Taller para PAA College Board - Centro Universitario Montejo
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Taller de familiarización para la Prueba de Aptitud Académica Actividades previas Agosto de 2012 Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México En el Tecnológico de Monterrey utilizamos la PAA, del College Board, como una herramienta en el proceso de admisión a los niveles de preparatoria y profesional, por lo que puede incluir algunos contenidos que no necesariamente se cubren en el programa de secundaria. Por tal razón, el puntaje de admisión requerido para ingresar a preparatoria es menor al establecido para una carrera profesional. La (PAA) evalúa el potencial académico del estudiante para proseguir estudios universitarios y está estructurada de la siguiente manera: Y cada sección incluye: Para propósitos de admisión sólo se consideran las secciones de razonamiento matemático (RM) y la de razonamiento verbal (RV), la de redacción indirecta se utiliza como evaluación diagnóstica. Los materiales y actividades del taller de familiarización fueron pensados para que tengas presente la información básica que te ayude a prepararte con mayor grado de confianza para tomar la PAA. Para posibilitar buenos resultados, te recomendamos: Adquirir un cuaderno de notas y material para escritura (lápiz, goma y sacapuntas entre otros que requieras) No necesitarás Ni deberás usar calculadora o formularios diferentes al que se usa para la sección de razonamiento matemático Taller A de Familiarización para la PAA 2 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Cada tema deberás leerlo con mucha atención e ir resolviendo los ejercicios propuestos en tu cuaderno de notas. Si durante las actividades de trabajo independiente te surge alguna duda, toma nota de ella para que durante el taller presencial se la plantees al profesor y puedas aclararla. La velocidad con que contestes los ejercicios y problemas de la PAA es importante, por lo que durante tu preparación, debes ir trabajando la rapidez con la que los resuelves. Es importante trabajar de manera equilibrada con las dos secciones, RM y RV del taller de familiarización Actividades: Lee cuidadosamente las recomendaciones del Departamento de éxito académico Revisa el contenido de razonamiento verbal Revisa el contenido de razonamiento matemático y resuelve los ejercicios propuestos Entra a la página Pruebatec (http://pruebatec.com) y previo registro, resuelve el primer examen de práctica (se resuelve en 3 horas aproximadamente). Imprime (o archivo electrónico) el Manual para el Taller A de Familiarización, versión agosto 2012. Es importante para el trabajo en el taller. Asiste puntualmente al taller con el manual que te entregaron en el Centro de Admisiones y el manual del taller (impreso o electrónico) Índice Recomendaciones Departamento de Éxito Académico 4 Razonamiento Verbal o Revisión de contenido 8 Razonamiento Matemático o Revisión de contenido 11 o Ejercicios 26 Taller A de Familiarización para la PAA 3 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Recomendaciones Departamento de Éxito Académico El Departamento de Éxito Académico del Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México, te recomienda los siguientes aspectos que debes cuidar como parte de tu preparación para la Prueba de Aptitud Académica (PAA) Administración del tiempo Implica reconocer el espacio de tiempo disponible y la administración del mismo de acuerdo al establecimiento de prioridades y tareas. Las cuales proporcionen herramientas necesarias en la preparación de la Prueba de Aptitud Académica. Organizar nuestro tiempo es sencillo, sobretodo, si logramos identificar nuestras prioridades. Así será más fácil cumplir con nuestras tareas y objetivos. Los siguientes puntos nos facilitan la identificación de prioridades y administración del tiempo. Una vez que definamos la actividad y la meta que deseamos alcanzar empezamos a trazar nuestros planes de trabajo y con ello la administración del tiempo. Pensemos en una pintura, la obra final es la meta. Antes, debemos identificar nuestras herramientas de trabajo: lienzo, pinturas, pinceles, etc. La inspiración llegará a su tiempo, y si lo sabemos emplear y administrar podremos dar inicio a nuestra obra. La creatividad es nuestro talento. Identifiquémoslo. Establece metas a corto y mediano plazo. Tómate 5 min diarios para planificar tu día y sentirte satisfecho de saber para dónde vas y de haber cumplido lo que te propusiste Establece prioridades: organizarte en la semana para prepararte emocional y académicamente para el examen. Prepararse emocionalmente implica que nuestras emociones sean congruentes con la actividad a realizar. Si me encuentro ansioso o nervioso, es mejor que me tome el tiempo necesario para estabilizarme, de lo contrario, será complicado poder concentrarme en la actividad. Es decir, mantener los niveles de estrés lo más equilibrados posible, lo opuesto, generaría que la probabilidad de bloqueo o baja concentración sea elevada. Comienza siempre por lo más importante (lo que te va a llevar a cumplir tus metas) Establecer prioridades. Comenzar por lo más importante, es decir: lo que mayor concentración requiere. Partiendo de ello, definir las demás actividades. Siempre hay tiempo para todo: los momentos que decidas dedicarle al estudio, asegúrate de tener todo a la mano, y hacerlo en un lugar limpio, iluminado y agradable para que tu esfuerzo sea eficiente y eficaz. Programa las horas de estudio en los momentos que más energía, motivación y disposición tengas (no con sueño, hambre o emociones negativas) y dosifícalos a lo largo de la semana. Programa durante la semana tiempos de esparcimiento y convivencia con tus seres queridos que te permitan relajarte. Taller A de Familiarización para la PAA 4 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Este punto es importante con respecto al equilibrio emocional, si logramos establecer también momentos de relajación y/o