece o
bien σ(σ −1 (i)) − σ(σ −1 (j)), o bien σ(σ −1 (j)) − σ(σ −1 (i)).
F
Lema 1.67 sg(σρ) = sg(σ)sg(ρ).
Grupos de permutaciones
13
Demostración:
sg(σρ)
=
Y
σρ(i) − σρ(j) ρ(i) − ρ(j)
·
i−j
ρ(i) − ρ(j)
Y
σρ(i) − σρ(j)
ρ(i) − ρ(j)
1≤i<j≤n
=
i≤i<j≤n
Y
i≤i<j≤n
ρ(i) − ρ(j)
i−j
= sg(σ)sg(ρ)
sg(σ) =
Q
i≤i<j≤n
σρ(i)−σρ(j)
ρ(i)−ρ(j) ,
pues
σρ(i)−σρ(j)
ρ(i)−ρ(j)
=
σρ(j)−σρ(i)
ρ(j)−ρ(i) .
F
1.68 Observaciónes.
i) Si σ ∈ Sn es una transposición, sg(σ) = −1.
ii) Si sg(σ) = sg(ρ) = 1, sg(σρ) = 1.
iii) sg(id) = 1, ası́ sg(σ −1 ) = sg(σ).
Teorema 1.69 Una permutación en Sn es el producto de un número par de
transposiciones, o el producto de un número impar, pero no ambos.
Demostración: Sea σ ∈ Sn , si σ es un producto par de transposiciones sg(σ) =
1, si σ es un producto impar de transposiciones sg(σ) = −1. Luego las dos
posibilidades son excluyentes.
F
1.70 Definición (permutación par, permutación impar, subgrupo Alternador):
i) Una permutación σ ∈ Sn es par si sg(σ) = 1, impar si sg(σ) = −1.
ii) El conjunto de las permutaciones pares de Sn es el grupo alternador (o
alternante), y lo notamos An .
1.71 Considere un polı́gono regular de n vértices. Las rotaciones y las simetrı́as
del polı́gono que caen sobre él mismo, al etiquetar cada vértice con un número
del 1 al n, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo de Sn de 2n
elementos (ver figura 1.2).
1.72 Definición (Subgrupo diedral): Al subgrupo de Sn que se puede
identificar naturalmente con las rotaciones y simetrı́as de un polı́gono regular
de n vértices en si mismo, se le llama el grupo diedral y se nota Dn .
1.73 Ejemplo: D4 = {ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3 , µ1 , µ2 , δ1 , δ2 }, donde ρ1 = (1 2 3 4),
µ1 = (1 2)(4 3), µ2 = (1 4)(2 3), δ1 = (1 3), δ2 = (2 4) y, para i ∈ {0, 2, 3}
ρi = ρi1 (ver cuadro 1.6 y figura 1.3).
14
Capı́tulo 1. Grupos
PSfrag replacements4
1
3
3
2
4„
id
1234
2341
«
2
3
1
2
4
„
1234
2143
«
1
Figura 1.2: transformaciones del cuadrado
◦
ρ0
ρ1
ρ2
ρ3
µ1
µ2
δ1
δ2
ρ0
ρ0
ρ1
ρ2
ρ3
µ1
µ2
δ1
δ2
ρ1
ρ1
ρ2
ρ3
ρ0
δ2
δ1
µ1
µ2
ρ2
ρ2
ρ3
ρ0
ρ1
µ2
µ1
δ2
δ1
ρ3
ρ3
ρ0
ρ1
ρ2
δ1
δ2
µ2
µ1
µ1
µ1
δ1
µ2
δ2
ρ0
ρ2
ρ1
ρ3
µ2
µ2
δ2
µ1
δ1
ρ2
ρ0
ρ3
ρ1
δ1
δ1
µ1
δ2
µ1
ρ3
ρ1
ρ0
ρ2
δ2
δ2
µ2
δ1
µ2
ρ1
ρ3
ρ2
ρ0
Cuadro 1.2: Tabla de operación de D4
1.74 Ejercicios:
1. Pruebe que Sn no es un grupo abeliano para n ≥ 3.
2. Si A es un conjunto, entonces un subgrupo H de SA es transitivo sobre
A , si para cada a, b ∈ A existe σ ∈ H tal que σ(a) = b. Pruebe que si A
no es un conjunto vacı́o, entonces existe un subgrupo finito cı́clico K de
SA que es transitivo sobre A, tal que |H| = |A|.
3. Pruebe que para todo subgrupo H de Sn , con n ≥ 2, se cumple que todas
las permutaciones en H son pares o bien exactamente la mitad de ellas
son pares.
1.7.
Coconjuntos y el Teorema de Lagrange
1.75 Definición (Coconjunto): Sea H ≤ G. Definimos el coconjunto izquierdo de H determinado por b, que notamos bH, por:
bH := {bh : h ∈ H}
, y el coconjunto derecho por Hb := {hb : h ∈ H}.
Teorema 1.76 Sea H ≤ G. Entonces:
i) {bH}b∈G es una partición de G.
Coconjuntos y el Teorema de Lagrange
15
D4
PSfrag replacements
{ρ0 , ρ2 , µ1 , µ2 } {ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3 } {ρ0 , ρ2 , δ1 , δ2 }
{ρ0 , µ1 } {ρ0 , µ2 }
{ρ0 , ρ2 }
{ρ0 , δ1 } {ρ0 , δ2 }
{ρ0 }
Figura 1.3: retı́culo de subgrupos de D4
ii) Todos los coconjuntos izquierdos de H son equipotentes.
Un resultado similar se tiene para los coconjuntos derechos.
Demostración: Defina en G la relación ∼ por a ∼ b si a−1 b ∈ H. Como e ∈ H,
∼ es reflexiva. Si a−1 b ∈ H, (a−1 b)−1 = b−1 a ∈ H, luego ∼ es simétrica. Si
a−1 b, b−1 c ∈ H, a−1 bb−1 c = a−1 c ∈ H, luego ∼ es transitiva. Entonces ∼ es
relación de equivalencia. Suponga a ∈ [b]∼ esto equivale a b−1 a = h para algún
h ∈ H, ó a = bh que es lo mismo que a ∈ bH, luego [b]∼ = bH. Con esto
concluimos i).
Ahora defina f : H → bH por f (h) = bh. Es claro que f es sobreyectiva, la
inyectividad es consecuencia inmediata de 1.6. Luego f es un biyección y ası́ H
y bH son equipotentes.
Para los coconjuntos derechos considere: a ∼ b : ⇐⇒ ab−1 ∈ H.
F
1.77 Definición (Indice): Sea H ≤ G. Definimos el indice de H como
número de coconjuntos izquierdos de H.
1.78 Observaciónes y notación.
i) {bH}b∈G lo notamos G/H, {Hb}b∈G lo notamos H\G
ii) Al ı́ndice de H lo notamos (G : H). Si (G : H) es finito, entonces (G :
H) := |G/H|.
iii) Observe que |G/H| = |H\G|.
iu) Si a ∈ bH, entonces aH = bH. De igual forma, si a ∈ Hb, Ha = Hb.
Teorema 1.79 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo de orden finito. Si
H ≤ G, entonces |H| | |G|, más aún |G| = |H|(G : H).
16
Demostración:
Por el teorema
1.76:
P
P
|G| = bH∈G/H |bH| = bH∈G/H |H| = (G : H)|H|
Capı́tulo 1. Grupos
F
1.80 Los coconjuntos son parte fundamental de la teorı́a del álgebra, toca
entonces entenderlos y sentirlos. De esto se dará cuenta el lector a lo largo de
su estudio
1.81 Ejercicios:
1. Sean K ≤ H ≤ G grupos tales que (H : K) y (G : H) son finitos. Probar
que (G : K) = (H : K)(G : H).
2. Sean H y K dos subgrupos finitos de un grupo G. Sea HK un subconjunto
|H||K|
de G definido por HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}. Probar que |HK| = |H∩K|
.
Capı́tulo 2
Homomorfismos
2.1.
Homomorfismos
2.1 Definición (homomorfismo): Sean G y G0 dos grupos. Una función
φ : G → G0 es un homomorfismo si para todo a, b ∈ G se tiene que:
φ(ab) = φ(a)φ(b)
(2.1)
2.2 Observaciones sobre definición 2.1.
i) Note que en el lado izquierdo de (2.1) la operación es la de G, mientras
que en el lado derecho la operación es la de G0 .
ii) Para todo par de grupos G, G0 , existe al menos un homomorfismo φ : G →
G0 , denominado el homomorfismo trivial definido por φ(g) = e0 , para
todo g ∈ G, donde e0 es el elemento identidad en G0 . Sin embargo, este
homomorfismo trivial no nos proporciona mucha información estructural
sobre G y G0 .
2.3 Ejemplos:
i) Sea r ∈ Z y sea φr : Z → Z definido por φr (k) = rk, para todo k ∈ Z.
Entonces para todo m, n ∈ Z se tiene que φr (m + n) = r(m + n) =
rm + rn = φr (m) + φr (n). Ası́, φr es homomorfismo. Note que φ0 es el
homomorfismo trivial, φ1 es le función identidad, y φ−1 es una función
sobreyectiva de Z en Z. Para r 6= ±1, φr no es sobreyectiva.
ii) Sea G = G1 × G2 × . . .× Gi × . . . × Gn un producto directo de n grupos. La
función proyección πi : G → Gi , definida por πi : (g1 , . . . , gi , . . . , gn ) = gi
es un homomorfismo para cada i ∈ {1, . . . , n}.
iii) Sea φ : Z → Zn dado por φ(m) = r, donde r es el residuo de la división
de m entre n.
18
Capı́tulo 2. Homomorfismos
2.2.
Propiedades de Homomorfismos
2.4 Definición (Imagen, rango, imagen inversa): Sea φ : X → Y una
función del conjunto X al conjunto Y . Sean A ⊆ X y B ⊆ Y .
i) La imagen φ[A] de A en Y bajo φ es el conjunto {φ(a) : a ∈ A}.
ii) El conjunto φ[X] es el rango de φ.
iii) La imagen inversa φ−1 [B] de B en X es el conjunto {x ∈ X : φ(x) ∈ B}.
Teorema 2.5 Sea φ : G → G0 un homomorfismo de grupos. Entonces:
i) Si e es la identidad en G entonces φ(e) es la identidad e0 de G0 .
ii) Si a ∈ G, entonces φ(a−1 ) = φ(a)−1 .
iii) Si H es un subgrupo de G, entonces φ[H] es un subgrupo de G0 .
iv) Si K 0 es un subgrupo de G0 , entonces φ−1 [K 0 ] es un subgrupo de G.
Demostración: Como a = ae, para todo a ∈ G, entonces φ(a) = φ(ae) =
φ(a)φ(e). Ahora multiplicando a ambos lados por φ(a)−1 a derecha, se tiene
que e0 = φ(e), que es lo que dice i).
Para ver ii), e0 = φ(e) = φ(aa−1 ) = φ(a)φ(a−1 ), y multiplicando a ambos lados
por φ(a)−1 a derecha se tiene φ(a)−1 = φ(a−1 ).
Sea H ≤ G y sean φ(a) y φ(b) dos elementos en φ[H]. Entonces φ(a)φ(b) = φ(ab),
luego φ(a)φ(b) ∈ φ[H] pues ab ∈ H, esto es φ[H] es cerrado bajo operación de
G0 . Ahora, como e0 = φ(e) y φ(a)−1 = φ(a−1 ) entonces φ[H] ≤ G0 , verificando
iii).
Sea K 0 ≤ G0 y sean a, b ∈ φ−1 [K 0 ]. Entonces φ(a)φ(b) ∈ K 0 , puesto que K 0
es grupo. Ahora, la ecuación (2.1) prueba que ab ∈ φ−1 [K 0 ]. Ası́, φ−1 [K 0 ] es
cerrado bajo la operación de G. Además, e0 ∈ K 0 luego como e0 = φ(e), entonces
e ∈ φ−1 [{e0 }] ⊆ φ−1 [K 0 ]. Y finalmente si a ∈ φ−1 [K 0 ], entonces φ(a) ∈ K 0 y
φ(a)−1 ∈ K 0 . Pero φ(a)−1 = φ(a−1 ) y ası́ a−1 ∈ φ−1 [K 0 ]. Lo que completa la
demostración de iv).
F
2.6 Definición (Fibra): Sea φ : G → G0 un homomorfismo y sea a0 ∈ G0 .
La imagen inversa φ−1 [{a0 }] es la fibra sobre a0 bajo φ. De ahora en adelante
notaremos φ−1 [{a0 }] por φ−1 (a0 ).
2.7 Nota. Como {e0 } es un subgrupo de G0 , el teorema 2.5 muestra que
la fibra φ−1 (e0 ) bajo un homomorfismo φ : G → G0 es un subgrupo de G.
Demostraremos a continuación que las fibras de G bajo φ son los coconjuntos
del grupo φ−1 (e0 ). Ası́ las fibras de G bajo φ forman una partición de G (ver
figura 2.1).
PSfrag replacements
Propiedades de Homomorfismos
G
19
φ−1 (x0 )
Ker(φ)
e
b
a
φ
G0
e0
φ(a)
φ(b)
x0
Figura 2.1: Fibras y Kernel
2.8 Definición (Kernel): Sea φ : G → G0 un homomorfismo, y e0 el neutro
en G. El kernel de φ es la fibra sobre e0 bajo φ, y lo notamos Ker(φ). Formalmente:
Ker(φ) := {g ∈ G : φ(g) = e0 }
Teorema 2.9 Sean φ : G → G0 un homomorfismo, H = Ker(φ) y a ∈ G.
Entonces la fibra sobre φ(a) bajo φ es el coconjunto izquierdo aH de H, y es el
coconjunto derecho Ha de H. Como consecuencia, las dos particiones de G en
coconjuntos izquierdos y derechos de H son la misma.
Demostración: Se desea probar que {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} = aH.
Suponga que a, g ∈ G son tales que φ(g) = φ(a). Entonces φ(a)−1 φ(g) = e0 ,
donde e0 es la identidad en G0 . Por el teorema 2.5, sabemos que φ(a)−1 =
φ(a−1 ), y entonces se tiene φ(a−1 )φ(g) = e0 . Además, como φ es homomorfismo, φ(a−1 )φ(g) = φ(a−1 g), luego φ(a−1 g) = e0 . Esto es a−1 g ∈ H, o a−1 g = h,
para algún h ∈ H, luego g = ah ∈ aH. Ası́ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} ⊆ aH.
Para comprobar la inclusión opuesta, considere g ∈ aH, entonces g = ah para algún h ∈ H. Esto implica φ(g) = φ(ah) = φ(a)φ(h) = φ(a)e0 = φ(a).
Ası́ g ∈ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)}, luego aH ⊆ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)}.
Una demostración similar demuestra el mismo resultado para coconjuntos derechos.
F
Corolario 2.10 Un homomorfismo φ : G → G0 es inyectivo si y sólo si Ker(φ) =
{e}.
Demostración: Suponga que Ker(φ) = {e}, entonces si a, g ∈ G son tales que
φ(a) = φ(g), g ∈ aKer(φ). Pero aKer(φ) = a{e} = {a}. Luego g = a.
Para demostrar la implicación inversa, suponga que φ es inyectiva. Por el teorema 2.5 φ(e) = e0 , la identidad de G0 . Pero φ es inyectiva, luego el único elemento
enviado a e0 por φ es e, luego Ker(φ) = {e}.
F
20
2.3.
Capı́tulo 2. Homomorfismos
Subgrupos normales
2.11 Definición (Subgrupo normal): Un subgrupo H de G es normal si
sus coconjuntos derechos e izquierdos coinciden, lo que notaremos por H C G.
Es decir:
H C G : ⇐⇒ ∀g ∈ G, gH = Hg
2.12 Observación. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
Corolario 2.13 (al Teorema 2.9) Ker(φ) C G para cualquier homomorfismo φ con dominio G.
Teorema 2.14 H C G ⇐⇒ ∀(h, g) ∈ H × G, ghg −1 ∈ H
Demostración: Suponga que H C G. Sea h ∈ H y g ∈ G. Como gh ∈ gH y por
definición gH = Hg, entonces gh = h0 g, para algún h0 ∈ H. Luego ghg −1 = h0 ,
esto implica ghg −1 ∈ H.
Ahora suponga que para todo h ∈ H y para todo g ∈ G, ghg −1 ∈ H. Considere
algún g ∈ G. Sea gh ∈ gH, con h ∈ H, ası́ ghg −1 ∈ H, ó ghg −1 = h0 , para algún
h0 ∈ H, luego gh = h0 g ∈ Hg. Ası́ gH ⊆ Hg. De forma similar establecemos
Hg ⊆ gH. Luego gH = Hg.
F
Corolario 2.15 H C G ⇐⇒ ∀g ∈ G, gHg −1 = H
2.16 Nota. Frecuentemente consideraremos la caracterización del teorema
2.14 y de su corolario 2.15 para hacer demostraciones.
2.17 Ejemplo: Sea S3 el grupo simétrico sobre {1, 2, 3} y sea H el subgrupo
que consiste de la permutación identidad y de la transposición (1 2). Entonces
H no es normal pues (2 3)−1 (1 2)(2 3) = (2 3)(1 2)(2 3) = (1 3) y (1 3) ∈
/ H.
