Funciones de transferencia

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – SISTEMAS DE PRIMER
ORDEN
Introducción
Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de
ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de
función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una
salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada
U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se
denomina función de transferencia g(s).
De modo que Y(s) = g(s)×U(s) .
Sistemas de primer orden
Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general
aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O
sea que se reducen al formato siguiente:
τ
dy
yk u
dt
donde k se denomina ganancia del proceso y  es la constante de tiempo del sistema.
En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables
“desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 ,
u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace
τsY s   y 0  Y s   kU s 
τsY s   Y s   kU s 
τs  1Y s   kU s 
Y s  
k
U s 
τs  1
Y s   g s U s 
k
g s  
τs  1
Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le
extrae el mismo caudal:
ILM
1
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Del balance de materia
d VC 
 vCin  vC
dt
Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal
dC v
v
 Cin  C
dt V
V
Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin . Por lo tanto
d C  Cs  v
v
 Cin  Cin s  C  Cs 
dt
V
V


V d C  Cs 
 C  Cs   Cin  Cin s
v
dt


Que es de la forma
τ
dy
yk u
dt
donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s
Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas
Seguimos manejándonos con el esquema
donde
g s  
k
 s 1
Escalón de magnitud U a tiempo t = 0
Sabemos que
U
LU  
s
Por lo tanto
ILM
Y s  
k U
sτs  1
2
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Tomando antitransformadas
 1 
L-1 
 1  e t τ

 sτs  1

O bien
yt   kU 1  et τ

yt 
 1  e t τ
kU

Que escrito en forma adimensional es

1
0.9
salida adimensional
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t/tau
3
3.5
4
4.5
5
Por ejemplo: consideremos un tanque de V = 5m3 con v = 1 m3/min, concentración en
estado estacionario 1.25 mol/m3. Considerar un cambio en la concentración de entrada
desde 1.25 mol/m3 a 1.75 mol/m3.
U = 0.5 mol/m3
U 0.5

s
s
1 0.5
Y s  
5s  1 s
U s  
 = 5 min
Por lo tanto la respuesta en el dominio del tiempo será


yt   0.5 1  et 5
Siendo y la variable reducida por lo que la concentración en el tanque será

C t   1.25  0.5 1  e
t 5

1.75
1.7
1.65
C (mol/m3)
1.6
1.55
1.5
1.45
1.4
1.35
1.3
1.25
0
5
10
15
20
25
t (min)
Ver „ejem7.1.sce‟ y „ejem7.1.cos‟ (este último en Scicos).
ILM
3
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Conociendo la respuesta de una función de primer orden a un escalón en la entrada se
pueden estimar los parámetros de la función de transferencia del proceso:
Estimación de la ganancia:
k
y t 
y

U t  U
k  lim Gs 
O bien
s 0
Estimación de la constante de tiempo:
Identificando el valor de tiempo en el cual la respuesta vale 0.632 del valor final:


yτ   k U 1  e1  0.632 k U
 
dy kU t τ

e
dt
τ
O bien evaluando
dy
kU

dt t 0
τ
en t = 0
Ejemplo: El operador de un proceso realiza un cambio en el caudal de entrada pasando
de 20 a 17.5 gal/min y encuentra que la presión cambia de 50 a 55 psig como se muestra
en la figura.
k
55  50 psig  2 psig gpm
Y

U 17.5  20gpm


yτ   k U 1  e1  0.632 k U
ILM
P  50  0.632  5  53.2 psig
τ  5min
4
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Impulso
LAδ  A
Y s  
k
U s 
τs  1
Y s  
k A
τs  1
 1 
L-1 
 e t τ

 τs  1
yt   k A e t τ
O en forma adimensional
1
0.8
salida adimensional
y t  t τ
e
kA
0.9
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
t/tau
Procesos autorregulados
Son aquellos en los cuales un cambio en las variables de entrada conduce a un nuevo
estado estacionario en forma automática. Por ejemplo los sistemas de primer orden.
Veamos un ejemplo: un RCAI con una reacción química de primer orden r = k C
Del balance de masa
d VC 
 vCin  vC  kVC
dt
dC
v
v

   k C  Cin
dt
V
V

v
En estado estacionario dC/dt = 0
Cin s
V
Cs 
v
k
V
Restando la ecuación de balance en estado estacionario
d C  Cs 
v
v

   k C  Cs   Cin  Cin s
dt
V
V


ILM

5
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS


 v 


 1  d C  Cs 
V  C C




C

C

v

s
in
in s
dt
 v k 
 k


V

V


Que es de la forma
con
τ

dy
yk u
dt


 1 
τ

v
 k
V

y  C  Cs
 v 


1
k V 
v
V
  k  1 k
v
V

u  Cin  Cin s
Véase „ejem7.2.sce‟.
Otro ejemplo: RCAI con reacción química de 2º orden r = k C2
d VC 
 vCin  vC  k2VC 2
dt
dC v
v
 Cin  C  k 2C 2
dt V
V
En estado estacionario dC/dt = 0
k 2Cs 
2
v
v
Cs  Cin s  0
V
V
2