esparcimiento podremos desempeñar mejor nuestras demás actividades. Pues no debemos olvidar que somos sujetos integrales y que requerimos del equilibrio. Pide ayuda cuando la necesite. Identificar nuestros puntos de ayuda nos permite también desarrollar nuestras fortalezas o conocer áreas nuevas. Por lo tanto, es prioritario identificar dificultades. Planea tus actividades en una lista de pendientes. Organiza y coordina tus recursos en una agenda. Dirige todas tus acciones y decisiones hacia el logro de tus metas. Hazlo con determinación y equilibrio. No te presiones, más bien elije y coordina tus actividades. El aumento de estrés no eleva tu productividad, la bloquea. Tu creatividad y productividad aumentarán en medida en que tu motivación esté presente. Y ¿cómo mantienes la motivación? identificando tus metas y alcanzándolas. Preparación de exámenes Antes Administra tu tiempo Establece prioridades: estudiar, para ti, debe ser la más importante. Desarrolla las actividades establecidas en el taller de familiarización de principio a fin Practica con ejercicios similares y contra reloj. 24hrs antes ya no estudies, relájate, descansa y no te desveles. Piensa detenidamente en la satisfacción que te dará haber alcanzado tu meta, que estás a poco tiempo de lograrla. Y que mucho de ella dependen de tu concentración, tranquilidad y disponibilidad. Durante Lee las instrucciones cuidadosamente y síguelas al pie de la letra. De ser posible, relee las instrucciones. Establece prioridades: contesta primero las que te sepas y no te detengas en las que no conoces la respuesta. Si te queda tiempo de esa sección puedes regresar a revisar algunas preguntas. Administra tu tiempo: lee, entiende, responde, revisa y corrige. ¡No adivines! Taller A de Familiarización para la PAA 5 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Después Lo hecho… ¡hecho está!... Relájate y espera tus resultados. Si hiciste todo por salir bien, no tienes por qué temer!. Manejo de estrés El estrés es un indicador de nuestras emociones, por lo tanto, nosotros mismos tenemos la capacidad de regularlo y volver a puntos de equilibro. El estrés es una forma de hablar, escuchémoslo y démosle sentido. Démosle palabras. Es decir, si nos sentimos nerviosos hagamos un intento de reflexión, pensar por qué nos sentimos así y qué podemos hacer al respecto. Identificar aquello que podemos solucionar y también lo que no podemos. Una vez que hayamos identificado lo que nos preocupa o estresa, ubicarnos en tiempo, lugar y actividad. Es decir, estoy por realizar una prueba de la cual dependen metas que me he trazado, por lo tanto, este es mi momento y lo llevaré a cabo con confianza y concentración, separando en medida de lo posible lo que de momento no puedo solucionar y sólo me desconcentra de lo que sí estoy por llevar a cabo. Una vez que termine mi actividad tendré tiempo para revisar los demás aspectos que me preocupen. Todo a su tiempo. Asegúrate de haberte preparado con anterioridad El día anterior a la prueba realiza actividades que disfrutes Piensa en las razones que tienes para salir bien en este examen Recuerda tus metas y tu deseo de formar parte de la comunidad del Tecnológico de Monterrey Duérmete temprano y organízate para que te arregles, desayunes y llegues por lo menos 30 min antes de la hora Revisa que traigas los documentos y/o insumos que se te soliciten (si fuera el caso) Unos minutos antes del examen: respira profundamente, concentra todas tus energías en despejar tu mente y responder lo que se te pide, como se te solicita en las instrucciones Calcula tu tiempo Mientras estás contestando, no permitas que el miedo se apodere de ti, recuerda que te preparaste para esto y centra toda tu atención Confía en ti y en que puedes sacar esta prueba adelante Taller A de Familiarización para la PAA 6 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Las 10 cosas que debes tener en mente 1) Piensa en los motivos que tienes para ingresar al Tecnológico de Monterrey y ser parte de su comunidad estudiantil 2) Recuerda en todo momento la(s) meta(s) que te planteaste desde que decidiste ingresar al Tecnológico de Monterrey 3) Establece prioridades 4) Planea, organiza, dirige y controla todas tus actividades para cumplir tus objetivos 5) Respeta los tiempos de estudio que programaste 6) Practica mucho, analiza y relaciona 7) Lee, entiende y sigue instrucciones al pie de la letra durante la prueba 8) Concéntrate y domina los nervios 9) Revisa y si hay errores, corrige 10) Confía en ti mismo, siéntete seguro de tener todo y de estar preparado para presentar esta prueba En tu guía hay algunas recomendaciones que es importante leer como parte de tu familiarización para aplicar la PAA. Tienes una gran oportunidad en tus manos, aprovéchala y ¡mucho éxito! Si necesitas revisar algún punto de manera personal acude al Mezannine 1 del Centro Estudiantil con gusto podemos asesorarte Taller A de Familiarización para la PAA 7 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Razonamiento verbal Los ejercicios de razonamiento verbal de la PAA miden la capacidad para utilizar material verbal en la comprensión e interpretación de la lectura. Se examina la interpretación del significado de las palabras en contexto y el razonamiento analógico como parte de la ejercitación de la lectura. De acuerdo al College Board, la PAA, en su sección de Razonamiento Verbal, “es un instrumento eficaz para medir: Las destrezas y habilidades para el razonamiento inductivo y deductivo mediante el uso de material escrito. El uso correcto del lenguaje. El análisis de argumentos y la evaluación lógica de la lectura. La identificación de relaciones entre conceptos. La comprensión de la lectura y la riqueza del vocabulario. Las habilidades indicadas arriba se evalúan por medio de: Ejercicios de vocabulario en contexto. Ejercicios que requieren la lectura crítica de textos sencillos y de dos textos sobre un mismo tema para evaluar los siguientes aspectos: Comprensión del