Lema 2.18 Sea H C G y sean g1 , g2 ∈ G. Entonces g1 Hg2 H = (g1 g2 )H.
Demostración: g2 H = Hg2 ası́:
g1 Hg2 H = g1 (Hg2 )H = g1 (g2 H)H = (g1 g2 )H.
F
Teorema 2.19 Sea H C G. Entonces el conjunto de todos los coconjuntos de
H en G es un grupo bajo la operación que a (g1 H, g2 H) le asocia (g1 g2 )H.
El elemento identidad de este grupo es H, y el inverso de gH es g −1 H, para
cualquier g ∈ G.
Demostración: Por el lema anterior el conjunto de los coconjuntos es cerrado
bajo la operación. Sea g ∈ G. El subgrupo H es un coconjunto de H pues H =
eH. Además, gHH = gHeH = (ge)H = gH, HgH = eHgH = (eg)H = H,
gHg −1 H = (gg −1 )H = eH = H y finalmente g −1 HgH = (g −1 g)H = eH = H.
Ası́, el conjunto de todos los coconjuntos de H es un grupo.
F
Isomorfismos y el Teorema de Cayley
21
2.20 Observación. Es interesante en este momento observar que el resultado
anterior es otra forma de caracterizar los grupos normales, es decir un subgrupo es normal si y sólo la operación del teorema anterior resulta bien definida.
Formalmente: Sea B = {Bi }i∈I una partición de G tal que (Bi , Bj ) 7→ Bi Bj es
una operación bien definida de B × B en B. Entonces B0 , la clase de e es un
subgrupo normal de G, B = G/B0 y la operación es (g1 B0 , g2 B0 ) 7→ (g1 g2 )B0
(ver ejercicio ??).
Teorema 2.21 Sean K, N ≤ G, con N C G. Entonces:
i) N ∩ K C K
ii) N C< N ∪ K >
iii) N K =< N ∪ K >= KN
iv) si K C G y N ∩ K = {e}. Entonces: nk = kn, ∀(n, k) ∈ K × N
Demostración: Como N C G entonces por la caracterización 2.14, gng −1 ∈ N ,
para todo n ∈ N y g ∈ G. Luego si n ∈ N ∩ K ⊆ N y k ∈ K, knk −1 ∈ N .
Ası́ knk −1 ∈ N ∩ K, pues knk −1 ∈ K, de donde i) es verificado.
Como N ≤< N ∪ K >, ii) es trivialmente concluido según el teorema 2.14.
Para demostrar iii), observe primero que N K ⊆< N ∪ K >, con lo cual únicamente debemos ver que < N ∪ K >⊆ N K. Ahora, un elemento h ∈< N ∪ K >
es un producto de la forma n1 k1 n2 k2 . . . nr kr , con ni ∈ N y ki ∈ K, para
i ∈ {1, . . . , r}. Como N C G, entonces, como se vió en la demostración de 2.14,
si k ∈ K y n ∈ N , kn = n0 k para algún n0 ∈ N . En términos prácticos esto es,
podemos correr los ki s hacia la izquierda y ası́ h = n(k1 k2 . . . kr ), para algún
n ∈ N , luego h ∈ N K, de forma similar h ∈ KN . Y ası́ la inclusión que faltaba
es verificada.
Suponga las hipótesis adicionales para iv), y sean k ∈ K y n ∈ N . Entonces
nkn−1 ∈ K y kn−1 k −1 ∈ N , luego (nkn−1 )k −1 ∈ K y n(kn−1 k −1 ) ∈ N , pero
N ∩ K = {e} luego nkn−1 k −1 = e ó nk = kn.
F
Teorema 2.22 Sean H, K ≤ G, entonces |HK| · |H ∩ K| = |H| · |K|, y ası́ (H :
H ∩ K) = |HK|/|K| si H y K son finitos.
Demostración: Defina la relación de equivalencia ∼ en H ×K por (h, k) ∼ (h 0 , k 0 )
si hk = h0 k 0 , esto es si (h0 )−1 h = k 0 k −1 , o mas aún si (h0 , k 0 ) = (gh, gk −1 )
para algún g ∈ H ∩ K. Entonces cada una de las |HK| clases de equivalencia
es de tamaño |H ∩ K|. Ahora considere f : H × K/∼ → HK definida por
f ([(h, k)]∼ ) = hk. Ası́, f es biyectiva y |HK| · |H ∩ K| = |H| · |K|.
F
2.4.
Isomorfismos y el Teorema de Cayley
2.23 Definición (Isomorfismo): Un isomorfismo es un homomorfismo
biyectivo.
22
Capı́tulo 2. Homomorfismos
Teorema 2.24 Sea C una colección de grupos, y defina la relación ' en C por
G ' G0 si existe un isomorfismo φ : G → G0 . Tenemos que ' es una relación
de equivalencia sobre C.
Demostración: La identidad es un isomorfismo, luego ' es reflexiva.
Si φ : G → G0 es un isomorfismo, su inversa también, luego ' es simétrica.
La composición de dos isomorfismos es un isomorfismo, luego ' es transitiva.F
2.25 Observaciónes.
i) Toda colección de grupos se puede particionar mediante la relación '.
ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos identificarlos como uno solo, pues su única diferencia es el nombre de los elementos.
2.26 Para probar que dos grupos G y G0 son isomorfos debemos:
i. Definir una función φ : G → G0
ii. Probar que φ es un homomorfismo.
iii. Probar que φ es biyectiva.
Note lo útil que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii..
Teorema 2.27 Todo grupo cı́clico infinito es isomorfo a < Z, + >.
Demostración: Sea a un generador de G, ası́ G = {an : n ∈ Z}. Defina φ :
G → Z por φ(an ) = n. Ahora φ(an am ) = φ(an+m ) = n + m = φ(an ) + φ(am ).
Finalmente observe que φ(an ) = 0 si y sólo si n = 0, luego φ es inyectiva, y
además dado n ∈ Z, φ(an ) = n, luego φ es sobreyectiva.
F
Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupo
de un grupo de permutaciones.
Demostración: Sea G un grupo y SG es grupo simétrico sobre G. Si a ∈ G defina
λa : G → G por λa (g) = ag. Ahora si λa (g) = λa (g 0 ) entonces ag = ag 0 luego
g = g 0 , y λa (a−1 g) = g, ası́ vemos que λa es una permutación, pues es una
biyección.
Sea G0 = {λa : a ∈ G}, como λ−1
= λa−1 y λe = Id entonces G0 ≤ SG . Y
a
ası́ mismo vemos que g 7→ λg es un isomorfismo.
F
2.29 Observación. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general.
Pero en la teorı́a que estamos estudiando acá no es de mucha utilidad.
Grupo Factor
2.5.
23
Grupo Factor
2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H C G entonces el conjunto de los
coconjuntos de H bajo la operación (aH, bH) 7→ abH es un grupo. Esto motiva
la siguiente:
2.31 Definición (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H C G el grupo de
los coconjuntos de H bajo la operación (aH, bH) 7→ abH es el grupos factor
de G módulo H. Lo notaremos G/H.
2.32 Observación. Según el corolario 2.13 dado un homomorfismo con kernel H, podemos definir el grupo factor de G módulo H. Este grupo factor
jugará un rol supremamente importante en el resto de la teorı́a, como empezaremos viéndolo en el teorema fundamental del homomorfismo (ver teorema
2.36).
2.33 Ejemplo: Z4 × Z2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales,
en particular {0} × Z2 . Entonces (Z4 × Z2 )/({0} × Z2 ), es un grupo y además
es también abeliano, y ası́ lo podemos clasificar de acuerdo al teorema de los
grupos abelianos finitamente generados (teorema 1.48). Ahora,
Z4 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}
y
{0} × Z2 = {(0, 0), (0, 1)}
si podemos G = Z4 × Z2 y
H = {0} × Z2
H1 = H + (1, 0) = {(1, 0), (1, 1)}
H2 = H + (2, 0) = {(2, 0), (2, 1)}
H3 = H + (3, 0) = {(3, 0), (3, 1)}
tenemos G/H = {H, H1 , H2 , H3 }, ası́ como G/H tiene cuatro elementos, solo
hay dos alternativas: G/H ' Z2 × Z2 ó G/H ' Z4 . Pero G/H =< H1 > luego
es cı́clico, y ası́ es isomorfo Z4 .
2.6.
Teorema Fundamental del Homomorfismo
Lema 2.34 Si H C G, ρ : G → G/H definida por ρ(g) = gH es un homomorfismo con kernel H.
Demostración: Es consecuencia directa del teorema 2.19.
F
2.35 Definición (proyección canónica): Si H C G, a ρH : G → G/H
definida por ρ(g) = gH la llamamos proyección canónica, ó homomorfismo
canónico, de kernel H.
24
Capı́tulo 2. Homomorfismos
Teorema 2.36 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ : G →
G0 un homomorfismo con kernel H. Entonces la función µ : G/H → φ[G] tal
que φ = µ ◦ ρH , es un isomorfismo.
Demostración Sean g, g 0 ∈ G tales que gH = g 0 H, ası́ g −1 g 0 ∈ H esto equivale
a φ(g)−1 φ(g 0 ) = φ(g −1 g 0 ) = e0 . Esto es φ(g) = φ(g 0 ), entonces podemos definir
µ por µ(gH) := φ(g). Pero ρH (g) = gH, luego φ = µ ◦ ρH .
Ahora por el teorema 2.19 µ es un homomorfismo. Es evidente que µ es sobreyectivo, y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gH = g 0 H
y φ(g) = φ(g 0 ). Ası́ µ es isomorfismo.
Su unicidad es evidente, pues si µ : G/H → φ[G] es tal que φ = µ ◦ ρH ,
µ(gH) = φ(g).
F
Corolario 2.37 Si φ : G → G0 es un homomorfismo sobreyectivo con kernel
H, G/H ' G0 .
2.38 Observación. El teorema fundamental del homomorfismo nos habla de
la dinámica del grupo G: si tenemos un homomorfismo sobreyectivo de G en
G0 con kernel H, podemos descomponer la operación de G en dos partes una
primera que tiene la dinámica de H con consecuencias en otra después que tiene
la de G0 . Por ejemplo sea a, c ∈ G, b ∈ aH con b = ah0 y d ∈ cH con d = ch,
entonces bd ∈ acH y si h00 ∈ H es tal que ch00 = h0 c, bd = ac(h00 h) (ver figura
2.2). Una visualización de esto es la operación de suma en los reales que se
puede
descomponer en una parte decimal y en otra entera (1, 75 ∈ 0, 75 + Z,
PSfrag
replacements
2, 43 ∈ 0, 43 + Z, 4, 18 = 1, 75 + 2, 43 ∈ 1, 18 + Z = 0, 18 + Z).
bd = ac(h00 h)
acH
uv
.
.
.
b = ah0
aH
u
v
cH
d = ch
.
.
.
e0
h00 h
H
h00
h
φ
G
G0
Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomorfismo
Cálculo de Grupo Factor
2.7.
25
Cálculo de Grupo Factor
2.39 Ejemplos:
i) El subgrupo trivial {0} de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z/{0}.
Como N = {0} tiene únicamente un elemento, todo coconjunto de N tiene
un solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma {m} para algún
m entero. Ası́ Z/{0} ' Z
ii) Sea n ∈ N∗ . El conjunto nR = {nr : r ∈ R} es un subgrupo de R con
la adición. nR es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R/nR.
Note que cada x ∈ R es de la forma n( nx ) con nx ∈ R. De ahı́ que para
cualquier x ∈ R tenemos que x ∈ nR. Entonces nR = R y en consecuencia
R/nR consta de un único elemento, a saber, nR. A nR/R no le queda mas
alternativa que ser el grupo trivial.
2.40 Observación. Por el teorema fundamental del homomorfismo, podemos
pensar en el grupo factor G/H como un grupo en el cual cada coconjunto de
H colapsa a un sólo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Como
acabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = {e}), a
“catastrófico” (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nos
proporcionan mayor información sobre la dinámica en G.
2.41 Ejemplos:
i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo finito y G/N tiene
solo dos elementos, entonces |G| = 2|N |. Note además que cualquier subgrupo conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal,
puesto que dado a ∈ G, a esta en H o no esta en H. En el primer caso se
tendrı́a a ∈ H, aH = H = Ha, y en el segundo a ∈
/ H, aH = Ha forzosamente. Ahora bien, como sabemos que |Sn | = 2|An |, entonces el grupo
alternante An es un subgrupo normal de Sn y el grupo cociente tiene dos
elementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z2
conocemos completamente la operación en Sn /An . Tomando σ ∈
/ An una
permutación impar y si renombramos σAn por “impar” y An por “par”
verificamos la siguiente propiedad de la dinamámica de Sn :
(par)(par) = par
(impar)(par) = impar
(par)(impar) = impar
(impar)(impar) = par
Vemos como conocimiento acerca de la operación en el grupo factor S n /An
refleja una propiedad de la operación en Sn .
ii) El recı́proco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos que
no es cierto que k | |G| implique que exista algún H ≤ G tal que |H| =
k. Mostraremos que A4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga por
contradicción que H es un subgrupo de A4 de orden seis. Como |A4 | = 12,
H es normal. Ası́ A4 /H tiene solo dos elementos H y σH para algún
26
Capı́tulo 2. Homomorfismos
σ ∈
/ H. Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elemento
es la identidad, entonces HH = H y σHσH = H. Ahora, el producto
en el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementos
representativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquier
α ∈ A4 , α2 ∈ H. Pero en A4 se tiene (123) = (132)2 y (132) = (123)2 luego
(123) y (132) están en H. De la misma forma se verifica que (124), (142),
(134), (143), (234) están todos en H. Esto muestra que H tiene al menos
ocho elementos, contradiciendo la hipótesis de que H tenia seis elementos.
iii) Calculemos el grupo factor Z4 × Z6 / < (0, 1) >. Sea H =< (0, 1) >,
ası́ H = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)} Como H tiene 6 elementos,
todos los coconjuntos de H también deben tener 6 elementos y |(Z4 ×
Z6 )/H| = 4. Como Z4 × Z6 es abeliano, entonces Z4 × Z6 /H también. Los
coconjuntos de H en Z4 × Z6 son:
H = (0, 0) + H
H1 = (1, 0) + H
H2 = (2, 0) + H
H3 = (3, 0) + H
Ası́ Z4 × Z6 / < (0, 1) > es cı́clico, luego es isomorfo a Z4 .
Teorema 2.42 Sea G = H × K el producto de dos grupos H y K. Entonces
H̄ = {(h, e) : h ∈ H} es un subgrupo normal de G. Además, G/H̄ es isomorfo
a K. Similarmente, G/K̄ ' H
Demostración: Considere el homomorfismo π2 : H × K → K, donde π2 (h, k) =
k. Como Ker(π2 ) = H̄ y π2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice que
H × K/H̄ ' K.
F
Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo cı́clico es cı́clico.
Demostración: Sea G =< a >, y N ≤ G. Ası́ N C G, y cómo a genera todo G,
aN genera todo G/N . Luego G/N =< aN > es cı́clico.
F
2.44 Observación. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no cı́clico bien
podra ser cı́clico (por ejemplo, Sn /An , para n ≥ 3). El teorema 2.42 nos muestra
como algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el caso
como lo veremos ahora mismo.
2.45 Ejemplos:
i) Calculemos Z4 ×Z6 / < (0, 2) >. Sea H =< (0, 2) >= {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}.
En primera instancia note que Z4 × Z6 es abeliano, luego el grupo factor
también es abeliano, y como |H| = 3, es de orden 8. Usando el teorema
fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, sabemos que
Grupos simples
27
el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z8 , Z4 ×Z2
ó Z2 × Z2 × Z2 . Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos:
H = (0, 0) + H = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}
H1 = (0, 1) + H = {(0, 1), (0, 3), (0, 5)}
H2 = (1, 0) + H = {(1, 0), (1, 2), (1, 4)}
H3 = (1, 1) + H = {(1, 1), (1, 3), (1, 5)}
H4
H5
H6
H7
= (2, 0) + H
= (2, 1) + H
= (3, 0) + H
= (3, 1) + H
= {(2, 0), (2, 2), (2, 4)}
= {(2, 1), (2, 3), (2, 5)}
= {(3, 0), (3, 2), (3, 4)}
= {(3, 1), (3, 3), (3, 5)}
y los subgrupos generados son:
< H1
< H2
< H3
< H4
< H5
< H6
< H7
>= {H, H1 }
>= {H, H2 , H4 , H6 }
>= {H, H3 , H4 , H7 }
>= {H, H4 }
>= {H, H5 }
>=< H2 >
>=< H3 >
Como no hay ningún elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo a
Z8 . Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser a
Z2 ×Z2 ×Z2 . Entonces no quedendo más alternativa, es isomorfo a Z4 ×Z2 .
Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente.
ii) Calculemos el grupo factor (Z4 × Z6 )/ < (2, 3) >. Sea H =< (2, 3) >, entonces H = {(0, 0), (2, 3)}. Como H es de orden 2, entonces (Z4 × Z6 )/H
es de orden 12. Se podrı́a cometer el error de pensar que Z4 y Z6 separadamente colapsan en grupos isomorfos a Z2 y que y entonces el grupo
factor serı́a isomorfo a Z2 × Z2 . De esta manera el grupo factor tendrı́a
orden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los factores siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianos
de orden 12 son: Z4 × Z3 (que es isomorfo a Z12 ), Z6 × Z2 y Z2 × Z2 × Z3 .
