APUNTE FUNCIONES TRANSFERENCIAS PASIVAS

Teoría de circuitos
SÍNTESIS DE FUNCIONES TRANSFERENCIAS PASIVAS (I)
Nos ocuparemos de dos tipos de transferencias:
a) De tensión a circuito abierto
b) Admitancia de transferencia Y21.
SÍNTESIS DE TRANSFERENCIAS DE TENSIÓN A CIRCUITO ABIERTO:
Si recordamos que en un cuadripolo definido por sus parámetros Z la función transferencia de
tensión para I2 = 0, es:
T( S ) =
V2
Z21
=
V1
o también
Z11
V2
T( S ) =
=
V1
Y21
Y22
Por lo tanto debemos sintetizar un cuadripolo que tenga los parámetros Z11 y Z21, o Y22 e Y21, que
están determinados por el único dato que tenemos: la función T(S). Para lo cual debemos, primero,
estudiar las propiedades de estos parámetros y las relaciones entre ellos.
Si determinamos estos parámetros, de una red cualquiera R-L-C, por el método de los nodos,
excitándola con una fuente corriente independiente: (Supongamos 5 nodos)
Ig
0
0
0
0
=
y11
y12
y13
y14
y15
y21
y22
y23
y24
y25
y31
y32
y33
y34
y35
y41
y42
y43
y44
y45
y51
V1
y52
V2
y53 * V3
y54
V4
y55
V5
Nos interesan los parámetros Z11
y Z21 ya que para I2 = 0 es:
V2
V1
El circuito es el siguiente:
Ig
+
V1
=
Z21
Z11
I2
+
V2
RED
R-L-C
-
Nos interesan las incógnitas V1 y V2:

V1 =

11

V2 =
y
Ig
y

12
Ig
y
Cómo se ve si I2 = 0, los parámetros son:

Z1 1 =

11
y

y
Z2 1 =

12
y
Como vemos los polos de Z21 son los mismos polos de Z11, a menos que algunas de las raíces del
polinomio denominador las tenga también el numerador de Z21 y no las tenga el de Z11, caso que se
produce siempre, o viceversa que se produce en casos muy especiales.
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Teoría de circuitos
Si calculamos V2, poniendo Ig como I2, para I1 = 0 tendremos:

V2 =

22

Por lo tanto:
Ig
y
Z2 2 =

22
y
Y lo mismo podemos decir de Z21 respecto de Z22.
Por lo tanto tenemos la primera relación entre estos parámetros:
Todos los polos de Z21 son polos de Z11 y de Z22
Los polos de Z11 y de Z22 que no están presentes en Z21 se llaman polos privados.
CONDICIÓN DE COEFICIENTES (Fialkow):
Consideremos una red escalera R-L-C, desbalanceada, sin inductancia mutua:
Aplicando la transformación T-  en cada malla, podemos llegar a una red equivalente :
Aplicamos, otra vez,
la transformación y
obtenemos
la
siguiente red:
y2
y1
y3
Za
zc
Zb
Donde :
Za =
Zb =
Zc =
y3
y1 y2
y1 y3
y2 y3
y2
y1 y2
y1 y3
y2 y3
y1
y1 y2
y1 y3
y2 y3
Tanto las admitancias “y”, como las impedancias “z”, no se puede decir si son o no FRP, luego de
las transformaciones T- o viceversa. Pero todos los coeficientes en Za, Zb y Zc son reales y
positivos, porque todas las operaciones que se realizan en las transformaciones, son productos y
sumas de funciones que tienen coeficientes reales y positivos.
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Teoría de circuitos
Si en el circuito T equivalente calculamos los parámetros Z correspondientes, tendremos:
Z11 = Za + Zb
Z12 = Z21 = Zb
Z22 = Zc + Zb
Como dijimos anteriormente, Za, Zb y Zc tienen todos sus coeficientes reales y positivos. También
Z11, Z22 tienen todos sus coeficientes reales y positivos, por ser FRP y Z21 por ser igual a Zb.
Expresando los parámetros Z como cocientes de polinomios:
Z2 1 =
Z1 1 =
Z2 2 =
a0
a1  S
a2  S
2
.........
am  S
m
Q( S )
b0
b1 S
b2 S
2
bn S
n
.............
Q( S )
c0
c1  S
c2  S
2
..................
cr  S
r
Q( S )
Y por las razones que dijimos antes los coeficientes ai, bi y ci son siempre, reales y positivos, y
considerando que tienen los mismos polos como, ya vimos, tenemos:
Za = Z11 Z21 =
Zc = Z22 Z21 =
b 0 a0
b 1 a1  S
2
b 2 a2  S
..........
n
b n an  S
Q( S )
c0 a 0
c1 a1  S
2
c2 a2  S
..............
n
cn an  S
Q( S )
De acuerdo a lo que hemos visto queda demostrado que debe ser, siempre:
ai  0
bi  ai
ci  ai donde i = 0, 1, 2, .....
Condición de coeficientes entre los parámetros impedancia (admitancia) en cualquier
cuadripolo R-L-C.
A partir de estas dos relaciones entre los parámetros ya podemos enunciar las propiedades que
deben cumplir las funciones transferencia de tensión a circuito abierto de un cuadripolo R-L-C:
1) Deben tener los polos en el semiplano izquierdo o en S =  j, estos últimos deben ser simples
pues son los ceros de Z11 o Y22 que son FRP.
2) Ceros en cualquier parte del plano S, menos en el eje real positivo pues todos los coeficientes
deben ser positivos (utilizaremos solo ceros en el semiplano izquierdo) y serán los ceros de Z21
o Y21 o los polos privados de Z11 o Y22.
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Teoría de circuitos
3) No tienen polos en S =  ni en S = 0 pues se debe cumplir la condición de coeficientes
(Además de representar un sistema estable)
MÉTODOS DE SÍNTESIS DE TRANSFERENCIAS PASIVAS
(CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA UBICACIÓN DE SUS POLOS Y CEROS)
CEROS
S = -
S =  j
S = -  j
S =  j
POLOS
S = -
S = -
S = -
S = -  j
MÉTODOS
Redes Escalera - Redes Escalera conectadas en paralelo
Redes Escalera conectadas en paralelo
Redes Escalera conectadas en paralelo
Cuadripolos simplemente cargados – Doblemente cargados
PRIMER CASO (RED ESCALERA):
Ya vimos como era la estructura de una red escalera, supongamos que es R-L-C. De acuerdo a eso
podemos hacer el siguiente razonamiento:
I1
I2
+
+
V1
V2
-
-
Supongamos que hallamos la función transferencia de tensiones a circuito abierto, ésta función tiene
ceros, y esos ceros podrían ser provocados por una impedancia en serie que se abra (polo de
impedancia) o por una impedancia en derivación que se ponga en corto (polo de admitancia). En
ambos casos, se producirá V2 = 0.
Además los ceros de la transferencia son ceros de Z21 (Y21) o polos privados de Z11 (Y22), de manera
que si hacemos la síntesis de Z11 (Y22) desplazando algunos de sus ceros hasta donde se encuentran
cada uno de los ceros de Z21 (Y21), y luego sintetizarlos como polos de impedancia o de admitancia
obtendremos en la red los ceros de V2.
En el caso que estamos tratando los ceros y polos de la función transferencia están en S = -, por lo
tanto Z11 (Y22) debe tener sus ceros también en S = -, lo mismo que Z21 (Y21).
Como vimos en la síntesis de dipolos R-C, si la función Z11 (Y22) tiene sus ceros y polos en S = -,
podemos sintetizar con ella una red R-C escalera que, además en este caso, provea, también, los
ceros de Z21 (Y21).
Veamos el método correspondiente con un ejemplo:
V2
V1
=
K S  ( S 0.5)
( S 2)  ( s 4)
En el cuadripolo que vamos a
sintetizar esta función es igual a:
Z21
Z11
El dato que tenemos es una función transferencia de tensiones a circuito abierto: Lo único que
conocemos es el numerador de Z11 y el numerador de Z21, o parte de él, según haya, o no, un polo
privado de Z11. Con estos datos debemos construir, primero la Z11, pues es una función que sabemos
como debe ser, y luego construir la Z21.
Como la Z11 debe pertenecer a una red R-C, sus polos y ceros deben estar alternados y la primer
singularidad más cercana al origen debe ser un polo, que puede estar en el origen, podemos
construir una Z11 R-C, por ejemplo: con un denominador D = (S+1) (S+3), quedando:
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Teoría de circuitos
Z1 1=
2) ( S
1) ( S
(S
(S
4)
y
3)
Z2 1 =
K  S  ( S 0.5 )
( S 1) ( S 3)
Usaremos un método gráfico como el que ya vimos en la síntesis de R-C para redes no canónicas.
Sobre el eje - ponemos los polos y ceros de la funciones transferencia, Z21 y Z11:
K 
T
X
X
0
0