texto. Inferencias. Relacionar partes de un texto. Reconocimiento de las fortalezas o debilidades de argumentos. Destrezas evaluativas y analíticas de lectura. Antónimos Analogías verbales” Aspectos del Razonamiento Verbal con los que debes familiarizarte Los sinónimos Las palabras sinónimas son las que significan lo mismo, pero que se escriben diferente, por ejemplo: Ayudar-auxiliar Casa- vivienda Soltar- deponer Cráneo- calavera Los antónimos Son palabras que expresan ideas contrarias, por ejemplo: Blanco-negro Arriba- abajo Grande- pequeño Taller A de Familiarización para la PAA 8 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Analogías Es una relación que se repite. Según la RAE, analogía es una “relación de semejanza entre cosas distintas.” y un “razonamiento basado en la existencia de atributos semejantes en seres o cosas diferentes.” En la antigüedad los viejos utilizaban los dichos o refranes para aconsejar sobre un hecho. Éstos estaban basados en analogías. (Espíndola). Por ejemplo: “De tal palo tal astilla”, en donde la palabra “palo” se refiere a una figura mayor como un padre o abuelo y la “astilla” al descendiente. Esto significa que de la manera que sea el padre de esa manera será el hijo. Así la analogía quedaría como: “Palo es a astilla como padre es a hijo.” Existen diferentes tipos de analogías, según la relación que hay entre las palabras, algunas de ellas pueden ser: Causa – efecto. Ejemplo: alegría es a risa general – particular. Ejemplo: país es a estado Parte – todo. Ejemplo: rodilla es a cuerpo Aspectos importantes que se deben considerar para resolver los ejercicios de analogías: 1. Identifica el significado de las palabras. 2. Identifica la relación entre el par de palabras del enunciado. 3. Busca el par de palabras que tengan una relación similar. Ejemplos 1. Tía es a sobrina, como mamá es a hija. 2. Hojas son a árbol, como recámaras es a casa. 3. Mañana es a almuerzo como noche es a cena. 4. Azúcar es a dulce como limón es a agrio. 5. A es a D como uno es a cuatro. 6. Director es a escuela como papá es a familia. 7. Suegra es a nuera como suegro es a yerno. Relación: general : particular Relación: general : particular Relación: _________________ Relación: _________________ Relación: _________________ Relación: _________________ Relación: _________________ Completar oraciones Los ejercicios de completar oraciones prueban la habilidad para reconocer las relaciones entre las distintas partes de una oración. Se presenta la oración con una o dos palabras omitidas y se pide que la complete escogiendo la palabra o palabras adecuadas Ejemplo Los comentarios desagradables del orador al terminar la reunión _____________ las buenas intenciones de sus propósitos al dirigirse al grupo. A) Aumentaron B) Fortalecieron C) Opacaron D) Consumieron E) Forzaron Taller A de Familiarización para la PAA 9 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Sugerencias para resolver el ejercicio 1. Lee con atención el enunciado. “Un comentario desagradable” no puede tener un resultado positivo, de ahí que podemos eliminar las opciones A (aumentaron) y B (fortalecieron). 2. La opción D (consumieron) por significado no puede ser la correcta. 3. La letra E (forzaron) resulta una acción contradictoria. 4. De este modo la opción C (opacaron) expresa el efecto de los “comentarios desagradables” en las buenas intenciones. Lectura crítica El propósito principal de los ejercicios de lectura crítica es medir la habilidad para razonar sobre el contenido de la lectura, comprender el argumento o los argumentos de ésta, y reconocer las ideas, tanto explícitas como implícitas, que plantea. Hay tres tipos de ejercicios de lectura Vocabulario en contexto. Se evalúa la habilidad del estudiante para distinguir el significado de una palabra o frase a partir del sentido que tiene en el discurso. Comprensión del texto. Se mide la habilidad para entender la información más importante de la lectura. Se evalúa la comprensión de la información explícita que es esencial para entender los temas fundamentales del texto. Razonamiento extendido. Se mide la habilidad para analizar e inferir, así como la habilidad para la síntesis de la información y la comparación entre las partes de un texto. Sugerencias para contestar los ejercicios de lectura crítica 1. Lee cada lectura con cuidado y atención. Nota la actitud, el tono y el estilo en general. 2. Puedes subrayar un dato que sea importante, pero no pierdas mucho tiempo en esto o en hacer anotaciones marginales. 3. Si encuentras una lectura que te parece demasiado difícil podrías omitirla. 4. Contesta los ejercicios basándote en lo que la lectura afirma o implica. No conteste slos ejercicios con base a lo que opinas o conoces. Taller A de Familiarización para la PAA 10 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Razonamiento matemático Las dos secciones de la PAA de razonamiento matemático se evalúan mediante ejercicios donde el estudiante demuestra su habilidad para procesar, analizar y utilizar información en la solución de problemas de aritmética, álgebra, geometría, y estadística y probabilidad. Algunas de las habilidades son: • Aplicación inductiva y deductiva de conceptos y principios matemáticos en la solución de problemas matemáticos no rutinarios que requieren discernimiento e inventiva • Identificación de relaciones cuantitativas, algebraicas y geométricas • Identificación de diferentes representaciones matemáticas • Habilidad espacial o sentido espacial • Procesamiento de información para inferir, demostrar, probar, discriminar, concluir, contrastar, argumentar y evaluar. La PAA enfatiza el razonamiento matemático, más allá del uso mecánico de los conocimientos matemáticos. Es necesario tener la información, pero debes procesarla para inferir, demostrar, probar, discriminar, concluir, contrastar, argumentar y evaluar. Los ejercicios propuestos son una oportunidad para que pongas en práctica estrategias de solución de problemas que te ayuden a