Además Z4 × Z3 es el único que tiene un elemento de orden 4. Probaremos
que el coconjunto (1, 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrar
la potencia mas pequeña de un coconjunto que de la identidad, basta escoger la potencia mas pequeña del representante que este en H. Ahora,
4(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (0, 0). Por lo tanto (Z4 × Z6 )/H
tiene un elemento de orden 4 y ası́ es isomorfo a Z4 × Z3 .
2.8.
Grupos simples
Teorema 2.46 Sea φ : G → G0 un homomorfismo. Si N C G, φ[N ] C φ[G]. Si
N 0 C φ[G], φ−1 [N 0 ] C G.
Demostración: Sean N C G y N 0 C φ[G]. φ[N ] ≤ φ[G] y φ−1 [N 0 ] ≤ G por el
teorema 2.5. Ahora si (φ(g), φ(n)) ∈ φ[G] × φ[N ], gng −1 ∈ N y φ(gng −1 ) =
φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ φ[N ], luego φ[N ] C φ[G]. Por otro lado si g, n ∈ G × φ−1 [N 0 ],
φ(gng −1 ) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ N 0 y gng −1 ∈ φ−1 [N 0 ], luego φ−1 [N 0 ] C G. F
28
Capı́tulo 2. Homomorfismos
2.47 Ejemplo: En S3 considere µ = (2 3). Defina el homomorfismo φ : Z2 →
S3 por φ(0) = 0 y φ(1) = µ. Ahora bien Z2 C Z2 , pero {id, µ} = φ[Z2 ] no es
subgrupo normal de S3 , como ya se vio previamente.
2.48 Observaciones.
i) Como lo muestra el ejemplo anterior, aún si N C G, φ[N ] puede no ser
subgrupo normal de G0 .
ii) Sabiendo que construir grupos factor nos ilustra sobre la dinámica del
grupo, podemos preguntarnos en que condiciones un grupo no admite sino
colapsos triviales.
2.49 Definiciones (Grupo simple, subgrupo normal maximal):
i) Un grupo G es llamado simple si su único subgrupo propio normal es {e}.
ii) Un subgrupo propio normal M de G es llamado maximal, si:
N CG∧M <N ⇒ N =G
2.50 Observaciones a la definición 2.49.
i) Semejante a los números primos, el grupo trivial no es simple.
ii) Un subgrupo es normal maximal si y sólo si el único subgrupo normal que
lo contiene propiamente es todo el grupo.
Teorema 2.51 M es un subgrupo normal maximal de G si y sólo si G/M es
simple.
Demostración: Sea M un subgrupo normal maximal de G. Considere la proyección canónica ρM , y tome N 0 C G/M . Ahora, por el teorema 2.46, ρ−1 [N 0 ] C G.
Entonces si N 0 = {M }, ρ−1 [N 0 ] = Ker(ρM ) = M , de lo contrario M < ρ−1 (N 0 )
lo cual implica ρ−1 (N 0 ) = G, y ası́ N 0 = G/M . Ası́ el único subgrupo propio
normal de G/M es {M }.
Para verificar el converso, suponga que G/M es simple, y tome N C G tal que
M < N . Ası́ ρM [N ] C G/M y N 6= {M }, luego ρM [N ] = G/M . Entonces N es
un subgrupo de G que contiene a M y a un representante de cada coconjunto
de M , luego N = G. Ası́ M es normal máximal.
F
2.9.
El centro y el conmutador
2.52 Todo grupo tiene dos subgrupos normales importantes, el centro y el
conmutador, que nos indican de cierto modo “que tan abeliano” es G. Por
un lado nos podemos preguntar qué elementos conmutan en G, y por otro,
cómo podriamos “abelianizar” G (i.e encontrar un grupo factor de G abeliano
y parecido a G).
El centro y el conmutador
29
2.53 Notación. Dados a, b ∈ G notaremos aba−1 b−1 por [a : b] y lo llamaremos conmutador de a y b.
Teorema 2.54 K = {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G} y H =< {[a : b] : a, b ∈ G} >
son subgrupos normales de G.
Demostración: Comencemos con K, si g ∈ G, eg = ge, luego e ∈ K. Ahora
si k1 , k2 ∈ K y g ∈ G, k1 g = gk1 , ası́ multiplicando a izquierda y derecha
por k1−1 obtenemos, gk1−1 = k1−1 g, luego k1−1 ∈ K, y k1 k2 g = k1 gk2 = gk1 k2 ,
ası́ k1 k2 ∈ K. Entonces K ≤ G.
Ahora sea (g, k) ∈ G × K. Entonces si g 0 ∈ G, (gkg −1 )g 0 = kg 0 = g 0 k =
g 0 (gkg −1 ), luego gkg −1 ∈ K. Ası́ K C G.
Ahora preocupemonos por H. H ≤ G por definición. Si a, b ∈ G, e = [a : a] ∈ H,
[a : b]−1 = [b : a] ∈ H. Luego por el teorema 1.38, H consiste de todos los productos finitos de conmutadores.
Si x, y, g ∈ G, gxyg −1 = (gxg −1 )(gyg −1 ), entonces concluiremos que H es normal si g[x : y]g −1 es un producto de conmutadores. Pero,
g[x : y]g −1
= gxyx−1 y −1 g −1
= gxyx−1 (g −1 y −1 yg)y −1 g −1
= ((gx)y(gx)−1 y −1 )(ygy −1 g −1 )
= [gx : y][y : g]
luego H C G.
F
2.55 Definiciones (Centro y conmutador):
i) El centro de G es el subgrupo Z(G) definido por:
Z(G) := {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G}
ii) El conmutador de G es el subgrupo C(G) definido por:
[G : G] :=< {[a : b] : a, b ∈ G} >
2.56 Observación: En el caso en que G es abeliano, su centro es todo G y
su conmutador es {e}. Bajos estas condiciones estos subgrupos, como se podı́a
esperar, no son de mucha utilidad.
2.57 Ejemplo: Por verificación (continuando el ejemplo 1.56), vemos que
Z(S3 ) = {id}
Teorema 2.58 Sea G un grupo:
i) G/[G : G] es abeliano.
ii) G/N es abeliano si y sólo si [G : G] ≤ N
30
Capı́tulo 2. Homomorfismos
Demostración: Sean a, b ∈ G, como [a : b] ∈ [G : G], ab(ba)−1 [G : G] = [G : G],
luego ab[G : G] = ba[G : G]. Ası́ G/[G : G] es abeliano.
Ahora suponga que G/N es abeliano, esto equivale a: para todo a, b ∈ G, abN =
baN ; que sucede si y sólo si [a : b] = ab(ba)−1 ∈ N para todo a, b ∈ G, que es
[G : G] ≤ N .
F
2.59 Ejemplo: S3 /A3 es abeliano luego [G : G] ≤ A3 . Con la notación de
1.56, [ρ : σ] = ρσρ2 σ = ρσσρ = ρ2 y [ρ2 : σ] = ρ2 σρσ = σρ2 σ = σσρ = ρ. Luego
A3 ≤ [G : G]. Concluimos que [G : G] = A3 .
2.10.
Ejercicios
1. Sea φ : G → G0 un homomorfismo de grupos. Pruebe que:
(a) Si |G| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G|.
(b) Si |G0 | es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G0 |.
2. Pruebe que todo homomorfismo φ : G → G0 donde |G| es un primo debe
ser o bien el homomorfismo trivial o bien un homomorfismo inyectivo.
3. Sea G un grupo y sea g un elemento fijo de G. Pruebe que la aplicación
ig : G → G definida por ig (x) = gxg −1 es un isomorfismo de grupos. (Un
isomorfismo de un grupo G en si mismo es llamado un automorfismo de
G. El automorfismo ig es llamado el automorfismo interno de G por
g).
4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que H C G si y solo si
ig [H] = H, para todo g ∈ G. (Es decir, H es normal en G si y solo si H
es invariante bajo todos los automorfismos internos de G).
5. Un subgrupo H es dicho conjugado con un subgrupo K de un grupo
G si existe un automorfismo interno ig de G tal que ig [H] = K. Pruebe
que la conjugación es una relación de equivalencia sobre la colección de
subgrupos de G.
6. Sea H un subgrupo normal de un grupo G, y sea m = (G : H). Pruebe
que am ∈ H para todo a ∈ G.
7. Pruebe que la intersección de subgrupos normales de un grupo G es un
subgrupo normal de G.
8. Pruebe que si un grupo G tiene exactamente un solo subgrupo H de un
orden dado, entonces H C G.
9. Pruebe que si H y N son subgrupos de un grupo G, donde N es normal
en G, entonces H ∩ N es normal en H. Pruebe con un ejemplo que H ∩ N
no es necesariamente normal en todo G.
Ejercicios
31
10. Pruebe que el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G forman
un grupo bajo la operación de composición.( Dicho grupo se denota por
AUT(G)).
11. Pruebe que los automorfismos internos de un grupo G forman un subgrupo
normal de AUT(G). (Pruebe primero que el conjunto de los automorfismos
internos de G es un subgrupo de AUT(G)).
12. Sean G y G0 dos grupos y sean H y H 0 subgrupos normales de G y G0
respectivamente. Sea φ un homomorfismo de G en G0 tal que φ[H] ⊆ H 0 .
Pruebe que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : G/H → G0 /H 0 .
13. Pruebe que si un grupo finito G contiene un subgrupo propio de ı́ndice 2
en G, entonces G no es simple.
14. Pruebe que si un grupo G no es abeliano, entonces el grupo factor G/Z(G)
no es cı́clico.
15. Use el ejercicio anterior para probar que un grupo G no abeliano de orden
pq, donde p y q son primos, tiene un centro trivial.
32
Capı́tulo 2. Homomorfismos
Capı́tulo 3
Conjugación
3.1.
Elementos y subgrupos conjugados
3.1 Definición (Elementos conjugados): Dos elementos k, h de un mismo
grupo G son conjugados si k = ghg −1 para algún g ∈ G.
3.2 Observaciones a la definicición 3.1.
i) La relación ser conjugados es una relación de equivalencia en el grupo, la
verificación de esta trivialidad se le deja al lector. Las clases de equivalencia de esta relación las denominaremos clases de conjugación y la
notaremos [h̄].
ii) La clase de conjugación de la identidad contiene solamente a la identidad.
Además es la única clase de conjugación que es un grupo, ya que las otras
no contienen a la identidad.
iii) Un grupo es abeliano si y sólo si todas sus clases de conjugación son
conjuntos unipuntuales (ejercicio).
3.3 Definición (Centralizador): Sea G un grupo y h ∈ G. El Centralizador de h, que notaremos C(h), esta definido por:
C(h) := {g ∈ G : hg = gh}
3.4 Ejemplo: Considere S3 , el grupo de permutaciones sobre el conjunto
{1, 2, 3}. Sea h = (1 2). Entonces, el centralizador de h es C(h) = {id, (1 2)}. Claramente C(h) ≤ S3 , pero C(h) no es subgrupo normal en S3 pues (1 3)(1 2)(1 3)−1 =
(2 3).
3.5 Observación. El Centralizador de h son justamente los elementos de G
que conmutan con h. Evidentemente e ∈ C(h), ahora si g, g 0 ∈ C(h) entonces
hgg 0 = ghg 0 = gg 0 h, esto es gg 0 ∈ C(h). Lo anterior muestra que C(h) ≤ G. El
34
Capı́tulo 3. Conjugación
centralizador “tiene apariencia” de ser un subgrupo normal, aunque el ejemplo
anterior muestra que no siempre es el caso. Pero, aunque C(h) no es subgrupo
normal, si podemos definir las siguientes aplicaciones que serán de gran utilidad
en el futuro:
3.6
κh : G −→ G
g 7−→ hgh−1
Note que si hgh−1 = hg 0 h−1 entonces g = g 0 y si g 0 = h−1 gh entonces hg 0 h−1 =
g, luego κh es una biyección. Ademas para g, g 0 ∈ G arbitrarios hgg 0 h−1 =
(hgh−1 )(hg 0 h−1 ), luego κh es isomorfismo de G en G (es decir, κh es un automorfismo de G).
Ahora bien, si b ∈ gC(h) entonces b = gk para algún k ∈ C(h) ası́ bhb−1 =
gkh(gk)−1 = gkhk −1 g −1 = ghg −1 . Luego:
fh : G/C(h) −→ G
gC(h) 7−→ κg (h)
esto es fh (gC(h)) = ghg −1 , esta bien definida. Note que fh no es necesariamente un homomorfismo pues G/C(h) no tiene porque tener estructura de grupo,
puesto que C(h) no es necesariamente normal en G.
Teorema 3.7 Sea G un grupo finito, y h ∈ G. Entonces: |[h̄]| = (G : C(h)).
Demostración: Es claro que para demostrar esto basta ver que la aplicación
fh definida en 3.6 es biyectiva, ya que cuando g recorre G, fh (g) recorre [h̄].
Suponga que fh (aC(h)) = fh (bC(h)), esto es aha−1 = bhb−1 ó b−1 ah = hb−1 a,
luego b−1 a ∈ C(h) lo que equivale a aC(h) = bC(h). Ahora sea a ∈ [h̄] ası́ a =
ghg −1 para algún g ∈ G, luego κg (h) = a ó fh (gC(h)) = a.
F
3.8 El hecho que κg sea un isomorfismo, implica que si H ≤ G entonces
gHg −1 ≤ G, lo que nos sugiere expandir nuestra relación de ser conjugados a la
siguiente, que también es de equivalencia:
3.9 Definición (Subgrupos conjugados): Dos subgrupos H, K de un mismo grupo G son conjugados si K = gHg −1 para algún g ∈ G.
3.2.
An para n ≥ 5 es simple
3.10 Recordemos los siguientes resultados ya obtenidos:
i) Toda permutación de un conjunto finito es la permutación identidad, un
ciclo, o un producto de dos o más ciclos disyuntos.
An para n ≥ 5 es simple
35
ii) Toda permutación de un conjunto finito con más de un elemento puede
expresarse como un producto finito de transposiciones.
iii) Una permutación de un conjunto finito es un producto o bien de un número
par de transposiciones o bien de un número impar de transposiciones, pero
no las dos.
iu) Un n-ciclo es, par si n − 1 es par; impar si n − 1 es impar.
u) Toda permutación par de un conjunto finito con al menos tres elementos
puede expresarse como un producto de 3-ciclos.
((a b)(a c) = (a b c), (a b)(c d) = (a c b)(a c d))
Lema 3.11 Si k ≤ n − 2 es impar, todos los k-ciclos en An pertenecen a una
misma clase de conjugación.
Demostración: Sea k como en las hipótesis. Demostraremos que todo k-ciclo
es conjugado de h = (1 2 . . . k). Considere un ciclo k = (m1 m2 . . . mk ) en
An . Sea g ∈ An tal que g(i) = mi (¿Por qué existe un tal elemento en An ?).
Ası́ g −1 (mi ) = i. Ahora si i ≤ k − 1, ghg −1 (mi ) = gh(i) = g(i + 1) = mi+1
y ghg −1 (mk ) = gh(k) = g(1) = m1 . Pero si d ∈ {1, . . . , n} es tal que d 6= mi ,
para todo i ∈ {1, . . . , k}, g −1 (d) ≥ k + 1, y ası́ hg −1 (d) = g −1 (d) entonces
ghg −1 (d) = d. Luego ghg −1 = k, esto es k y h son conjugados.
F
3.12 Observación: A4 no es simple. Considere
V4 := {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}
Sea g ∈ A4 , entonces g(1 2)(3 4)g −1 = (g(1) g(2))(g(3) g(4)) es un elemento
de V4 y algo similar sucede con las otras dos permutaciones de V4 diferentes a
la identidad. Luego V4 C A4 . (Ejercicio: pruebe que V4 es el único subgrupo
normal propio no trivial de A4 ).
Lema 3.13 Sea n ≥ 5 y N C An no trivial. Entonces, existen g ∈ N \{id} y
a ∈ {1, 2, . . . , n}, tales que g(a) = a.
Demostración: Dividimos la prueba en dos casos: uno, todo elemento h ∈ N es
tal que h2 = id; dos, el caso en que no.
Suponga que primero que no, y sean h ∈ N y a ∈ {1, 2, . . . , n} tales que h2 (a) 6=
a. Sea b = h(a), c = h(b), ası́ a, b y c son distintos. Ahora como n ≥ 5, existen
otros dos elementos d, e distintos a los tres anteriores. Sea h0 = (c d e)h(c d e)−1
ası́ h0 ∈ N y h0 (a) = b, h0 (b) = d. Luego h0 6= h y si g = h−1 h0 , entonces g ∈ N ,
donde g no es la identidad y g(a) = a.
Ahora suponga el otro caso, y sea h ∈ N \{id} y a ∈ {1, 2, . . . , n} tal que
h(a) 6= a. Sea b = h(a). Ahora como h es par h 6= (a b) y ası́ existen dos
elementos más c y d, distintos, tales que h(c) = d. Sea e un quinto elemento
distinto de a, b, c, y d, y sea h0 = (c d e)h(c d e)−1 . Entonces h0 ∈ N es tal que
h0 (a) = b y h0 (d) = e luego h0 6= h y si g = h−1 h0 , entonces g ∈ N , donde g no
es la identidad y g(a) = a.
