Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes escalares y vectoriales
1. La densidad del mercurio es de 13.6 gr/cm3 . Expresa esta densidad en unidades del
sistema internacional (kg/m3 ). Recuerda que d = m/V . (densidad=masa/volumen)
2. Expresa las siguientes velocidades en el sistema internacional: a) 90 km/h; b) 80
millas/h; c) 5 nudos. (1 milla=1613 m, 1 nudo =1 milla náutica/hora, 1 milla
naútica = 1820 m)
3. Tenemos los puntos A = (−2, 3), B = (0, −6) y C = (4, −1). Calcula el vector
~ − BC
~ y su módulo. Calcula el ángulo que forma el vector CA
~ con el eje X.
AB
4. Con los vectores ~a = (2, 4) y ~b = (−3, 6), calcular: a) el vector suma, ~a + ~b, b) el
vector diferencia, ~a − ~b, c) Comprueba que |~a + ~b| ≤ |~a| + |~b|
5. Con los vectores del problema anterior halla las componentes polares de los vectores
~a + ~b y ~a − ~b.
6. Dos vectores tienen por módulos 3 y 4 y forman entre sı́ un ángulo de 90o . Calcula
el módulo del vector suma y el ángulo que este vector forma con el eje X.
7. Dos vectores tienen módulos iguales y de valor la unidad. Calcula qué ángulo han
de formar los dos vectores para que el vector suma tenga también módulo unidad.
8. Un velero navega a 8 nudos en dirección Sur-Norte. Sopla viento a 1 nudo en
dirección Oeste-Este. Calcula la velocidad resultante del velero. ¿Qué ángulo se
desvı́a de su trayectoria inicial?
9. Sean los vectores ~u = (1, 2, −3) y ~v = (2, −1, 0). Calcula el producto escalar
(~u + ~v ) · (~u − ~v )
Calcula el ángulo que forman ~u y ~v
10. Con los vectores ~u y ~v del problema anterior determina cual ha de ser el vector w
~
para que se cumpla
3~u − 2~v + 4w
~ =0
11. Calcula el producto vectorial ~a ∧ ~b, si ~a = (1, 0, −1) y ~b = (1, 1, 2). Comprobar que
~a ∧ ~b = −~b ∧ ~a
Soluciones
1. 13600 kg/m3
2. a) 25 m/s, b) 35,84 m/s, c) 2,528 m/s
~ − BC
~ = (−2, −14), ϕ = 261,87o
3. AB
√
√
√
4. a) (2, 4), b) (5, −2), c) 101 ≤ 20 + 45
√
√
5. |~a + ~b| = 101, ϕ = 95,71o ; |~a − ~b| = 29, ϕ = 338,19o
6. 5, ϕ = 36,86o , 53,13o
7. 120o
8. vR =
√
65 = 8,062 nudos, ϕ = 7,12o
9. (~u + ~v ) · (~u − ~v ) = 9, ϕ = 90o
¶
µ
1
9
10. w
~=
, −2,
4
4
11. ~a ∧ ~b = (1, −3, 1)
Fórmulas
|~v | =
p 2
vx + vy2 + vz2
vx = |~v | cos ϕ
Módulo de un vector
vy = |~v | sin ϕ
ϕ = tan−1
~a · ~b = |~a||~b| cos ϕ = ax bx + ay by + az bz
ϕ = cos
−1
µ
~a · ~b
|~a||~b|
¶
= cos
−1
µ
vy
vx
Producto escalar
a b +a b +a b
p 2 x 2x 2y yp 2 z z 2
ax + ay + az · bx + by + b2z
~a ∧ ~b = (ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx )
|~a ∧ ~b| = |~a||~b| sin ϕ
Ángulo de un vector
Módulo producto vectorial
2
¶
Ángulo ~a y ~b
Producto vectorial