UNIVERSIDAD DE ANDALUCÍA - Facultad de Ciencias Sociales

SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
MATEMÁTICAS APLICADAS A
LAS CIENCAS SOCIALES II
UNIVERSIDAD DE ANDALUCÍA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2009 - 2010
MATEMÁTICAS
APLICADAS A LAS
CIENCAS SOCIALES II
MATEMÁTICAS II
OPCIÓN A
EJERCICIO 1
Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes:
    15;   2 ; 0    6;   0
a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto
b) (1 punto) Calcule sus vértices
c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función F(x,y) = 8x + 5y en el recinto
anterior y donde se alcanza.
SOLUCIÓN
a) Para delimitar el recinto se representan gráficamente las rectas que resultan de
transformar las inecuaciones en ecuaciones. Las rectas son las siguientes:
x  y  15 ; x  2 y ; y  0 ; y  6 ; x  0
Las rectas x  0 e y  0 y las desigualdades x  0 e y  0 van a situar el recinto en el
cuadrante positivo del plano.
Las restantes rectas dividen al plano en dos semiplanos, para saber cual de ellos
satisface la desigualdad tomamos un punto de cualquiera de ellos y comprobamos que la
verifica, y de esta forma vamos acotando la región en el primer cuadrante del plano.
El recinto viene representado en el siguiente gráfico:
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b) Calculamos los vértices:
O0,0 y F 0,6
x9
 x  y  15
 D9,6
D

y6
 y6 
x  10
 x  y  15
 C10,5
C

y5
 x  2y 
Los vértices del recinto son O(0,0), F(0,6), D(9,6) y C(10,5).
c) Consideramos ahora la función F x, y   8x  5 y .
Sabemos que la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo absoluto en los
vértices del conjunto convexo que queda delimitado por las restricciones del problema,
en decir, el conjunto de las soluciones posibles al problema.
Tendremos que investigar, por tanto el valor que toma la función en los vértices del
recinto.
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F 0,0  8·0  5·0  0
F 0,6  8·0  5·6  30
F 9,6  8·9  5·6  102
F 10,5  8·10  5·5  105
Podemos afirmar que el máximo valor que toma F x, y  es 105 y lo alcanza en el punto
10,5 .
EJERCICIO 2
1
Sea la función f(x) = 2 x 2  x 3 . Calcule:
3
a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos.
c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha
gráfica es 4.
SOLUCIÓN
a) La función f es polinómica, por tanto, es contínua y derivable en todo  .
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento calculamos la función
derivada:
1
f '  x   2·2 x  ·3x 2  4 x  x 2  x4  x 
3
Igualamos a cero la función derivada para encontrar los puntos críticos.
f ' x  0  x4  x  0  x  0 y x  4
La recta real queda dividida en los intervalos,  ,0 , 0,4 y 4, .
Comprobamos si la función derivada es positiva o negativa en cada uno de los
intervalos para determinar la monotonía de la función.
Para el intervalo  ,0 tomamos el valor x  1  f '  1  5 <0  la función es
decreciente.
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Tomamos el valor x  1 para el intervalo 0,4  f ' 1  3 > 0  f es creciente.
Para el intervalo 4, tomamos el valor x  10  f ' 10  60  f es decreciente.
f’
-
+

0
4

f
b) Como resultado del apartado a) podemos deducir que en los puntos críticos para los
valores de x  0 y x  x la función alcanza sus extremos relativos, además basta con
observar los intervalos donde la función es estrictamente decreciente y creciente para
asegurar que en x  0
y
 y  0
la función posee un mínimo relativo y para x  4
32
la función posee un máximo relativo.
3
1
Para x  0 f 0  2·0 2  ·0 3  0 .
3
En 0,0 hay un mínimo relativo.
Para x  4
1
32
f 4  2·4 2  ·4 3 
.
3
3
 32 
En  4,  hay un máximo relativo.
 3
c) La pendiente de la recta tangente a la gráfica es la primera derivada de la función en
el punto considerado, luego f ' x  4  4 x  x 2  4  x 2  4 x  4  0 
x
4  16  4·4 4  0

