Integrantes: Marcela Saavedra Cristian Rubio Ramo: Matemáticas 1 La Circunferencia DEFINICIÓN: Es un lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto se llama “centro” de la circunferencia, y la distancia constante se llama “radio”. DEFINICIÓN EN EL PLANO: Sea (h, k) un punto del plano y sea r > 0. El conjunto de los (x, y) cuya distancia al punto (h, k) es r se llama “circunferencia” de centro (h, k) y radio r. y (x, y) r (h, k) x TEOREMA: Ecuación canónica de la circunferencia Podemos utilizar la fórmula de la distancia para escribir la ecuación de una circunferencia (por ejemplo la circunferencia anterior). NOTA: Fórmula de la distancia: la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) viene dada por D= (x2- x1)²+ (y2 -y1)² [ distancia entre(h, k) y (x, y)]= r (x-h)²+ (y-k)²= r Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación canónica de la circunferencia. (x-h)²+(y-k)²= r² Del teorema se sigue que la ecuación de una circunferencia de radio r y centro en el origen es x²+y²= r² Ejercicios Resueltos. 1.-Hallando la ecuación de una circunferencia. El punto (2,3) está en la circunferencia de centro (-1, -1), como se puede ver en la figura siguiente (2 ,3) (-1,-1) SOLUCION: es la distancia entre (-1, -1) y (2,3), así pues: R= (2-(-1))²+(3-(-1))² R= (2+1)²+(3+1)² R= (3)²+(4)² R= 9+16 R= 25 R=5 Por tanto, el teorema da como ecuación de esa circunf. : (x- (-1))²+ (y- (-1)) ²= 5² (x+1) ²+ (y+1) ²=25 Quitando el parentesis en la ecuacion canonica anterior obtenemos ( X+1)² + (y+1) ² = 25 x² + y²+2x +2y –23 =0 Que es una ecuacion de la circunf. de la forma general: Ax² + By² + Dx + Ey + F =0 La forma gral. de la circunf. es menos util que la ecuacion canonica. Por ejemplo en el caso anterior lo mas rapido es encontrar el centro y el radio a traves de la segunda formula. Antes de dibujar una circunf. es mejor escribir la ecuacion en forma canonica: 2.-Dibujar la circunf. cuya ecuacion general es: X² + Y² +12X + 18Y + 5= 0 ( X² + 12X + ) + ( Y² + 18Y + ) = -5 /agrupar terminos ( X² +12X + 36 ) + (Y² + 18Y + 81 )= -5 +36 +81 Dividir por 2 Y elevar al cuadrado Dividir por 2 y elevar al cuadrado ( x + 6) ² + (y + 9) ² = 112 / Forma canonica Por tanto él circula tiene centro en (-6, -9) y su radio es 112 La ecuacion general Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, no siempre representa una circunf. Como lo podremos ver en la siguiente situacion: 3.9x² + 9y² + 81x +36 y + 291/4 =0 ( x² + 9x + 81/4) + (y² + 4y + 4) = 81/4 –291/ 12 + 4 ( x + 9/2) ² + (y + 2) ² = 0 La suma de la izquierda es cero sólo si sus dos sumandos son cero. Como eso ocurre sólo cuando: x = -9/4 e y= -2 graficamente hay un solo punto: (-9/4, -2) De hecho, puede incluso carecer de puntos solucion si al completar el cuadrado se llega a un resultado negativo: ( X-h) ² + (y-k) ² = Nº negativo Entonces la ecuacion general representa una circunf. de radio diferente a cero, solamente sí: D² + E² - 4F > 0 Las coordenadas del centro son entonces (-D/2, -E/2) y el radio es: ½ D² + E² - 4F 4.-Hallar el centro y el radio de la circunf. que tiene circunscrito él triangulo de vertices A (0, 0) B (6, 2) C (8, 0) y B x A C Sabemos que los vertices estan sobre la circunf. , entonces debe satisfacer la forma general: ( 0, 0) ( 6, 2) ( 8, 0) 0 + 0 +0+0+E=0 36 + 4 + 6D + 2E + F = 0 64 + 0 + 8D + 0 + F = 0 que podemos escribir: F=0 6D + 2E + F = -40 8D + F = -64 8D + 0 = -64 D = -8 -48 + 2E = -40 2D = 8 D=4 Estos valores se reemplazan en la ecuacion general quedando: x² + y² - 8x + 4y + 0 = 0 ( x² - 8x + 16) + (y² + 4y + 4) = 16 + 4 ( x – 4) ² + (y + 2) ² = 