examen de matrices

EXAMEN DE MATRICES
Se recomienda:
a) Antes de hacer algo, leer todo el examen.
b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor.
c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta.
d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe
nada.
Calcula el rango de la siguiente matriz:
1.
1 −3 −1 −1
A
1
5
3
3
1
1
1
1
3
7
5
5
Se recomienda utilizar el método de Gauss
(2.25 P)
2 Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de la siguiente matriz:
1 −2 1
B
3
0
4
0
4
1
(2.25 P)
En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5.
 Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes.
 Las viviendas L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes.
 Las viviendas L5 tienen 6 ventanas pequeñas y 5 grandes.
Por otro lado, para las ventanas se cumple que:
 Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras.
 Cada ventana grande tiene 4 cristales y 6 bisagras.
Se pide:
a) Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las ventanas de cada vivienda.
b) Escribe una matriz que describa el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana.
c) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada vivienda.
3
(2X0.5 P0.65 P)(#1.65 P)
Halla las matrices X e Y que verifican el sistema:
4

2X  Y 

X−Y 
1 4
2 0
1 −1
1
0
(1.925 P)
Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta.
Calcula x e y para que esta matriz C sea ortogonal:
5
3
5
C
x
0
y − 35
0
0
1
0
FJSP CURSO 2012/13 Examen de matrices
1
Se recomienda calcular C  C t  I
1. 925 ∗ 2  1. 65  2 ∗ 2. 25  10. 0
(1.925 P)
FJSP CURSO 2012/13 Examen de matrices
2
SOLUCIÓN
1 −3 −1 −1
A
1.
1
5
3
3
1
1
1
1
3
7
5
5
, rank: 2
A la cuarta columna le quitas la primera multiplicada por tres, y a la segunda y a la tercera le quito
la primera:
1 −3 −1 −1
1
5
3
3
1
1
1
1
3
7
5
5
−3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
1 −3 −1 −1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 −3 −1 −1
−
1 −3 −1 −1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

1 −3 −1 −1
0
8
4
4
0
4
2
2
0 16
8
8
Como la segunda y cuarta fila son proporcionales a la tercera las elimino:
1 −3 −1 −1
0
4
2
2
Claramente se ve que no hay ningun tipo de proporcionalidad entre las dos filas por lo tanto
2.25 P
rgA  2. Recuerdese que esta matriz es rectangulara de dimensión 2x4.
1 −2 1
B
2
3
0
4
0
4
1
Por el método de Gauss-Jordan trabajamos con la matriz:
1 −2 1
1 0 0
3
0
4
0 1 0
0
4
1
0 0 1
A la segunda fila le quitamos la primera multiplicada por 3:
1 −2 1 1 0 0
3
0
4 0 1 0
0
4
1 0 0 1
0
−3
0
1 −2 1 1 0 0
0
0
1 −2 1
0 0 0 0

0
0 0 0 0
6
1
0 0
1 −3 1 0
0 4 1
A la tercera fila le quitamos la segunda multiplicada por 4  2
6
3
1 −2
1 −2 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 6
− 2

0 6 1 −3 1 0
0 0 0 0 0 0
3
0 0
0 4 1 0 0 1
0 6 1 −3 1 0
0
0 1
1
1
0
0
1
1
3
−3
1
−2
3
0
2
1
A la segunda fila le quitamos la tercera multiplicada por 3:
FJSP CURSO 2012/13 Examen de matrices
3
1 −2
1 −2
1
1
0
0
1 −3 1 0
0 6
1
0 0
−3

0 0 1 2 −2 1
0 0
0 0
0
3
3
Dividimos entre 6 la segunda fila y la tercera la multiplicamos por 3:
0
1
3
−9
3
−2
3
−3
0
1
1
0
0
0 0
6
1
−2
1
1
0
1
3
0
0
0
0
2 −2
3
0 0
0
1 −2 1
0
1
0 −3
2
1 6
2
0
0
1 −1
2
2
−2 3
0  6 6  6 0  6 −9  6
36
−3  6
0 1