potenciar tus habilidades de razonamiento matemático, algunas de estas estrategias son: • Reconocimiento de patrones • Dibujo de figuras o diagramas • Elaboración de listas o tablas • Uso de ecuaciones o fórmulas • Tanteo y error • Solución de problemas más simples • Solución de problemas equivalentes • Reversibilidad de pensamiento (trabajar de atrás hacia adelante) • Uso de modelos • Identificación de submetas • Uso de simetrías • Uso de las propiedades de números y sus operaciones • Uso de coordenadas De acuerdo al College Board, “la Prueba de Razonamiento Matemático ha probado su efectividad para medir: La solución de problemas básicos de aritmética, álgebra y geometría. La aplicación inductiva y deductiva de principios básicos de aritmética, álgebra y geometría. La habilidad para resolver problemas de razonamiento y proporción usando principios matemáticos básicos. La solución de problemas cuantitativos verbales, de sistemas de ecuaciones e inecuaciones simples y problemas matemáticos no rutinarios que requieren discernimiento e inventiva. Taller A de Familiarización para la PAA 11 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Estas habilidades se evalúan con: Ejercicios de aritmética, álgebra elemental y geometría en los que el examinado debe aplicar su razonamiento. Ejercicios para evaluar e interpretar la información presentada en gráficas, tablas y diagramas. Ejercicios en los que el estudiante debe resolver problemas de la vida real mediante la aplicación del razonamiento matemático. Ejercicios en que el estudiante produce la respuesta y no selecciona entre opciones presentadas.” Contenidos matemáticos con los que debes estar familiarizado. No es una revisión exhaustiva. En caso de necesitar mayor respaldo de contenido, revisa tus libros de texto. Aritmética o o o o o o o o o o Números enteros y sus propiedades Cuadrado y raíz cuadrada Fracciones y números racionales La recta numérica Teoría de números (factores, múltiplos y números primos) Razones, proporciones y porcentajes Conjuntos (elementos, unión e intersección) Problemas de conteo Secuencias y series Solución de problemas Números enteros: . . . . ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …. Enteros consecutivos: Números enteros que están en secuencia, por ejemplo 22, 23, 24, 25. En general pueden estar representados como n, n + 1, n + 2, n + 3, …. Enteros impares: . . ., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, . . .En general se representan como 2k + 1, donde k es un número entero Enteros pares: . . ., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . .En general se representan como 2k, donde k es un entero o Suma: Par + par = par Impar + impar = par Par + impar = impar o Multiplicación: Par x par = par Impar x impar = impar Par x impar = par Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … Son los números que tienen dos divisores. Sólo se pueden dividir entre 1 y entre sí mismos Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Números de una sola cifra Factores y múltiplos. En una multiplicación, por ejemplo 3 x 4 = 12, se dice que 3 y 4 son factores de 12. También se dice que 12 es múltiplo de 3 y de 4 Cuadrados y raíz cuadrada. x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 - 9 - 10 - 11 - 12 x2 1 4 9 Taller A de Familiarización para la PAA 16 25 36 12 49 64 81 100 121 144 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 Es importante recordar que cuando calculamos raíces cuadradas, nos piden la solución positiva. Por ejemplo 9 3 ; 16 4 √ Pero cuando “hay que encontrar el número que elevado al cuadrado sea 16”: x 2 16 , entonces x tendrás dos soluciones: x 4 Números racionales (Q). Es el cociente de dos números enteros (fracciones), ejemplos: 2 , 0.25, 5 5 1 o Multiplicación de racionales Al realizar multiplicaciones para dar solución a problemas planteados es necesario ahorrar tiempo en la solución de las mismas por lo que debes utilizar las reglas de divisibilidad observa. Supón que necesitas realizar la siguiente operación. 14 5 9 1 630 3 7 2 3 126 Realizar la multiplicación llevaría mucho tiempo, posteriormente se tendría que encontrar la fracción simplificada: 630 315 105 35 5 126 63 21 7 El proceso alterno es, obtener divisores en el numerador y denominador hasta que no haya más divisores: o Recíproco. Un número es recíproco de otro, si al multiplicarse el resultado es uno. 1 1 5 es el recíproco 5, debido a que 5 1 5 5 5 o Cuadrado y raíz cuadrada de un número racional 2 32 9 3 2 2 4 2 16 16 4 25 25 5 Razón. Es el cociente de dos números enteros. Sirven para comparar dos cantidades. Por ejemplo si en grupo se dice que el número de niñas está en la razón 3:2 respecto a los niños, quiere decir que por cada tres niñas hay dos niños. Taller A de Familiarización para la PAA 13 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México También se puede representar como: 3 2 Proporción. Igualdad entre dos o más razones: a c se lee “a es ab como c es a d” b d También se puede representar como: a b c d O bien como: a : b :: c : d o Su propiedad básica es que: ad bc , que se utiliza cuando se conocen tres de sus elementos y nos piden encontrar el cuarto. Por tal motivo se le conoce como “regla de tres” Porcentaje: Significa centésimos o un número respecto a 100. Se puede plantear como una proporción: Total a comparar 100 Porción del total Porcentaje 25% es equivalente a 25 1 y también es equivalente a 0.25 y equivalente a 100 4 Porcentaje de incremento o decremento n% de incremento se calcula: n% de decremento se calcula: incremento n original 100 decremento n original 100 Velocidad promedio. Es la razón (cociente) del total de la distancia entre el tiempo total: distancia total tiempo total Secuencias. Son arreglos de números que siguen una o varias reglas específicas. o Secuencia aritmética. Es aquella en la cual, al tomar dos números consecutivos cualesquiera, la diferencia es constante, en general: an1 an d o Secuencia geométrica. Es aquella en la cual, al