20 ( x – 4) + (y + 2) = 20 Entonces el Centro esta en el punto (-4, 2) y el radio es 2 5 La ecuacion canonica ( x-h ) ²+ ( y- k ) ² = r, hay tres constantes arbitrarias independienrtes ( h , k , r ). De manera semejante en la ecuacion general x² + y² + Dx + Ey + F = 0, Hay tres constantes arbitrarias e independientes ( D, E , F ). Como la ecuacion de cualquier circunferencia puede escribirse de cualquiera de las dos formas , la ecuacion de cualquier circunferencia puede obtenerse determinando los valores de las tres constantes . Esto requiere de un sistema de tres ecuaciones. 5.-Hallar la longitud de la tangente desde el punto P1 ( x1 , y1 ) a la circunferencia ( x-h ) ² + ( y – k ) ² = r ² y l P1 (x 1, y 1) r C (h,k) X O bien: l² = (p1, C) ² - r² l ² = (x1 – h) ²+ (y1 – k) ² - r² De donde se llega a que: l = (x 1 – h) + (y1 - k) - r² En consecuencia, la longitud de la tangente de cualquier circunferencia es igual a la raiz cuadrada del valor que se obtiene al sustituir las coordenadas del punto en la ecuacion de la misma. Sea P’ (x’, y’) un punto cualquiera del eje radical pedido: Tendremos : l 2 = x’² + y’² + D1 x’ + E 1y’ + F1’ l 2 = x’² + y’² + D2 x’ + E2 y’ + F2’ Como l1 = l2 entonces: X’2 + y’2 + D1x’ + E1y’ + F1 = x’2 + y’2 + D2x’ + E2y’ + F2 Elevando al cuadrado, simplificando y eliminando las primas, queda: ( D1 - D 2)x + (e1 - E2)y + F1 - F2 = 0 Que es una ecuación de una recta. 6.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos A(1,2), B(3,4) y sean tangentes a la recta 3x + y –3 = 0 3x +y –3 = 0 B A Para hallar las coordenadas del centro, C (h, k) se tiene en cuenta las igualdades CA=CB y CA = CN, es decir: ( h- 1) ² + (k – 2) ² = (h- 3) ² + (k – 4) ² (h – 1) ² + (k – 2) ² = “ (3h + k – 3 / 10) ² “ ( 3h + k - 3 / 3² + (1)) ² = (3h + k – 3 / 10) ² Donde Ax es igual a 3h y By es igual a k, siendo C igual a 3, para desarrollar el divisor se realiza a traves de la siguiente formula: Ax + By +C / A² + B² Desarrollando, la ecuación precedente, y simplificando se obtiene: h+k =5y h² + 9k² - 6hk – 2h – 34k + 41 = 0 Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene: h= 4, k= 1 y h = 3/2, k= 7/2 ( x – 4) + ( y – 1 ) = 10 y ( x – 3/ 2 ) ² + ( y – 7/ 2 ) ²= 10/ 4 x² + y² -8x – 2y + 7 =0 y x² + y² -3x – 7y +12 = 0 7.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,3) y ( -1 , 1) y cuyo centro esta situado en la recta x – 3y – 11 = 0. Sea ( h , k ) las coordenadas del centro de la circunferencia. Como ( h , k ) debe equidistar de los puntos ( 2 , 3 ) y ( -1 , 1) ( h –2 ) ² + ( k – 3 ) ² = ( h+ 1) ² + ( k – 1 ) ² Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene: 6h + 4k = 11 Como el centro debe estar sobre la recta x–3y–11=0 se tiene, h – 3k =11 Despejando los valores de h y k de estas ecuaciones se deduce: 6h + 4k =11 h – 3k =11 / *3 / *4 18 h + 12k = 33 4h – 12 k =44 22h = 77 h = 7/2 k = -5/2 El centro es entonces (7/2, - 5/2), por consiguiente: r= (7/2 + 1) ² + (-5/2 – 1) ² r = ½ 130 E ecuación pedida es: ( x –7/2) ² + ( y + 5/2 ) ² = 130/4 bien: x² + y² - 7x + 5y – 14 =0 O 8.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,0), tenga radio =13 y la abscisa de su centro sea -12. Como la circunferencia pasa por el origen : H2 + k 2 = r o bien, 144 + k2 = 169 Resolviendo: K ² = 169 – 144 = 25 , k = 5 Luego: (x + 12 ) ² + ( y – 5 ) ² = 169 ( x + 12 ) ² + ( y + 5 ) ²= 169 Desarrollando: X2 + y 2+ 24x - 10y = 0 X ²+ y² +24x + 10y = 0 9.-Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados son las rectas : X+y=8 2x + y = 14 3x + y = 22 Resolviendo estas ecuaciones tomadas dos a dos , se obtienen las coordenadas de los vértices (6,2) , (7,1) , (8, -2) Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación general de la circunferencia se obtiene el siguiente sistema : 6D + 2E + F =- 40 7D + E + F = -50 8D - 2E + F = -68 cuya solución proporciona los valores : D = -6, E = 4, F = -1. Por sustitución se deduce la ecuación pedida: x² + y² - 6x + 4y –12 = 0 Y (6,2 ) ( (7,1) X 0 C (3 ,-2) (8,-2) 10.-Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias que son tangentes a las rectas 3x – 4y + 1 = 0 y 4x + 3y – 7 = 0 y que pasan por el punto (2,3). Sean (h,k) las coordenadas del centro, entonces: (3h – 4k + 1) / 5 = (4h + 3k – 7) / 5 o bien ; 7h – k – 6 = 0 Por otra parte como r = [(3h – 4k + 1 ) / -5] ² O bien; 16h² + 9k² - 106h – 142k + 24hk + 324 = 0 Resolviendo un sistema de ecuaciones con los dos resultados anteriores se obtienen las coordenadas de los dos centros : Los puntos (2,8) y (6 / 5, 12/5). Para la circunferencia de centro (2,8): r = (3h – 4k +1 )/ -5 ( 6 – 32 + 1)/ -5 = 5 Por lo tanto, la ecuación de la misma es: ( x – 2) ² + ( y – 8 ) ² = 25 Para el centro : ( 6/5 , 12/5) , r = 1 La ecuación de la circunferencia es: (x – 6/5) ² + ( y – 12 /5 ) ² = 1 Las ecuaciones de dos circunferencias son : C1 = x² + y² + 7x – 10y + 31 = 0 C2 = x² + y² - x –6y +3 = 0 11.-Hallar la ecuación de la circunferencia C3, que pasa por las intersecciones de C1 y C2 y tiene su centro sobre la recta L = x – y –2 = 0 . La circunferencia buscada, es un elemento de la familia. x² + y² + 7x – 7y + 31 + k ( x² + y² - x –6y + 3) = 0 en donde el parámetro k debe determinarse por la condición de que el centro de la circunferencia en búsqueda esta sobre la recta l. El centro de cualquier circunferencia de la familia se halla fácilmente y sus coordenadas son : x² + y² + 7x – 10y + 31 + x²k + y²k – xk – 6yk + 3k = 0 (x² + y² + x²k + y²k ) – x( k – 7 ) – y ( 10 + 6k )+ 31 + 3k = 0 (x²+ y² )(k + 1) – x(k-7)- y (6k + 10) + (31 +3)(k+1)= 0 / :(k+1) x² + y² - x(k-7)/ (k+1) – y(6k+ 10)/(k+1)+34 = 0 [(k-7) /2 (k+1) , (5+3k) / (k+1) ] Como estas coordenadas deben satisfacer la ecuación l , tenemos: [(k-7) / 2 (k+1) ] – [(3k+5)/ (k+1)] –2 = 0 (k-7) / 2 - 3k – 5 – 2k – 2 = 0 (k-7) / 2 - 5k – 7 = 0 k-7 –10k – 14 = 0 -9k = 21 k = -7/3 /*2 / *(k+1) Sustituyendo este valor de k en la ecuación de la familia y simplificando , obtenemos para la ecuación C3 : x² + y² + 7x – 10y +31 – 7/3 x² - 7/3y² + 7/3x + 14y – 7 = 0 -4/3x² - 4/3y² + 28/3x + 4y + 24 = 0 /*3 -x² - y² + 28x + 12y + 72 = 0 / :-4 x²+ y² - 7x – 3y – 18 = 0 (solución) Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualquiera , C1 y C2 son: C 1 : x² + y² + D 1 x + E 1 y + F1 = 0 C 2 : x² + y² + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0 La ecuación entonces; X² + y² + D1 x + E1 y + F1 + K (x² + y²+ D2 x + E2 y+ F2 ) = 0 Representa a una familia de todas las ecuaciones las cuales tienen su centro en la recta de los centros C1 y C 2 Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes , la ecuación representa , para todos los valores de k excepto k =–1 , todas las circunferencias que pasan por los puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción de C2 mismo . Si C1 y C2 son tangentes entre si, la ecuación representa, para todos los valores de k excepto k= -1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto en común, con la única excepción de C2 . Si C 1 y C2 no tienen ningún punto en común, la ecuación representa una circunferencia para todo valor de k, excepto k= -1, siempre que la ecuación resultante satisfaga las condiciones de la ecuación general. Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto en común con ninguna de las circunferencias C1 y C2 Si t es la longitud de la tangente desde el punto exterior P1 ( x1 , y1 ) a la circunferencia ( x – h )² + ( y – k ) ² = r ² , entonces : T = ( x1 - h) ² + ( y1 - k ) ² Porque si T es el punto de tangencia ; de manera que t = P1 T es tangente a la circunferencia , el radio CT es perpendicular a P1T .Por tanto , en el triángulo rectángulo P1TC , tendríamos t² = (CP1²)² - r ² Como sabemos (CP1) ² es ( x1 - h) ² + ( y1 -k) ² Lo que al sustituir es : t² = ( x1 -h ) ² + ( y1 -k) ² -r² / T = ( x1 -h ) ² + ( y1 -k) ² -r² Gracias a esto podemos concluir que si las ecuaciones de dos circunferencias concéntricas C y C son: C1 : x² + y² + D1x + E1y + F1 =0 C2 : x² +y² + D2x + E2 y + F2 =0 La eliminación de x² e y² entre estas dos ecuaciones da origen a una ecuación lineal x ( D1 - D2 ) + y ( E1 - E2 ) + ( F1 - F2 ) =0 , que es la ecuación del eje radical de C1 y C2 Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes su eje radical (ER) coincide con su cuerda común; si C1 y C2 son tangentes entre si ER es su tangente común ;si C1 y C2 no tienen puntos en común su Er no tiene puntos en común con ellas L’ l P1 C Q T N Sea P1 (x1 ,y1)un punto cualquiera de la curva continua C. Sea l la tangente a C en P1 . Si m es la pendiente de l , la ecuación de la tangente l es: Y - y1 = m( x -x1) Sea l’ la recta trazada por P1 , perpendicular a la tangente l ; la recta l se llama “ normal” a la curva C en el punto P1 . La ecuación de esta es : Y - y1 = - 1/m ( x - x1) , m 0 Supongamos que la tangente y la normal cortan a x en los puntos T y N respectivamente y la longitud P1T del segmento de la tangente l comprendido entre el punto de contacto y el eje x se llama “ longitud de la tangente “ y su formula es : Long. Tangente = y1/ m 1 + m² m0 La longitud P1 N del segmento de la normal l’ comprendida entre el punto de contacto y el eje x se llama “ longitud de la normal” y su formula es : Long. Normal =y1 1 + m² Por P1 tracemos la ordenada P Q. La proyección QT de la longitud de la tangente sobre el eje x se llama “subtangente” y su formula es: Long. Subnormal: my1 Evidentemente por lo anterior la ecuación de la tangente a una circunferencia dada esta perfectamente determinada cuando se conocen su pendiente y su punto de contacto ( o alguno de sus puntos) . Si se tienen estos datos , el otro se debe determinar a partir de las condiciones del problema ; según esto , tenemos los elementos necesarios para la solución de cualquier problema en particular. Vamos a considerar tres problemas a saber: 12.- Hallar la ecuación a la circunferencia x² + y ² - 8x – 6y + 20 =0 el punto (3,5) en La recta que pasa por el punto ( 3,5) es : Y – 5 = m ( x –3) Al sustituir en la ecuación de la circunferencia : x² + ( mx – 3m + 5) ² - 8x – 6 ( mx – 3x + 5) +20 =0 que se reduce a : ( m² + 1 )x² - ( 6m –4m + 8 )x + ( 9m² - 12m + 5 ) =0 Esto será tangente a la circunferencia dada “ siempre que las raíces de estas ultimas sean iguales “ , es decir ; siempre que el discriminante se anule . Debera verificarse esta condición: ( 6m² - 4m + 8) ² -4 ( 9m² - 12m –15 ) =0 Las soluciones de esta ecuación es m = ½ de manera que la ecuación de la tangente es : Y – 5 = ½ ( x –3 ) o sea X – 2y –7 =0 13.- Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x² + Y² - 10x + 2y +18 =0 y tiene la pendiente = 1 La ecuación de las rectas de pendiente 1 es Y=x+k Siendo k lo que se debe encontrar Reemplazando y en la ecuación de la circunferencia se tiene : x² + ( x +k ) ² - 10x + 2( x +k ) + 18 = 0 2x² + ( 2k –8 )x + ( k² + 2k + 18 ) = 0 La condición de tangencia es : ( 2k – 8 ) ² - 8( k² +2k +18 ) =0 Las raíces de estas ecuaciones son k = -2 , k = 10 . Por lo tanto las ecuaciones de las tangentes buscadas son : Y = x –2 e Y = x –10 14.- Hallar la ecuación de la tangente trazada de punto ( 8 , 6 ) a la circunferencia x² + y² + 2x + 2y – 24 = 0 Las rectas que pasan por ( 8,6 ) son: Y – 6 = m( x – 8 ) donde se busca m. Se sustituye y = mix –8m +6 en la ecuación de la circunferencia y da : x² + (mx –8m + 6) ² + 2x + 2( mx – 8m +6 ) – 24 = 0 ( m² +1 )x² - (16m² -14m –2)x + ( 64m² -112m + 24) = 0 la condición de tangencia es : ( 16m² -14m –2) ² - 4( m² +1) ( 64m² - 112m +24) = 0 Resolviendo esto : M =1/5 , m = 23/11 Entonces las ecuaciones de las tangentes que cumplen con las condiciones dadas son: X – 5y + 22 = 0 y 23x –11y -118 = 0 EJERCICIOS 1.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto ( 3,-1 ) y de radio 5 2.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto ( -4, 3 ) y sea tangente al eje y 3.- Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a los dos ejes de coordenadas, de radio = 8 , y cuyo centro este en el primer cuadrante 4.- Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes. Determinar si cada una de ellas es real , imaginaria ,o se reduce a un punto . Aplicar la formula y comprobarla por suma y resta de los términos adecuados para completar cuadrados : a)3x²+ 3y² -4x +`2y – 12 = 0 b)x² + y² = 0 c) x² + y² - 8x + 10y – 12 = 0 5.- Hallar la ecuación de la ( 1,1 ) , ( 1,3 ) , y (9,2 ) circunferencia que pasa por los puntos 6.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( 1,2 ) , ( 3,1 ) , y ( -3,-1 ) 7.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados x – y + 2 = 0 , 2x + 3y – 1 = 0 , y 4x + y – 17 = 0 8.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados 2x – y + 7 = 0 , 3x + 5y – 9 = 0 , y x - 7y – 13 = 0 9.- Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados 4x – 3y - 65 = 0 , 7x - 24y +55 = 0 , y 3x + 4y – 5 = 0 10.- Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de vértices ( -1, 3) , ( 3,6 ), y ( 31/5) 11.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( -2,3 ) que sea tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0 12.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( -1,-3 ) que sea tangente a la recta que une los puntos ( -2,4 ) y ( 2,1 ) 13.- Hallar las ecuaciones de los ejes radicales de las circunferencias siguientes , y demostrar que se cortan en un punto: x² + y² + 3x –2y – 4 = 0 , x² + y² - 2x – y = 0 y x² + y² - 1 = 0 14.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto ( 3,1 ) y por los de intersección de las circunferencias x² + y² - x – y – 2 = 0 y x² + y² + 4x – 4y - 8 = 0 15.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias x² + y² - 6x + 2y + 4 = 0 y x² + y² + 2x –4y - 6 = 0 y cuyo centro este en la recta y =x RESULTADOS 1.- x² + y² - 6x + 2y – 15 = 0 2.- x² + y² + 8x – 6y + 9 = 0 3.- x² + y² + 12x – 16y = 0 , x² + y² + 12x +16y = 0 4.a)( 2/3,-1/3 ) , r= 1/3 -13 , imaginaria b)( 0,0 ) , r = 0 , un punto c)( 4,-5 ) , r = 53 , real 5.- 8x² + 8y² - 79x – 32y + 95 = 0 6.- x² + y² - x + 3y – 10 = 0 7.- 5x² + 5y² - 32x – 8y – 34 = 0 8.- 169x² + 169y² - 8x + 498y – 3707 = 0 9.- x² + y² - 20x + 75 = 0 10.- 7x² + 7y² - 34x – 48y – 103 = 0 11.- x² + y² + 4x –6y – 12 = 0 12.- x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0 13.- 5x – y + 2 = 0 , 3x – 2y = 0 y 2x + y + 5 = 0 Punto de intersección ( -1, -2 ) . Este punto se llama centro radical de las circunferencias. 14.- 3x² + 3y² - 13x + 3y + 6 = 0 15.- 7x² + 7y² - 10x –10y – 12 = 0