Predicción del calentamiento de suelos afectados por un frente de

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones
XI Congreso de Matemática Aplicada
Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009
(pp. 1–??)
Predicción del calentamiento de suelos afectados por un
frente de incendio forestal
J. Durany1 , B. Fraga1 , F. Varas1
1
Dpto. Matemática Aplicada II, Universidad de Vigo, E.T.S.I. Telecomunicación, Campus Marcosende,
E-36310 Vigo. E-mails: [email protected], [email protected], [email protected].
Palabras clave:
Medio poroso, Temperatura, Transporte, Elementos finitos, Simulación numérica
Resumen
Las perturbaciones edáficas y sus secuelas hidrológico-erosivas son uno de los impactos medioambientales más negativos de los incendios forestales. Este trabajo tiene
como objetivo proporcionar una herramienta para caracterizar con precisión el daño
producido en las capas superficiales del suelo como consecuencia del paso de un frente de calor, modelizando el comportamiento en profundidad de la temperatura. Para
ello, es necesario acoplar modelos de transporte de energı́a y materia (agua y vapor)
en un medio poroso y establecer las condiciones de contorno apropiadas para estos
fenómenos. El resultado es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales fuertemente no lineal, que es discretizado mediante el método de elementos finitos y se resuelve
utilizando el código multifı́sica COM SOLT M . Las simulaciones numéricas permitirán
comparar soluciones de estos modelos con medidas experimentales, de modo que se
pueda validar el modelo fı́sico y numérico asociado.
1.
Introducción
La mortalidad y los graves daños en la vegetación superficial son los efectos más llamativos de un incendio forestal, pero no menos importantes son los daños sobre el sistema
edáfico. Entre estos efectos nocivos sobre el suelo se pueden destacar:
alteraciones de la estructura y las propiedades del suelo: termólisis de la materia
orgánica, oxidación y volatilización de los componentes minerales libres, disminución
y redistribución del contenido en agua.
muerte o daño de gran parte de los organismos que habitan en el medio edáfico:
macro, micro y mesofauna, hongos (micorrizas), bacterias, bulbos y semillas entre
ellos,
1
J. Durany, B. Fraga, F. Varas
cambios fı́sico-quı́micos extremos (en condiciones de temperaturas muy altas): fusión
de componentes de la fase sólida.
Aparte de la pérdida de riqueza biológica del medio edáfico, el deterioro del mismo
condiciona enormemente la capacidad de regeneración futura de todo el ecosistema y las
actividades productivas a él asociadas, pues es en el suelo donde se completa el ciclo
biológico con la acción de los organismos descomponedores, y donde se encuentran las
estructuras latentes que constituyen una auténtica reserva de vida para el medio: semillas,
bulbos, micelios, entre otros.
En buena medida, la magnitud de estos daños dependerá de las temperaturas máximas
alcanzadas en el perfil del suelo durante el fuego. Conociendo la evolución temporal y en
profundidad de la temperatura, podrá inferirse la mortalidad entre los organismos que
habitan el suelo y el grado de alteración de su estructura.
El modelado de esta respuesta térmica no resulta sencillo al ser el suelo un medio
poroso en el cual conviven diferentes materiales en distintas fases de agregación. En este
trabajo se plantea la presencia de una matriz sólida formada por materia orgánica y
mineral y un espacio poroso ocupado por una fase lı́quida (agua) y aire. Se han considerado
separadamente los flujos de agua y vapor (en lugar de plantear una variable única de
”humedad”), por ser diferentes sus propiedades térmicas (conductividad y calor latente).
Se considera la transmisión de calor por conducción dentro de la matriz y el espacio poroso,
ası́ como el transporte de calor latente debido a los flujos de vapor.
Debido a los flujos de calor no uniformemente distribuidos a lo largo del suelo y a
las diferencias en el potencial hidráulico, habrá variaciones en la distribución de las fases
lı́quida y gaseosa. La conductividad térmica en el suelo es muy sensible al contenido en agua
lı́quida, debido a la menor movilidad y a la mayor conductividad de la misma en relación
a la del aire de los poros (ver [5], [6], entre otros). Cuando los rangos de temperatura
están próximos al punto de ebullición, el transporte convectivo está dominado por los
movimientos de vapor de agua (ver [1], por ejemplo), debido al elevado calor latente de
vaporización del agua y a la facilidad con la que el vapor puede moverse a través de los
poros.