tomar dos números consecutivos cualesquiera, la razón es constante, en general: an1 an r o También existen secuencias donde a partir del primer término dado, y una regla específica, se determinan sus términos Conjuntos. Son colecciones bien definidas de objetos (de cualquier índole). Tienen una representación gráfica. Por ejemplo si tenemos dos conjuntos los podemos dibujar: Taller A de Familiarización para la PAA 14 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México o La intersección de los conjuntos ( A B ) está formado por los elementos comunes de ambos conjuntos o La unión de los conjuntos ( A B ) está formado por todos los elementos de ambos conjuntos o Cardinalidad de conjuntos. Es el número de elementos que tiene cada conjunto o alguna de sus operaciones. Particularmente para la unión de conjuntos: n A B n( A) n( B) n A B Valor posicional. Los números pueden representarse como la suma de centenas, decenas, unidades, décimos, centésimos, etc. 4325 = 4000 + 300 + 20 + 5 = 4x1000 + 3x100 + 2x10 + 5x1 = 4 103 3 102 2 101 5 100 A la última expresión se le conoce como notación desarrollada Notación científica. Es cuando se escribe un número como el producto de una potencia de diez por un número mayor o igual a uno y menor que diez. Por ejemplo: doscientos treinta millones se escribe: 230 000 000 Lo puedes escribir como: 2.3 × 10 000 000 Y finalmente, como: 2.3 108 A la última expresión se le conoce como notación científica Recta numérica. Observa que si x < 0, entonces x2> 0. Es decir, si x es un número negativo, entonces el cuadrado de x es un número positivo Con base en la recta numérica dibujada o x<y por ejemplo: - 2 < - ¼ o y2 > 0 por ejemplo: (- ¼)2 > 0 2 o z <z por ejemplo: (3/4)2 < 3/4 Taller A de Familiarización para la PAA 15 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. o o o o x2 > z z2 < w x+ z < 0 y–x>0 Campus Ciudad de México por ejemplo: por ejemplo: por ejemplo: por ejemplo: (- 2)2 > ¾ (3/4)2 < 2 -2+¾<0 - 1/4 – (- 2) = -1/4 + 2 = 7/4 > 0 Álgebra o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Factorización. Escribir una expresión, como producto de expresiones: o ab ac ab c o o o Uso de variables para expresar relaciones Representaciones algebraicas Operaciones con expresiones algebraicas Factorización Relaciones de equivalencia e igualdad Evaluación de expresiones algebraicas Ecuaciones de primer grado en una variable Desigualdades de primer grado en una variable Ecuaciones cuadráticas Patrones algebraicos Sucesiones Valor absoluto Ecuaciones racionales Exponentes enteros y racionales Ecuaciones con radicales Variación directa e inversa Funciones (notación, conceptos relacionados con dominio, campo de valores, evaluación de funciones, funciones como modelos, gráficas y sus transformaciones, función lineal y función cuadrática) Definición de nuevos símbolos basado en operaciones conocidas Solución de problemas x 2 y 2 x y x y x 2 2 xy y 2 x y x y x y 2 x 2 mx n x a x b Donde ab = n y a + b = m ax 2 bx c mx n px q o Leyes de exponentes. Para todos los valores de a, b, x, y: o o o o x1 x x a x b x a b x a b x ab xy a x a y a Para todos los valores de a, b, x > 0, y > 0: o xa x a b xb a o o x xa a y y 1 x a a x Taller A de Familiarización para la PAA 16 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México a o x b b xa Para cualquier número diferente de cero: o x 1 Variación directa. La variable y es directamente proporcional a la variable x si existe un número k diferente de cero tal que: y kx Variación inversa. La variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe un 0 número k diferente de cero tal que: y k o xy k x Valor absoluto. Está definido como la distancia desde un número x hasta el cero en la recta numérica. Se simboliza con: |x|. Para cualquier número real: x, si x 0 x x, si x 0 Propiedades del valor absoluto: o x a → x a o x a o x a → a x a o x a → x a o x a Funciones. Una función es una relación en la cual cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del rango. A menos que otra cosa se señale, el dominio de todas las funciones será el conjunto de los números reales para los cuales f (x) es un número real. Geometría o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Puntos y rectas Ángulos Propiedades de las paralelas y perpendiculares Triángulos (equilátero, isósceles, escaleno y rectángulo) Teorema de Pitágoras Triángulos especiales (Triángulos rectángulos: 30° - 60°; 45° - 45°, 3:4:5) Triángulos congruentes Triángulos semejantes Desigualdad del triángulo Cuadriláteros (Paralelogramos, rectángulos y cuadrados) Áreas y perímetros Otros polígonos (ángulos de un polígono, perímetro y área sombreada) Círculos (radio, diámetro, arcos, circunferencia y área) Figuras sólidas (volumen y superficie) Transformaciones geométricas Patrones geométricos Sentido espacial Geometría coordenada Pendiente (Paralelas y perpendiculares) Punto medio Distancia entre dos puntos NOTAS: La información dada en las figuras que acompañan los diferentes problemas son útiles para resolver el problema. Aunque las figuras se dan lo más exactas posibles no se puede asumir información que no se establece de manera específica. Taller A de Familiarización para la PAA 17 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. ̂ ̂ ̅̅̅̅ Figura inscrita Campus Ciudad de México Angulo con vértice en A Segmento de recta delimitado por los puntos A y B Figura dentro o contenida en otra Figura circunscrita Figura que contiene a otra Puntos colineales Puntos consecutivos sobre una misma trayectoria Arco de una circunferencia o Puntos y rectas Para resolver problemas que implican puntos y distancias sobre una curva es importante posicionarlos en un esquema. Por ejemplo: Tres puntos se encuentran sobre la misma línea recta m. Ángulos opuestos por el vértice. En dos rectas o segmentos que se cortan, los ángulo opuestos por el vértice son iguales x° = y°, a° = b° Propiedades de las rectas paralelas. Si dos rectas paralelas (L||M) son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales. c° = x° y d° = w° A partir de esta propiedad se pueden obtener otras, por ejemplo: c° + w° = 180° d° + x° = 180° c° = y° d° = z° a° = z° b° = y° Taller A de Familiarización para la PAA 18 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Relaciones entre ángulos. o En cualquier triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180° x° + y° + z° = 180° Ángulos externos. Un ángulo externo en el formado por la prolongación de un lado del triángulo y su lado adyacente. o Cuando se ha seleccionado un ángulo externo, entonces los ángulos internos son adyacente o no adyacentes: La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los internos no adyacentes a él: α = B + C o En todo triángulo equilátero, sus tres lados miden lo mismo y sus tres ángulos son iguales Taller A de Familiarización para la PAA 19 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México o En cualquier triángulo isósceles los ángulos opuestos a lados iguales son iguales entre si y viceversa o Desigualdad del triángulo. En cualquier triángulo al lado mayor se opone el ángulo mayor y al lado menor se opone el ángulo menor. o a<b<c ↔ x° < y° < z° Desigualdad del triángulo. En cualquier triángulo, la suma de dos de sus lados siempre es mayor al tercer lado. a + b > c, a + c > b, b + c > a Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa b2 c2 a 2 Taller A de Familiarización para la PAA 20 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. o Campus Ciudad de México Triángulo rectángulo de hipotenusa 2x. En los triángulos rectángulos cuyos ángulos internos son 30°, 60° y 90°.La proporción de sus lados siempre será: 1 : 3 : 2 Por lo que su representación general queda: o Triángulo rectángulo Isósceles de 45°. Sus lados mantienen la proporción 1 : 1 : 2 Observa la siguiente figura: o Triángulo rectángulo de lados 3x, 4x, 5x, siempre mantendrán la proporción 3:4:5 Suma de los ángulos internos de un polígono. El polígono se divide en triángulo Polígono regular. Aquél cuyos ángulos y lados son iguales Taller A de Familiarización para la PAA 21 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Dos polígonos son semejantes si y solo si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales <A = <F, <B = <G, <C = <H, <D = <I, <E = <J AB BC CD DE EA FG GH HI IJ JF Áreas y perímetros o Rectángulo o o P = 2l + 2w A=wl P 2 r A r2 P abc A Círculo Triángulo ba 2 Volumen o Sólido rectangular V l w h Taller A de Familiarización para la PAA 22 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. o Campus Ciudad de México Cilindro V r2 h Ángulos en el círculo El ángulo x es un ángulo central (su vértice es el centro del círculo) El ángulo y es un ángulo inscrito (su vértice está sobre la circunferencia) 1 y x 2 Rectas notables en un círculo. Geometría coordenada o La recta Pendiente: m cambio vertical cambio horizontal Ordenada al origen: (0, b) Raíz: (a, 0) Ecuación de la recta: y = mx + b Taller A de Familiarización para la PAA 23 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. o Campus Ciudad de México Función cuadrática Forma estándar de la ecuación: 2 y a x h k Vértice: (h, k) Forma factorizada de la ecuación: y ax r1 x r2 Raíces: (r1, 0) y (r2, 0) Forma desarrollada de la ecuación: y ax 2 bx c Ordenada al origen: (0,c) Si a < 0, la parábola abre hacia abajo Si a > 0, la parábola abre hacia arriba Información útil que aparece en el examen. En un círculo de radio , el área es igual a . La circunferencia es igual a . El número de grados en la curva total de la circunferencia es igual a 360. La medida en grados de un ángulo rectilíneo es 180. Triángulo: La suma de las medidas en grados de los ángulos de un triángulo es 180 Si el es un ángulo recto, entonces: (1) (2) El área del Definición de símbolos: ≤ es menor o igual a < es menor que ≥ es mayor o igual a > es mayor que m< medida del ángulo | | es paralelo a ≠ no es igual ┴ es perpendicular a 15° significa quince grados Nota: Las figuras que acompañan a los ejercicios de esta prueba pretenden proveer de información útil para resolverlos. Están dibujadas tan exactamente como ha sido posible, EXCEPTO cuando se dice en un problema específico que la figura no se dibujó a escala. Todas las figuras son planas a menos que se indique lo contrario. Todos los números que se usan son números reales. Taller A de Familiarización para la PAA 24 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Estadística y probabilidad o Interpretación de tablas y gráficas o Media aritmética o Mediana o Moda o Probabilidad de un evento simple o Probabilidad geométrica Medidas de tendencia central. Sirven para representar a un grupo de datos o Media aritmética o promedio. Se obtiene al dividir la suma de todos los datos y dividirlos entre el número de datos n __ x x1 x2 x3 ... xn n __ x x i 1 i n o Mediana. De una lista de datos, es el que se ubica en medio de dicha lista, cuando se ordenan de mayor a menor o de menor a mayor. o Moda. De una lista de datos, es el que se repite un mayor número de veces Probabilidad. Se refiere a la oportunidad que tiene de ocurrir un resultado específico. Cuando los resultados específicos tienen la misma oportunidad de ocurrir, la probabilidad se puede calcular con la fórmula: Probabilid ad de resultado p(a) o o o Número de veces que el resultado puede ocurrir Número total de los resultados posibles Si un resultado nunca podrá ocurrir, su probabilidad es cero. Si un resultado se tiene la certeza que ocurra, su probabilidad es uno Los valores específicos de la probabilidad serán mayores que cero, pero menores que uno. 0 p 1 La probabilidad puede ser expresada como razón, fracción o como decimal y en ocasiones como porcentaje. Al resolver los ejercicios de razonamiento matemático de la PAA. Siempre toma en cuenta ¿cuál es la pregunta? y ¿qué es lo que sabes? Contesta la pregunta que se hace en cada ejercicio Checa que la respuesta tenga sentido En los ejercicios de opción múltiple, no pierdas de vista las opciones, es