-4
-2
–0.5
K
Z21
X
-3
X
-1
0
–0.5

0
Z11
8/3
1
0
-4
X
-3
0
-2

X
-1
Como vemos hay que realizar una red que tenga una rama en serie que sea un circuito abierto, o una
en paralelo que sea un cortocircuito, para S = -0.5 y S = 0.
Iniciamos la síntesis desplazando un cero de Z11 hacia S = 0, o hacia S = -0.5.
Lo desplazaremos, primero, hacia S = 0. Pero no contamos con ningún cero de Z11 con posibilidad
de desplazarse en esa dirección. Por lo tanto invertimos Z11 y tenemos:
Y1 =
Y2 =
1
Z11
(S
(S
=
1)  ( S
2)  ( S
(S
(S
1) ( S
2) ( S
3)
4)
3)
3
4)
8
Y luego realizamos la extracción de la constante
en el origen Y(0) = 3/8 lo que nos da:
Y2 =
quedando
0.625  S  ( S 2.8 )
( S 2) ( S 4)
Gráficamente:
1 
3/8 Y1
X
-4
0
-3
X
-2
0
-1
5/8
Y2
X
-4
0
–2.8
X
-2
0
La extracción de una constante representa una R del valor inverso de esa constante, en este caso, en
paralelo con el resto del circuito pues se trata de una admitancia:
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Teoría de circuitos
8/3
Ahora debemos sintetizar el cero de transferencia en el origen, por lo tanto invertimos Y2 y
realizamos la extracción total del polo de Z2 en el origen:
Z2 =
Z3 =
1.6  ( S 2 )  ( S 4 )
S  ( S 2.8 )
1.6 ( S 2)  ( S 4)
S  ( S 2.8)
Y realizamos la extracción:
k0
donde
S
k0 =
1.6  ( S 2 )  ( S 4 ) 
S
s  ( S 2.8 )
Y resulta k0 = 4.57 y realizamos la extracción total del polo en el origen:
Z3 =
1.6  ( S 2 )  ( S 4 )
S  ( S 2.8 )
4.57
Y nos queda
S
Z3 =
1.6  ( S
S
3.14 )
2.8
Gráficamente:

Z2
1.6
X
-2.8
0
-4
0
-2

X
Z3
1.6
0
-3.14

X
–2.8
La extracción total del polo en el origen representa un capacitor en serie en el circuito por tratarse
de una impedancia:
Ahora hay que desplazar un cero al valor de S = -0.5. Como no tenemos ningún cero en condiciones
de desplazarse hacia ese valor, invertimos la función y tenemos:
Y3 =
1
=
0.625 ( S
Z3
S
2.8)
3.14
Para desplazar el cero desde S = -2.8 hasta S = -0.5 debemos hacerlo removiendo parcialmente la
constante en el origen, mediante la siguiente operación:
Y3 - Y3(0) = 0 para S = -0.5 donde 0    1.
De esa manera se obtiene la fracción de constante en el origen que se debe remover:
0 .62 5 ( S
S
2 .8)
3 .14
Y( 0 ) 3 = 0
De donde Y3(0) = 0.545
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Teoría de circuitos
Por lo tanto realizando la remoción nos queda:
0.625  ( S
Y4 =
S
2.8 )
0.545
realizando la operación queda:
3.14
Y4 =
0.08  ( S
S
0.5 )
3.14
Gráficamente:
0.625 
0.56 Y3
X
-3.14
0
–2.8
Y4
0.013
0.08
X
-3.14
0
–0.5
La extracción parcial de la constante en el origen representa, en el circuito, una R en paralelo y de
valor inverso a la porción Y3(0), por ser una admitancia:
Ahora debemos sintetizar el cero de transferencia en S = -0.5. Por lo tanto debemos invertir Y4 y
realizar la remoción total del polo de Z4:
Z4 =
Donde:
k1 =
12.5  ( S
S
12.5  ( S
S
3.14 )
removiendo el polo totalmente
0.5
3.14 
(S
0.5
0.5 )
Z5 =
12.5 ( S
S
k1
3.14)
0.5
S
0.5
para S = -0.5 es k1 = 33
La extracción total del polo en S = -0.5 representa una R y un C conectados en paralelo y puestos en
serie en el circuito por ser una impedancia, donde: R = k1/1 y C = 1/ k1
Vemos que lo que queda es: Z5 = 12.5. Si extraemos ese valor, pasa al circuito como una resistencia
R en serie pues es una impedancia:
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Teoría de circuitos
Y finalmente quedaría Z6 = 0
Gráficamente:
12.5 
78.5
0
-3.14
12.5
Z4
X
–0.5
12.5 Z5
Z6
0
0
Cuadripolo completo:
Como vemos en esta red están los ceros que pide la función:
El capacitor de 0.22 provoca el cero en el origen
El circuito tanque R-C paralelo provoca el cero en S = -0.5
Entonces V2 está bien tomada sobre la resistencia pues así se evidencian todos los ceros de la
función transferencia.
Los parámetros Z11 y Z21 de este cuadripolo son los que elegimos de acuerdo al único dato que
teníamos: la función transferencia.
Los polos de la función transferencia están en la red pues son los ceros de Z11, y los ceros de la
transferencia son los que fuimos obteniendo por remociones parciales o totales, según donde estén
respecto de la función Z11 que es la única función que se sintetiza.
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Teoría de circuitos
Determinación de la constante K:
Con la síntesis que hemos realizado hasta ahora hemos conseguido la forma de la función
transferencia (por ejemplo si graficamos el módulo por Bode con S = j); pero no está definida la
altura de la curva.
Para definirla hay que determinar el valor de K. Lo podemos hacer de dos maneras:
1) Calculando la función transferencia haciendo el análisis del cuadripolo
2) Como K no es función de S, le damos un valor cómodo para evaluarla en circuito
Si usamos el primer método tendremos la función con el valor de K que nos da el circuito incluido.
Si usamos el segundo, damos a S el mismo valor en la función e igualamos ambos resultados y
despejamos el valor de K. En nuestro caso es cómodo evaluar el circuito para S = :
Circuito para S =  T() = 1
Función para S =  T() = K
Por lo tanto K = 1
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Teoría de circuitos
SEGUNDO CASO (REDES ESCALERA CONECTADAS EN PARALELO):
Este método es especialmente útil para sintetizar transferencias de tensión a circuito abierto (I2 = 0)
con ceros complejos conjugados o imaginarios conjugados, mediante un cuadripolo de una red R –
C desbalanceada. Aunque se puede usar para la síntesis de cualquier transferencia R – C.
Consiste en lo siguiente: supongamos que debemos sintetizar una transferencia con dos
ceros complejos conjugados, y polos reales negativos para que la red resulte R – C:
T( s ) =
V2
2
KS
=
V1
S
2.  0. S
N
2 . S
3
2
Y21
=
Y22
La idea es separar en la suma de dos polinomios al numerador y al denominador de la T(s). El