El modelo que se presenta aquı́ parte de los trabajos realizados por de Vries, Aston y
Gill y Campbell (ver [6], [1], [5], respectivamente, y las referencias que contienen). Estos
artı́culos son referencias principales en la temática, pero ya han pasado muchos años desde
su publicación. Por ello, estos modelos se han revisado y se han incorporado aportaciones
de trabajos más recientes que tratan el estudio de los flujos de calor en el suelo, aunque
no se centren en la casuı́stica concreta de los incendios forestales (ver [2], [3] o [7]). Entre
estas novedades (con respecto a las tres referencias clásicas mencionadas arriba), podemos destacar tres. La primera se refiere al movimiento del agua en un medio insaturado
siguiendo la ecuación de Richards y el modelo de Van Genuchten [10]. También se ha
incorporado el concepto de equilibrio quı́mico en el fenómeno de evaporación, considerando conjuntamente los flujos de agua lı́quida y gaseosa en una sola ecuación de masa.
Por último, el presente modelo incorpora la metodologı́a de Campbell [4] para el cálculo
de la conductividad térmica teniendo en cuenta las caracterı́sticas morfológicas del suelo,
aunque este aspecto ya fue utilizado por el propio Campbell en [5].
El modelo resultante es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales,
que se ha discretizado mediante el método de elementos finitos y se ha resuelto empleando
el código informático COM SOLT M .
2
Calentamiento de suelos por incendios forestales
Se han contrastado los datos de estas simulaciones con mediciones experimentales
realizadas en el Centro de Investigacións Forestais de Lourizán (Pontevedra, España), para
lo cual se ajustaron parámetros conforme a mediciones empı́ricas. Factores que influyen
en la determinación de la conductividad térmica o en la definición de las propiedades
hidráulicas son muy difı́ciles de determinar, por lo que se utilizaron ejemplos para suelos
con condiciones muy similares presentes en la bibliografı́a especı́fica ([4], [10], [11]).
2.
Modelo fı́sico
Predecir la magnitud de los efectos nocivos sobre un suelo que se ha visto sometido
a un incendio forestal, requiere conocer la evolución de las temperaturas a lo largo del
tiempo a diferentes profundidades. Para ello, se establece una geometrı́a unidimensional
en la variable z, profundidad, que toma valores en un intervalo próximo a la superficie del
suelo en contacto con la fuente de calor. Es decir, z ∈ Ω, donde Ω = [0, 100] en unidades de
cm (ver Figura 1). El modelo basado en las ecuaciones de transferencia del calor incorpora
los flujos de agua lı́quida y vapor acoplados. Las razones son las siguientes:
El suelo es un medio poroso donde la humedad se va a mover y cambiar de fase
lı́quida a vapor, especialmente a las altas temperaturas que se están considerando.
Dicho cambio de fase consume energı́a.
El agua presenta un elevado calor de vaporización y una relativa facilidad de movimiento a través del sistema de poros del suelo. Por lo tanto, el transporte de materia
implicará también un transporte de energı́a latente.
El agua lı́quida presenta una conductividad térmica diferente a la del aire (más o
menos saturado) o a la de la fase mineral. Es necesario incorporar una ecuación
que considere una conductividad global en función del contenido volumétrico de las
distintas fases.
Los modelos de transporte de agua y vapor tampoco serán sencillos, al presentar importantes no linealidades. Las propiedades del transporte de agua dependen del nivel de
saturación. El agua se moverá con más dificultad al disminuir su concentración en los poros. Igualmente, la concentración de vapor en el poro dependerá a su vez de la temperatura
y de la presencia de agua lı́quida. Se trata, por tanto, de un modelo acoplado fuertemente
no lineal.