F
36
Capı́tulo 3. Conjugación
Lema 3.14 Sea n ≥ 5 y N C An . Si N contiene un 3-ciclo, N = An .
Demostración: Por el lema 3.11 si N contiene un 3-ciclo, al ser normal también
contiene los dem’as 3-ciclos. Ahora por 3.10 u), estos generan An .
F
Teorema 3.15 Si n ≥ 5, An es simple.
Demostración: Procederemos por inducción sobre n.
Sea N C A5 no trivial. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , 5}
tales que g(a) = a. Sea h ∈ A5 tal que h(a) = 5, y g 0 = hgh−1 , luego g 0 (5) = 5
y g 0 ∈ N \ {id}. Defina H = {g ∈ A5 : g(5) = 5}, ası́ H ≤ G y H '
A4 . Luego N ∩ H C H, y g 0 ∈ N ∩ H, y como el único subgrupo propio
no trivial normal de A4 es V4 , {(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊂ N ∩ H.
Ahora (1 2)(4 5) = (3 4 5)(1 2)(3 4)(3 4 5)−1 , luego (1 2)(4 5) ∈ N . Además
(3 4 5) = (1 2)(3 4)(1 2)(4 5), ası́ (3 4 5) ∈ N . Entonces por el lema 3.14,
N = A5 .
Sea n > 5. Suponga que An−1 es simple. Sea N C An no trivial y H = {g ∈
An : g(n) = n}. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , n} tales
que g(a) = a. Sea h ∈ An tal que h(a) = n, y g 0 = hgh−1 , luego g 0 (n) = n y
g 0 ∈ N \ {id}. Luego N ∩ H C H, y g 0 ∈ N ∩ H, entonces N ∩ H = H, pues
H ' An−1 y An−1 es simple, ası́ N contiene un 3-ciclo y entonces por el lema
3.14, N = An .
F
3.16 Observaciones.
i) Actualmente debe ser claro para el lectorQlo elegante de la conjugación
en los grupos de permutaciones. Si h = ni=1 (ai bi ), entonces ghg −1 =
Q
n
i=1 (g(ai ) g(bi )). Es impreciso hablar de una productoria en un grupo
no abeliano, para que la identidad sea cierta se requiere que se considere
el mismo orden en el producto que expresa ghg −1 que el que se usó para
h. Lo anterior, evidentemente, no es lo único impresionante en todo esto.
ii) Uno de los objetivos de los primeros cursos en Álgebra Abstracta es demostrar la insolubilidad de los polinomios de grado mayor o igual a cinco
(“la insolubilidad de la quintica”). Por extraño que nos parezca actualmente, el hecho que An sea simple para n ≥ 5 es una de las razones para
ello. Elegante, ¿no?. Sigamos entonces con nuestro estudio.
3.3.
Ejercicios
1. Pruebe que un grupo G es abeliano si y solo si todas sus clases de conjugación contienen exactamente un elemento de G.
2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada g ∈ G, el subconjunto
gHg −1 es un conjugado de H. Probar que cada conjugado de H es un
subgrupo de G y que la intersección de los conjugados de H es un subgrupo
normal de G.
Capı́tulo 4
Acción de grupo sobre un
conjunto
4.1.
G-conjuntos
4.1 Definición (Acción de Grupo y G-conjunto): Sea X un conjunto y
G un grupo. Una acción de G sobre X es una aplicación ∗ : G × X → X tal
que:
i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X
ii) (g1 g2 ) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x), ∀x ∈ X, ∀g1 , g2 ∈ G
Bajo estas condiciones, X es un G-conjunto. Cuando no halla lugar a confución
notaremos g ∗ x por gx.
4.2 Nota. Aquı́ definimos la acción “actuando por la izquierda”, algunos
libros la prefieren “actuando por la derecha”. Por lo general esto último se hace
cuando también se prefiere la composición por derecha (i.e. f ◦ g(x) = g(f (x))).
4.3 Ejemplo: Sea X un conjunto, y H un subgrupo de SX . Entonces X es
un H-conjunto, donde la acción de H sobre X es la definida por gx = g(x). La
condición ii) de la definición 4.1, es una consecuencia inmediata de la definición
de multiplicación de permutaciones vista como composición, y la condición i),
de la definición de la permutación identidad como la función identidad. Note
que en particular, {1, . . . , n} es un Sn -conjunto.
4.4 El siguiente teorema muestra que para cada G-conjunto X, dado un g ∈ G
la aplicación σg : X → X definida por σg (x) = gx es una permutación de X,
y que existe un homomorfismo Φ : G → SX tal que la accı́on de G sobre X
es básicamente la descrita en el ejemplo 4.3 con H = Φ[G]. Por lo tanto, las
acciones de los subgrupos de SX sobre X describen todas las posibles acciones de
un grupo G sobre X. Ası́ al momento de estudiar el conjunto X, acciones usando
38
Capı́tulo 4. Acción de grupo sobre un conjunto
subgrupos de SX serán suficientes. Sin embargo, algunas veces, un conjunto X
es usado para estudiar G vı́a una acción de grupo G sobre X.
Teorema 4.5 Sea X un G-conjunto. Para cada g ∈ G, la función σg : X → X
definida por σg (x) = gx es una permutación de X. Además, la aplicación Φ :
G → SX definida por Φ(g) = σg es un homomorfismo. Ası́ Φ(g)(x) = gx, esto
es:
Φ : G −→ SX
g 7−→ σg : X → X
x 7→ gx
Demostración: Dado g ∈ G, demostremos que x 7→ gx es una biyección. Sean
x, y ∈ X, tales que gx = gy. Ası́ por 4.1 ii), ex = g −1 gx = g −1 gy = ey, luego
por 4.1 i), x=y. Ahora, sea x ∈ X, tome x0 = g −1 x, ası́ gx0 = gg −1 x = ex = x.
Visto entonces que x 7→ gx es una biyección, tiene sentido nuestra función Φ,
pues x 7→ gx es una permutación.
Ahora, de la condición ii) de la definición 4.1 se sigue inmediatamente que Φ es
un homomorfismo.
F
4.6 Definiciones (Acción fiel, acción transitiva): Sea X un G-conjunto.
i) Decimos que G actúa fielmente sobre X si: dado un g ∈ G tal que gx = x
para todo x, implica g = e.
ii) Decimos que G actúa transitivamente sobre X si: para cada x1 , x2 ∈ X,
existe un g ∈ G tal que gx1 = x2 .
4.7 Observación. Sea X un G-conjunto. Según el teorema 4.5 y el corolario
2.13, el subconjunto N de G que deja todo elemento de X fijo es un subgrupo
normal. Ahora, por el teorema fundamental del homomorfismo, a X lo podemos
ver como un G/N -conjunto, donde gN x = gx. Ası́ G/N actúa fielmente sobre
X.
4.8 Ejemplos:
i) Considere λg : G → G definida por λg (g 0 ) = gg 0 . Ahora λe = id y λg1 ◦
λg2 = λg1 g2 , luego si definimos g ∗ x = λg (x), G es un G-conjunto. Si
H ≤ G, de misma forma podemos ver a G como un H-conjunto. Note que
con las ρg : G → G, definidas por ρg (g 0 ) = g 0 g podemos definir un acción
a derecha pero no a izquierda.
ii) Recuerde κg : G → G definida por κg (g 0 ) = gg 0 g −1 . Entonces, κe = id y
κg1 ◦ κg2 = κg1 g2 , luego si definimos g ∗ x = λg (x), G es un G-conjunto.
iii) Sea V un espacio vectorial sobre R, los axiomas 1~v y (rs)~v = r(s~v ), muestran que V se puede ver como un R∗ -conjunto, con el grupo < R∗ , ., 1 >.
Subgrupo estabilizador y órbitas
39
iu) Sea S n = {x ∈ Rn+1 : kxk = 1} la esfera n-dimensional. Considere
SOn+1 (R) = {U ∈ Mn+1×n+1 : det(U ) = 1 ∧ U U t = I} el conjunto
de matrices ortonormales de dimensión n + 1 × n + 1. Ası́ bajo la acción
U ∗ x = U x, S n es un SOn+1 (R)-conjunto.
u) Sea H ≤ G y LH el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G.
Bajo la acción g ∗ xH = (gx)H, LH es un G-conjunto. Esta acción será de
gran utilidad (cf. Capı́tulo 6).
4.2.
Subgrupo estabilizador y órbitas
4.9 Notación. Sea X un G-conjunto, notaremos:
Xg := {x ∈ X : gx = x}, y Gx := {g ∈ G : gx = x}
Teorema 4.10 Sea X un G-conjunto. Entonces, Gx ≤ G, para todo x ∈ X.
Demostración Sea x ∈ X. ex = x luego e ∈ Gx , si g ∈ Gx , g −1 x = g −1 gx = x,
luego g −1 ∈ Gx , y finalmente si g1 , g2 ∈ Gx , g1 g2 x = g1 x = x, entonces g1 g2 ∈
Gx .
F
4.11 Definición (Subgrupo estabilizador): Dado X un G-conjunto. A Gx
lo llamamos el subgrupo estabilizador de x.
Teorema 4.12 Sea X un G-conjunto. La relación ∼ definida por x1 ∼ x2 si
existe un g ∈ X tal que gx1 = x2 , es de equivalencia.
Demostración: ex = x, para todo x ∈ X, luego la relación es reflexiva.Sea
x1 , x2 , x3 ∈ X. Si gx1 = x2 , x1 = g −1 x2 , entonces la relación es simetrica.
Ahora si g1 x1 = x2 y g2 x2 = x3 , tenemos que g2 g1 x1 = x3 , luego la relación es
también transitiva.
F
4.13 Definición (Órbitas): A la clase de equivalencia de x de la relación
definida en 4.12, la llamamos órbita de x, y la notaremos Gx. Ası́:
Gx := {a ∈ X| ∃g ∈ G : gx = a}
4.14 Aunque la notación de la órbita y del estabilizador se parecen, no hay que
confundirlos. Existen otras notaciones para estos conjuntos pero esta nos parece
bastante descriptiva. Ahora bien, un lector prudente que ya se desenvuelva en
esta teorı́a, le parecerá el siguiente resultado muy natural.
Teorema 4.15 |Gx| = (G : Gx )
Demostración: Si x0 ∈ Gx, con x0 = g1 x = g2 x entonces g1−1 g2 ∈ Gx , luego
g1 Gx = g2 Gx . Ası́ podemos definir ψ : Gx → {gGx }g∈G por ψ(gx) = gGx .
Veamos que ψ es una biyección. Sea x1 , x2 ∈ Gx, tales que ψ(x1 ) = ψ(x2 ).
Ahora, suponga que x1 = g1 x y x2 = g2 x, ası́ g1 Gx = g2 Gx luego existe un
g ∈ Gx tal que g2 = g1 g, entonces x2 = g1 gx = g1 x = x1 . La sobreyectividad es
evidente, dado g ∈ G, ψ(gx) = gGx .
F
40
4.3.
Capı́tulo 4. Acción de grupo sobre un conjunto
Aplicaciones de G-conjuntos en combinatoria: La fórmula de Burnside
4.16 Suponga que queremos saber de cuantas maneras se puede marcar un
dado cúbico de forma que cada marcada sea distinguible de las otras, sin importarnos que lados opuestos sumen siete. Para marcar la primera cara disponemos
de 6 números, para la segunda de 5, y ası́ sucesivamente vemos que tenemos
6! = 720 formas de marcarlos, pero varias de estas marcadas no son distinguibles
pues algunas se pueden obtener de otras mediante rotación. Ası́ si consideramos
las diferentes rotaciones del cubo como un grupo, y las 720 marcadas como un
conjunto, dos de estas no son distinguibles si están en la misma órbita de la
acción “rotar el cubo”. Aquı́ es donde el problema se une con nuestra teorı́a, y
para resolverlo usamos la fórmula de Burnside.
Teorema 4.17 (La fórmula de Burnside) Sea G un grupo P
finito y X un Gconjunto. Si r es el número de órbitas en X, entonces: r|G| = g∈G |Xg |.
Demostración: Considere todos los pares (g, x) tales que gx = x, y sea N el
número de dichos pares. Para cada g ∈ G, hay |Xg | pares teniendo a g como
primer elemento. Entonces:
X
N=
|Xg |
(4.1)
x∈X
Por otro lado, para cada x ∈ X, hay |Gx | pares teniendo a x como segundo
elemento. Entonces:
X
|Gx |
(4.2)
N=
x∈X
Ahora, por el teorema 4.15, |Gx| = (G : Gx ), y por el teorema de Lagrange
(G : Gx ) = |G|/|Gx |, ası́ |Gx | = |G|/|Gx|, y remplazando en (4.2):
N=
X 1
X |G|
= |G|
|Gx|
|Gx|
x∈X
(4.3)
x∈X
P
Ahora |Gx| es el mismo para todo x0 ∈ Gx, luego x0 ∈Gx 1/|Gx| = 1, ası́ de
(4.3), N = |G|r, y combinando esto con (4.1) obtenemos el resultado buscado.
F
Corolario 4.18 Si G es un grupo finito y X un G-conjunto, entonces:
(número de órbitas en X bajo G) =
1 X
|Xg |
|G|
g∈G
4.19 Ejemplo: Continuemos con el problema del dado. Estábamos en que
dos marcadas son distinguibles si y sólo si pertenecen a órbitas distintas, luego
nuestro problema se reduce a contar el número de estas. Formalicemos la idea de
actuar por “rotación del cubo”. Primero note que hay 24 posibles posiciones para
el cubo mediante rotaciónes: cada cara se puede poner abajo (6 posibilidades),
La fórmula de Burnside
41
y después, la posición del cubo queda completamente determinada por la cara
que se ponga al frente (4 posibilidades). Estas rotaciones, si etiquetamos cada
vértice del cubo, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo G de S8
de 24 elementos (ver figura 4.1). Ası́ |G| = 24, y además, dado g ∈ G con g 6= e,
se tiene |Xg | = 0, pues toda rotación diferente a la identidad cambia de posición
el dado. Sin embargo |Xe | = 720. Entonces por el corolario 4.18, el número de
1
720 = 30. Luego el número de marcadas distinguibles es 30.
órbitas es 24
5
8
PSfrag replacements6
7
4
8
5
3
1
2
id
7
6
3
4
„
7
8
2
1
12345678
23416785
6
5
2
„
7
1
3
«
6
4
12345678
34127856
8
1
2
«
„
4
3
12345678
41238567
Figura 4.1: Rotaciones del cubo
Teorema 4.20 Sea G un grupo. Sea A un G-conjunto y B un conjunto, ambos
finitos. B A es un G-conjunto bajo g ∗ f definida por gf (x) = f (g −1 x). Además,
si dado un k ∈ N∗ , denotamos Ck (G) el conjunto de permutaciones en Φ[G],
donde Φ es el homomorfismo del teorema 4.5, teniendo exactamente k ciclos en
su descomposición cı́clica. Entonces:
(número de órbitas en B A bajo G) =
5
+∞
1 X
|Ck (G)||B|k
|G|
k=1
Demostración: Como ef (x) = f (e−1 x) = f (x) y (g1 g2 )f (x) = f ((g1 g2 )−1 x) =
f (g2−1 g1−1 x) = g2 f (g1−1 x) entonces vemos que lo que se definió en el enunciado
del teorema es una acción.
Ahora bien, por la fórmula de Burnside, es suficiente demostrar que para un
k ∈ N∗ dado:
X
|Ck (G)||B|k =
|Xg |
g∈Ck (G)
Note que si σ es una permutación en A, como en la descomposición los cı́clos
son disyuntos, f (σ(a)) = f (a) para todo a ∈ A si y sólo si f es constante sobre
cada cı́clo de σ. Suponga que g ∈ Ck (g), entonces BgA = {f ∈ B A : gf = f }, y
BgA esta compuesta por todas las aplicaciones que son constantes en cada uno
de los k cı́clos de Φ(g −1 ), y estas son |B|k .
F
4.21 Ejemplo: Sean n cı́rculos iguales dispuestos en cı́rculo. Queremos ver
cual es el número de coloraciones distinguibles que se logran con c colores. Note
«
42
Capı́tulo 4. Acción de grupo sobre un conjunto
que si consideramos los n cı́rculos como los vértices de un polı́gono convexo
regular con n lados, entonces podemos usar el grupo diedral Dn para representar
las distintas configuraciones de los cı́rculos.
Sean entonces A el conjunto de los n cı́rculos, G = Dn (|G| = 2n) y B el
conjunto de los c colores. Ahora cada coloración se puede ver como un elemento
de P
B A , luego si el número de coloraciones distinguibles es N , tenemos N =
n
1
k
k=1 |Ck (G)|c .