posible que puedas eliminar algunas opciones y que a partir de un paso intermedio puedas ir directo a la solución Cuando sea conveniente, tacha las opciones que no pueden ser la respuesta y selecciona por eliminación Practica la solución mental de operaciones con números y algunas “trucos” para hallar la solución sin el proceso completo Traza las figuras y líneas que te ayuden a trabajar a lo largo del problema Marca la información importante en las gráficas y agrega la información pertinente a los dibujos y diagramas Señala los ejercicios que no resolviste, para volver a ellos si te sobra tiempo A veces, algunos problemas algebraicos se pueden resolver cuando se dan valores concretos a las variables En algunos problemas algebraicos, no es necesario hacer el despeje completo, bastará con transformar la expresión inicial Lee cuidadosamente los problemas Recuerda las reglas matemáticas importantes Taller A de Familiarización para la PAA 25 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México Si no te dan una figura, traza la figura y las líneas que ilustren el problema y checa que sea consistente con la información dada Revisa que la respuesta respete las condiciones dadas en el problema Cuando te enfrentes a un símbolo especial, lee cuidadosamente la definición En algunos problemas algebraicos puede ser de utilidad sustituir las variables por números, pero debes ser cuidadoso con dicha elección. Utiliza números con los que sea fácil trabajar. En algunos ejercicios se puede hallar la respuesta, sustituyendo cada una de las opciones y verificar cuál es la correcta. Debes ser cuidadoso y ordenado al usar el tanteo y error. Recuerda que por cada acierto ganas un punto, si no contestas algún ejercicio no recibes puntos y si contestas mal, sólo pierdes ¼ de punto. Ejercicios Aritmética 1) Determina todos los factores de 36 2) Establece la factorización, en factores primos, de 45 3) Escribe los criterios de divisibilidad de 2, 3 y 5 4) Determina el 20% de 40 5) ¿Qué porcentaje representa 25 de 60 6) ¿De qué valor, 12 es el 30%? 7) La semana pasada tenía $1200 de ahorro, esta semana tengo $1600. Determina el porcentaje en que se incrementaron mis ahorros 8) Una silla de $200 se está ofreciendo a $160, calcula el porcentaje en que el precio decreció 9) José viaja a una velocidad de 70 km por hora durante 2 horas y luego viaja a 60 km por hora durante cinco horas. Calcula la velocidad promedio para el periodo de siete horas del viaje 10) En la secuencia: 3, 7, 11, 15, 19… determina los siguientes tres términos y calcula su diferencia 11) En la secuencia: 64, 32, 16, 8,… determina los siguientes tres términos y calcula la razón 12) El primer número de una secuencia es tres. Si cada uno de los siguientes números se obtiene al restarle uno al doble del anterior, escribe los primeros cinco términos de la secuencia 13) Escribe los siguientes tres términos de la secuencia: 1, 5, 13, 29,... 14) En un grupo de 25 estudiantes a 15 les gustan las matemáticas y a 13 les gustan las artes. Todos los alumnos seleccionaron alguna o ambas de las dos preferencias. ¿A cuántos estudiantes les gustan ambas áreas de estudio? 15) Si al doble del mayor número entero negativo se le suma ocho, ¿qué número se obtiene? 16) Pedro tiene 40 chocolates para vender. Él vende 12 chocolates y luego su mamá vende la mitad de lo que le quedó. Qué fracción representan los chocolates que no vendieron, respecto al número de chocolates iniciales. 17) La expresión 5 2 1 representa ¿un número paro impar? 7 18) El precio de una camisa se incrementa el 20% y el precio de unos pantalones de $500 tiene un descuento del 25%. Con el incremento y el descuento ambos artículos tienen el mismo precio. Determina el precio original de la camisa. Taller A de Familiarización para la PAA 26 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. 19) Simplifica Campus Ciudad de México 1 4 9 10 2 3 5 6 20) Una profesora se dio cuenta que al dividir a sus alumnos en equipos de 3, le sobra 1. Al dividirlos en equipos de 4 también le sobra 1 y finalmente, si los divide en equipos de 5 también le sobra 1. Si el total de sus alumnos en un número menor que 100, ¿cuántos alumnos atiende la profesora? Respuesta a los ejercicios de práctica de Aritmética 2) 45 = 32 x 5 1) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 3) Entre 2: La última cifra es par. Por ejemplo 3132 Entre 3: La suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo 324 Entre 5: La última cifra es cero o cinco. Por ejemplo 3470 4) 8 5) 41.66% 6) 40 7) 33.33% 8) 20% 9) 62.85 km/h 10) 23, 27, 31, diferencia = 4 11) 4, 2, 1, razón = ½ 12) 3, 5, 9, 17, 33 13) 61, 125, 253 14) A 3 alumnos 15) 6 17) impar 18) 468.75 19) 2 20) 61 16) 2 5 Álgebra 1) Factoriza 10 x 25x 3 2) Factoriza 36a 25b 2 2 3) Factoriza 16t 40t 25 4) Factoriza e 5e 14 5) Factoriza 6 y 2 y 2 6) Simplifica x 3 y 2 2 7) Simplifica 2 a 3b 2 8) Simplifica a b 5 2 2 2 x y 2 5 7 t3 t5 9) La tabla muestra dos cantidades relacionadas de manera proporcional, determina la constante de proporcionalidad y anota los valores faltantes x 3 9 12 y 9 15 27 10) El bono de desempeño que mensualmente da la oficina de José se repartirá tomando en consideración el número de retardos. La tabla muestra la forma del reparto. Calcula la constante de proporcionalidad y completa la tabla Retardos 1 2 5 Bono 250 83.33 50 11) Determina los valores de x que cumplen con la igualdad 3x 5 7 12) Marca en la recta numérica los valores que cumplen con x 5 8 13) Determina, en la recta numérica los valores que cumplen con x 3 4 14) Determina los valores de x para los cuales la operación y x 2 es un número real 15) En un rectángulo, el largo es cinco unidades menor que el triple de su ancho. Determina el área del rectángulo en términos de su ancho Taller A de Familiarización para la PAA 27 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México 16) Un libro de matemáticas tuvo un incremento del 14% de incremento este año. Determina el precio actual del