Se plantean como incógnitas del problema la temperatura T (z, t), en grados Kelvin (K),
la concentración de agua θl (z, t), en tanto por uno, y la tasa de evaporización Sv (z, t), en gs ,
donde t representa el tiempo, que son solución del siguiente modelo acoplado de ecuaciones
en derivadas parciales no lineales:
2.1.
Transporte de energı́a:
∂T
∂
Ceq
=
∂t
∂z
µ
¶
∂T
Kg
− ST ,
∂z
(z, t) ∈ Ω × [0, TF ] ,
(1)
donde TF es el tiempo final, Ceq el calor especı́fico del suelo ( cmerg
3 K ), Kg la conductividad
global del suelo, calculada por el método de Campbell [4] a través de los contenidos
3
J. Durany, B. Fraga, F. Varas
Figura 1: Domino computacional: Ω = [0, 100] en cm.
volumétricos de cada material. Esto es:
Kg =
Pa θa ka + Pl θl kl + Pm θm km
Pa θa + Pm θm
³
erg ´
,
K cm s
(2)
siendo Pa , Pl , Pm los pesos para la fase gaseosa, lı́quida y sólida, respectivamente, que son
dados a partir de las caracterı́sticas morfológicas del suelo. Dichas caracterı́sticas se han
ajustado a partir de los valores del suelo Palouse B (ver[4]), muy similar al empleado para
contrastar los datos de este estudio. En (2) se denotan como ka , kl , km las correspondientes
conductividades térmicas de cada fase (las del agua y el aire varı́an con la temperatura)
en K erg
cm s , y θa , θl , θm las concentraciones volumétricas de cada fase en el suelo en tanto
por uno.
Por último, la fuente de calor ST en (1) viene dada por la expresión:
ST = Hlat Sv ,
(3)
g
con Hlat el calor latente de evaporización, ( erg
g ), y Sv la tasa de evaporización ( s ).
2.2.
Transporte de masa (agua lı́quida):
∂θl
∂
=
∂t
∂z
µ
¶
∂ψh (θl )
Sv
Kh (θl )
−
,
∂z
ρl
(z, t) ∈ Ω × [0, TF ] ,
(4)
es la Ecuación de Richards, que describe el flujo de agua en un medio poroso de saturación
variable. Esto último complica el modelo, al introducir dependencias en los parámetros
de conductividad Kh (cm/s) y potencial hidráulico ψh (θl ) (cm). Estas interdependencias
son descritas por las curvas de humedad. Su estudio no es sencillo, toda vez que dependen
mucho de parámetros fı́sicos del suelo y que presentan ciclos de histéresis. En el presente
caso, se ha adoptado el modelo de Mualem modificado por Van Genuchten (en adelante
VGM), tal y como fue descrito en [10]:
4
Calentamiento de suelos por incendios forestales
1
1
Kh (Θ) = Ks Kr (Θ) = Ks Θ 2 [1 − (1 − Θ m )m ]2 ,
(5)
θl −θr
θs −θr
siendo Θ =
la saturación efectiva con respecto a un valor máximo de contenido en
agua (θs ) y un valor residual de humedad que siempre permanece en el suelo ligado a la
propia estructura del mismo (θr ). En (5), m suele aproximarse como 1 − n1 , siendo n un
parámetro de forma de la curva de humedad.
En la ecuación (4), el potencial hidráulico ψh (θl ) se toma (según VGM) en la forma:
∂z
,
(6)
∂z
donde ψm es el potencial mátrico. Es decir, la parte del potencial hidráulico debida a los
efectos de capilaridad y ligazón de la matriz sólida al agua del espacio poroso. El potencial
hidráulico ψh incluye también aquella energı́a proporcionada por el potencial gravitatorio,
que es representado por ∂z
∂z , en unidades de altura de presión (cm). De acuerdo con VGM,
resulta:
ψh (Θ) = ψm (Θ) −
−1
1
−[Θ m − 1] m
,
α
donde α es un parámetro de forma de la curva de humedad.
ψm (Θ) =
2.3.