Cs 
v
v
v
    4k 2  Cin s
V
V 
V 
2k 2
Si linealizamos la función
d C  Cs  f
C  Cs   f Cin  Cin s

dt
C s
Cin s

v







 d C  Cs 
1
V

 Cin  Cin s



C

C

v

s
dt
 v  2k C 
  2k 2 C s 

2 s 
V

V


Que también es de la forma
con
τ


dy
yk u
dt
v

 

 
1
V
τ

v
v
  2k 2Cs  1  2k 2Cs
V
V
 
y  C  Cs





v




1
V
k


v
V
  2k 2C s  1  2k 2C s
v
V

u  Cin  Cin s
Ver „ejem7.3.sce‟.
ILM
6
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Sistemas de primer orden más tiempo muerto
Muchas veces en los procesos industriales se introducen tiempos muertos;
particularmente en la industria química suelen asociarse al transporte de fluidos por
cañerías. Por ejemplo, en el siguiente esquema, si se produce un cambio en la
concentración de entrada Cin puede demorar un cierto tiempo  en que dicho cambio
llegue a la entrada del tanque.
La forma general de estos procesos será
τ
dy
 y  k u t  θ 
dt
Y en el ejemplo que estamos viendo será  = Vtubería / v por lo que
Cin t   Cin t  θ 
*
dC
v
v *
  C  Cin
dt
V
V
Del balance de masa en el tanque
dC
v
v
  C  Cin t  θ 
dt
V
V
Llamando u = Cin – Cin s , y = C – Cs ,  = V/v y tomando transformadas
τsY s   y 0  Y s   k e sU s 
τsY s   Y s   k e sU s 
τs  1Y s   k
e sU s 
k e s
U s 
τs  1
Y s   g s U s 
Y s  
g s  
k e s
τs  1
Si en un proceso de primer orden con tiempo muerto hay un cambio en escalón de
magnitud U a tiempo t = 0
U
LU  
s
k e s U
Y s  
τs  1 s
ILM
7
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Y s  
antitransformando
k U e s
sτs  1
1
yt   0
0.9
para 0  t  
0.8
0.7

para t  
0.6
y

yt   kU 1  et   τ
U = 0.5 a t = 0
k = 2 [unidades salida/entrada]
 = 5 min  = 5 min
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
t (min)
Procesos integradores
Veamos el siguiente ejemplo: sea un tanque de almacenamiento, con área transversal
100 ft2 , inicialmente está entrando y saliendo el caudal vin = vout = 5 ft3/min , h0 = 4 ft ,
H tanque = 10 ft . A la 1:00 pm el flujo de entrada se cambia a 6 ft3/min .
Del balance global de masa
dV
 vin  vout
dt
Y como el área transversal es constante
dh 1
1
 vin  vout
dt A
A
Restando la solución de estado estacionario
Si el flujo de salida es constante

d h  hs  1
 vin  vin s
dt
A

 


dy
k u
dt
Que es de la forma
si llamamos
d h  hs  1
1
 vin  vin s  vout  vout s
dt
A
A
y  h  hs
Tomando tranformadas
antitransformando
k1
u  vin  vin s
A
sY s   y 0  kU s 
k
Y s   U s 
s
u
Y s   k 2
s
y t   k u t
y 0  0
1
vin t
A
6  5 ft 3 / min t
h  4 ft 
100 ft 2
h  hs 
ILM
8
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Resolviendo por ejemplo para h = 10 ft
10
9
h (ft)
100 ft 2
t  10 ft  4 ft 
 600 min  10hr
6  5 ft 2 / min
8
7
6
5
4
0
100
200
300
tiempo (min)
400
500
600
Procesos caracterizados por más de una variable
Cuando un proceso está caracterizado por más de una variable de estado, la(s) salida(s)
puede(n) estar dada(s) por varias funciones de transferencia. Consideremos por ejemplo
un tanque agitado calentado eléctricamente, a caudal constante.
dT
 wC Tin  T   Q
dt
Si el proceso estaba inicialmente en estado estacionario
Del balance de energía
Entonces
VC
VC
0  wC Tin,s  Ts   Qs
dT
 wC Tin  Tin, s   T  Ts  Q  Qs 
dt
V d T  Ts 
1
Q  Qs 
 Tin  Tin,s   T  Ts  
w
dt
wC
O escribiendo en variables desviación
V dT 
1