 2  x  2.
2
2
Para x  2
1
8 16
f 2  2·2 2  ·2 3  8   .
3
3 3
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 16 
Por tanto el punto pedido es el  2,  .
 3
EJERCICIO 3
Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de los días y el resto en su coche.
Cuando va en autobús llega tarde el 20% de las veces y cuando va en coche llega a
tiempo solo el 10% de las veces. Elegido un día cualquiera al azar, determine:
a) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús.
b) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue tarde a clase.
c) (1 punto) Si ha llegado a tiempo a clase, ¿cual es la probabilidad de que no haya ido
en autobús?
SOLUCIÓN
Llamaremos A al suceso "va en autobús", C "va en coche", T al suceso "llega tarde" y H
al de "llega en hora o a tiempo".
Sabemos que   0,8 y la PC   0,2 ya que el 80% de los días el alumno va en
autobús a la Facultad y el 20% restante lo hace en coche.
Cuando va en autobús llega tarde el 20% de las veces, luego la PT A  0,2 , y cuando
va en coche llega a tiempo el 10% de las veces, es decir, P( H / C )  0,1 . Si la
P(T / A)  0,2 el resto de las veces que va en autobús llega a tiempo, luego
P( H / A)  0,8 .
Si la P( H / C )  0,1 entonces la P(T / C )  0,9 .
a) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús será la
P( A  H ) .
Como la  /  
   
       / ·  0,8·0,8  0,64 .
 / 
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b) Para hallar la probabilidad de que llegue tarde a clase aplicaremos el Teorema de la
Probabilidad Total
  · /   C · / C   0,8·0,2  0,2·0,9  0,34 .
c) Si el alumno ha llegado a su hora ¿Cual es la probabilidad de que no haya ido en
autobús?
Si no ha ido en autobús, el alumno ha ido en coche, luego nos piden que calculemos la
C /   .
Aplicamos el Teorema de Bayes:
C /   
C · / C 
0,2·0,1
0,02 2
1
.




· /   C · / C  0,8·0,8  0,2·0,1 0,66 66 33
Luego C /   
1
.
33
EJERCICIO 4
Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los
trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500
trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza
del 93%.
a) (1.75 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores
que residen fuera.
b) (0.75 puntos) Calcule el error cometido en el intervalo anterior.
SOLUCIÓN
a) Tenemos una proporción muestral pˆ 
118
 0,236  23,6% , es decir, que de 500
500
trabajadores, 118 residen fuera de la ciudad.
El intervalo de confianza para la proporción será:
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
 pˆ  z / 2


pˆ 1  pˆ  


n

Tenemos todos los datos para calcularlo excepto el valor de  / 2 .
El nivel de confianza es 93%, luego el nivel de significación, es decir,  , es el 7%,
luego   0,07 y

2
 0,035 .
Hemos de hallar el valor de z / 2 que es el número real que cumple que
  z / 2  
La
tabla

2
 0,035 , siendo  una variable con distribución 0,1 o estándar.
que
se
adjunta
calcula
las
  z / 2 
luego
  z / 2   1    z / 2   1  0,035  0,965.
Encontramos en la tabla que   1,81  0,9649 y que   1,82  0,9656 luego
tomaremos como valor z / 2  1,81.
Luego el intervalo será:

 pˆ  z / 2


pˆ 1  pˆ   
0,236·0,764 
   0,236  1,81
  0,236  0,0344  0,2016,0,2704.
 

n
500
 

Esto nos indica que se estima que la proporción de trabajadores que residen fuera de la
ciudad está entre el 20%, 16% y el 27,04% con un nivel de confianza del 93%
b) El error máximo cometido es:
  z / 2
pˆ 1  pˆ 
 0,344 , es decir, un 3,44% .
n
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MATEMÁTICAS II
OPCIÓN B
EJERCICIO 1
 2 1
 1 2
 y   
 .
Sean las matrices   
 3 1
 1 0
a) (1 punto) Calcule  t ·  · t .
b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial     
SOLUCIÓN
 2 1
 ,
a)   
 3 1
 1 2
 ,
  
 1 0
 2 3
 ,
 t  
 1 1
 1  1
 .
 t  
2 0 
Calculemos
 2 3 1 2   2 1 1  1   1 4   4  2    5 6 

  

  
  
  
 .
 t   t  
 1 1   1 0   3 1 2 0   0 2   5  3    5 5 
b) Resolver:
             1    1        1   
    1   .
Calcularemos la inversa de la matriz  ,  1 , para ello comprobaremos que el
determinante de  es distinto de cero.

2 1
 2  3  1  0 , luego  tiene inversa.
3 1
 2 3


adj
t
1
1
adj



 1 


1
 1  1


 3  2     1 1 
 3  2
1


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Por otro lado
3    7  1
 1 2   1 2  2 1  1 2   8
  

  
  
  
.
    
1 
  1 0    1 0  3 1   1 0    2  1  1
Por tanto:
2 
  1 1   7  1  8

  
,
   1     
1    23  5 
 3  2  1
2 
 8
 .
  
  23  5 
EJERCICIO 2
Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
e3x
a) (0.8 puntos) f x  
.
1 x2
b) (0.8 puntos) g x  ln x 1  3x 2 .
1
c) (0.9 puntos) h x   2 5 x  2
x


SOLUCIÓN
e3x
a) Como f x  
hemos de calcular la derivada de un cociente
1 x2
f ' x  

b) Como g x  ln x 1  3x 2


3e 3 x 1  x 2  e 3 x ·2 x
1  x 
2 2


1  x 
2 2
 hemos de calcular la derivada de un logaritmo neperiano
x1  3x   3x  x
g ' x  
x1  3x 
3x  x
2
2
c) Como h x   2 5 x 
.
e 3 x 3x 2  2 x  3
1
3
3
1
9x 2  1
.
 3
3x  x
1
hemos de calcular la derivada de una suma donde el primer
x2
sumando es una función exponencial de base 2
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h' x   2 5 x ·5·ln 2   2x 3  5 ln 2·2 5 x 
2
.
x3
EJERCICIO 3
De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando
las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras
20 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso.
a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra?
b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra?
c) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea pediatra?
SOLUCIÓN
Nº de asistentes = 180
Nº de mujeres = 100; Nº de hombres = 80
Nº de pediatras = 60; Nº de no pediatras = 120
Nº de mujeres pediatras = 20; Nº de hombres pediatras = 40
Mujeres
Hombres
Totales
Pediatras
20
40
60
No Pediatras
80
40
120
Totales
100
80
180
a) Si se elige una persona al azar y el nº total de personas asistentes es 180 y de ellas 20
son mujeres pediatras, la probabilidad de que esta sea mujer y pediatra será:
P (mujer y pediatra) 
20 1
 .
180 9
b) Por la misma razón, la probabilidad de que no sea hombre ni pediatra será lo mismo
que la probabilidad de que sea mujer y no pediatra.
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El total de mujeres asistentes es 100 y las pediatras son 20, luego el nº de mujeres no
pediatras son 80, por tanto:
P (no sea hombre y no pediatra) = P (mujer y no pediatra) =
80
4
 .
180 9
c) Para calcular la probabilidad de que elegida una persona al azar sea pediatra,
tendremos que hacer el cociente entre todos los pediatras asistentes, sean hombres o
mujeres, que son 60 y el nº total de asistentes:
P (pediatra) =
60 1
 .
180 3
EJERCICIO 4
Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg. o
más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su
producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos:
80, 83, 87, 95, 86, 92, 85, 83, 84, 95
Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con
desviación típica 5 kg.
a) (1.5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las
condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación
  0.05.
b) (1 punto) Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultor
sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de
significación?
SOLUCIÓN
a) El agricultor piensa que la producción media por naranjo en su finca es de 88 kg. o
más, pero la media  la desconoce.
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Consideramos la variable X que mide la producción de un naranjo en kg. y no sabe que
 ~  ,5
Plantearemos por tanto el siguiente contraste de hipótesis, siendo  0  88kg
 0 :   88
 i :   88
La región de aceptación sería:



  0  z x
,  .
n


Sabemos que 0  88 , n  10 y T  5 , hemos de encontrar z .
Como el nivel de significación es 0,05 hemos de encontrar z0,05 .
  z0,05   1  0,05  0,95 .
Buscamos este valor en la tabla que nos aportan y tenemos que z0,05  1,645.
Luego la región será:


5
Región de aceptación de  0 :  88  1,645·
,   88  4,16,  83,84, .
10


La región crítica o de rechazo será por tanto  ,83,84 .
b) Tenemos ahora que considerar los datos de la muestra y hallamos la media muestral

80  83  87  95  86  92  85  83  84  95
 87,1kg .
10
Si   83,84, no rechazamos  0
Si   83,84, rechazamos  0
En nuestro caso no podemos rechazar la hipótesis nula, es decir, al 5% de significación
no podemos rechazar que la producción de 1 naranjo sea inferior a 88 kg.