2n
El número de rotaciones que son k nk -ciclos es el número de elementos en Zn
que generan un subgrupo de orden nk , esto es |Nk | donde Nk = {a ∈ {1, . . . , n} :
(a, n) = k}. Ahora si n es impar, cada una de las n simetrı́as pasa por un vértice,
luego es n−1
2 2-ciclos y un 1-ciclo. Y si n es par, cada una de las n/2 simetrı́as
que pasan por un vértice es n−2
2 2-ciclos y dos 1-ciclos, y cada una de las n/2
simetrı́as que no pasan por algún vértice es n2 2-ciclos. Esto abarca todos los
elementos de Dn . Entonces:

n+1
1 P

si n es impar
( k|n |Nk |ck + c 2 )
 2n
N=

 1 (P |Nk |ck + n (c n2 + c n2 +1 )) si n es par.
k|n
2n
2
4.4.
Ejercicios
1. Sea X un G-conjunto, y sean x1 , x2 ∈ X tales que x1 y x2 se encuentran
en la misma órbita. Probar que los estabilizadores Gx1 y Gx2 de x1 y x2
respectivamente, son subgrupos conjugados en G. Deducir que Gx1 y Gx2
tienen el mismo orden.
2. Sea X un G-conjunto, donde G es un grupo de permutaciones. Sea O una
órbita de X bajo la acción de G. Si x, y ∈ O, entonces pruebe que el
conjunto de permutaciones en G que envı́an x a y (es decir, el conjunto
{σ ∈ G : σ(x) = y}) es un coset derecho de Gx . Contrariamente, pruebe
que todos los elementos de un coset derecho de Gx envı́an x al mismo
punto en O.
3. Sea G un grupo de permutaciones actuando transitivamente sobre un conjunto X. Entonces, G actúa sobre X × X, y una órbita de X × X bajo la
acción de G es llamada un órbital (para diferenciarla de una órbita de X
bajo G). Sea x ∈ X. Pruebe que existe una biyección entre los órbitales de
X × X bajo G y las órbitas de X bajo la acción del subgrupo estabilizador
Gx .
Capı́tulo 5
Teoremas de Isomorfismos y
Series de Grupos
5.1.
Teoremas de Isomorfismos
Teorema 5.1 (Primer Teorema de Isomorfismo) Sea φ : G → G0 un homomorfismo con kernel K, y sea ρK : G → G/K la proyección canónica (i.e.
ρK (g) = gK). Entonces, hay un único isomorfismo ψ : G/K → φ[G] tal que
φ = ψ ◦ ρK (ver figura 5.1).
PSfrag replacements
G
φ
φ[G] ≤ G0
ρK
ψ
G/K
Figura 5.1: Primer Teorema de Isomorfismo
5.2 Definición (join): Sean H, N ≤ G. Se define el join H ∨ N de H y de
N por:
H ∨ N :=< HN >
5.3 Observación. H ∨N es el subgrupo más pequeño de G que contiene HN .
Además H ∨ N es el subgrupo más pequeño de G conteniendo tanto a H como
a N , puesto que cada uno de tales subgrupos debe contener HN . En general,
HN no es un subgrupo de G.
Lema 5.4 Si N C G, y H ≤ G, entonces H ∨ N = HN = N H. Además, si
H C G, entonces HN C G.
44
Capı́tulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos
Demostración: La primera parte del lema no es sino una reformulación del teorema 2.21 iii).
Ahora, supongamos además que H C G, y sea h ∈ H, n ∈ N y g ∈ G, luego
ghng −1 = (ghg −1 )(gng −1 ) ∈ HN , y ası́ HN C G.
F
Teorema 5.5 (Segundo Teorema de Isomorfismo) Si H ≤ G y N C G,
entonces HN/N ' H/(H ∩ N ).
Demostración: Como N C G entonces H ∩ N C H. Sean h, h1 ∈ H y n, n1 ∈ N ,
−1
y suponga que h1 n1 = hn. Eso es equivalente a h−1 h1 = nn−1
h1 esta en
1 , ası́ h
H y en N , es decir, h−1 h1 ∈ H ∩ N que es lo mismo que h(H ∩ N ) = h1 (H ∩ N )
elemento de H/(H ∩ N ). Luego podemos definir φ : HN → H/(H ∩ N ) por
φ(hn) = h(H ∩ N ).
Veamos que φ es un homomorfismo. Sean n1 , n2 ∈ N y h1 , h2 ∈ H. Como en el
lema 5.4, se puede escribir n1 h2 = h2 n3 para algún n3 ∈ N , puesto que N C G.
Entonces:
φ((h1 n1 )(h2 n2 )) = φ((h1 h2 )(n3 n2 )) = h1 h2 (H ∩ N ) = h1 (H ∩ N )h2 (H ∩ N ) =
φ(h1 n1 )φ(h2 n2 ).
Luego φ es homomorfismo, y es evidente que es sobreyectivo. Ahora, si hn ∈ HN
es tal φ(hn) = N , esto es hnN = N ó hN = N luego h ∈ H ∩ N . Ası́ Ker(φ) =
(H ∩ N )N = N , y además φ[HN ] = H/(H ∩ N ), luego por el teorema 5.1
HN/N ' H(H ∩ N ).
F
5.6 Ejemplos:
i) Sea G = Z × Z × Z, H = Z × Z × {0}, y N = {0} × Z × Z. Ası́ HN = G
y H ∩ N = {0} × Z × {0}. Se tiene entonces que (HN )/N ' Z y también
que H/(H ∩ N ) ' Z.
ii) Si H, K C G y K ≤ H, entonces H/K C G/K (compruebelo).
Teorema 5.7 (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sean H, K C G, con K ≤
H, entonces G/H ' (G/K)(H/K).
Demostración: Sea φ : G → (G/K)(H/K) dada por φ(a) = (aK)(H/K), para
a ∈ G. Claramente, φ es sobreyectiva, y para a, b ∈ G, se tiene que:
φ(ab) = [(ab)K](H/K) = [(aK)(bK)](H/K) = [(aK)(H/K)][(bK)(H/K)] =
φ(a)φ(b)
Entonces φ es homomorfismo. Ahora, si x ∈ G es tal que φ(x) = H/K, x ∈ H,
luego por el teorema 5.1 se tiene que G/H ' (G/K)(H/K).
F
5.8 Nota. Una buena manera de ver el teorema 5.7 es mirando la aplicación
canónica ρH : G → G/H siendo factorizada por un subgrupo normal K de G,
obteniéndose ρH = ρH/K ◦ ρK , como se ilustra en 5.2
PSfrag replacements
Series de Grupos
45
G
ρH
G/H
Homomorfismo natural
ρK
G/K
ρH/K
(G/K)(H/K)
Figura 5.2: Tercer Teorema de Isomorfismo
5.2.
Series de Grupos
5.9 Definiciones (Series normales y subnormales):
i) Una serie subnormal de un grupo G es una secuencia finita H0 , H1 , . . . , Hn
de subgrupos de G tal que Hi < Hi+1 , para todo i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, y
tal que
{e} = H0 C H1 C H2 C · · · C Hn−1 C Hn = G
ii) Una serie normal es una serie subnormal donde además:
Hi C G, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n}.
5.10 Observaciones.
i) Para un grupo abeliano, las nociones de series subnormales y normales
coincide, puesto que todo subgrupo es normal.
ii) Una serie normal es siempre subnormal. Pero lo contrario no es cierto (ver
5.11).
5.11 Ejemplos:
i) {0} C 8Z C 4Z C Z, y {0} C 9Z C Z, son series subnormales (y normales
a la vez).
ii) Considere D4 , el grupo de isometrı́as del cuadrado (el grupo diedral). La
serie {ρ0 } C {ρ0 , µ1 } C {ρ0 , ρ2 , µ1 , µ2 } C D4 es subnormal, pero no es
normal, puesto que {ρ0 , µ1 } no es normal en D4 .
5.12 Definición (Refinamiento): Una serie subnormal (normal) {Kj }j∈{0,1,...,m}
es un refinamiento de una serie subnormal (normal) {Hi }i∈{0,1,...,n} de
un grupo G si {Hi }i∈{0,1,...,n} ⊂ {Kj }j∈{0,1,...,m} (i.e. cada Hi es uno de los Kj )
5.13 Ejemplo: La serie {0} C 72Z C 24Z C 8Z C 4Z C Z es un refinamiento
de la serie {0} C 72Z C 8Z C Z (note que los subgrupos 4Z y 24Z han sido
insertados).
5.14 Para estudiar le estructura de un grupo G, los grupos factor Hi+1 /Hi
son de mucha utilidad.
46
Capı́tulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos
5.15 Definición (Series isomorfas): Dos series subnormales (normales)
{Hi }i∈{0,1,...,n} y {Kj }j∈{0,1,...,n} de un mismo grupo G son isomorfas si existe
una correspondencia biunı́voca entre las colecciones de grupos factores, esto
es entre {Hi+1 /Hi }i∈{0,1,...,n−1} y {Kj+1 /Kj }j∈{0,1,...,n−1} tal que los grupos
correspondientes son isomorfos
5.16 Observación. Claramente dos series subnormales (normales) isomorfas
deben contener el mismo número de grupos.
5.17 Ejemplo: Las dos series de Z15 : {0} C< 5 >C Z15 y {0} C< 3 >C Z15 ,
son isomorfas. Tanto Z15 / < 5 > como < 3 > /{0} son isomorfos a Z5 , y
Z15 / < 3 > es isomorfo a < 5 > /{0}, o a Z3 .
Teorema 5.18 (Lema de Zassenhaus (mariposa)) Sean H y K dos subgrupos de un grupo G y sean H ∗ y K ∗ subgrupos normales de H y K respectivamente. Entonces (ver figura 5.3):
i) H ∗ (H ∩ K ∗ ) C H ∗ (H ∩ K)
ii) K ∗ (H ∗ ∩ K) C K ∗ (H ∩ K)
iii)
H ∗ (H ∩ K)H ∗ (H ∩ K ∗ ) ' K ∗ (H ∩ K)/K ∗ (H ∗ ∩ K)
' (H ∩ K)/[(H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K)]
H
PSfrag replacements
K
∗
∗
H (H ∩ K)
K (H ∩ K)
H∩K
H ∗ (H ∩ K ∗ )
K ∗ (H ∗ ∩ K)
H∗
K∗
H∗ ∩ K
H ∩ K∗
∗
∗
(H ∩ K )(H ∩ K)
Figura 5.3: Lema de la Mariposa
Demostración: H ∗ C H y H ∩ K es un subgrupo tanto de H como de K, luego
por el lema 5.4 H ∗ (H ∩K) es grupo. De manera análoga vemos que H ∗ (H ∩K ∗ ),
K ∗ (H ∩ K), y K ∗ (H ∗ ∩ K) también lo son.
Ahora si r∗ ∈ H ∗ ∩ K y s ∈ H ∩ K, entonces sr ∗ s−1 esta en H ∗ y en K, pero
esto es sr∗ s−1 ∈ H ∗ ∩ K. Luego H ∗ ∩ K C H ∩ K. Con un mismo argumento
Series de Grupos
47
vemos que H ∩ K ∗ C H ∩ K. Y ası́ por el lema 5.4 (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) =
(H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K) =: L C H ∩ K.
Veamos ahora que las tres inclusiones marcadas con negrita en la figura 5.18
son normales y sus grupos factores isomorfos, con eso habremos probado el
lema. Para eso nos valdremos de un homomorfismo adecuadamente definido y
del primer teorema de isomorfismo.
Sean h1 , h2 ∈ H ∗ y x1 , x2 ∈ H ∩ K tales que h1 x1 = h2 x2 , esto es h−1
2 h1 =
∗
∗
x2 x−1
1 ∈ H ∩ (H ∩ K) = H ∩ L ⊂ L. Luego x1 L = x2 L. Luego podemos definir
φ : H ∗ (H ∩ K) → (H ∩ K)/L por φ(h∗ x) = xL donde h∗ ∈ H ∗ y x ∈ H ∩ K.
Sean h1 , h2 ∈ H ∗ y x1 , x2 ∈ H ∩ K, como H ∗ C H, entonces existe h ∈ H ∗ tal
que x1 h2 = hx1 . Ası́ φ((h1 x1 )(h2 x2 ) = φ((h1 h)(x1 x2 )) = (x1 x2 )L = x1 Lx2 L =
φ(h1 x1 )φ(h2 x2 ). Entonces φ es homomorfismo. Claramente φ es sobreyectivo.
Ahora si h ∈ H ∗ , y x ∈ H ∩ K, son tales que φ(hx) = L, la condición es
equivalente a x ∈ L ó a hx ∈ H ∗ L = H ∗ (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) = H ∗ (H ∩
K). Luego Ker(φ) = H ∗ (H ∩ K). Entonces como φ es sobreyectivo con kernel
H ∗ (H ∩ K), por el teorema 5.1 H ∗ (H ∩ K)/H ∗ (H ∩ K) ' (H ∩ K)/L y además
Ker(φ) C Dom(φ). Y con un homomorfismo similar de K ∗ (H ∩K) en (H ∩K)/L
demostramos lo que falta de la prueba.
F
5.19 Suponga que tiene dos cadenas de subgrupos de un mismo grupo G:
Hi−1 C Hi C Hi+1 y Kj C Kj+1 . Teniendo en mente el lema 5.18, note Hm,n :=
Hm (Hm+1 ∩Kn ) y Km,n := Km (Km+1 ∩Hn ). Ası́, tendremos unas cadenas como
las que se muestran en la figura 5.4 donde los grupos factor formados por los
grupos unidos por lineas de mismo espesor son isomorfos. Vale la pena notar que
en caso de tener series y no simples cadenas, las lineas en negrita de cada lado
de la figura estarı́an conectadas, ya que las series empiezan en {e} y terminan
en G. Esto es lo que se explica formalmente en el Teorema 5.20.
Teorema 5.20 (Teorema de Schreier) Dos series subnormales (normales)
de un mismo grupo tienen refinamientos isomorfos.
PSfrag replacements
H
"!"! "!"! "!"!"! "!"!"!
"!"!"! "!"!"!
"!"! "!"!
H "!"! "!"! H
H
H
H
Hi+1
i,j+1
i
Kj,i+1
Kj,i
i,j
i−1,j+1
K
j+1
$#$#
$#$##$
$# Kj,i−1
i−1
i−1,j
Figura 5.4: Teorema de Schreier
Kj
48
Capı́tulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos
Demostración: Sea G un grupo y sean:
{e} = H0 C H1 C . . . C Hn = G
(5.1)
{e} = K0 C K1 C . . . C Km = G
(5.2)
dos series subnormales para G. Para i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} forme la cadena de
grupos:
Hi = Hi (Hi+1 ∩ K0 ) C Hi (Hi+1 ∩ K1 ) C Hi (Hi+1 ∩ K2 ) C . . . C Hi (Hi+1 ∩
Km ) = Hi+1 .
Después de hacer todas estas cadenas para cada i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} y notando
Hi,j := Hi (Hi+1 ∩ Kj ), se obtendrá la siguiente cadena de grupos:
{e} = H0,0 C H0,1 C H0,2 C . . . C H0,m−1 C H1,0
C H1,1 C H1,2 C . . . C H1,m−1 C H2,0
C H2,1 C H2,2 C . . . C H2,m−1 C H3,0
..
.
C Hn−1,1 C Hn−1,2 C . . . C Hn−1,m−1 C Hn−1,m = G
(5.3)
Esta cadena 5.3 contiene nm + 1 grupos, no necesariamente distintos, donde
Hi,0 = Hi , para cada i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Por el lema de Zassenhaus, la cadena
5.3 es una subnormal, es decir, cada grupo es normal en el siguiente grupo (lo
que justifica el uso del signo C en lo que sabemos ahora que es una serie).
Entonces la cadena 5.3 es un refinamiento de la cadena 5.1.
En forma simétrica, si Kj,i = Kj (Kj+1 ∩ Ki ), para j ∈ {0, 1, . . . , , m − 1} e
i ∈ {0, 1, . . . , , n}, tenemos la siguiente serie subnormal:
{e} = K0,0 C K0,1 C K0,2 C . . . C K0,n−1 C K1,0
C K1,1 C K1,2 C . . . C K1,n−1 C K2,0
C K2,1 C K2,2 C . . . C K2,n−1 C K3,0
..
.
C Km−1,1 C Km−1,2 C . . . C Km−1,n−1 C Km−1,n = G
(5.4)
La cadena 5.4 contiene también mn + 1 grupos, no necesariamente distintos,
donde Kj,0 = Kj , para cada j ∈ {0, 1, . . . , m − 1}. Entonces por un argumento
similar, la cadena 5.4 es un refinamiento de la cadena 5.2.
Por el lema de Zassenhaus, se tiene que: Hi (Hi+1 ∩ Kj+1 )/Hi (Hi+1 ∩ Kj ) '
Kj (Kj+1 ∩ Hi+1 )/Kj (Kj+1 ∩ Hi ) o lo que es equivalente:
Hi,j+1 /Hi,j ' Kj,i+1 /Kj,i , ∀(i; j) ∈ {0, . . . , n − 1} × {0, . . . , m − 1}
(5.5)
La relación 5.5 de isomorfismo, proporciona una correspondencia biunı́voca de
grupos factor isomorfos entre las series subnormales 5.3 y 5.4. Para verificar esta
Series de Grupos
49
correspondencia note que Hi,0 = Hi y Hi,m = Hi+1 , mientras que Kj,0 = Kj
y Kj,n = Kj+1 . Cada cadena en 5.3 y 5.4 contiene un arreglo rectangular de
mn sı́mbolos C. Cada C produce un factor. Los grupos factor inducidos por C
en la i-ésima fila en 5.3 corresponden a los grupos factor inducidos por C en
la misma columna en 5.4. Eliminando subgrupos repetidos de las cadenas 5.3
y 5.4, se obtiene series subnormales de grupos distintos que son refinamientos
isomorfos de las cadenas 5.1 y 5.2, con lo que se pruebe el teorema para series
subnormales.
