Propiedades de las ondas Propagación Dirección de propagación y

Unidad 3 Fenómenos ondulatorios. Propiedades, interferencia, ondas estacionarias
IES Ramón y Cajal Zaragoza
Propiedades de las ondas
Propagación
Dirección de propagación y frente de onda
Cuando una onda se propaga en una dirección y en
un medio muy largo, por ejemplo, en una cuerda, la
perturbación transportada por la onda llega a los
puntos sucesivos del medio de una forma
perfectamente determinada por su velocidad. El
frente de onda es el conjunto de puntos que la onda
abarca a la vez; si la onda viaja por una cuerda, el
frente de onda es el punto más alejado al que ha
llegado la onda en un instante determinado.
Si una onda viaja por un medio bidimensional
muy grande, como por ejemplo las ondas en el
agua, disponemos de diferentes alternativas: cuando
tiramos una piedra al agua, obtenemos un frente de
onda circular, un círculo que se expande a
velocidad constante. También es posible lograr un
frente de onda plano; por ejemplo, al golpear la superficie del agua de una cubeta con una regla
horizontal. En los dos casos, la dirección de
propagación es perpendicular a la línea determinada por el frente de onda.
Frente de onda circular y plano en
el agua de una cubeta de ondas
En aquellos casos en que la onda viaja en tres
dimensiones a través de un medio homogéneo, como
por ejemplo el sonido de un petardo que explota en
el aire, el frente de onda es una superficie esférica que
avanza a velocidad constante; su dirección de
propagación también es perpendicular a la
superficie que corresponde al frente de onda. Un
frente de onda circular o esférico puede
considerarse plano si estamos muy alejados de la
fuente.
A menudo, conviene visualizar la propagación de la onda teniendo en cuenta el frente
de onda, como sucede cuando estudiamos las propiedades de las ondas en el agua; en
cambio, otras veces, es más interesante considerar la dirección de propagación,
perpendicular al frente de onda, que se denomina rayo.
Cuando el frente de onda es circular o esférico, la energía transportada por la onda ha de
distribuirse en un frente cada vez más grande, de manera que si se considera una superficie
perpendicular a la dirección de propagación, el porcentaje de la energía inicial que le llega es
menor a medida que el frente de onda se expande; este fenómeno ya lo hemos denominado
atenuación.
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Coherencia
Hemos visto que, si golpeamos la superficie del agua con una regla horizontal, las ondas que se producen
tienen un frente de onda plano. Pero, además, poseen otra propiedad: todos los puntos del agua bajo la
regla comienzan a vibrar de la misma forma y decimos que la onda es coherente: todos los puntos en que
se ha generado la onda han vibrado en fase y el frente de onda avanza paralelo con todos sus puntos
vibrando en fase.
No es difícil conseguir sonido coherente. Todos los puntos de un altavoz vibran de forma sincronizada. Si
disponemos de dos altavoces iguales y los conectamos en serie, tendremos dos fuentes coherentes de
sonido.
La coherencia es una propiedad importante de la luz láser. Cuando se tiene una fuente de luz «normal»,
como por ejemplo una bombilla, los diferentes átomos del filamento emiten luz de forma totalmente aleatoria
y cada onda se emite desfasada respecto de las otras: no hay coherencia. En un láser, los átomos emiten luz
en fase, de manera que se emite un haz estrecho de luz coherente con un frente de onda plano.
Un holograma contiene
información
tridimensional de un
objeto. Para
conseguirlo, hay que
desdoblar el haz de un
láser, de modo que una
parte del haz, llegue
directamente a una
placa fotográfica
donde se superponga
con la luz
correspondiente a la
otra mitad del haz que
ha sido reflejada por el
objeto.
La palabra láser significa en inglés 'Light Amplification by Stimulated
Emission of Radiation'. Lo que quiere decir, en pocas palabras, que la luz
que emite es coherente. El primer láser fue construido en 1960 y, en la
actualidad, sus aplicaciones son numerosísimas: se emplean en medicina y
en la industria como herramientas de corte, en lectores de información, como
por ejemplo discos compactos o CD-ROM y en la transmisión de
información por fibra óptica. En la fotografía, se muestra el láser del
observatorio McDonald que se refleja en los espejos dejados en la Luna por
los astronautas de las misiones Apollo; la medición del tiempo que tarda la
luz en el viaje de ida y vuelta permite calcular con gran precisión la distancia
que separa la Tierra de nuestro satélite.
Absorción. Este concepto ya lo hemos visto con anterioridad
Cuando una onda se propaga por un medio, generalmente hay absorción. El medio absorbe
una parte de la energía de la onda y la amplitud de ésta disminuye. Si la absorción es
pequeña, decimos que el medio es transparente; por el contrario, un medio opaco a la onda
es aquel que absorbe intensamente su energía. Así pues, un vaso de café es opaco al paso de
la luz visible, pero transparente a la radiación infrarroja. Si nos referimos a las ondas
electromagnéticas, el único medio totalmente transparente es el vacío; en todos los demás
casos, se produce una absorción que crece exponencialmente con el grosor del material y
que depende de la frecuencia de la radiación y del tipo de material.
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Una de las primeras radiografías que se realizaron poco después
del descubrimiento de los rayos X, en 1895, corresponde a una
mano llena de perdigones, a consecuencia de un accidente de
caza. La imagen muestra que los perdigones de plomo son opacos
a los rayos X.
Si consideramos la luz, hay materiales, denominados filtros, que sólo absorben unos
márgenes relativamente estrechos de frecuencias. Por ejemplo, un filtro amarillo es capaz de
absorber la mayor parte de la luz azul y violeta; un filtro verde absorbe la luz roja. Por ello,
cuando hacemos pasar luz blanca por un filtro amarillo, la luz que se transmite (de color
amarillo) tiene el color complementario al que se ha absorbido (azul). La absorción selectiva
de unos colores se produce porque los fotones correspondientes a sus frecuencias tienen la
energía adecuada para provocar la transición de los electrones de un orbital a otro en las
moléculas del material del filtro.
Dispersión
Hay otro fenómeno que provoca que una onda pierda energía
durante su trayecto; se trata de la dispersión (denominada
también dispersión de Ray-leigh). Si una onda se propaga por un
medio donde hay pequeñas partículas, de un tamaño igual a 1/10
de longitud de onda aproximadamente, estas partículas provocan
que la onda cambie de dirección y, por tanto, que se pierda
energía en la dirección inicial. Este fenómeno es el responsable de
la gran atenuación del sonido que se produce en un bosque
espeso: las hojas de los árboles dispersan el sonido de dos
personas que se llaman, de modo que, incluso a distancias
relativamente cortas, no pueden oírse. De manera similar, el
sonido queda muy atenuado (a causa de la dispersión) si hay niebla densa. El haz de un láser puede observarse por los lados
debido a la dispersión que las partículas de polvo o de humo
provocan en la luz, tal y como sucede con el haz de luz de un
coche cuando hay niebla. La dispersión de la luz se emplea para
medir el grado de contaminación del aire.
La dispersión de la luz por las
moléculas de nitrógeno y
oxígeno de la atmósfera es la
responsable del color azul del
cielo. Los tripulantes de las
naves espaciales ven el cielo de
color negro, ya que a la altura
que se encuentran no hay
moléculas que puedan dispersar
la luz
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Difracción
Imaginémonos una onda con un frente plano que choca con un obstáculo que tiene una
pequeña abertura. De acuerdo con la propagación rectilínea de las ondas, podríamos
esperar que la onda que pasara a través de la abertura tuviera también un frente plano. Y
así sería si las dimensiones de la abertura fueran grandes comparadas con la longitud de
onda, pero si la longitud de onda es comparable al tamaño de la abertura, ésta actúa más
o menos como un foco puntual de las ondas y genera un frente de onda circular. Este
fenómeno es general para cualquier tipo de onda y se denomina difracción.
Cuando una onda pasa por una abertura de tamaño comparable a su longitud de onda,
la abertura se transforma en un foco puntual emisor de la onda.
Podemos comprobar fácilmente la difracción de las ondas en el agua empleando una
cubeta de ondas. En cuanto a la luz, podemos comprobar cómo se difracta si hacemos
incidir un láser en una ranura muy estrecha, delante de una pantalla.
Difracción de las ondas en el agua. La difracción es intensa cuando las ondas llegan a una abertura de un tamaño similar
a la longitud de onda. La difracción provoca que la abertura actúe como una fuente puntual de ondas.
La difracción impone un límite a la anchura que puede tener un rayo de luz procedente
de una ranura. Si la ranura es demasiado estrecha, el rayo de luz se ensancha en lugar
de hacerse más estrecho, a causa de la difracción. Como la difracción en una rendija
determinada depende de la longitud de onda, la luz de diferentes colores se difracta de
manera diferente; si hacemos pasar luz blanca por una ranura estrecha, podemos
observar bandas de colores.
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La luz que llega a una ranura se difracta de diferente manera
de acuerdo con su longitud de onda. Por esta razón,
si se difracta luz blanca, se observan franjas de colores
Reflexión
Reflexión de un pulso en un
muelle en un obstáculo fijo. El
pulso cambia de fase cuando
se refleja.
Cuando una onda que viaja por un medio llega a la superficie de otro medio diferente,
una parte de la onda se refleja, es decir, rebota y se mantiene dentro del mismo medio
por el que viaja. Si la onda se propaga a lo largo de una cuerda sujeta por su extremo,
se refleja y retorna por la misma cuerda. La onda reflejada cambia de fase si el medio
al que llega es rígido o es más denso que el medio inicial;
por ejemplo, si sujetamos la cuerda a un soporte. Si no es
así, no se invierte la fase de la onda reflejada
Si se consideran ondas en dos dimensiones, como por
ejemplo las ondas en la superficie del agua, que se reflejan
en una superficie plana, o la luz que se refleja en un vidrio
o un espejo, es conveniente considerar la dirección de
propagación de los rayos incidente y reflejado.
Experimentalmente, puede comprobarse que los ángulos
que los rayos incidente y reflejado forman con la normal
a la superficie son iguales, y que ambos, el incidente y el
reflejado, están en el mismo plano. Este fenómeno se
conoce como ley de la reflexión.
Ley de la reflexión. El
ángulo de incidencia es
igual al de reflexión. El
rayo
incidente,
el
reflejado y la normal a la
superficie están en el
mismo plano
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La igualdad de los ángulos supone que podamos imaginar que el rayo reflejado procede
de un punto situado simétricamente al otro lado de la superficie. De esta manera, si
colocamos un objeto frente a un espejo, todos los rayos de luz que se dirigen del
objeto al espejo se reflejan como si procedieran de un objeto idéntico que
estuviera al otro lado.
A cada punto del objeto le corresponde otro simétrico, y decimos que hay una
imagen del objeto al otro lado del espejo, a la misma distancia.
Son interesantes algunos fenómenos basados en la
reflexión de ondas diferentes a la luz. Los radares
emiten microondas, una pequeña fracción de las cuales
pueden ser reflejadas por obstáculos que haya en el
medio (aviones, montañas, barcos, etc.); la medición
del tiempo entre la emisión y la recepción de la onda
reflejada (que se ha de amplificar enormemente)
permite determinar la distancia a la que se encuentran
los obstáculos.
Los murciélagos localizan los obstáculos de una forma
similar mediante ultrasonidos. Los ultrasonidos
también se emplean en las ecografías: penetran en los
tejidos y son reflejados cuando se produce un cambio
de medio; de esta manera, la medición del tiempo entre
la emisión y la recepción permite elaborar una imagen
de los órganos internos de una forma totalmente
inocua.
El sonar permite determinar la distancia
a obstáculos sumergidos midiendo el
tiempo que tarda en reflejarse el sonido.
Su empleo permitió localizar los restos
del Titanic; el hallazgo se confirmó
gracias a la utilización de sumergibles
tripulados y robots
Ejemplo 6
Dibuja la trayectoria del rayo de luz que incide en los dos espejos de la figura.
Solución
El problema se resuelve empleando la geometría elemental: buscando el ángulo de incidencia en cada espejo y
considerando que el ángulo de reflexión ha de ser igual al de incidencia.
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El ángulo de incidencia respecto de la superficie del primer espejo es de 60°. El ángulo de reflexión también es de
60°, lo que implica que el ángulo de incidencia respecto del segundo espejo ha de ser de 70°, tal y como se muestra
en la figura. El rayo de luz sale reflejado del segundo espejo con un ángulo de 20° por debajo de la horizontal.
Ejercicio
Una persona se encuentra de pie ante un espejo. ¿Cuál es, aproximadamente, el tamaño más pequeño que puede
tener el espejo para que la persona pueda ver reflejado todo su cuerpo.
Refracción
Hemos visto cómo una onda que viaja por un medio y encuentra una superficie de otro
medio diferente se refleja. Si este nuevo medio es transparente, una parte de la onda
penetra en él (la otra parte se refleja) y, en general, lo hace cambiando su dirección de
propagación. El fenómeno se denomina refracción.
Aunque la refracción es un fenómeno general de las ondas,
resulta especialmente interesante la refracción de la luz,
que puede observarse en muchas situaciones.
Supongamos que un rayo de luz viaja por el aire y penetra
en un medio transparente como, por ejemplo, el agua:
experimentalmente, se comprueba que el rayo incidente, el
rayo refractado y la normal a la superficie están en el
mismo plano. Si se miden y tabulan los ángulos de
refracción que corresponden a diferentes ángulos de
incidencia, se verifica la ley de Snell:
Refracción de la luz en un vidrio.
Una parte del rayo incidente se
refleja y, la otra, se desvía y se
refracta hacia el interior del
vidrio; el rayo que ha penetrado
en el vidrio se refleja en la cara
inferior y, cuando llega a la cara
superior, se refracta y sale al
exterior. ¿Cuál es el rayo
incidente?
sen θaire/ sen θmedio = constante
La relación sen θaire/ sen θmedio tiene un valor que sólo depende del
medio en el cual penetra la luz. Este valor constante se denomina
índice de refracción del medio respecto del aire, nmedio aire
nmedio, aire = sen θaire/ sen θmedio
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Si la luz entra en un medio procedente del vacío en vez del aire, el índice de refracción
de cada sustancia tiene un valor muy similar al anterior y se denomina índice de
refracción absoluto. Las diferencias son tan insignificantes (el índice de refracción del
aire respecto del vacío es de 1,00029) que, en la práctica, basta con considerar los
índices de refracción de los diferentes medios respecto del aire.
Si consideramos dos medios diferentes, que designamos
como 1 y 2, la ley de Snell puede formularse de la
siguiente manera:
n2 aire / n1 aire = sen θ1/ sen θ2
Dicha ley resulta más fácil de recordar si se escribe como:
n1 aire x sen θ1= n2 aire x sen θ2
Ley de Snell. La normal, el
rayo incidente y el refractado
están en el mismo plano; en
dos medios determinados, el
cociente entre senθ1/ senθ2 es
constantey de valor n2/n1
En esta expresión, aparece en cada miembro de la
ecuación el producto del índice de refracción del medio
por el seno del ángulo en este medio. Puede comprobarse
que los índices de refracción de todos los materiales
respecto del aire (o los absolutos) son mayores que 1;
como veremos más adelante, esto es así porque la
velocidad de la luz en el vacío es mayor que en cualquier otro medio. Por tanto,
cualquier rayo de luz procedente del aire se desvía y se acerca a la normal cuando
penetra en un medio transparente (θaire > θ medio). Si consideramos un rayo de luz que
sigue el camino inverso, es decir, que se mueve del agua hacia el aire, se produce el
fenómeno contrario: el ángulo del rayo de luz con la normal es mayor en el aire que
dentro del agua.
En las situaciones en que la luz pasa de un medio de índice de refracción más alto a otro
de índice de refracción más bajo, como por ejemplo del agua al aire, puede aparecer un
fenómeno denominado reflexión total.
Reflexión total. Ángulo límite
Teniendo en cuenta la ley de Snell: ni sen i = nr sen r
Pueden darse casos en que al variar el ángulo de incidencia el ángulo de refracción sea 90º y, por
tanto el sen r =1. En estos casos, no se produce refracción del rayo, sino que la totalidad del rayo
incidente se refleja. Este ángulo de incidencia se denomina ángulo límite.
ni sen iL = nr sen 90º; ni sen iL = nr 1; sen iL= nr/ ni;
iL=arc seno(nr/ni)
Se puede analizar el fenómeno de la refracción y la refracción total haciendo clic en este enlace. Se
simula una experiencia típica de laboratorio de óptica para la obtención de la ley de refracción. Si en
la simulación se hace incidir un rayo perpendicularmente a la superficie curva, puede observarse el
fenómeno de la reflexión total.
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Diamantes. Los diamantes poseen
un índice de refracción muy elevado,
responsable de la gran desviación
que sufre la luz cuando penetra en su
interior.
Refracción de la luz que surge del agua hacia el aire. El
rayo de luz se desvía y se separa de la normal
Material
diamante
vidrio
hielo
agua
etanol
n medio, aire
2,419
1,3 a 1,7
1,309
1,333
1,361
índices de refracción de diferentes
materiales respecto del aire
El principio de Huygens. Una explicación de los procesos de reflexión y
refracción
Hasta ahora, hemos descrito los fenómenos asociados a la
propagación de las ondas sin considerar el mecanismo por
el cual se produce esta propagación. El físico holandés
Christiaan Huygens enunció, en 1690, lo que hoy se conoce
como principio de Huygens.
Propagación de una onda en
un medio homogéneo, de acuerdo
con el principio de Huygens.
Este principio afirma que cuando una onda viaja por un
medio transparente, todos los puntos a los que llega el
frente de onda se transforman en nuevos puntos
emisores de la onda; de esta manera, la superficie que
rodea a las nuevas ondas emitidas es el nuevo frente de onda.
Si aplicamos el principio de Huygens a una onda que se
propaga por un medio homogéneo, comprobaremos que no se modifica la forma del
frente de onda y que, por tanto, la dirección de propagación es rectilínea.
Un frente de ondas corresponde a la superficie formada por todos los puntos que son alcanzados por la onda
en un mismo instante y, por lo tanto, se encuentran en fase.
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Suponiendo que el medio es isótropo, si la onda se propaga a una velocidad v, el radio de las ondas
secundarias al cabo de un tiempo t, será "v·t". El nuevo frente de ondas será la superficie envolvente a todas
las ondas secundarias (semicircunferencias)
Explicación al proceso de reflexión de una onda.
Cuando la onda llega a un medio y se refleja en él, el principio de Huygens nos permite
justificar que la onda que se refleja lo hace con un ángulo igual al de incidencia.
La reflexión de una onda consiste en el cambio de dirección de propagación al incidir sobre una superficie de
separación de dos medios, de modo que la onda sigue propagándose sin cambiar de medio.
Consideremos un frente de ondas plano (AA’). En un instante determinado, el punto A del frente entra en
contacto con la superficie de separación de ambos medios. Según el principio de Huygens, el punto A se
convierte en foco emisor de ondas esféricas reflejadas (ya que no cambia de medio). Al cabo de un tiempo "t",
el radio de la onda esférica secundaria que se produce en el foco A será AB. En ese mismo tiempo, el radio de
la onda esférica secundaria que produce el foco A’ será A’B’. Como la velocidad de propagación es la misma
(ya que sigue propagándose por el mismo medio), las distancias AB y A’B’ son iguales.
Observando la figura, los triángulos ABB’ y AA’B’ son iguales ya
que sus tres lados lo son y por lo tanto, también lo serán sus
ángulos.
Por otra parte, como el ángulo A'AB’ es igual a "i" y el ángulo AB’B
es igual a "r", se puede afirmar que:
el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión (i = r)
En cuanto a la refracción, Huygens justificó la
desviación del rayo refractado al considerar que la velocidad de la onda en el nuevo
medio era diferente de la velocidad en el medio de incidencia.
Consideremos una onda plana que incide sobre la superficie de separación de dos medios materiales, y que la
velocidad de propagación en el segundo medio v2 es menor que en el primero v1.
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vi
θ
θ
θ
vr
θ
Conforme los puntos de la superficie son alcanzados por el movimiento ondulatorio, se convierten en centros
emisores. El radio de las ondas secundarias formadas en el segundo medio es menor que en el primero,
debido a que en su interior disminuye la velocidad de propagación, de vi:, velocidad del rayo incidente, pasa a
vr:, velocidad del rayo refractado..
Concretamente, las ondas secundarias originadas en A recorren una distancia AD en el mismo tiempo en que
la onda incidente recorre BC, donde AD es menor que BC.
La envolvente de las ondas secundarias da el nuevo frente de la onda refractada, DC.
El ángulo de refracción θr es el formado por el rayo refractado y la normal en el punto de incidencia A,
geométricamente, se observa que es el mismo que el formado por la superficie de separación con el frente de
la onda refractada DC.
De acuerdo con la construcción geométrica, BC = AC sen θi ; como la velocidad de entrada de la onda
incidente es vi; la distancia recorrida BC = v1t y podemos expresar la anterior relación, como: v1t = AC sen θi:
por otro lado, se observa geométricamente que AD = AC sen θr y la distancia recorrida por la onda refractada
AD, puede expresarse en función de la velocidad con que se propaga vr. Así, AD = vrt y la expresión anterior
quedaría: vrt = AC sen θr
Dividiendo ambas expresiones:
vi t AC senθi
vi senθi nr ,aire
es decir;
=

=
v r senθ r ni ,aire
v r t AC senθ r
es decir:
nr, aire / ni aire = sen θi/ sen θr
Dicha ley resulta más fácil de recordar si se escribe como:
ni aire x sen θi= nr aire x sen θr
Ley de Snell
El principio de Huygens también permite explicar fácilmente otros fenómenos, como
por ejemplo la difracción. Si consideramos el frente plano de una onda que llega a una
ranura, observamos que cada punto de la ranura se transforma en un foco emisor de la
onda; esto justifica que el frente de onda se curve si la ranura es lo bastante estrecha.
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Difracción según el principio de Huygens.
Todas estas consideraciones permiten enunciar las leyes de la refracción:
1 a El rayo refractado, la normal y el rayo incidente están en el mismo plano.
2.a La razón entre el seno del ángulo de incidencia y el del ángulo de refracción es una
constante igual a la razón entre las respectivas velocidades en el medio de propagación
del movimiento ondulatorio: incidente respecto al refractado. Esta cantidad constante n21
se denomina índice de refracción relativo del segundo medio respecto al primero.
Esta expresión recibe el nombre de ley de Snell de la refracción, en honor del matemático
holandés W. Snell (1591-1626), quien la dedujo experimentalmente en 1621.
Ejemplo 7
Un rayo de luz procedente del aire incide con un ángulo de 30°, tal y como muestra la figura, en una capa de aceite de
índice de refracción 1,78 y, a continuación, incide en una lámina de vidrio de índice de refracción 1,45. Dibuja la
trayectoria del rayo de luz.
Solución
Hay que considerar el cambio de dirección que se produce en cada superficie, de acuerdo con la ley de
Snell. Si consideramos la luz que incide desde el aire hacia la capa de aceite:
n1 aire x sen θ1= n2 aire x sen θ2
1 x sen 30 = 1,78 x sen 9aceile
sen θaceitc = 0,281 => θaceile = 16,3°
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A continuación, el rayo de luz incide con este ángulo de 16,3° en el vidrio. Podemos averiguar el
ángulo de refracción si volvemos a aplicar la ley de Snell:
naceite x sen θaceite= nvidrio x sen θvidrio
1,78 x sen 16,3° = 1,45 x sen θv¡dno
sen θvidrio = 0,344 => θvidno = 20,1°
Actividades
 Un rayo de luz incide en una lámina de vidrio de índice de refracción 1,40 y 0,10 m de grosor, y forma
un ángulo de 30° con la superficie. Calcula la distancia que se desplaza el rayo, respecto de su
dirección inicial, cuando atraviesa la lámina de vidrio.
 Supón que un rayo de luz se dirige desde el interior del agua (índice de refracción: 1,33) hacia la
superficie, donde hay aire. ¿Cuál es el ángulo de incidencia mayor que puede tener el rayo para
poderse refractar y salir del agua hacia el aire.
 Un vidrio tiene un índice de refracción de 1,50; el agua tiene un índice de refracción de 1,33. Calcula la
velocidad de la luz en este vidrio y en el agua.
Polarización
Otro fenómeno ondulatorio de gran importancia es la polarización. Éste adquiere especial
interés en las ondas luminosas y es característico únicamente de las ondas transversales.
Decimos que una onda no está polarizada cuando son igualmente posibles todas las
direcciones de oscilación de las partículas del medio a lo largo del tiempo; o bien, cuando la
onda está formada por la superposición de muchas ondas cuyas vibraciones tienen lugar en
distintas direcciones, como en el caso de la luz.
De lo contrario, hablamos de ondas polarizadas. Veamos los tipos básicos de polarización.
Polarización rectilínea o lineal
Una onda está polarizada rectilíneamente si la vibración tiene lugar siempre siguiendo
rectas con la misma dirección perpendicular a la dirección de propagación.
En ese caso, llamamos plano de polarización al formado por la dirección de vibración y la
dirección de propagación. En la figura, el plano de polarización es el plano VZ
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Dirección de
vibración
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Dirección de
propagación
Podemos conseguir una onda de este tipo sacudiendo constantemente arriba y abajo el
extremo libre de una cuerda fija en el otro extremo, de modo que todos sus puntos vibren
siempre en el mismo plano
Polarización circular y polarización elíptica
Una onda está polarizada circularmente o elípticamente si la vibración de un punto a lo
largo del tiempo tiene lugar siguiendo, respectivamente, círculos o elipses situados en
planos perpendiculares a la dirección de propagación de la onda
Plano de
vibración
Dirección de
propagación
Este tipo de polarización puede obtenerse haciendo vibrar el extremo libre de una cuerda
tensa, de modo que formemos círculos o elipses, manteniendo paralelos los planos de
vibración.
Cómo polarizar ondas en una cuerda
Se puede polarizar linealmente una onda en una cuerda al hacerla atravesar una ranura
situada en determinada dirección. La ranura sólo permite la transmisión de la
componente (análogamente a los vectores) de la onda que vibra a lo largo de ella.
En la figura una primera ranura polariza linealmente la onda. La segunda ranura, que
forma un ángulo a con la primera, permite pasar la onda en parte. Finalmente, una
tercera, perpendicular a la segunda, anula el movimiento ondulatorio, ya que la onda no
posee componente horizontal
Dirección de propagación
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ACTIVIDADES
Razona si es verdadera o falsa esta afirmación: Polarizar una onda significa restringir de algún modo la forma de
vibración de las partículas del medio obligando a todas ellas a vibrar en un solo plano.
La polarización es una propiedad característica de las ondas transversales. ¿Por qué?
¿Es posible polarizar las ondas sonoras? ¿son longitudinales?.....
LECTURA
Polarización
Las ondas transversales poseen una propiedad importante que las diferencia de las longitudinales:
se pueden polarizar. Decimos que una onda está polarizada cuando vibra en una sola dirección,
es decir, cuando todos los puntos del medio vibran en el mismo plano. Esta propiedad es
característica de las ondas transversales; no hay ninguna propiedad de este tipo asociada a una
onda longitudinal.
Por ejemplo, podemos generar ondas en una cuerda al hacerla vibraren cualquier dirección. En
cambio, si la cuerda pasa a través de unas barras verticales separadas un par de centímetros,
resulta fácil imaginar y comprobar que las vibraciones únicamente pueden propagarse cuando la
cuerda vibra paralelamente a las barras. No puede pasar ninguna vibración perpendicular a la
dirección de las barras.
La luz polarizada tiene una especial importancia debido a sus numerosas aplicaciones prácticas.
Nuestros ojos no nos permiten distinguir la luz normal de la luz polarizada. Podemos, no obstante,
conseguirlo mediante láminas denominadas polarizadores. Un polarizador funciona como un conjunto de barras que sólo permite que pase la luz que vibra paralelamente a la dirección de las
barras. De este modo, la luz «normal», que vibra en todas las direcciones, se polariza y vibra en un
único plano, por el simple hecho de pasar a través de la lámina polarizadora.
Polarización de la luz. La luz no
polarizada vibra en cualquier dirección.
Un polarizador sólo permite que pase la
luz que vibra en una dirección
determinada, y la luz que lo atraviesa sale
polarizada. Un segundo polarizador
cruzado con el primero no deja pasar la
luz.
Si queremos hacer pasar la luz polarizada a través de un
segundo polarizador, podremos hacerlo si la dirección que
permite este polarizador coincide con la de vibración de la luz.
Si la dirección es perpendicular, no pasará nada de luz y se
verá absolutamente oscuro. Si el ángulo entre las dos direcciones
es inferior a 90°, pasará un cierto porcentaje de luz. Podemos interpretar este hecho si descomponemos el vector que indica la
dirección de vibración de la luz en dos direcciones: una paralela
a las «barras» del polarizador y la otra perpendicular.
La luz se puede polarizar de modo natural de diferentes
maneras. Por ejemplo, cuando pasa a través de los cristales de
algunos minerales, como en el caso de la calcita. Si se hace una
pequeña cruz en un papel y se coloca encima un cristal de
espato de Islandia (calcita transparente), se verán dos cruces.
Este fenómeno se denomina birrefringencía y es debido a que la
luz sigue dos caminos diferentes a través del cristal. Si lo
observamos desde arriba, con un polarizador que vamos
Estudio de las tensiones en una
girando, podemos comprobar que la luz correspondiente a las
estructura arquitectónica con una
dos imágenes de la cruz está polarizada; cada 90° se ve una
maqueta de plástico y luz polarizada. cruz y desaparece la otra. Antiguamente, se conseguía obtener
diferentes colores corresponden a
un solo haz de luz polarizada, y no dos, al hacer pasar la luz a
diferentes grados de tensión en la
estructura; aquellos puntos en los qu
líneas están más próximas soportan
mayor tensión.
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través de un cristal de calcita tallado de una forma determinada; actualmente, es mucho más
sencillo emplear polarizadores.
También se polariza la luz que se refleja en superficies que no son metálicas, como el vidrio (no
un espejo), con un ángulo grande. Si se mira la luz reflejada en un vidrio a través de un
polarizador, se comprueba que, en un ángulo grande, los reflejos salen polarizados.
Hay moléculas de una misma sustancia que corresponden a la imagen reflejada en un espejo,
como las dos manos. Estas moléculas tienen la misma estructura pero no son idénticas; tal y
como sucede con las dos manos, son imágenes especulares y se denominan enantiómeros.
Poseen las mismas propiedades químicas y físicas, excepto una: un enantiómero hace girar el
plano de la luz polarizada que lo atraviesa en un ángulo y sentido determinado; el otro, lo hace
girar en el mismo ángulo, pero en sentido contrario.
La luz polarizada tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, se utiliza en las gafas para cine en
tres dimensiones (3D), en los visores de relojes y calculadoras, en fotografía, etc. Una
aplicación técnica importante es el estudio de las tensiones internas de materiales, como, por
ejemplo, piezas de plástico o de vidrio. También se usa en el microscopio petrográfico, en el
que las secciones de las rocas se observan entre dos polarizadores cruzados, que muestran
colores característicos y permiten la identificación de los minerales que las forman
Birrefringencia de la calcita
Modelos moleculares de
isómeros ópticos
Efecto de dos polarizadores paralelos o cruzados.
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FENÓMENOS DE SUPERPOSICIÓN DE ONDAS
Hasta ahora hemos considerado el comportamiento de una sola onda procedente de un foco
emisor. Pero es frecuente que varias ondas, procedentes de focos diferentes, se propaguen en el
mismo medio y coincidan en algún punto de éste superponiéndose.
La superposición de dos o más movimientos ondulatorios en un punto del medio se denomina
interferencia.
Principio de superposición
Los fenómenos de interferencia se rigen por el principio de
superposición.
El principio de superposición de las ondas afirma que, cuando dos
ondas se superponen, no modifican la velocidad ni el sentido de su
movimiento; la elongación que hay en cada punto, en cada instante,
es la suma de las elongaciones correspondientes a cada onda
individual.
Así, podemos decir que: Un punto de un medio que es alcanzado
simultáneamente por dos ondas que se propagan por él
experimenta una vibración que es suma de las que
experimentaría si fuera alcanzado por cada una de las ondas
por separado.
Cuando las dos ondas se separan después de la interferencia,
continúan su propagación sin sufrir modificación alguna.
Un ejemplo cotidiano de este principio es el hecho de poder escuchar varias conversaciones a la
vez, sin perturbación del sonido original y pese a haber tenido lugar diversas interferencias.
Las ondas se atraviesan unas a otras y prosiguen su propagación independientemente después de
haber interferido.
Interferencia de dos ondas armónicas coherentes
Trataremos la interferencia de dos ondas armónicas coherentes (ondas
que están en fase o cuya diferencia de fase es constante), y e y' que
coinciden en el punto P después de recorrer las distancias r y r’. Para
mayor simplicidad, supondremos que tienen la misma frecuencia,
amplitud, longitud de onda y velocidad, y que la vibración de ambas se
produce en la misma dirección perpendicular al plano de la figura.
Según el principio de superposición, la elongación resultante yr, es:
yr = y + y' = A sen (ωt - kr) + A sen (ωt - kr') = A [sen (ωt - kr) + sen (ωt - kr')] =
  wt- kr  +  wt- kr' 
  wt- kr  -  wt- kr')  
r'+ r 
 r'- r 

= 2 Asen 
 cos 
 = 2 Acos  k
 sen  wt- k

2
2
2 
 2 





Esta última expresión es la de un movimiento ondulatorio de la misma frecuencia y longitud
de onda que los movimientos que interfieren, y su amplitud Ar y su fase dependen de las
distancias r y r' a los focos emisores. Por tanto, la ecuación del movimiento a que está sometido el punto de interferencia P es:
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r'+r 

y r =A r sen  wt-k

2 

donde
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 r ' r 
Ar  2 A cos  k

2 

Interferencia constructiva y destructiva
A consecuencia de la superposición de ondas, en el punto donde tiene lugar ésta puede
producirse una intensificación de las ondas componentes o una debilitación de éstas, incluso
su anulación.
Vamos a considerar los dos casos extremos: intensificación o debilitación que pueden ocurrir
respecto a la amplitud de la onda resultante Ar
Por un lado, el valor de k = 2π/λ; por lo tanto, la expresión de la amplitud de la onda resultante yr,
es:
 r ' r 
 r ' r 
Ar  2 A cos  k
  2 A cos  
2 
 


Esta expresión nos va a servir para determinar los valores de máximo y mínimos dependiendo de las
/
diferencias de distancias recorridas Δr = r -r.
Por otro lado, también se puede determinar los valores de máximos o mínimos de acuerdo a
la diferencia de fase entre ambas ondas: Δφ.
La diferencia de fase entre las ondas y = A sen (ωt - kr) e y’= A sen (ωt - kr') se calcula:
Δφ = (ωt - kr) - (ωt - kr'); Δφ = k(r’-r)
Para ello, en primer lugar, sustituimos en la expresión de la amplitud de la onda resultante el
valor de la diferencia de fase:
 r ' r 
  
Ar  2 A cos  k
  2 A cos 

2 

 2 
Esta expresión, como complemento de la anterior, nos va a servir para determinar los valores de
máximo y mínimos dependiendo de la diferencia de fase de las ondas que se superponen: Δφ
Interferencia constructiva
Decimos que se produce interferencia constructiva cuando Ar es máxima en valor absoluto.
Para ello, la diferencia de recorridos ha de verificar:
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r ' r
 r ' r 
cos  
 n
  1 ; y debe cumplirse que: 

 

Por lo tanto r’-r = n λ; siendo n=0,1,2,…
Y la diferencia de fase debe verificar:

  
cos 
 n ;
  1 ; debe cumplirse
2
 2 
Por lo tanto Δφ = 2nπ; siendo n = 0, 1, 2….
La amplitud del movimiento resultante es máxima, e igual al doble de la amplitud de los
movimientos componentes, en los puntos en que la diferencia de recorrido de las ondas es cero
o un número entero de longitudes de onda. Las ondas llegan en concordancia de fase a estos
puntos.
Interferencia destructiva
Decimos que se produce interferencia constructiva cuando Ar es mínima. Para ello, la
diferencia de recorridos ha de verificar:
 r ' r 
cos  
0 ;
 

r ' r


  2n  1

2
y
debe
cumplirse
que:
Por lo tanto r’-r = (2n +1)λ/2; siendo n=0,1,2,…
Y la diferencia de fase debe verificar:


  
cos 
  2n  1 ;
  0 ; debe cumplirse
2
2
 2 
Por lo tanto Δφ = (2n+1)π; siendo n = 0, 1, 2….
La amplitud del movimiento resultante es nula, e igual al doble de la amplitud de los
movimientos componentes, en los puntos en que la diferencia de recorrido de las ondas es cero
o un número entero de longitudes de onda. Las ondas llegan en concordancia de fase a estos
puntos.
La amplitud del movimiento resultante es nula para todos los puntos en los que la diferencia
de recorrido de las ondas es un número impar de semilongitudes de onda. Las ondas llegan
en oposición de fase a estos puntos.
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DIFERENCIAQS DE FASE A CAUSA DE DISTINTO TIEMPO DE EMISIÓN
En el supuesto, más general, de interferencia de ondas con la misma frecuencia pero
diferente amplitud, las condiciones para que se produzca interferencia constructiva o
destructiva son las que hemos hallado anteriormente. Sin embargo, en la interferencia
destructiva la amplitud de la onda no llega a anularse en ningún punto.
Los puntos en los que se produce la interferencia constructiva y destructiva reciben los
nombres de vientres y nodos.
Llamamos vientres a los puntos que las ondas alcanzan en concordancia de fase para los que la
amplitud es máxima.
Llamamos nodos a los puntos que las ondas
alcanzan en oposición de fase para los que la
amplitud es nula.
Las líneas que los unen se denominan,
respectivamente, líneas ventrales y líneas nodales.
Cada línea ventral o nodal está formada por los puntos cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos, los focos de ambas ondas, es una constante (r'- r= constante). Por lo tanto, se
trata de hipérbolas en el plano de la figura.
ACTIVIDADES
 Di si la interferencia es una propiedad de algún tipo de ondas o de todas ellas.
 Cuando dos ondas interfieren constructiva o destructivamente, ¿se produce alguna ganancia o
alguna pérdida de energía en el sistema?
 Dos ondas que se propagan por el mismo medio interfieren en un punto a 1,5 m del foco emisor
de una onda y a 1,75 m del de la otra. Si la ecuación de ambas es y= 0,25 cos 4 Π (10t - x) (SI),
determina: a) la longitud de onda; b) si en el punto considerado, la interferencia es constructiva o
destructiva.
 Sol.: 0,5 m
 Dos ondas coherentes, de 40 Hz de frecuencia, se propagan a la velocidad de 20 cm.s-1. Calcula el
tipo de interferencia que se producirá en: a) un punto A que dista 12 cm de un foco y 10,5cm del
otro; b) un punto B que dista 6,25 cm de un foco y 8cm del otro; c) un punto C que dista 5cm de un
foco y 9 del otro.
 Un punto está sometido a la acción de dos ondas idénticas que parten de focos situados a 26 cm
y 25,8 cm del punto. Si la velocidad de propagación de las ondas es de 1200 m/s, determina cuál
debe ría ser la frecuencia para que el punto considerado corresponda al primer mínimo de la
amplitud.
Sol:3.105Hz
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Ondas estacionarías
Consideremos el caso de una onda que se propaga por
cierto medio e incide perpendicularmente sobre una
pared reflejándose en ella.
La onda resultante de la interferencia de la onda
incidente y de la onda reflejada tiene unas características especiales y recibe el nombre de
onda estacionaría.
Llamamos onda estacionaria a la onda producida por interferencia de dos ondas armónicas de
igual amplitud y frecuencia que se propagan en la misma dirección y sentido contrario.
Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando un medio limitado, como un tubo o una cuerda,
se ve afectado por un movimiento ondulatorio; las ondas estacionarias son provocadas por las
reflexiones que este movimiento experimenta en los extremos del medio.
Ecuación de la onda estacionaria
Para obtener la ecuación de la onda estacionaria producto de la interferencia, aplicamos el
principio de superposición.
Supongamos dos ondas armónicas, de igual amplitud y frecuencia, que se propagan en
sentido contrario siguiendo el eje OX. Tomando como origen la pared donde tiene lugar la
reflexión, las elongaciones producidas en un punto de abscisa x en el instante t valen:
y 1 = A sen (wt - kx)
y 2 = A sen (wt+ kx)
La elongación resultante se obtendrá a partir de la suma:
y r = y1 + y2 = A [sen (wt - kx) + sen (wt + kx)]
Como:
 A+B 
 A-B 
senA+senB=2sen 
 cos 
 la expresión anterior puede expresarse como
 2 
 2 
sigue:
(wt-kx)+(wt+kx)
(wt-kx)-(wt+kx)
2wt
-2kx
y r = 2A sen
cos
= 2A sen
cos
2
2
2
2
Donde :
y r = 2A sen wt cos kx
o:
y r = 2A cos kx sen wt
Expresión que no corresponde a una onda “viajera”, puesto que no aparece el
término  wt  kx  , sino a un movimiento armónico simple de amplitud variable. El
valor de la amplitud depende del punto de la onda que consideremos Por este
motivo a este tipo de perturbaciones se les llama ondas estacionarias.
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Por tanto, la ecuación de la onda estacionaria toma la forma siguiente:
yr = 2 A cos (kx) sen (wt) = Ar sen (wt)
La onda estacionaria es armónica de igual frecuencia que las componentes y su amplitud, Ar,
es independiente del tiempo, pero varía sinusoidalmente con la abscisa x.
Por lo tanto, excepto los puntos en que la amplitud es nula (los nodos), que no oscilan, todos
los puntos de la onda oscilan armónica y
verticalmente respecto de OX y alcanzan a la vez la
posición de equilibrio.
Puesto que los nodos se encuentran siempre en reposo,
la onda estacionaria parece permanecer fija sobre la
dirección de propagación (de ahí su nombre), no viaja
y, por lo tanto, no transporta energía.
Al no existir transporte de energía, no podemos considerar las ondas estacionarias como ondas en sentido
estricto.
Vientres y nodos de la onda estacionaria
Posición de los vientres
Posición de los nodos
Ar es máxima en valor absoluto, e igual al doble
La amplitud resultante .4,. es nula en todos los
de la amplitud de las ondas que interfieren, en todos puntos cuya abscisa x es tal que cos (kx) = 0.
los puntos cuya abscisa x cumple cos (kx) = ± 1.
Es decir:
kx = nπ; x = nπ/k = 2n ( λ/4)
x = 2n ( λ/4)
n = 0, 1, 2, 3….
Son puntos de amplitud máxima en valor
absoluto, es decir, vientres o antinodos de la
onda estacionaria, aquéllos cuya abscisa x
respecto de un foco vale 0 o un número par de
cuartos de longitud de onda.
Es decir: kx = (2n+1)π/2 ; x = (2n+1)π/2;
x= (2n+1)π/2k; x= (2n+1) π λ/(2.2 π);
x= (2n+1) λ/4
x = (2n+1) ( λ/4)
n = 0, 1, 2, 3….
Son puntos de amplitud nula, es decir, nodos de
la onda estacionaria, aquéllos cuya abscisa x
respecto de un foco vale un número impar de
cuartos de longitud de onda.
Distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos
Se obtiene mediante el cálculo de la diferencia de posición de dos vientres (o dos nodos) consecutivos. En ambos casos es la misma.
— Distancia entre vientres : x n -x n - 1 = 2n (λ/4 – [2 (n-1)] ( λ/4) = n λ/2 - n λ/2 + λ/2 = λ/2
— Distancia entre nodos: x n -x n - 1 = (2n+1) (λ/4) – [(2(n-1)+1) (λ/4) = [(2n +1 -2n +2 -1) (n-1)]
(λ/4)= 2 λ/4 = λ/2
La distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. Por
tanto, la distancia entre un vientre y un nodo es de un cuarto de longitud de onda.
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Ondas estacionarias en una cuerda
Entre las ondas estacionarias destacan las producidas en una cuerda tensa y flexible, con uno
o dos de sus extremos fijos. Como en toda onda estacionaria, los puntos de la cuerda,
exceptuando los nodos, oscilan al mismo tiempo con movimiento armónico de igual
frecuencia aunque de amplitud variable que depende de su posición.
A. Cuerda fija en sus dos extremos
Es el caso de los instrumentos musicales de cuerda. Las vibraciones producidas en las
cuerdas dan lugar a ondas estacionarias; a su vez, éstas producen ondas sonoras de la misma
frecuencia.
Consideremos una cuerda de longitud L fija por sus extremos:
- Al apartarla de su posición de equilibrio y soltarla, las fuerzas elásticas de recuperación la
hacen vibrar.
- Las ondas que se propagan en sentidos contrarios, debido a las reflexiones en los extremos
de la cuerda, dan lugar a distintas ondas estacionarias.
- Cada una de las ondas estacionarias componentes del movimiento resultante que puede
adoptar la cuerda en su vibración tiene una frecuencia característica y se denomina modo
normal de vibración.
- Los extremos de la cuerda, de abscisas 0 y L, deben ser nodos, ya que en estos puntos no
hay vibración.
- Para determinar las longitudes de onda de cada uno de los modos normales de vibración,
debemos tener en cuenta que en toda onda estacionaria la distancia entre nodos consecutivos
vale λ/2. Por lo tanto, la formación de ésta requiere que la longitud de la cuerda cumpla L = n
λ/2, de donde:
λ = 2 L/n n = 1, 2,3 …. λ1 = 2L; λ2 = L; λ3 = 2L/3 ……
Esta expresión muestra que sólo son posibles las ondas estacionarias cuya λ es un submúltiplo del
doble de la longitud de la cuerda.
Cada modo normal lleva asociada una
frecuencia que depende de la velocidad de
propagación de las ondas en la cuerda, f = v/
λ:
f = n (v/ 2L) n= 1, 2, 3,…
f1 = (v/ 2L); f2 = (v/ L); f3 = (3v/ 2L);
La frecuencia menor se denomina frecuencia
fundamental o primer armónico; la siguiente,
segundo armónico; y, así, sucesivamente
constituyen una serie armónica.
Ondas estacionarias en una cuerda fija por ambos
extremos. Los puntos marcados con A son vientres o
antinodos y los señalados con N son nodos. En general,
el armónico enésimo tiene n antinodos, donde n = 1, 2,
3, ...
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Unidad 3 Fenómenos ondulatorios. Propiedades, interferencia, ondas estacionarias
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A. Cuerda fija en un extremo
En una cuerda con un extremo fijo y otro libre también pueden producirse ondas estacionarias.
- Igualmente, cada una de las ondas estacionarias componentes del movimiento resultante se
denomina modo normal de vibración.
- Las ondas se reflejan en el extremo fijo, donde siempre habrá un nodo, pero no lo hacen al
llegar al extremo libre, que es un vientre.
- Para determinar los modos normales de vibración, debemos tener en cuenta que la distancia
entre un nodo y un vientre consecutivos es λ/4. Por lo tanto, se debe cumplir L = n λ/4. Así, las
longitudes de onda de los modos
normales de vibración posibles
son:
λ = 4 L/n n = 1, 3, 5…
El valor de cada frecuencia de la
serie armónica depende de la
velocidad de propagación de las
ondas en la cuerda (que, a su vez,
depende de la tensión y la masa de
ésta). Obsérvese que no existen
armónicos pares
f = v/λ = n (v/4L)
f = n (v/4L)
n = 1, 3, 5…
Ondas estacionarias en una cuerda fija sólo por un extremo.
El extremo libre es un vientre o antinodo.
Ondas estacionarias sobre una
cuerda que se hace oscilar mediante
un vibrador situado en el extremo
izquierdo de la cuerda. Esas ondas
estacionarias
tienen
lugar
a
frecuencias muy concretas. (Richard
Megna/Fundamental Photogmphs, New
York.)
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Ondas estacionarias en tubos
Si dirigimos una corriente de aire sobre el extremo abierto de un tubo, se produce una onda
longitudinal de presión que se refleja al llegar al otro extremo, tanto si éste está abierto como si
está cerrado. El resultado de la superposición de las ondas y sus reflexiones, que se desplazan en
sentido contrario en el aire del interior del tubo, es la formación de una onda estacionaria
longitudinal.
La onda presenta características diferentes según el tubo esté abierto por sus dos extremos o sólo
por uno. En los extremos cerrados aparece un nodo, ya que en ellos las partículas de aire no
pueden oscilar, y en los abiertos aparece un vientre. Las demás consideraciones son análogas a
las efectuadas en el caso de las cuerdas.
Tubos abiertos por los dos extremos
n=1
Relación entre la longitud del tubo L y la longitud de la onda
λ1 = 2L
L = n λ/2;
λ = 2L/n n = 1, 2, 3, …
n=2
λ2 = L
λ1 = 2L; λ2 = L, λ3 = 2L/3; λ4 = L/2
n=3
Frecuencias de los armónicos:
f = v/ λ = n (v/2L) ;
f1 = (v/2L);
f2 = (v/L);
λ3 = 2L/3
f = n (v/2L)
f3 = (3v/2L)
n =1, 2, 3, …
f4 = (2v/L)……
Tubos abiertos por un sólo extremo
Relación entre la longitud del tubo L y la longitud de la onda
L = n λ/4;
λ = 4L/n n = 1, 3, 5, …
λ1 = 4L; λ2 = 4L/3, λ3 = 4L/5; λ4 = 4L/7
Frecuencias de los armónicos: f = v/ λ = n (v/4L) ;
f = n (v/4L) n =1, 3, 5, …
f1 = (v/4L); f2 = 3 (v/4L); f3 = 5 (v/4L); f = 7 (v/4L)
n=1
Las vibraciones en el tubo se
componen, como sucede al pulsar
una cuerda, de una frecuencia
fundamental junto con otras
frecuencias, las armónicas, de
diversa amplitud. Es decir, en
realidad son ondas complejas
producidas por superposición de
los distintos armónicos.
λ1 = 4L
n=3
λ2 = 4L/3
n=5
λ3 = 4L/5
n=7
n=9
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Resonancia acústica
En el movimiento armónico simple, vimos cómo un cuerpo capaz de vibrar al ser sometido a
impulsos periódicos de frecuencia igual a alguna de sus frecuencias naturales entra en vibración
con una amplitud que alcanza su máximo valor. Este fenómeno se denomina resonancia.
Más concretamente, un sonido puede excitar las vibraciones de un cuerpo que sea capaz de
emitir aquel mismo sonido.
Veamos una experiencia en que se manifiesta la resonancia acústica. Se colocan dos diapasones
idénticos sobre sendas cajas huecas, para potenciar las ondas sonoras. Al golpear uno de ellos,
vibra emitiendo un sonido, y se observa que el otro diapasón empieza a vibrar con igual
frecuencia al alcanzarle las ondas sonoras del primero.
Se comprueba también que, si detenemos las vibraciones del primero, seguimos oyendo el
sonido de la vibración del segundo.
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Unidad 3 Fenómenos ondulatorios. Propiedades, interferencia, ondas estacionarias
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Lectura
EFECTO DOPPLER-
En todos los fenómenos que has estudiado en este tema, la fuente de ondas se mantenía en reposo respecto del
observador. Si la fuente de ondas se acerca o se aleja del observador (o el observador respecto de la fuente), éste
aprecia una variación de longitud de onda. El fenómeno se denomina efecto Doppler.
Supongamos que un tren emite, con su silbato, un sonido de una frecuencia determinada. El sonido se propaga por el
aire a la misma velocidad, vsonido, tanto si el tren está parado como si está en movimiento. Si nos encontramos en la
estación y el tren se acerca pitando, los sucesivos frentes de onda estarán más cerca que si el tren estuviera parado; si
se aleja, estarán más separados. Oímos un sonido que tiene una longitud de onda menor o mayor, respectivamente, que
la que corresponde al sonido cuando el tren está parado.
Efecto Doppler. Si la fuente que emite las ondas se acerca
a un observador, éste percibe una longitud de onda
menor que la que corresponde a la fuente de ondas en
reposo. Si la fuente se aleja, el observador percibirá una
longitud de onda mayor.
Imaginemos que este tren se aproxima a una velocidad,
vfuente. La longitud de onda que percibiremos será la
longitud de onda que emita en reposo, λo, menos la
distancia que se haya desplazado el tren en el tiempo que
tarda en emitir dos crestas sucesivas de la onda. Como
este tiempo es el período T y el tren avanza a una
velocidad vfuente, la distancia que ha recorrido entre estas dos
crestas es vfuente T. La longitud de onda que el observador
oirá, λ, será:
vfuente
λ = λ 0 - vfuente T = λ 0 -
vfuente v fuente
=
vonda
f
λ0
 v

λ = λ 0 1- fuente 
 v onda 
Si la fuente de ondas se aleja en vez de acercarse, la fórmula es similar. Puede demostrarse fácilmente que lo único
que cambia es el signo. La fórmula general que nos permite calcular la longitud de onda en el efecto Doppler cuando la
fuente de ondas se acerca (signo -) o se aleja (signo +) es:
 v

λ = λ 0 1- fuente 
 v onda 
Es importante destacar que la velocidad de la onda es la misma tanto si la fuente de ondas está en reposo como si se
mueve. Por el contrario, la longitud de onda varía de acuerdo con la velocidad relativa del observador y la fuente. La
magnitud de la variación de la longitud de onda es proporcional al cociente entre la velocidad de la fuente y la de la
onda.
Supongamos que una ambulancia tiene una sirena que emite un sonido de 600 Hz. La velocidad del sonido es de 340
m s-1 y la longitud de onda que medirá un observador en reposo será:
v 340ms -1
λ0 = =
=0,567m
f
600s -1
Si la ambulancia se acerca a una velocidad de 108 km/h, que equivale a 30 m s-1, el observador percibirá una
longitud de onda menor, que puede calcularse con la fórmula correspondiente al efecto Doppler:
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 v fuente 
 30ms -1 
λ = λ 0  1=0,517m
 =0,567m. 1-1 
 340ms 
 v onda 
La frecuencia que oirá el observador, correspondiente a un sonido un poco más agudo, será:
v 340ms-1
f= =
=677Hz
λ 0,517m
El efecto Doppler no está asociado únicamente al sonido: es totalmente general para cualquier tipo de onda. Su
importancia en astronomía es enorme: por ejemplo, sabemos que el universo se expande gracias al análisis de la luz
que emiten las galaxias lejanas. Las longitudes de onda de la luz emitida por los diferentes elementos químicos, que
tienen unos valores bien definidos cuando se miden en el laboratorio (en reposo), aparecen desplazados hacia el color
rojo (longitud de onda mayor) cuando se analiza la luz de las galaxias. Este desplazamiento hacia el rojo se debe al
efecto Doppler de las galaxias que se alejan y es análogo al alargamiento de la longitud de onda del sonido del silbato de
un tren que se aleja.
En 1929, el astrónomo estadounidense E. Hubble
El astrónomo estadounidense
comprobó que la velocidad de alejamiento de las galaxias,
Edwin Hubble (1889-1953)
calculada a partir de! desplazamiento de la longitud de
obtuvo por primera vez las
onda debida al efecto Doppler, era proporcional a su
evidencias de la expansión del
distancia a la Tierra. Este descubrimiento, de gran
universo, basadas en el efecto
importancia, indica que el universo se expande de una
Doppler de la luz procedente de
manera parecida a como se hincha un globo. Los datos
las galaxias lejanas.
actuales indican que el universo se está expandiendo a
una velocidad de unos 15 km s-1 cada millón de años luz
de distancia a nuestra galaxia. La medición precisa de
este valor, llamado constante de Hubble, es uno de los objetivos más importantes de los
astrónomos actuales. En efecto, la edad del universo se estima en unos 20 000 millones de años si se supone que el
universo se ha expandido a partir de un punto inicial (el momento en que se inició esta expansión se denomina big
bang) hasta su tamaño actual con esta velocidad.
El análisis de la luz emitida por estrellas dobles, que giran una respecto de la otra, también permite observar el efecto
Doppler debido a la estrella que se acerca y a la que se aleja. Pueden calcularse las velocidades a las que se mueven
las dos estrellas y deducir su masa relativa. Todavía hay muchas más aplicaciones del efecto Doppler: en alarmas
domésticas, en radares, en medicina, etcétera
Efecto Doppler de las estrellas binarias KArietis. El espectro
de la izquierda corresponde a una situación en que una
estrella se mueve y se acerca a la Tierra y otra se aleja. A la
derecha, se muestra el espectro de las mismas estrellas
cuando se mueven perpendicularmente a la línea de visión
desde la Tierra. Las líneas del primer espectro aparecen
desdobladas por el efecto Doppler.
Como complemento a esta lectura, el efecto Doppler puede producirse también en los casos en que la fuente este quieta
y se mueva el receptor con velocidad vR, tanto alejándose como acercándose a la fuente. En este caso, la longitud de
onda que llega al receptor, tanto se si acerca como si se aleja, es idéntica a la longitud de onda que genera el foco emisor.
Por el contrario al caso descrito anteriormente, la frecuencia (número de ondas por segundo) que llegan al receptor varía
en le caso de acercarse o alejarse de la fuente.
La velocidad de la onda medida desde el foco es vp, pero respecto al receptor que se aleja, es vp - vR = f’ λ
vp es la velocidad de la onda respecto al medio en reposo. Sustituyendo vp = λ. f obtenemos
λ. f -v R = f’ λ; despejando f’; f’= f –
vR
v
v .f
; sustituyendo λ; f’= f – R ; f’= f – R
v
λ
vp
p
f
sacando factor común f
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 v
f'=f 1- R
 v
p

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
 En el caso de alejarse el receptor, la frecuencia con que le llegan las ondas es igual a la frecuencia con

que emite la fuente menos vR/vp



En el caso de acercarse a la fuente: f'=f  1+



vR
vp
Con lo que la expresión general sería f'=f  1 



vR
vp

 con el + cuando se acerca y el – en el caso de alejarse de la

fuente.
Situaciones en que se aprecia el efecto Doppler. En el primer caso el receptor
se aleja de la fuente con velocidad vR. En la segunda imagen, el receptor se
acerca a la fuente con velocidad vR. En ambos casos la longitud de onda
apreciada por los receptores es idéntica a la onda generada inicialmente. Por
el contrario, al moverse con velocidad vR, la frecuencia que aprecia,
comparada con la frecuencia original, disminuye en el caso de alejarse y
aumenta en le caso de acercarse a la fuente.
Efecto Doppler. Si el observador se acerca, con una velocidad v, al foco que produce las, éste percibe una
frecuencia de onda mayor que la que corresponde a la fuente de ondas en reposo. Si se aleja de la fuente,
el observador percibirá ondas de menor frecuencia.
Cuestiones
1 Un tren se mueve a una velocidad de 40 ms-1 Los pasajeros oyen su silbato con una frecuencia
de 500 Hz. ¿Qué frecuencia oirá un observador en reposo cuando el tren se acerque?
2 Cuando se analiza la luz de una nebulosa, se observa una línea espectral que tiene una longitud
de onda de 656 nm. Esta línea, correspondiente a un elemento químico determinado, aparece a
434 nm cuando su luz se analiza en el laboratorio. ¿Cuál es la velocidad con que se aleja la
nebulosa de la Tierra?
3 El efecto Doppler de las microondas reflejadas en un coche se emplea para determinar su velocidad. Supón que se emplean microondas de frecuencia de 2 450 MHz y que la máxima velocidad
permitida en la carretera es de 120 km h-1. Cuando se mida la frecuencia de las microondas
reflejadas por los coches que se acercan o se alejan, ¿cuál será el margen de valores que no suponga ninguna infracción?
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Unidad 3 Fenómenos ondulatorios. Propiedades, interferencia, ondas estacionarias
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ANEXO I
normal
normal
Avance de una onda en un
proceso de reflexión explicado
mediante el Principio de
Huygens
rayo
rayo
αi
A’
αi
Frente
de onda
Un frente de ondas comienza a
introducirse en un medio de índice
de refracción mayor.
Se observan los rayos, el frente de
onda y la normal.
A
El frente de onda viene
determinado por los puntos A y A’
normal
normal
rayo
rayo
Frente
de onda
αi
A’
Nuevo frente
de onda
αi
B’
A
●
●
●
●
normal
normal
Frente
de onda
αi
De acuerdo con el principio de
Huygens, cuando los puntos del
frente de ondas llegan a la línea de
separación del nuevo medio, se
convierten en focos emisores de
nuevas ondas.
.
A’ αi αr
αi αr B
A
Si la velocidad es la misma, recorre
la misma distancia en el mismo
tiempo: A, llega a B cunado A’ llega
a B’.
Los triángulos AA’B’ y ABB’ son
semejantes, por lo tanto αi = αr
rayo
rayo
Cuando A rebota hasta B, A` llega
a B’ ya que la velocidad de
propagación de ambas ondas en la
misma al estar en el mismo medio.
αr
B’
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Unidad 3 Fenómenos ondulatorios. Propiedades, interferencia, ondas estacionarias
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Avance de una onda en un proceso de
refracción explicado mediante el Principio de
Huygens
normal
rayo
rayo
Frente
de onda
B
αi
A
αi
Un frente de ondas comienza a introducirse en un
medio de índice de refracción mayor.
Se observan los rayos, el frente de onda y la
normal.
El frente de onda viene determinado por los
puntos A y B
αi
Cuando el frente llega a la superficie de
separación de ambos medios, primero toca en A y
comienza a pasar al nuevo medio. La otra parte
del frente de onda se encuentra en B.
Mientras el frente de la onda en B avanza por el
medio 1, de índice de refracción n1, el punto A
comienza a pasar al nuevo medio, de índice n2
mayor y, por tanto a menor velocidad. De esta
manera, cuando B llega a C, A ha avanzado algo
menos hasta D, ya que, como hemos dicho, su
velocidad de propagación es menor.
normal
rayo
rayo
Frente
de onda
B
αi
αi
A
A
ααi i
●
●
Según el principio de Huygens, al entrar en
contacto los puntos del frente de onda con la
superficie de separación, cada punto se convierte
en foco emisor de nuevas ondas. Los puntos de
avance de cada una de las ondas, en un instante
dado, constituyen el nuevo frente de onda: DC
C
●
αr
Frente de
onda
refractado
D
Fíjate que la onda que se forma desde A hasta D
tiene menor radio que la que se forma desde B
hasta C.
El rayo que parte de A a D debe ser perpendicular
al frente de onda, formado 90º.
De acuerdo con el principio de Huygens, cuando
los puntos del frente de ondas llegan a la línea de
separación del nuevo medio, se convierten en
focos emisores de nuevas ondas.
normal
rayo
rayo
Frente
de onda
B
Frente de
onda
αi
A
αi
●
D
αi
C
αr
Frente de
onda
refractado
Analicemos los triángulos ABC y ACD:
ΔABC: BC=AC senαi;
ΔACD: AD=AC sen αr
Además BC=vi .t1 y AD= v2. t1
Igualando ambas expresiones y dividiendo una
entre otra:
v1 sen  i n 2
=
=
v 2 sen  r n1
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