libro en términos del precio anterior 17) Si la operación a ∞ b = 2a b3 determina 5 ∞ (-1) 18) Determina el mayor número entero que cumple con 5x + 3 < 24 19) Si 2x 3 4 determina el valor de 2 x 5 5 20) El cociente de un polinomio entre x 3 es 2 x 1 con un resido igual a -2. Determina el polinomio en cuestión Respuestas a los ejercicios de práctica de Álgebra 1) 5x2 (2x – 5) 4) (e – 7) (e – 2) 7) 1 ab 7 6 10) k = 250, $125, retardos = 3 2) (6a + 5b) (6a - 5b) 3) (4t – 5)2 5) (2y – 1) (3y + 2) y3 6) x 8) t 9) k = 3, x = 5, y = 36 11) x = 4, x = - 2/3 12) - 13 < x < 3 13) 14) Números mayores o iguales a – 2 15) 3x 5 x 16) 1.14x 17) 9 18) 4 19) 28 20) 2 x 5x 5 2 2 Geometría 1). En la figura, L||M, determina la medida de todos los ángulos: Taller A de Familiarización para la PAA 28 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México 2) En la figura, L||M, calcula el valor de x y de y 3) Con base en los datos de la figura, determina el valor de a 4) Si consideras la información dada, determina el valor de a y b 5) En el triángulo rectángulo, determina el valor de x 6) Determina las medidas de los ángulos de un triángulo equilátero. Explica 7) Si el triángulo ABC es equilátero, calcula la medida del lado x 8) Dos de los lados de un triángulo miden 12 y 13 cm. Determina la mayor medida que puede tener el tercer lado, para decir que se forma un triángulo. Taller A de Familiarización para la PAA 29 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México 9) Calcula la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero 10) Determina la suma de los ángulos internos de un pentágono 11) Completa la tabla y determina una fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono con base a su número de lados n (lados) 3 4 5 6 7 8 S (suma) 180° 12) Calcula la medida de un ángulo interior de un hexágono regular 13) Calcula la longitud de la diagonal de la caja 14) El triángulo ABC es equilátero. Calcula la longitud del lado z Taller A de Familiarización para la PAA 30 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México 15) Los triángulos formados son semejantes, calcula el valor de x 16) En un rectángulo la altura es tres unidades menor que el doble de la base. Escribe una expresión algebraica que represente el área 17) Calcula el perímetro del triángulo 18) Un sólido rectangular tiene base cuadrada. Si el lado de la base es el doble de la altura y el volumen mide 250 centímetros cúbicos. Calcula las dimensiones de la caja 19) Determina la medida del ángulo a. Considera que o es el centro de la circunferencia 20) Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (-1, 5) 21) Calcula el área del triángulo formado por la recta y = 3x – 6 y los ejes coordenados 22) Determina la forma desarrollada de la ecuación de la función cuadrática, si a = - 2, y el vértice es (- 2, - 1) 23) Calcula el valor del coeficiente principal a, si las raíces de la función cuadrática son -2, 2 y la gráfica pasa por el punto (-1, -9) Respuestas a los ejercicios de práctica de Geometría 1) : d° = w° = z° = 93° ; b° = c° = x° = y° = 87° 2) x = 30 3) 55° 4) 85° 5) 20 6) 60° 7) 8 8) Menos de 25 cm 9) 360° 10) 540° 11) S = (n – 2) 180 12) 120° 13) 14 14) 10 15) 29.71 16) 2 x 2 3x 17) 48 Taller A de Familiarización para la PAA 31 ; y = 23 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México 18) base = 5, altura = 10 19) 90° 20) 21) 9 22) y 2 x 2 4 x 5 23) 3 2 3 Estadística y Probabilidad 1) El promedio de seis números es 12, calcula la suma de dichos números 2) Determina la mediana de los datos: 2, 3, 8, 9, 9, 5, 6, 7, 8, 4, 3 3) Indica cuál es la moda en el grupo de datos: 2, 3, 8, 9, 9, 5 , 6, 7, 8, 4, 3, 9, 6 4) Se lanzan dos dados y se suman las dos caras superiores, determina la probabilidad de que la suma sea cuatro. 5) La siguiente grafica muestra el número de aciertos de un examen por pregunta. Determina la media aritmética (promedio) de los aciertos de ésta prueba para las últimas tres preguntas. 6) Una familia compra 100 artículos de diferentes departamentos, como se muestra en la gráfica. Determina cuál es la mejor representación en los diagramas de pastel indicados para la compra de perfumería. a) b) c) d) e) 7) En un cajón hay 7 calcetines azules y 14 calcetas blancas, si se saca una al azar, determina la probabilidad de que sea blanca. Taller A de Familiarización para la PAA 32 Actividades previas Tecnológico de Monterrey. Campus Ciudad de México 8). En un grupo de cierta escuela hay 23 estudiantes. De los cuales 15 son hombres y 13 no usan anteojos. Si se elige uno al azar, determina la probabilidad de que sea hombre que no use anteojos 9) Una pareja desea tener tres hijos. Calcula la probabilidad de que dos de ellos sean hombres 10) En la figura, el lado del cuadrado grande mide 4 unidades. El lado del cuadrado pequeño mide 2 unidades. Si se elige al azar un punto del cuadrado mayor, calcula la probabilidad de que no pertenezca al cuadrado menor. 11) En una bolsa tiene canicas de dos colores. Las canicas rojas están en una relación de 4:6 respecto a las canicas verdes. Si se elige una canica al azar, calcula la probabilidad de que sea roja Respuestas a los ejercicios de práctica de Probabilidad y Estadística 1 12 1) 72 2) 6 3) 9 4) 5) 24.6 6) b 7) 2/3 = 0.66 8) 5/23 9) 3/8 10) ¾ 11) 2/5 Referencias. o Ayala Rodríguez, Andrés Rafael (et. al) Prueba de Aptitud Académica. Manual para el taller de familiarización profesional. México: Tecnológico de Monterrey, 2010. o College Board. Guía de estudio para presentar la Prueba de Aptitud Académica. 2007. o Espíndola Castro, José Luis. Comprensión y razonamiento verbales. México: Edere, 2001. o College Board. The official SAT study Guide. New York, 2009 o College Board. Guía de estudio para presentar la Prueba de Aptitud Académica. 2010. o Tecnológico de Monterrey. Prueba de Aptitud Académica. Manual para el Taller A de familiarización para la PAA. 2011. Pruebatec: http://pruebatec.com Taller A de Familiarización para la PAA 33 Actividades previas