numerador debe separarse en la suma de dos polinomios que tengan, cada uno, ceros en el eje real
negativo. Si sumamos y restamos 1S al polinomio numerador obtenemos:
2
S
2.  0. S
N
2
1
= S S
2.  0
 1 .S
n
2
Los dos polinomios son:
N21A =
2.  0
 1 .S
n
2
1
N21B = S S
Donde debe ser:
2.  0
1
0
Entonces nos queda:
Y21
S S
=
1
2.  0
 1 .S
n
2
D
De modo que aquí tenemos dos parámetros Y21:
1
S S
Y21A=
Y21B =
D
2.  0
 1 .S
N
2
D
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Teoría de circuitos
Por lo tanto nos quedaría:
T( S ) = K.
Y21A Y21B
Y22A Y22B
Vemos que la constante K hay que “repartirla” entre Y21A e Y21B; pero el valor de cada parte de K
depende del circuito ya sintetizado, de modo que las partes de K están impuestas luego de la síntesis
de cada cuadripolo (A y B). Como las constantes de cada cuadripolo (KA y KB), son distintas
entonces el numerador de K(Y21A + Y21B) no tiene las mismas raíces que el numerador de K A Y21A +
KB Y21B.
Por lo tanto debemos hacer algo para que las constantes que multiplican a los dos
polinomios en que separamos al numerador sean iguales.
Para eso Guillemin propone el siguiente método:
1) Realizar la síntesis usando, para cada cuadripolo, la misma Y22.
2) Una vez realizada la síntesis, se determinan, en cada cuadripolo, las constantes
respectivas (KA y KB).
3) Se hallan dos constantes HA y HB, de modo que HA + HB = 1 y que KA HA = KB HB = K
(1).
4) Se resuelve el sistema:
HA + HB = 1
KA HA - KB HB = 0
En las incógnitas HA y HB, con los valores ya conocidos de KA y KB.
5) Se multiplican todas las admitancias de los dos cuadripolos, A y B, por las constantes
HA y HB respectivamente.
Al hacer esto nos quedaría:
Y22A = HA Y22
Y22B = HB Y22
Y también quedan multiplicados los parámetros Y21 por las mismas constantes, respectivamente, por lo tanto
de acuerdo a la igualdad (1), podremos sumar:
KA HA Y21A + KB HB Y21B = K Y21
y
HA Y22 + HB Y22 = Y22
de manera que al conectar los dos cuadripolos en paralelo nos queda:
KA HA Y21A + KB HB Y21B
T(S) =
HA Y22 + HB Y22
Que es la función transferencia pedida.
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Teoría de circuitos
EJEMPLO
Sintetice la siguiente función transferencia de tensiones a circuito abierto, mediante una red RC:
K (S2+ 2S + 2)
K Y21
T(S) =
=
(S + 1) (S+3)
Y22
Determinamos la Y22 = (S + 1) (S+3)
eligiendo el denominador
S+2
de manera que sea una admitancia RC, y separamos la Y21 en dos admitancias, cada una con ceros
reales y negativos.
Siendo:
Y21 =
K (S2+ 2S + 2)
(S + 2)
Separando el polinomio numerador en suma de dos polinomios con la condición establecida al
principio:
Y21 = K S(S + 2) + K 2
por lo tanto tenemos:
(S + 2)
Y21A = KA S
y Y21B = KB 2
S+2
entonces los dos cuadripolos a sintetizar son:
CUADRIPOLO A
CUADRIPOLO B
Y21A = KA S
Y21B = KB 2
S+2
Y22A = (S + 1) (S+3)
(S + 2)
Y22B = (S + 1) (S+3)
(S + 2)
Ambos cuadripolos se sintetizan como dos redes escalera RC dando como resultado dos cuadripolos
con las siguientes estructuras:
I1
C1
I2
R2
V1
R1
V2
C2
CUADRIPOLO A
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Teoría de circuitos
Para calcular la constante KA evaluamos la función de acuerdo a su definición:
Y21 = I2
= SC1
V1 V2 = 0
Por lo tanto KA = C1
Ahora sintetizamos el cuadripolo B de la misma forma:
I1
R3
R4
V1
I2
C3
C4
V2
CUADRIPOLO B
Para evaluar la constante KB podemos analizar la función y el circuito para S = 0 pues aquí, la
función, es una constante para ese valor de S, por lo tanto:
Y21(0) = KB
función
Por lo tanto
Y21(0) =
1
R3 + R4
circuito
KB =
1
R3 + R4
Una vez obtenidos los valores de KA y KB planteamos el sistema:
HA + HB = 1
KA HA – KB HB = 0
y determinamos los valores de HA y HB. Con HA multiplicamos todas las admitancias del
cuadripolo A (o sea dividimos las resistencias y multiplicamos las capacidades). Lo mismo se hace
con HB y el cuadripolo B. De manera que ya podemos conectarlos en paralelo.
El cuadripolo completo es:
C1
R2
R1
I1
R3
V1
C2
R4
C3
I2
C4
V2
CUADRIPOLO COMPLETO
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Teoría de circuitos
En este cuadripolo no podemos evaluar cuales son los elementos que producen los ceros de
transferencia, pues estos son complejos y la red es RC. Lo que sí podemos verificar son los
elementos que provocan los valores en el origen y en el infinito.
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