Para series normales, donde los Hi ’s y los Kj ’s son normales en G, se tiene que
todos los grupos Hi,j y Kj,i formados anteriormente son normales en G, por lo
tanto, el teorema también se cumple para estas series. La normalidad de Hi,j y
Kj,i se obtiene por el lema 5.4 y por el hecho que la intersección de subgrupos
normales de un grupo, es también subgrupo normal.
F
5.21 Definición (Serie compuesta y serie principal)
i) Una serie subnormal {Hi }i∈{0,1,...,n} de un grupo G es una serie compuesta si todos los grupos factor Hi+1 /Hi son simples.
ii) Una series normal {Hi }i∈{0,1,...,n} de G es una serie principal si todos
los grupos factor Hi+1 /Hi son simples
5.22 Observaciones.
i) Hi+1 /Hi es simple si y solo si Hi es normal máximal en Hi+1 .
ii) En los grupos abelianos, los conceptos de serie compuesta y serie principal
coinciden.
iii) Como cada serie normal es subnormal, cada serie principal es una serie
compuesta para todo grupo, abeliano o no.
5.23 Ejemplos:
i) Z no tiene serie compuesta ni serie principal: Sea {0} = H0 C H1 C
. . . C Hn−1 C Hn = Z una serie subnormal. H1 debe ser de la forma rZ
para algún r ∈ Z+ . Pero H1 /H0 ' Z, es un grupo cı́clico infinito con
muchos subgrupos normales no triviales, por ejemplo 2rZ. Entonces Z no
contiene series compuestas, ni tampoco principales.
ii) {id} C An C Sn , con n ≥ 5, es una serie compuesta y también principal
de Sn , puesto que An /{id} ' An , es simple para n ≥ 5, y Sn /An ' Z2
también.
5.24 Observaciones.
i) Como se observó anteriormente, en una serie compuesta, cada Hi debe
ser normal máximal en Hi+1 . Entonces, para formar una serie compuesta
de un grupo G, se debe tratar de encontrar un subgrupo normal máximal
50
Capı́tulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos
Hn−1 de G, después Hn−2 subgrupo normal máximal de Hn−1 y ası́ sucesivamente. Si el proceso anterior termina en un número finito de pasos,
se tiene una serie compuesta. De la misma forma, se puede construir una
serie principal de G con la restricción que cada i, Hi C G.
ii) Además, como “Hi es normal máximal en Hi+1 si y solo si Hi+1 /Hi es
simple” (ver teorema 2.51), una serie compuesta, no puede tener ningún
refinamiento.
Teorema 5.25 (Teorema de Jordan-Hölder) Cualquier par de series compuestas (principales) de un grupo G son isomorfas.
Demostración Sean {Hi }i∈{0,...,n} y {Ki }i∈{0,...,m} dos series compuestas (principales) de G. Por el Teorema de Schreier (5.20), estas series tienen refinamientos
isomorfos. Pero como todos los grupos factor son simples, entonces por el teorema 2.51, estas series no pueden ser refinadas, lo cual implica que {Hi }i∈{0,...,n}
y {Ki }i∈{0,...,m} son isomorfas (y por lo tanto n = m).
F
5.26 En el caso de grupos finitos, se puede ver una serie compuesta como una
factorización de un grupos en grupos factor simples, análoga a la factorización de
un entero positivo en primos. En ambos casos, la factorización es única módulo
el orden de los factores. No hace entonces falta enfatizar más en la importancia
del teorema de Jordan-Hölder.
Teorema 5.27 Si G tiene una serie compuesta (principal), y si N es un subgrupo normal propio de G, entonces existe una serie compuesta (principal) conteniendo a N .
Demostración: La serie {e} C N C G es una serie tanto subnormal como normal
de G. Como G tiene una serie compuesta {Hi }i∈{0,...,n} , entonces por el teorema
de Schreier (5.20), existe un refinamiento de {e} C N C G en una serie subnormal isomorfa al refinamiento de {Hi }i∈{0,...,n} . Pero como {Hi }i∈{0,...,n} es una
serie compuesta esta no se puede refinar más. Por lo tanto, la serie {e} C N C G
puede refinarse a una serie subnormal donde todos sus grupos factores son simples, esto es a una serie compuesta. Un argumento similar se tiene en el caso en
que {Hi }i∈{0,...,n} sea principal.
F
5.28 Ejemplo: Una serie compuesta (también principal) de Z4 × Z9 conteniendo al subgrupo < (0, 1) > es:
(0, 0) C< (0, 3) >C< (0, 1) >C< 2 > × < 1 >C< 1 > × < 1 >= Z4 × Z9
A continuación se define la solubilidad de un grupo. Se darán dos definiciones
de solubilidad: “solubilidad fuerte” usada por Fraleigh, y la “solubilidad clásica”
la cual llamaremos simplemente “solubilidad”.
5.29 Definición (Grupo soluble fuerte): Un grupo se dice soluble fuerte si tiene una serie compuesta {Hi }i∈{0,...,n} tal que todos los grupos factor
Cadena Central Ascendente
51
Hi+1 /Hi son abelianos.
Definición (Grupo soluble): Un grupo se dice soluble si tiene una serie
subnormal {Hi }i∈{0,...,n} tal que todos los grupos factor Hi+1 /Hi son abelianos.
5.30 Observación. Por el teorema de Jordan-Hölder (5.25), se tiene que para
un grupo soluble fuerte, toda serie compuesta {Hi }i∈{0,...,n} debe tener grupos
factor Hi+1 /Hi abelianos.
5.31 Ejemplos:
i) S3 es soluble fuerte, puesto que la serie compuesta {e} C A3 C S3 tiene
grupos factor A3 /{e} ' Z3 y S3 /A3 ' Z2 , los cuales son abelianos.
ii) S5 no es soluble fuerte, puesto que A5 es simple y la serie {e} C A5 C S5
es compuesta, pero A5 /{e} ' A5 no es abeliano.
5.3.
Cadena Central Ascendente
5.32 Recordemos que el centro de un grupo G es: Z(G) := {z ∈ G : zg =
gz, ∀g ∈ G}. Sabemos que Z(G) C G, entonces G/Z(G) es un grupo factor. Ahora, se podrı́a encontrar el centro del grupo factor G/Z(G), es decir,
Z(G/Z(G)). Como Z(G/Z(G)) C G/Z(G), entonces si ρG/Z(G) : G → G/Z(G)
es el homomorfismo canónico, ρ−1
G/Z(G) [Z(G/Z(G))] =: Z1 (G) es un subgrupo
normal G. Se puede entonces formar el grupo factor G/Z1 (G) y encontrar su
centro, y si ρG/Z1 (G) : G → G/Z1 (G) es el homomorfismo canónico, tomando
ρ−1
G/Z1 (G) de dicho centro obtener Z2 (G), y ası́ sucesivamente.
5.33 Definición (Cadena central ascendente): Sean:
Z0 := {e}
Zn+1 := ρ−1
n [Z(G/(Zn (G)))], donde ρn : G → G/Zn (G) es el homomorfismo canónico
La cadena {e} ≤ Z1 (G) ≤ Z2 (G) ≤ . . . es la cadena central ascendente.(Note
que Z1 (G) = Z(G))
5.34 Ejemplos:
i) Z(S3 ) = {id}, entonces la cadena central ascendente de S3 es: {id} ≤
{id} ≤ . . .
ii) Z(D4 ) = {id, (1 3)(2 4)}, entonces la cadena central ascendente de D4 es:
{id} ≤ {id, (1 3)(2 4)} ≤ D4
52
Capı́tulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos
5.4.
Ejercicios
1. Sea H C G y sea K = {a ∈ G : ax = xa, para todo x ∈ H}. Sea A el
grupo de automorfismos de H y sea I el grupo de automorfismos internos
de H. Para cada a ∈ G, sea ϕa el automorfismo de H tal que para todo
x ∈ H, ϕa (x) = axa−1 . Denote por ϕ : G → A la aplicación definida por:
a 7→ ϕa .
a)
Determinar Ker(ϕ).
b)
Probar que HK es un subgrupo normal de G.
c) Probar que existe un homomorfismo inyectivo de G/HK en A/I.
d ) Probar que HK/K ∼
= I.
2. Sean G1 y G2 dos grupos no isomorfos de centros Z(G1 ) y Z(G2 ) respectivamente. Pruebe que Z(G1 × G2 ) es isomorfo a Z(G1 ) × Z(G2 ).
3. Sea H un subgrupo de un grupo G. Sea Ω = {aH : a ∈ G} el conjunto de
cosets izquierdos de H en G. Defina la acción de G sobre Ω por traslación,
es decir, para cada g ∈ G y para cada aH ∈ Ω, g(aH) = (ga)H.
a)
Determine el subgrupo estabilizador GaH para el elemento fijo aH ∈
Ω.
b)
Sea ϕ la aplicación de G en el conjunto de permutaciones de Ω definida por: ∀g ∈ G, ∀a ∈ G, ϕ(g)(aH) = (ga)H. Entonces, (i) pruebe
que
\ ϕ es un homomorfismo de grupos; (ii) Pruebe que Ker(ϕ) =
aHa−1 .
a∈G
c) Sea N un subgrupo normal
propio de
\ de G tal que N es un subgrupo\
aHa−1
aHa−1 . Deduzca que el grupo
H. Pruebe que N ⊂
a∈G
es el subgrupo normal más grande de G contenido en H.
a∈G
Capı́tulo 6
Teoremas de Sylow y
Grupos libres
6.1.
Teoremas de Sylow
6.1 Teniendo ya completamente caracterizados los grupos abelianos, podemos
buscar un estudio más general de los no-abelianos. Sabiendo que el recı́proco
del teorema de Lagrange no es cierto, es natural preguntarnos de que orden
tiene subgrupos (normales o no) un grupo dado , y que relación hay entre ellos.
Nuestro objetivo inmediato es ver que por cada potencia de un primo que divida
el orden de un grupo dado, ese grupo tiene un subgrupo de orden esa potencia.
En toda esta sección p es primo.
6.2 Observación. Sea X un G-conjunto finito. Sea r es el número de órbitas
en X y XG := ∩g∈G Xg el conjunto de los elementos de órbitas unipuntuales. Si {xi }i∈{1,...,r} es un conjunto de representantes de las órbitas de X con
{xi }i∈{1,...,|XG |} = XG entonces:
|X| = |XG | +
r
X
|Gxi |
(6.1)
i=|XG |+1
Teorema 6.3 Si G es un grupo de orden pn y X un G-conjunto finito, |X| ≡
|XG |(mod p).
Demostración: Por el teorema 4.15, |Gx| | P
|G| = pn , luego |Gx| = pm , para
r
algún m ∈ {0, 1, . . . , n}. Ası́ en (6.1), p |
i=|XG |+1 |Gxi |, de donde |X| ≡
|XG |(mod p).
F
6.4 Definición (p-grupo, p-subgrupo): Sea p primo. Un grupo en el cual
todos los elementos tienen orden una potencia de p, es un p-grupo. Un subgrupo
que es un p-grupo, lo llamamos p-subgrupo.
54
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
Teorema 6.5 (Teorema de Cauchy) Si G es un grupo finito y p | |G|, entonces G tiene un elemento de orden p y por lo tanto, un subgrupo de orden
p.
Demostración: Sea X = {(g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ Gp | g1 g2 . . . gp = e}. Sean g1 , . . . , gp−1 ,
p − 1 elementos en G, ası́ (g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ X si y sólo si gp = (g1 . . . gp−1 )−1 ,
vemos entonces que |X| = |G|p−1 , luego p también divide |X|. Sea σ el ciclo
(1 2 . . . p) en Sp . Si (g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ X, gσ(1) gσ(2) . . . gσ(p) = g2 . . . gp g1 = e,
luego bajo la acción σ k ∗ (g1 , g2 , . . . , gp ) = gσk (1) gσk (2) . . . gσk (p) , X es un < σ >conjunto.
Ahora, | < σ > | = p y ası́ por el teorema 6.3, 0 ≡ |X| ≡ |X<σ> |(mod p), esto
es p | |X<σ> |. Pero como los elementos de X<σ> son de la forma (g, g, . . . , g),
y (e, e, . . . , e) ∈ X<σ> entonces |X<σ> | > 1 y ası́ existe a 6= e tal que ap = e.
| < a > | = ord(a) = p.
F
Corolario 6.6 Sea G un grupo finito. G es p-grupo si y sólo si |G| = pn para
algún n ∈ N.
Demostración: Suponga G p-grupo y pn q1r1 . . . qsrs una descomposición de |G|
en potencias de primos distintos. Suponga por contradicción que ri > 0 para
algún i ∈ {1, . . . , s}, por el teorema de Cauchy, existe b ∈ G tal que ord(b) = q i ,
lo cual contradice la hipótesis de G p-grupo. El converso es una consecuencia
inmediata del teorema de Lagrange.
F
6.7 Definición (Normalizador): Sea H ≤ G, el normalizador de H es el
subgrupo N [H] definido por:
N [H] := {g ∈ G| gHg −1 = H}
6.8 Observación: Es fácil ver que N [H] es el subgrupo de G más grande en
el cual H es normal.
Lema 6.9 Si H un p-subgrupo de un grupo finito G, entonces (N [H] : H) ≡
(G : H)(mod p).
Demostración: Considere (G/H) el conjunto de los coconjuntos izquierdos de
H en G. Bajo h ∗ gH = (hg)H, G/H es un H-conjunto. Sea gH ∈ (G/H)H ,
esto es (hg)H = gH para todo h ∈ H, ó g −1 hg ∈ H. Entonces gH ∈ (G/H)H
si y sólo si g ∈ N [H]. Luego |(G/H)H | = (N [H] : H). Ahora el orden de H,
por ser p-subgrupo, es una potencia de p, luego por el teorema 6.3 |(G/H)H | ≡
|(G/H)|(mod p), que es lo que querı́amos establecer.
F
Corolario 6.10 Si H es un p-subgrupo de un grupo finito G tal que p | (G : H),
entonces N [H] 6= H.
Demostración: 0 ≡ (G : H) ≡ (N [H] : H)(mod p), luego (N [H] : H) 6= 1, de
donde N [H] 6= H.
F
Teoremas de Sylow
55
Teorema 6.11 (Primer teorema de Sylow) Sea G un grupo tal que |G| =
pn m, donde n ≥ 1, p primo y p 6 | m. Tenemos que:
i) G contiene un subgrupo de orden pi , para cada i ∈ {1, . . . , n}.
ii) Todo subgrupo de G de orden pi es normal en un subgrupo de orden pi+1 ,
para i ∈ {1, . . . , n − 1}.
Demostración: Haremos inducción en i. Por el teorema de Cauchy, G contiene
un subgrupo de orden p. Ahora suponga que H es un subgrupo de orden pi−1 ,
con i ≤ n, ası́ como |G| = pn m, p | (G : H), entonces por el lema 6.9, p | (N [H] :
H) = |N [H]/H|. Luego N [H]/H contiene un subgrupo K de orden p. Considere
ρH la proyección canónica con dominio N [H], ası́ ρ−1
H [K] es subgrupo de G de
orden p.ord(H) = pi en el cual H es normal.
F
6.12 Definición (p-subgrupo de Sylow): Un p-subgrupo es de Sylow si es
máximal (i.e. Ningún otro p-subgrupo lo contiene).
6.13 Observación y nota. Por el teorema 6.11, todos los p-subgrupos de
Sylow de un grupo dado, tienen el mismo cardinal. Esta teorı́a fue desarrollada
por el noruego Ludvig Mejdell Sylow (1832-1918).
Teorema 6.14 (Segundo teorema de Sylow) Si P1 y P2 son dos p-subgrupos
de Sylow de un grupo finito G, entonces P1 y P2 son conjugados.
Demostración: Considere la acción de P2 sobre (G/P1 ) definida por y ∗ xP1 =
(yx)P1 . Ası́ por el teorema 6.3, |(G/P1 )P2 | ≡ |(G/P1 )|(mod p). Ahora por el
teorema 6.11, |G/P1 | = (G : P1 ) no es divisible por p, pues de lo contrario P1 no
seria máximal. Luego |(G/P1 )P2 | 6= 0. Si xP1 ∈ (G/P1 )P2 entonces yx ∈ P1 =
x P1 , ó x−1 yx ∈ P1 , para todo y ∈ P2 , luego x−1 P2 x ⊆ P1 . Pero |P2 | = |P1 |,
entonces x−1 P2 x = P1 .
F
Teorema 6.15 (Tercer teorema de Sylow) Si G es un grupo finito y p |
|G|, entonces el número de p-subgrupos de Sylow es congruente con 1 módulo p
y divide |G|.