30 30 3 1 32 3 −2
31
0 0
3
3
A la primera fila le quitamos la tercera y le sumamos el doble de la segunda:
1 −2 1 1
0
0
0 1 0 −3
0 0 1 6 −2 3
2
0 1 0 −3 1 −1
−
2
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0
2
2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 6 −2 3
−8
0 1 0 −3
2
0 0 1 6
1 0 0

3 −4
1 −1
2
2
−2 3
−8
−3
2
6
Entonces B −1 
−8
−3
2
6
1 0 0
→
0 1 0
0 0 1
1
1
2
0
−1
2
0
0
0

3 −4
1 −1
2
2
−2 3
3 −4
1 −1
2
2
−2 3
Comprobación: no necesaria
−8
−3
2
6
3 −4
1 −1
2
2
−2 3
1 −2 1
3
0
4
0
4
1
1 0 0

2.25 P
0 1 0
0 0 1
En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5.
 Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes.
 Las viviendas L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes.
 Las viviendas L5 tienen 6 ventanas pequeñas y 5 grandes.
Da pie a la siguiente tabla:
3
ventanas pequeñas ventanas grandes
viviendas L3
4
3
viviendas L4
5
4
viviendas L5
6
5
4 3
→A
5 4
0.5 P
6 5
Por otro lado, para las ventanas se cumple que:
 Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras.
 Cada ventana grande tiene 4 cristales y 6 bisagras.
Da pie a la siguiente tabla:
cristales bisagras
ventana pequeña
2
4
ventana grande
4
6
→B
FJSP CURSO 2012/13 Examen de matrices
2 4
4 6
0.5 P
4
4 3
Calculamos el producto matricial AB 
20 34
2 4
5 4

4 6
6 5
26 44
32 54
Que se correspondería con la siguiente tabla:
cristales bisagras
viviendas L3
20
34
viviendas L4
26
44
viviendas L5
32
54
0.65 P
4

2X  Y 

X−Y 
1 4
2 0
1 −1
1
0
A
Por comodidad llamamos
B
1 4
2 0
.
1 −1
1
0
2X  Y  A
Así nuestro sistema quedará como:
X−Y  B
Si sumamos en columna nos queda:
1 4
3X  A  B  X  1 A  B  1
3
3

2
3
1

2 0
1 −1
1

0
1
0
Ahora sustituimos este valor de X para hallar Y:
En primer lugar de la segunda ecuación sacamos que: X − Y  B  X − B  Y
2 1
−1 2
1 −1
3
3
Finalmente: Y 
−

1.925 P
1 0
1 0
0 0
3
5
5
C
x
0
y − 35
0
0
1
0
→ Ct 
3
5
y
0
x
−3
5
0
0
0
3
5
Ahora calculamos: C  C  I 
t
0
3
5
y
0
3
5
0
x
0
0
1
0
−3
5
0
x
y −
0
1
FJSP CURSO 2012/13 Examen de matrices
1
1 0 0

0 1 0

0 0 1
5
x2  9
25
3y− 3x
5
5
0

3y− 3x 0
5
5
9
2
y 
0
25
0
1
1 0 0

0 1 0

0 0 1
x2  9  1
25
3y− 3x  0
5
5
3y− 3x  0
5
5
9
2
y 
1
25
La segunda y la tercera ecuación son la misma:
3 y − 3 x  0  3 y − x  0  y − x  0  y  x
1
5
5
5
Hemos de trabajar con la primera y la cuarta para hallar los valores de x, y.
x 2  9  1  x 2  − 9  1  x 2  25 − 9  x 2  16  x   16   4
5
25
25
25
25
25
Entonces teniendo en cuenta 1 las soluciones son:
4, 4
5 5
x, y  − 4 , − 4
5 5
x, y 
→
3
5
4
5
0
4
5
0
− 35
0
0
1
3
5
−4
5
0
−4
5
0
− 35
0
0
1
Es decir, tenemos dos soluciones.
Comprobación, no necesaria:
3
3
4 0
4 0
5
5
5
5
4 −3 0
4 −3 0

5
5
5
5
0
0 1
0
0 1
3
5
−4
5
0
−4
5
0
− 35
0
0
1
3
5
−4
5
0
−4
5
−3
5
0
Observa que las dos matrices son simétricas.
1.925 P
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
1
1 0 0

0 1 0
0 0 1
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6