 Tin  T  
Q
w dt
wC
El término V/w tiene unidades de tiempo y puede llamarse  , la constante de tiempo
del sistema.
A su vez 1/wC puede denominarse K, la ganancia del sistema, pues relaciona la variable
de entrada con la de salida en estado estacionario:
 1 
T   Tin 
Q
en e.e.
wC
ILM
9
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
O sea que escribimos

dT 

 Tin  T   K Q
dt
Tomando transformadas y como T’(0)=0
 dT  

 L
 L Tin  T   KQ




 dt 
 s Ts   Tin s   Ts   KQs 
 K 


Qs    1 Tin s 
Ts   
 s 1
 s 1




Ts   G1 s Qs   G 2 s Tin s 
Para concretar más el ejemplo, supongamos que el tanque agitado es de 1.60 ft3, opera
con un flujo de 200 lb/min de un líquido con C = 0.32 Btu/lbºF y  = 62.4 lb/ft3. Se ha
alcanzado el estado estacionario con un flujo de calor de 1920 Btu/min y una
temperatura de entrada de 70ºF. Calcular la respuesta de un sistema frente a un cambio
súbito de la temperatura de entrada a 90ºF.
Como el Q se mantiene constante sólo debemos ocuparnos de hallar la G2(s) ,
relacionada con Tin
V 1.60 ft 3  62.4 lb ft 3


 0.5 min
w
200 lb min
Entonces
1
G2 s  
0.5s  1
Debemos escribir las ecuaciones en variables desviación. Para ello calculamos la
temperatura de estado estacionario:
Ts  Tin, s 
Qs
1920 Btu min
 70º F 
 100º F
ws C
200 lb min  0.32 Btu lb.º F
la señal de entrada en forma de escalón es:
Multiplicándola por la G2
Ts  
Antitransformando

90  70 20

Tin s  

s
s
1 20
0.5s  1 s
T t   20 1  e2t

Y escribiéndolo en variables reales
ILM
10
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

T t   100  20 1  e2t

120
118
116
114
T (ºF)
112
110
108
106
104
102
100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t (min)
3
3.5
4
4.5
5
Considérese ahora que al mismo tiempo que la temperatura de entrada aumenta a 90ºF
el flujo de calor es cambiado a 1600 Btu/min
Ambos cambios en las señales de entrada contribuyen al cambio en la señal de salida.
Esto se esquematiza con el siguiente diagrama de bloques:
90  70 20

Tin s  

s
s
Ahora
1600  1920
320
Q s  

s
s
 K  320   1  20 
 

Ts   

  s  1  s    s  1  s 




  0.5 min
K
1
ºF
 1.56 10 2
200 lb min  0.32 Btu lb.º F
Btu min
115
5
20
15
Ts  


s0.5s  1 s0.5s  1 s0.5s  1
T (ºF)
110

T t   100  15 1  e2t

105
100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t (min)
3
3.5
4
4.5
5
Ver „ejem7.2.cos‟.
ILM
11
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Procesos en serie
La función de transferencia de procesos en serie resulta de multiplicar las funciones de
transferencia correspondientes a cada proceso por separado.
Consideremos por ejemplo dos tanques en serie (sistema linealizado)
Del balance de materia para el primer tanque
A1
dh1
 qin  q1
dt
Suponiendo que el caudal de salida es lineal con la altura
q1 
Por lo que sustituyendo en la anterior
A1
En variables desviación
Tomando transformadas

dh1


A1
 qin  q1
dt
 1 
q1  h1
R1
1
h1
R1
dh1
1
 qin  h1
dt
R1
H1 s 
R1
K1


Qin s  A1 R1s  1  1s  1
Q1 s  1
1


H1 s  R1 K1
Del mismo modo para el segundo tanque

dh2


 q1  q2
dt
 1 
q2 
h2
R2
A2
H 2 s 
R2
K2


Q1 s  A2 R2 s  1  2 s  1
Q 2 s  1
1


H 2 s  R2 K 2
Podemos relacionar todas estas funciones de transferencia
ILM
12
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Q 2 s  Q 2 s  H 2 s  Q1 s  H1 s 

Q in s  H 2 s  Q1 s  H1 s  Q in s 

1
K2
1
K1

 
K 2  2 s  1 K1  1 s  1
Q 2 s 
1

Q in s   1s  1 2 s  1
Puede verse claramente que la función de transferencia total es el producto de la función
de transferencia del primer proceso ( 1/(1s+1) ) y de la del segundo ( 1/(2s+1) ) .
La representación en un diagrama de bloques sería
ILM
13