Demostración: Sea P un p-subgrupo de Sylow y L el conjunto de p-subgrupos
de Sylow en G. Considere P actuando por conjugación sobre L. Ası́ |LP | ≡
|L|(mod p).
Ahora si T ∈ LP , entonces xT x−1 = T , para todo x ∈ P , ası́ P ≤ N [T ] (ver
observación 6.8). T ≤ N [T ], entonces T y P son p-subgrupos de Sylow, luego,
por el segundo teorema de Sylow, son conjugados en N [T ]. Pero T C N [T ],
entonces T = P . De donde, LP ={P }. Entonces 1 ≡ |LP | ≡ |L|(mod p).
Si ponemos a G actuar por conjugación, como todos los p-subgrupos de Sylow
son conjugados, bajo esta acción hay una única órbita en L. Para P ∈ L, su
estabilizador es N [P ], luego por el teorema 4.15 |L| = (G : N [P ]), (G : N [P ]) |
|G|, luego |L| | |G|.
F
56
6.2.
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
Aplicaciones de la teorı́a de Sylow
6.16 Ejemplo: Veamos que ningún grupo G de orden 15 = 3 · 5 es simple.
Por el primer teorema de Sylow, G tiene un 5-subgrupo, ¿cuantos más?, según
el tercer teorema de Sylow estos son, 1, 6 ó 11, pero de estas opciones la única
que divide 15 es 1. Luego G tiene un único 5-subgrupo, que es de Sylow. Su
conjugado también es otro 5-subgrupo de Sylow, pero como hay uno solo, este
es normal. Luego G no es simple.
Teorema 6.17 Todo grupo G con orden potencia de un primo p, es fuertemente
soluble.
Demostración: Si |G| = pn , G es un p-grupo y entonces por el primer teorema
de Sylow, tiene una serie normal con factores de orden p. Ası́ los factores son
abelianos y simples (¿por qué?). Luego la serie es compuesta y sus factores
abelianos, esto es G es fuertemente soluble.
F
6.18 Definición (Ecuación de clase): Sea X el G-conjunto donde G esta
actuando por conjugación sobre X = G. Si tomamos c = |Z(G)| = |XG | y
ni = |Gxi | como en (6.1), tenemos:
|G| = c + nc+1 + nc+2 + . . . + nr
que es lo que llamamos la ecuación de clase de G.
6.19 Observación a la definición 6.18. Como ni = (G : Gxi ) entonces por
el teorema de Lagrange ni | |G|. La ecuación de clase nos dice algo muy natural:
el cardinal de G es la suma de los cardinales de sus clases de conjugación.
6.20 Ejemplo: Las clases de conjugación de S3 son {ρ0 }, {ρ1 , ρ2 } y {µ1 , µ2 , µ3 }.
Su ecuación de clase es entonces |S3 | = 1 + 2 + 3.
Teorema 6.21 El centro de un p-grupo no trivial es no trivial.
P
Demostración: Sea G un p-grupo no trivial y |G| = c + i ni su ecuación de
clase. Como cada ni | |G| y |G| = pn para algún n ∈ N∗ entonces c ≡ 0(mod p).
Ahora, e ∈ Z(G) luego c ≥ p pues |Z(G)| ≥ 1 y p | c. Como p ≥ 2, Z(G) es no
trivial.
F
Lema 6.22 Sea G un grupo. Si G tiene dos subgrupos normales H y K tales
que H ∩ K = {e} y H ∨ K = G entonces G ' H × K.
Demostración: Defina φ : H × K → G por φ(h, k) = hk. Por el teorema 2.21
iu), φ((h, k)(h0 , k 0 )) = φ(hh0 , kk 0 ) = hh0 kk 0 = hkh0 k 0 = φ(h, k)φ(h0 , k 0 ). Ahora
suponga que hk = e, luego h = k −1 ∈ H ∩K, ası́ h = k = e, luego φ es inyectivo.
Y como HK = H ∨ K, φ es también sobreyectivo.
F
6.23 Observación. Dadas las hipótesis del lema anterior, decimos que G es
el producto interno de H y K. Aunque este concepto no lo usaremos mucho acá,
es válido observar que algo semejante se tiene en el álgebra lineal.
Grupos abelianos libres
57
Teorema 6.24 Sea p un primo. Todo grupo de orden p2 es abeliano.
Demostración: Sea G un grupo de orden p2 . Suponga que G no es cı́clico, ası́ todo
elemento de G excepto la identidad tiene orden p. Luego, si a ∈ G es distinto de
la identidad, < a > no es todo G, y si b ∈<
/ a >, < b > ∩ < a >= {e}. Por otro
lado por el primer teorema de Sylow, < a > y < b > son subgrupos normales
de G, además | < a > ∨ < b > | = p2 (¿Por qué?), entonces por el lema 6.22,
G '< a > × < b >. Luego G es abeliano.
F
Teorema 6.25 Si p y q son primos con p < q, entonces todo grupo de orden pq
tiene un único subgrupo de orden q. Mas aún el subgrupo de orden q es normal,
luego G no es simple y si q 6≡ 1(mod p), G es cı́clico.
Demostración: Por los teoremas de Sylow, G contiene un número n de qsubgrupos de Sylow que es congruente a 1 módulo q y que divide a pq. De
esto último n|p, pero p < q luego n = 1. Ası́ por el segundo teorema de Sylow,
si Q es el q-subgrupo de Sylow de G, Q C G.
De la misma forma, el número m de p-subgrupos de Sylow divide a q y es congruente a 1 módulo p. Ası́ m ∈ {1, q}. Entonces si q 6≡ 1(mod p), m = 1. Ası́ si
P es el p-subgrupo de Sylow de G, P C G, y Q ∩ P = {e}. Ası́ G ' P × Q '
Zp × Zq ' Zpq .
F
6.3.
Grupos abelianos libres
6.26 Imaginémonos que quisieramos sumar entidades sin ninguna relación
entre ellas, diga usted cuadrados y triángulos. Probablemente no querrı́amos
que la suma de un cuadrado, un triángulo, y otro cuadrado diera algo diferente a dos cuadrados y un triángulo. Estamos sumando triángulos y cuadrados
formalmente, y algo ası́ es lo que ahora consideraremos.
6.27 Definición (Grupo abeliano libre, base): Una terna (G, A, i) que
consta de un grupo abeliano G, un conjunto A y un función i : A → G, se llama
un grupo abeliano libre si para todo grupo abeliano H y toda función de
f : A → H, existe un único homomorfismo fe : G → H tal que (ver figura 6.1):
fe ◦ i = f
El conjunto A es la base de G.
PSfrag replacements
G
fe
H
i
f
A
Figura 6.1: Grupo abeliano libre
58
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
Teorema 6.28 Si (G, A, i) es un grupo abeliano libre, entonces:
i) i es inyectiva.
ii) G =< i[A] >
iii) si (G0 , A, j) es grupo abeliano libre, G ' G0
iu) (G, i[A], j) es grupo abeliano libre, donde j es la inclusión.
Demostración: Suponga que i no es inyectiva, y sean a, b ∈ A tales que i(a) =
i(b) pero a 6= b. Defina f : A → Z2 por f (a) = 0 y f (b) = 1, y sea fe : G → Z2
homomorfismo tal que fe ◦ i = f . Entonces f (a) = fe ◦ i(a) = fe ◦ i(b) = f (b).
Contradicción, i es inyectiva.
Suponga que G 6=< i[A] >, luego G/ < i[A] > es un grupo abeliano no trivial.
Ahora si define f : A → G/ < i[A] >, por f (a) = 0 para todo a ∈ A, el
homomorfismo trivial, 0̄, y la proyección canónica con kernel < i[A] >, ρ<i[A]>
son homomorfismos diferentes tales que 0̄ ◦ i = ρ<i[A]> ◦ i = f . Contradicción,
G =< i[A] >.
Ahora, considere ei : G → G0 y e
j : G0 → G tales que ei ◦ i = j y e
j ◦ j = i.
Entonces ei ◦ e
j ◦ j = j, por un lado, y por otro, idG0 , la identidad en G0 , es el
único homomorfismo tal que idG0 ◦ j = j, luego ei ◦ e
j = idG0 . De la misma forma
e
j ◦ ei = idG , luego G ' G0 .
Sean j : i[A] → G, la inclución, H un grupo abeliano y f : i[A] → H una función.
Considere g : A → H definida por g = f ◦ i, y fe : G → H homomorfismo tal
−1
e
que fe ◦ i = g. Ası́, como i es inyectiva, fe ◦ j = fe ◦ (i ◦ i −1
i[A] ) = g ◦ i i[A] = f . f
es el homomorfismo buscado.
F
6.29 Nota. En vista del teorema anterior, si (G, A, i) es grupo abeliano libre,
podemos considerar A ⊆ G e i como la inclusión. En este caso decimos que G
es un grupo abeliano libre sobre A.
Teorema 6.30 Sea G un grupo abeliano y A = {ai }i∈{1,...,n} subconjunto de
G. Las siguientes aserciones son equivalentes:
i) G es libre sobre A, con |A| < ∞.
ii) Todo elemento g en G se puede expresar de forma única como g =
con cada ni ∈ Z
P
iii) G =< A > y ni=1 ni ai = 0 si y sólo si cada ni = 0.
Pn
i=1
ni a i ,
Demostración:
ii) ⇒ i) : Sean j : A → G la inclusión y H grupo abeliano. Dada f : H → A
Pn
Pn
defina fe : G → H por f ( i=1 ni ai ) = i=1 ni f (ai ), ası́ fe ◦ j = f . De donde G
es abeliano libre sobre A.
i)
Pn⇒ iii) : en el teorema 6.28 ya vimos G =< A >. Ahora suponga que 0 =
i=1 ni ai , defina para k ∈ {1, . . . , n}, fk : A → Z por fk (x) = 0 si x 6= ak y
Teorema fundamental de los grupos abelianos
59
fk (ak ) = 1 y considere fek : G → Z tal que fek ◦ j = f , donde j : A → G es la
Pn
inclusión. Entonces 0 = fek (0) = i=1 ni fek (ai ) = nk .
iii) ⇒ ii) : Como G =<PA >, lo único
es la unicidad
Pnque hace falta demostrar
Pn
n
de la expresión. Si g = i=1 ni ai = i=1 mi ai entonces i=1 (ni − mi )ai = 0
y ası́ ni = mi para cada i ∈ {1, . . . , n}.
F
6.31 Ejemplo (existencia de grupos abelianos libres): Sea A un conjunto y defina G = ZA e i : A → G por i(a)(x) = 0 si x 6= a e i(a)(a) = 1.
< G, +, 0̄ > donde la suma es la usual entre funciones y 0̄ es la función que
envı́a todo al 0, es un grupo abeliano. Ahora P
si H es un grupo P
abeliano, dada f : A → H, defina fe : G → H por f ( a∈A na i(a)) =
a∈A na f (a),
e
ası́ f ◦ i = f . (G, A, i) es entonces grupo abeliano libre. Observe que si |A| < ∞,
y A = {ai }i∈{1,...,n} , bajo el isomorfismo que envı́a g ∈ G al elemento cuya
k-ésima entrada es g(ak ), G ' Z × Z × . . . × Z.
{z
}
|
|A|
Teorema 6.32 Sea (G, A, i) grupo abeliano libre. Si (G, B, j) es grupo abeliano
libre entonces |A| = |B|.
Demostración: ZB y ZA son equipotentes si y sólo si |A| = |B|. Teniendo en
mente lo que se acaba de decir en el ejemplo 6.31, el teorema se sigue entonces
del teorema 6.28 iii).
F
6.33 Definición (Rango): Sea (G, A, i) un grupo abeliano libre. Definimos
el rango de G como la cardinalidad de A.
6.34 Nota. En vista de lo último que se probó, de ahora en adelante cuando
hablamos de un grupo abeliano libre omitiremos la referencia a la base A y a
la función i, que por lo general la tomaremos como la inclusión. Para cualquier
lector en este momento ya debe ser claro lo similar que es un grupo abeliano
libre a un espacio vectorial.
Teorema 6.35 Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y sólo si tienen
mismo rango.
Demostración: Los mismos argumentos que se usaron para demostrar el teorema
6.32, sirven para este.
F
6.4.
Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados
6.36 Ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar el teorema 1.48,
lo que haremos en general es dado un grupo abeliano G finitamente generado,
factorizaremos un grupo abeliano libre hasta obtener G. Comencemos.
60
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
6.37 Definición (Subgrupo de torsión, grupo libre de torsión): Sea G
un grupo abeliano. El subgrupo de torsión de G, T , esta definido por:
T := {g ∈ G : ord(g) < +∞}
Decimos que G es libre de torsión si T es trivial.
6.38 Nota. Para un grupo cualquiera, se acostumbra decir que es de torsión
(o periódico) si todos sus elementos tienen orden finito, y libre de torsión (o
aperiódico) si todos sus elementos, menos la identidad, tienen orden infinito.
Lema 6.39 Si G es un grupo abeliano, T su subgrupo de torsión y T ⊥ =<
T c ∪ {0} >, G ' T × T ⊥ y ası́ G/T ' T ⊥ es libre de torsión.
Demostración: Como T C G, T ⊥ C G, T ∩ T ⊥ = {0} y T ∨ T ⊥ = G, por el
lema 6.22, G ' T × T ⊥ . Ahora si g ∈
/ T , ng ∈
/ T para todo n ∈ Z∗ , luego G/T
es libre de torsión.
F
Qn
Lema 6.40 Sea G un grupo abeliano de torsión. Entonces si |G| = i=1 pri i es
una descomposición en potencias de primos con pi < pi+1 para i ∈ {1, . . . , n−1},
G ' Tp1 × Tp2 × . . . × Tpn donde Tpi = {g ∈ G : ord(g) = pni , n ∈ N}.
Demostración: Es claro que los Tpi son subgrupos
de G, y que Tpi ∩ Tpj = {0},
Qn
si
si i 6= j. Ahora bien, si g ∈ G con ord(g) = i=1 psi i , tomando
Pnmi = ord(g)/pi ,
como (m1 , m
existen ki ∈ Z tales que 1 = i=1 ki mi , de esta
2 , . . . , mn ) = 1, P
P
n
n
k
(m
g)
=
forma g =
i
i=1 ki gi donde gi = mi g. De esta forma como
i=1 i
si
ord(gi ) = pi , gi ∈ Tpi y G = Tp1 + Tp2 + . . . + Tpn . Luego, por el lema 6.22,
G ' T p1 × T p2 × . . . × T pn .
F
Lema 6.41 Si G es un grupo abeliano libre sobre A = {ai }i∈{1,...,n} , i 6= j y
t ∈ Z, B = {a1 , . . . , ai−1 , ai + taj , ai+1 , . . . , an }, también es base para G.
Demostración: ai = (ai + taj ) − taj , luego < B >= G. Ahora si (n1 )a1 + . . . +
ni−1 ai−1 + ni (ai + taj ) + ni+1 ai+1 + . . . + nn an = 0, entonces como A es base,
nk = 0 si k 6= j y tni + nj = 0. De donde nj = 0 y por el teorema 6.30, B es
base para G.
F
Teorema 6.42 Sea G un grupo abeliano libre de rango finito n. Si K ≤ G, K es
también abeliano libre. Mas aún si K es de rango m, existen A = {a i }i∈{1,...,n}
base para G y {di }i∈{1,...,m} ⊆ N∗ , tales que di | di+1 y {di ai }i∈{1,...,m} es una
base para K.
Demostración:
Dada una base A = {ai }i∈{1,...,n} de G, y g ∈ G con g =
Pn
n
a
,
definimos
|g|A := mı́n{|ni | : i ∈ {1, . . . , n}, ni 6= 0}. Ahora si
i=1 i i
K ≤ G, definimos |K|A := mı́n{|k|A : k ∈ K \ {0}}.
Tome B1 = {bi,1 }i∈{1,...,n} base dePG tal que |K|B1 sea minimal, con k1 ∈ K
n
tal que |k1 |B1 = |K|B1 y k1 =
i=1 ni,1 bi,1 donde |n1,1 | = |K|B1 . Ahora
Teorema fundamental de los grupos abelianos
61
si ni,1 = qi,1 n1,1 + ri,1 , P
con 0 ≤ ri,1 < |n1,1 |, aplicando n − 1 veces el len
ma 6.41, A1 = {b1,1 + P
i=2 qi,1 bi,1 , b2,1 , . . . , bn,1 } es también base para G.
n
1
Entonces si aP
1 = b1,1 +
i=2 qi,1 bi,1 , ai,1 = bi,1 para i ≥ 2, y d1 = n1 ,
n
k1 = d1 a1 + i=2 ri,1 ai,1 donde ri,1 < |d1 |. Ası́ como d1 = |k1 |P
A1 , ri,1 = 0
n
y k1 = d1 a1 ∈ K. Observe además que si k ∈ K con k = m1 a1 i=2 mi ai,1 ,
entonces d1 | m1 (¿Por qué?)