(7)
Transporte de masa (agua vapor):
∂
∂mv
=
∂t
∂z
µ
¶
∂mv
Dv (T )ξg (θa )
+ Sv ,
∂z
(z, t) ∈ Ω × [0, TF ] ,
(8)
siendo Dv (T ) y ξg (θa ) la difusividad efectiva del vapor en el aire y la tortuosidad del suelo,
respectivamente, tal y como están definidas en [2] y [8]. La variable temporal de (8) es mv :
concentración másica de vapor en el suelo (g/cm3 ), que viene dada por:
mv = ρv θa ,
(9)
donde ρv es la densidad de vapor en el poro libre (g/cm3 ) y θa el volumen de aire en el
poro (cm3 /cm3 ), dado por θa = φ − θl , es decir el espacio poroso (φ) no ocupado por agua.
En este caso, se hace un balance en unidades de masa, por tratarse el vapor de un gas
compresible: su volumen se adaptará al espacio poroso disponible (no saturado).
El cálculo de la densidad de vapor se basa en una hipótesis de equilibrio quı́mico entre
las dos fases del agua:
ρv = ρvsat hr ,
(10)
donde, aplicando la ecuación de los gases perfectos, se tiene:
pvsat (T )Ml
.
RT
En (10), hr es la humedad relativa (adimensional):
ρvsat =
hr = e
ψm Ml
ρl RT
siendo:
5
,
(11)
(12)
J. Durany, B. Fraga, F. Varas
g
ρvsat ( cm
3 ) la densidad de vapor en condiciones de saturación,
dyn
pvsat (T ) ( cm
2 ) la presión de vapor en el poro en condiciones de saturación,
g
Ml ( mol
) el peso molecular del agua,
erg
) la constante de los gases perfectos.
R ( Kmol
La ecuación (8) se diferencia de (1) y (4) en que la variable de la derivada temporal,
mv , está determinada por la ecuación (9), siendo Sv la incógnita del problema. Por ello, se
puede acoplar con (4), eliminando Sv y resultando una única ecuación para el transporte
de masa:
∂θl ∂mv
∂
+
=
∂t
∂t
∂z
µ
¶
µ
¶
∂ψh (θl )
∂
∂mv
Kh (θl )
+
Dv (T )ξg (θa )
,
∂z
∂z
∂z
(z, t) ∈ Ω × [0, TF ] .
(13)
De este modo, el modelo queda completo a partir de las ecuaciones (1) y (13), que
describen los flujos de energı́a y masa, respectivamente. Las incógnitas a calcular son T y
θl .
2.4.
Condiciones de contorno e iniciales:
Ecuación del transporte de energı́a:
T (0, t) = Ts (t) en z = 0, siendo Ts (t) el histórico de temperaturas en la superficie
del suelo durante el experimento empleado en la validación.
T (100, t) = 298K en z = 100, zona no perturbada del perfil de suelo en profundidad.
T (z, 0) = 298K en t = 0, condición inicial.
Ecuación del transporte de masa:
Γ(0, t) = katm (rhovatm − rhov0 ) en z = 0 (superficie): flujo saliente de vapor a la
atmósfera.
3
θl (100, t) = 0,4 cm
en z = 100, zona no perturbada del perfil de suelo en profundidad.
cm3
3
θl (z, 0) = 0,4 cm
en t = 0, condición inicial.
cm3
3.
3.1.
Resolución Numérica, Resultados y Validación
Resolución Numérica
Para resolver el sistema (1), (13) se realiza una discretización del dominio Ω en una
malla unidimensional de N elementos finitos de Lagrange cuadráticos (L2 ). El sistema no
lineal resultante se resolverá empleando el código COM SOLT M . Se trata de una simulación en transitorio, por lo que el problema también es discretizado en tiempo mediante
BDF (backward differentiation formulas) de grado 1 (Euler implı́cito), con un paso de
tiempo inicial prefijado, ∆t, y un lı́mite temporal para la simulación TF . Dentro de cada
paso de tiempo, se resuelve el sistema no lineal con un método quasi-Newton que linealiza
6
Calentamiento de suelos por incendios forestales
el problema, iterando a partir de los valores iniciales de las variables. Una vez linealizado,
se ensamblan únicamente las matrices de masa y rigidez (en el presente caso no hay vector de segundo miembro). El sistema lineal resultante en cada iteración del algortimo se
resuelve por un método directo (el UMFPACK, basado en una factorización LU).
3.2.
Datos del problema
Los parámetros del modelo fueron determinados en base a los experimentos llevados
a cabo en el Centro de Investigacións Forestais de Lourizán (Pontevedra). El resto de
los datos fueron tomados de ejemplos de la bibliografı́a para suelos de caracterı́sticas muy
similares al de los experimentos. Los parámetros del VGM se obtuvieron de [11] (clay-loam
soil ) y los de la conductividad térmica de [4] (Palouse B ). Para el resto de datos se han
tomado los valores habituales en la bibliografı́a especı́fica.
Se han llevado a cabo dos simulaciones, partiendo de diferentes niveles iniciales de
humedad y de diferentes históricos de temperatura en superficie. Ambas se realizaron
para un suelo franco-arcilloso con alta porosidad (φ = 0,475) y contenido en materia
orgánica pobre. El tamaño de malla utilizado en ambos casos ha sido ∆h = 0,026 cm, y
los parámetros temporales son ∆t = 5s y Tf = 34630s.
3.3.
Validación
En la Figura 2 se puede observar la comparación entre las medidas experimentales y los
resultados de la simulación numérica para dos casos con diferentes flujos de temperatura
en superficie y diferente nivel de saturación inicial:
Suelo húmedo (próximo a la saturación): θl0 = 0,4.
Suelo con humedad media: θl0 = 0,3.
Estas simulaciones muestran una buena adecuación a los datos experimentales. Las
tendencias, los desfases temporales y los rangos de temperatura están correctamente captados.
Para el suelo seco la aproximación es muy buena. La curva obtenida de la simulación
presenta una bajada algo más brusca que los datos experimentales una vez alcanzado el
pico de temperatura. Esta divergencia en el pico no es demasiado importante y posiblemente sea debida a variaciones en los valores experimentales inducidas por las condiciones
locales del suelo en las proximidades de los termopares. Por ejemplo, diferencias en los
niveles originales de humedad en la capa donde se realiza la medición.
En el caso del suelo húmedo se observa un pequeño desfase entre las gráficas. La simulación alcanza el pico de temperatura y la posterior caı́da antes que los datos experimentales,
lo cual parece reflejar una mayor difusión en el flujo de calor simulado. Ello puede deberse
a una subestimación de los flujos de vapor (y por tanto de la energı́a invertida en la evaporación del agua). Este es un punto crı́tico de la simulación en medios porosos insaturados,
como se señala en la bibliografı́a (ver [2] o [8]).
Agradecimientos
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Proyecto MTM2007-67596-C02-02
del MEC de España, incluyendo fondos FEDER (UE), y por la Xunta de Galicia en el
7
J. Durany, B. Fraga, F. Varas
Figura 2: Resultados de la simulación numérica en continuo y datos experimentales en
lı́nea de trazos. Los resultados para suelo seco (código QS24Bc) se sitúan en la parte
superior, ya que se alcanzan temperaturas más altas que en la simulación con humedad
elevada (QH21Aa), situada en la parte inferior de la gráfica, por debajo de 310 K.
programa INCITE08ENA322100ES. Se agradece también a José Antonio Vega (Centro de
Investigacións Forestais de Lourizán) sus sugerencias y la cesión de los datos experimentales empleados en este trabajo.
Referencias
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Fire Conditions. Aust. J. Soil Res., 14 (1976), 55-66.
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731-739.
[4] G.S. Campbell, J.D. Jungbauer, Jr., W. R. Bidlake, R.D. Hungerford. Predicting The Effect of
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[5] G.S. Campbell, J.D. Jungbauer, K.L. Bristow, R.D. Hungerford. Soil temperature and water content
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(1958), 909-916.
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saturation on variably-saturated flow predictions. Advances in Water Resources, 24 (2001), 133-144.
8