Si < d1 a1 >= K terminamos, de lo contrario escoja B2 = {bi,2 }i∈{1,...,n} base
para G tal que |K|
PnB2 sea minimal entre las bases que contengan a1 . Puede suponer que k2 = i=2 ni,2 bi,2 es un elemento en el cual este mı́nimo se alcanza
y que lo alcanza en el coeficiente d2 del segundo elemento de la base (el primero es a1 ), pues podemos restar (o sumar) cuantas veces sea necesario d1 a1
a fin de volver
Pnnulo el coeficiente en a1 . Ası́ se define, semejante a lo anterior,
a2 = b2,2 + i=3 qi,2 bi,2 , donde qi,2 es el cociente de la división de ni,2 por
d2 , y ası́ k2 = d2 a2 . Entonces A2 = {a1 , a2 , b3,2 , . . . , bn,2 } es base para G. Pero
además si d2 = qd1 + r, donde 0 ≤ r < |d1 |, Y = {a1 + qa2 , a2 , b3,2 , . . . , bn,2 },
es también base para G en la cual k = d1 a1 + d2 a2 = d1 (a1 + qa2 ) + ra2 ∈ K.
Entonces si r 6= 0, |k|Y = r < |d1 | lo que llevarı́a a una contradicción con la
elección de B1 . Ası́ d1 | d2 .
Si < d1 a1 , d2 a2 >= K terminamos, de lo contrario continuamos ası́ sucesivamente. Mostrando una base para K queda de paso demostrado que es abeliano
libre por el teorema 6.30.
F
Lema 6.43 Si G es un grupo abeliano finitamente generado entonces:
G ' Z m1 × Z m2 × . . . × Z mn × Z × . . . × Z
con mi | mi+1 , para i ∈ {1, . . . , n − 1}.
Demostración: Suponga que G =< A > donde A = {ai }i∈{1,...,n} . Considere
un grupo abeliano libre (C, A, i) y tome φ : C → G el homomorfismo tal que
φ ◦ i = idA , donde idA es la inclusión de A en G. φ es sobreyectiva, luego por
el teorema fundamental del homomorfismo C/Ker(φ) ' G. Entonces por el
teorema 6.42, existe X = {xi }i∈{1,...,n} base para G con {mi }i∈{1,...,m} , tales
que mi | mi+1 y {mi xi }i∈{1,...,m} es una base de Ker(φ).
Ahora como C '< x1 > × . . . × < xn >, K '< d1 x1 > × . . . × < dm xm > y
< di xi >C< xi >, entonces C/Ker(φ) ' Zm1 × Zm2 × . . . × Zmm × Z × . . . × Z.
F
Si mi = 1 podemos obviar el factor Zmi , módulo isomorfismo.
6.44 Ahora sı́ probaremos el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados. La existencia de la descomposición es consecuencia inmediata de lo que ya hemos probado. Es frecuente en matemáticas que la unicidad
se deba a una trivialidad una vez probada la existencia, pero en este teorema no
es el caso, por intuitiva que sea. Teoremas que concluyan una clasificación tan
exhaustiva son una rareza en matemáticas en general y en la teorı́a de grupos
en particular.
62
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
Teorema 6.45 (Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados)
Si G es un grupo abeliano finitamente generado:
G ' Zpr11 × Zpr22 × . . . × Zprnn × Z × . . . × Z
|
{z
}
r
donde los pi , para i ∈ {1, . . . , n}, son primos tales que pi ≤ pi+1 , y los ri son
naturales no nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1 . Mas aún los pi , los ri y r
están unı́vocamente determinados. A r se le llama número de Betti de G.
Demostración: Sea G un grupo abeliano finitamente generado. El subgrupo de
torsión T de G es finito pues si T =< {x1 , x2 , . . . , xm } >, y Ti =< xi >, cada
Ti es finito y T = T1 + T2 + . . . + Tm . Ahora, por los lemas 6.39 y 6.40,
G ' T p1 × T p2 × . . . × T pn × T ⊥
(6.2)
Qn
donde |T | = i=1 psi i , con cada pi primo tal que pi < pi+1 , Tpi = {g ∈ G :
ord(g) = pni , n ∈ N}, y T ⊥ es libre de torsión.
Cada Tpi es de torsión, luego, como |Tpi | < +∞, por el lema 6.43,
Tpi ' Zpri 1 × Zpri 2 × . . . × Zprki
(6.3)
i
con ri ≤ ri+1 . Ahora como T ⊥ es libre de torsión, por el lema 6.43, si T ⊥ no es
trivial,
T⊥ ' Z × ... × Z
(6.4)
Luego T ⊥ es abeliano libre y por el teorema 6.35 el número de Zs en la productoria (6.4), es decir el número de Betti de G, esta unı́vocamente determinado
(si T ⊥ es trivial, r = 0).
Cuando probemos la unicidad de la descomposición en (6.3), habremos terminado la demostración. Defina para p primo, el pn -zócalo Tpi [pn ] de Tpi , por
Tpi [pn ] := {g ∈ Tpi : pn g = 0}. Ası́ Tpi [pn ] ≤ Tpi y cada elemento del pi -zócalo
tiene orden pi ó 1. Entonces por el lema 6.43, Tpi [pi ] ' Zpi × . . . × Zpi donde
el número de elementos en la productoria esta unı́vocamente determinado por
el orden del pi -zócalo. Entonces como (Zpri 1 × Zpri 2 × . . . × Zprk )[pi ] es isomorfo
i
al producto directo de ki Zpi s, el número de elementos de la productoria (6.3)
esta unı́vocamente determinado.
Ahora bien dado n ∈ N∗ , Tpi [pni ] ' Zpd1 , × . . . × Zpdk , con 0 ≤ di < ri y
i
i
n = qi ri + di . De donde,
Tpi /(Tpi [pni ]) ' Zpr1 −d1 × . . . × Zprk −dk
i
(6.5)
i
Ası́ el número de Zprj s en (6.3) para los cuales n ≡ 0(mod rj ) esta determinado
i
por el número de elementos en la productoria (6.5) que colapsaron en triviales,
dado por el número de elementos no triviales, que ya vimos que es propio de todo
grupo abeliano finitamente generado. De esta forma cada rj queda unı́vocamente
F
determinado cuando se recorre n por {1, . . . , logpi (ord(Tpi ))}.
Grupos libres y representaciones
63
6.46 Con un estudio más profundo de los grupos abelianos de torsión, de los
libres de torsión y de los abelianos libres, se puede exponer una demostración
mucho más corta del teorema fundamental de los grupos abelianos. Pero el
enfoque que se le da acá ilustra bien, en un primer (y se espera que no único)
acercamiento, el funcionamiento de los grupos abelianos finitamente generados.
6.5.
Grupos libres y representaciones
6.47 Definición (Grupo libre): Una terna (F, X, i), que consta de un grupo
F , un conjunto X y una función i : X → F , es un grupo libre si para todo
grupo G y toda función f : X → G, existe un único homomorfismo fe : F → G
tal que (ver figura 6.2):
fe ◦ i = f
PSfrag replacements
F
fe
G
i
f
X
Figura 6.2: Grupo libre
Teorema 6.48 Si (F, X, i) es un grupo libre, entonces:
i) i es inyectiva.
ii) si (F 0 , X, j) es grupo libre entonces F 0 ' F .
iii) (F, i[X], j) es grupo libre, donde j es la inclusión.
Demostración: Una demostración similar a la del teorema 6.28 verifica este. F
6.49 Observación. A diferencia del teorema 6.28, en el 6.48 no esta F =<
i[X] >, en el caso de los grupos libres esto no es tan evidente “à priori”. Por otro
lado, nada en la definición de grupo libre nos indica que existen. Con el siguiente
teorema se visualizan los grupos libres, y estos problemas quedan resueltos.
Teorema 6.50 Sea X un conjunto. Existe F grupo e i : X → F función, tales
que (F, X, i) sea grupo libre con F =< i[X] >.
Demostración: Considere otro conjunto equipotente a X, por ejemplo X −1 =
{x−1 : x ∈ X}. El sı́mbolo −1 no tiene ningún significado, es sólo para distinguirlo de los elementos de X. Por letra enteremos un elemento de X ∪X −1 y por
palabra entenderemos una sucesión finita de letras ó la palabra vacı́a que notaremos e (si en X está ese sı́mbolo se le puede poner otro a la palabra vacı́a). Ası́ si
64
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
w es una palabra tenemos w = xe11 xe22 . . . xenn , donde ei es o bien ningún sı́mbolo,
o bien el sı́mbolo −1. Sea W el conjunto de todas las palabras. Si w, v ∈ W ,
definimos wv como la palabra que se obtiene al concatenar w y v, esto es si
em
em
. Tamw = xe11 xe22 . . . xenn y v = y1e1 y2e2 . . . ym
, wv = xe11 xe22 . . . xenn y1e1 y2e2 . . . ym
−e2 −e1
−1
−1
−en
bién definimos w por w = xn . . . x2 x1 , donde −ei es −1 si ei no es
sı́mbolo y ningún sı́mbolo si ei es −1. Ahora, en W defina la relación ∼, donde
w ∼ v si de w puedo obtener v mediante las operaciones:
(a) agregar entre dos letras xx−1 ó x−1 x donde x es una letra.
(b) eliminar una ocurrencia de xx−1 ó x−1 x que suceda en la palabra.
Es claro que ∼ es una relación de equivalencia. Definimos F = W/ ∼ y [w] =
[w]∼ . F será nuestro grupo. Definimos la operación por [w][v] = [wv], y ası́ [e]
es la identidad y [w −1 ] = [w]−1 . También se puede verificar fácilmente que
[wv][u] = [w][uv], con lo cual se comprueba que F es un grupo. Y mas aún si
i : X → F es tal que i(x) = [x], vemos que F =< i[X] >.
Ahora bien si < G, ·, eG > es un grupo y f : X → G es una función, defina
φ : W → G por φ(xe11 xe22 . . . xenn ) = g1e1 · g2e2 · . . . · gnen donde gi = f (xi ) y
φ(e) = eG . Ası́ pues φ(xx− 1) = eG , luego podemos definir fe : F → G por
e e1 xe2 . . . xen ]) = g e1 · g e2 · . . . · g en y f([e])
e
f([x
= eG . Por construcción fe es
n
n
1 2
1
2
e
homomorfismo y f ◦ i = f . Por otro lado si g es otro homomorfismo tal que
g ◦ i = f , como g coincide con fe en i[X], y F =< i[X] >, fe = g. Luego (F, X, i)
es grupo libre.
F
Teorema 6.51 Sea (F, X, i) un grupo libre. Si (F, X 0 , j) es grupo libre, |X| =
|X 0 |
Demostración: Considere el conjunto V compuesto por los homomorfismo de
F en Z2 . V se puede ver canónicamente como un espacio vectorial sobre Z2 .
Dado ξ ∈ X, defina fξ : X → Z por fξ (x) = 0 si x 6= ξ y fξ (ξ) = 1 y sea
P
BX = {feξ }ξ∈X donde feξ ◦ i = fξ . Dado f ∈ V , f = ξ∈X f (ξ)feξ , y además si
P
φ = ξ∈X aξ feξ es tal que para todo x ∈ F , φ(x) = 0, entonces φ(ξ) = aξ = 0,
luego BX es una base de V . Una base similar BX 0 , se puede definir con X 0 .
F
Ası́ |BX | = |BX 0 |, pero |BX | = |X| y |BX 0 | = |X 0 |.
6.52 Definición (rango): Si (F, X, i) es un grupo libre a |X| lo llamamos
rango de F .
Teorema 6.53 Dos grupos libres son isomorfos si y sólo si tienen mismo rango.
Demostración: Es fácil ver que si dos grupos libres son isomorfos tienen mismo
rango (¿Por qué?). Ahora bien considere (F1 , X1 , i1 ) y (F2 , X2 , i2 ) dos grupos
libres tales que exista f : X1 → X2 biyección. Ası́ existen dos únicas f1 :
F1 → F2 , y f2 : F2 → F1 tales que f1 ◦ i1 = i2 ◦ f y f2 ◦ i2 = i1 ◦ f −1 .
Ası́ (f2 ◦ f1 ) ◦ i1 = f2 ◦ i2 ◦ f = i1 ◦ f −1 ◦ f = i1 , pero idF1 ◦ i1 = i1 luego
F
idF1 = f2 ◦ f1 . De forma similar idF2 = f1 ◦ f2 . Ası́ F1 ' F2 .
Grupos libres y representaciones
65
6.54 El gran interés que despierta los grupos libres esta resumido en el siguiente teorema.
Teorema 6.55 Sea G un grupo tal que G =< X > y (F, Y, i) un grupo libre.
Si f : Y → X es sobreyectiva, entonces existe un homomorfismo φ : F → G
sobreyectivo tal que φ ◦ i = f . En particular todo grupo es imagen de un grupo
libre.
Demostración: Viendo f con codominio G, existe un único homomorfismo φ :
F → G tal que φ ◦ i = f . Ahora bien G =< X >, luego φ es sobreyectiva, pues
(F, Y, i) es libre.
F
6.56 Observación. Dadas las condiciones del teorema anterior, G ' F/Ker(φ).
Ası́ todo grupo es de la forma F/K donde K C F . Para generar un grupo entonces consideremos un grupo libre (F, X, i), S ⊂ F , y R el mı́nimo subgrupo
normal de F que contiene < i[S] > (la clausura normal de S), nuestro grupo es
F/R que esta unı́vocamente determinado únicamente por X y S. En esto nos
concentramos ahora.
6.57 Definición (representación, relacionador): Sea < G, ·, 1 > un grupo. Un homomorfismo sobreyectivo π : F → G, donde (F, X, i) es grupo libre,
es una representación de G. A los elementos de Ker(π) los llamamos relacionadores. Si S ⊆ F es tal que su clausura normal es Ker(π) decimos que
(π, X, S) determina un conjunto generador y define los relacionadores para G,
que notamos:
G =< X|S >
6.58 Observaciónes a la definición 6.57.
i) Si X = {xg : e 6= g ∈ G}, (F, X, i) grupo libre, y π : F → G definida por
π(xg ) = g, π es la representación estándar de G.
ii) Ahora bajo el contexto de la definición 6.57, A = i[X] es un conjunto
generador de G, y π(s) = 1 para todo s ∈ S. Luego (6.57) también lo
notamos:
G =< A|s = 1, s ∈ S >
6.59 Ejemplos:
i) Una representación de Zn es < a|an = 1 >.
ii) Considere el D∞ =< x, y|x2 = 1, y 2 = 1 >, llamado diedral infinito. Si
a = xy, D∞ =< a, x >, y x−1 ax = yx = a−1 , luego otra representación
es < x, a|x2 = 1, x−1 ax = a−1 >, pues de x−1 ax = a−1 deducimos y 2 =
(x−1 a)2 = 1. Por otro lado x−1 = x, ax = xa−1 y a−1 x = xa−1 luego un
elemento tı́pico de G es de la forma xr as . donde r ∈ {0, 1} y s ∈ Z.
66
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
iii) Dos representaciones de Dn son < x, y|x2 = y 2 = (xy)n = 1 > y
< x, a|x2 = an = 1, x−1 ax = a−1 >. Se debe sentir porque esto es una
representación del grupo diedral, x representa una reflexión y a la primera rotación. Los otras rotaciones son am y las otras reflexiones xam . La
prueba formal requiere un poco más de trabajo.
6.60 El tema de grupos libres y representaciones es bastante más extenso. Por
ejemplo en 6.59 mostramos que un grupo puede tener varias representaciones,
eso lo llamamos representaciones isomorfas. También podemos preguntarnos si
dado S podemos determinar si un elemento de F es o no es un relacionador, en
un número finito de pasos.
6.6.
Ejercicios
1. Sea S un Sylow p-subgrupo de un grupo finito G. Pruebe que todo subgrupo de NG (S) de orden una potencia de p es un subgrupo de S. (Recuerde
que NG (S) es el normalizador de S en G, es decir, NG (S) = {g ∈ G :
gSg −1 = S})
2. Sea G un grupo de orden 12. Cuales son los valores posibles para los
números de 2-subgrupos y de 3-subgrupos de Sylow en G? Pruebe que
existen exactamente 5 estructuras de grupos diferentes de orden 12.
3. Sea G un grupo finito y p un primo que divide |G|. Pruebe que si H es un
p-subgrupo normal de G, entonces H esta contenido en todo p-subgrupo
de Sylow de G.
4. Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupo
de Sylow de G. Pruebe que N [N [P ]] = N [P ].
5. Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupo
de Sylow de G y sea H un p-subgrupo de G. Pruebe que existe g ∈ G tal
que gHg −1 ≤ P .
6. Pruebe que todo grupo de orden (35)3 tiene un subgrupo normal de orden
125.
7. Pruebe que no hay grupos simples de orden 255 = (3)(5)(17).
8. Pruebe que un grupo finito de orden pn contiene subgrupos normales Hi ,
para 0 ≤ i ≤ n, tales que |Hi | = pi y Hi < Hi+1 para 0 ≤ i < n. (Ayuda:
recuerde (o pruebe) que el centro de un p-grupo finito no trivial es no
trivial, y use este hecho).
9. Pruebe que todo elemento diferente a la identidad de un grupo libre es de
orden infinito.
10. Pruebe que si G y G0 son grupos abelianos libres, entonces G × G0 es
abeliano libre.
Ejercicios
67
11. Pruebe que Q bajo la adición no es un grupo abeliano libre. (Ayuda:
pruebe que ningún par de números racionales distintos n/m y r/s pueden
estar en un conjunto que cumpla con las condiciones de ser base.)
68
Capı́tulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres