Los griegos, la heurística, la regla y el compás

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
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Los griegos, la heurística, la regla y el compás
Liliana Eva Siñeriz

Resumen
Este trabajo aborda los problemas de regla y compás desde dos
perspectivas diferentes. Una de ellas procede de los matemáticos de la
Grecia clásica, la cual se interpretará desde la obra euclídea. La segunda
proviene de la heurística, donde se utilizará a las construcciones geométricas como instrumento para enseñar métodos de resolución de problemas.
Introducción
Las construcciones con regla y compás han ocupado tradicionalmente un lugar importante en la enseñanza de la Geometría plana, ya
sea por su interés práctico como teórico. Si bien resultan adecuadas para
el estudio de las figuras geométricas, son también un rico instrumento
para la enseñanza de resolución de problemas, y a este doble propósito
responde el diseño del presente capítulo.
Mostraremos dos perspectivas distintas bajo las cuales se puede
abordar esta temática: la primera de ellas proviene de la “Geometría
Sintética”, la cual nos limitaremos a interpretar desde la obra euclídea, y
la segunda surge desde el campo de la resolución de problemas matemáticos.
En particular vamos a analizar la concepción euclídea desde el
libro I de los Elementos, a modo de brindar una pincelada dirigida a
ilustrar el sentido que estos problemas han tenido para un matemático
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Capítulo 10
que nos delega una presentación lógica de la Geometría en la forma de
una cadena de proposiciones basadas en unas cuantas definiciones y
suposiciones iniciales.
Situados en el terreno heurístico, estas construcciones pueden
ser utilizadas para la apropiación de modos y medios para resolver problemas. En este sentido, vamos a examinar los métodos de resolución
implicados en estos problemas, a fin de aprovechar el potencial heurístico implícito en ellos. La intención es presentar algunos elementos teóricos del campo de la resolución de problemas para que puedan ser integrados a la planificación de la tarea docente.
Desde la Geometría Sintética
Las construcciones geométricas nos remiten a la antigua Grecia,
en donde sedujeron a varios matemáticos, en la época en que la concepción de la Geometría deja de ser absolutamente pragmática y tiende a
constituirse como ciencia basada en el razonamiento deductivo.
Se trataba de construcciones que debían hacerse mediante intersección de rectas y circunferencias, usando sólo la regla no graduada y
el compás, según Platón los instrumentos divinos. Rectas y circunferencias eran considerados por filósofos y matemáticos griegos como las
curvas perfectas a partir de las cuales todas las demás construcciones
debían ser posibles.
Los geómetras griegos, de acuerdo a las fuentes que nos permiten conocer su obra, habían llegado a distinguir tres tipos de problemas:
los planos, para cuya solución bastaban líneas rectas y circunferencias;
los sólidos, que suponían el uso de secciones cónicas; los lineales, que
requerían curvas más complicadas (espiral, cuadratriz, etc).
Según comentarios de L. Vega en la introducción de los “Elementos”, Pappus (s. III d.C.) considera que Euclides ha ofrecido un
criterio para identificar los problemas planos: “A es un problema plano
sólo si es efectivamente soluble por el procedimiento de regla y compás;
luego si A es un problema plano, A tiene una construcción efectiva sobre la base sentada en los Elementos”. (Euclides 1991, págs. 55-56)
Los Elementos coronan una tradición de tratados elementales
hoy desaparecidos. Parece ser que los primeros tratados elementales
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consistían en principios instrumentales, asunciones que aglutinaban un
núcleo de resultados o proposiciones conocidas en torno a una cuestión
determinada. Todo esto hasta llegar a unos “elementos” fundados en
principios y asunciones que tejen un cuerpo de conocimientos como una
teoría deductiva. Esto es una conjetura, ya que no hay pruebas documentales por la desaparición de los tratados anteriores al de Euclides. Es
así, que la solución mediante regla y compás de dos problemas recogidos en el libro I (I. 12- Construir la recta perpendicular a otra por un
punto exterior; I. 23- Transportar un ángulo sobre una semirrecta), se le
atribuye a un matemáticos del V a.C., por tanto la contribución plasmada en dicho tratado se reduciría a la explicitación de los supuestos de
este antiguo método.
Acorde a un punto de vista matemático, las construcciones de
regla y compás no tienen por objetivo la realización efectiva de la construcción, sino mostrar por un encadenamiento lógico de proposiciones
que algo es construible con regla y compás.
Las proposiciones de Euclides van a demostrar que algo es
construible con los instrumentos mencionados; las construcciones se
usan en el sentido de los teoremas de existencia, o sea para demostrar
que algunas entidades existen realmente. Por ejemplo se puede definir la
bisectriz de un ángulo dado como la semirrecta interior al mismo que lo
divide en dos ángulos congruentes, pero una definición no establece la
existencia de lo que se está definiendo; ésta requiere una prueba. Para
demostrar que un ángulo dado tiene una bisectriz, se muestra que esta
entidad puede construirse realmente. La construcción de una entidad es
la forma de demostrar su existencia
Las llamadas “construcciones de regla y compás”, habrían sido
para Euclides aquellas que se obtienen intersectando rectas y circunferencias, cuya existencia estaba garantizada por ciertas nociones comunes y cinco postulados:
1.
Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta
un punto cualquiera.
2.
Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3.
Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
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4.
Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5.
Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos”.
(Euclides 1991, pág. 197)
Dichos postulados se presentan a continuación de veintitrés definiciones, con las que se inicia el libro I de “Los Elementos”, obra que
suele fecharse hacia el s. III a.C.
El primer postulado permite la construcción efectiva de la recta
una vez conocida su definición1, presupone que nuestra regla es tan
larga como deseamos, de modo que podemos trazar la recta determinada
por dos puntos dados cualesquiera. El segundo establece que un segmento sólo puede prolongarse de una única manera por cada extremo,
por ende dos rectas no podrán tener un segmento común. El tercer postulado tiene ciertos rasgos del primero, en este caso permite la construcción del círculo luego de contar con la noción correspondiente2.
Los tres primeros postulados enuncian las construcciones primitivas de las cuales todas las demás de los Elementos deben componerse.
Constituyen las reglas de juego de la construcción euclideana. Como
restringen las construcciones sólo a aquellas que pueden hacerse en una
forma admisible con regla y compás, estos dos instrumentos, así limitados, se conocen como herramientas euclideanas.
Euclides justifica la construcción de ciertos objetos y postula la
de otros, pero para ello sigue cierta racionalidad; las construcciones de
la recta y de la circunferencia -que son las construcciones que se corresponden con los instrumentos regla y compás- se establecen por postulados, y a partir de ello se justifican las demás construcciones.
1
Definición 4: “Una línea recta es aquélla que yace por igual respecto de los
puntos que están en ella”.
2
Definición 15: “Un círculo es una figura plana comprendida por una línea tal
que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro
de la figura son iguales entre sí”.
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El cuarto postulado es de naturaleza muy diferente a los tres anteriores, pues no se refiere a la posibilidad de hacer ciertas construcciones, sino que establece una propiedad de los ángulos rectos, la de ser
una magnitud determinada que representa un patrón para medir los demás tipos de ángulos. Según L. Vega, Proclo (s. V d.C.) ha manifestado
que este postulado posteriormente fue considerado como una noción
común o axioma, e incluso ha sugerido considerarlo como tal, aunque
más tarde, ese filósofo y comentarista del tratado euclídeo, lo tomará
como proposición susceptible de demostración.
El postulado quinto, por un lado y en cuanto al aspecto operativo, se parece a los tres primeros postulados, pues establece la existencia
de puntos de intersección entre rectas. Por otro lado completa la noción
de paralelismo esbozada en la definición de rectas paralelas3; probablemente debido a su asociación con una definición es que se lo ha considerado en los siglos XVI y XVII como una noción común. L. Vega
también señala que, según Proclo, “debe ser borrado de la lista de postulados porque se trata de un teorema lleno de dificultades, que Tolomeo
se propuso resolver en un libro y cuya demostración requiere varias
definiciones y teoremas” (Euclides 1991, pág 57). La historia donde se
pretende bajar de su pedestal a este postulado es muy conocida, por un
lado los intentos concluían en supuestos deductivamente equivalentes al
mismo en el marco de la Geometría euclídea, y por otro llevaron a vislumbrar las geometrías no euclideanas.
Los postulados no se demuestran y además no son evidentes para los sentidos -esta cualidad se reserva para las nociones comunes-, son
una petición de acuerdo, a la que no se asiente de inmediato sino con
ciertas reservas. Por eso Euclides los escribe en imperativo, con el fin de
señalar al lector cuáles son los poderes constructivos de los que ha de
dotarse quien haya de construir los objetos geométricos que van a estudiarse en los Elementos.
3
Definición 23: “Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y
siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a
otra en ninguno de ellos”.
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Con respecto a las nociones comunes, llamadas axiomas por
otros geómetras, podemos decir que se distinguen por su calidad de
principios, no sólo verdaderos y evidentes, sino también indemostrables;
además, y según las pautas aristotélicas, estos deberían tener un alcance
más general que el limitado por el campo temático de una ciencia determinada.
El conjunto de nociones comunes también llevó a generar algunas diferencias entre los matemáticos helenísticos. Por un lado, parece
ser que hubo un intento de Apolonio de demostrar alguna de estas nociones comunes. Por otro lado, hubo algunos comentadores y editores de
este tratado que añadieron nuevos axiomas acerca de las relaciones de
igualdad y desigualdad, a los cuales Proclo sugiere rechazar para no
aumentar el número de axiomas sin necesidad.
Las cinco nociones comunes admitidas en la obra euclídea son:
i) Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
ii) Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
iii) Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
iv) Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
v) Y el todo es mayor que la parte.
(Euclides 1991, págs. 199-201)
En forma inmediata a establecer sus postulados y nociones comunes, Euclides presenta una serie de problemas y teoremas, a los cuales
algunos traductores de este tratado les dan el nombre de proposiciones.
Según la tradición griega un problema se diferenciaba de un teorema. Un problema representaba un objeto geométrico a hacer, por
ejemplo la construcción de una figura; en cambio un teorema era una
proposición a establecer acerca de una característica esencial – propiedad, relación – de los objetos matemáticos construidos o dados. La índole de las proposiciones geométricas también dio lugar a varias controversias dentro del círculo platónico, algunos defendían su calidad de
teoremas porque versaban sobre objetos eternos de una ciencia teórica, y
otros esgrimían su condición primera de ser problemas.
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Pappus usa el término “problema” en el sentido de una indagación en la que se plantea hacer o construir algo, y el término “teorema”
como una indagación en la que se investigan las consecuencias y las
implicaciones necesarias de ciertas hipótesis.
Asimismo, Proclo al comentar el primero de los libros de Euclides, expresa que los “problemas” abarcan la generación, división, substracción o adición de figuras, y en término generales, los cambios que se
realizan en ellas, y que los “teoremas” exhiben los atributos esenciales
de cada una. Además indica que las cosas que se plantean como problema hay que hacerlas o crearlas, ya que puede ser posible que sean
distintas a lo que dice el enunciado, y a diferencia de ello, las cosas que
se plantean como teoremas son de un modo y eso es lo que hay que
mostrar. Para ilustrar estas ideas Proclo comenta que “construir un
triángulo equilátero sobre una recta” es un problema, pues sobre una
recta también se pueden construir triángulos no equiláteros, en cambio
“inscribir un ángulo recto en un semicírculo” es un teorema puesto que
no hay que crear ya que siempre que se dibuje un ángulo inscripto en un
semicírculo será recto, y efectivamente eso es lo que ha de probarse.
La distinción entre problema y teorema puede percibirse en la
organización del conjunto de proposiciones de los Elementos de Euclides; en él tanto los problemas como los teoremas se presentan como
proposiciones, pero basta con remitirse a la última línea de la demostración correspondiente para poder discriminarlos –en los problemas se
concluye con la frase “que era lo que había que hacer”, y en los teoremas con “que era lo que había que demostrar”–. No obstante los problemas también contienen demostraciones, en las que se muestra que la
construcción satisface las condiciones del problema.
Proclo considera que en las proposiciones euclideas hay un patrón de prueba común que consta de los siguientes pasos, aunque luego
reconoce que no siempre están todos en las pruebas de los Elementos, y
dice que a su criterio hay tres de ellos que nunca han de faltar –el enunciado, la demostración y la conclusión–:
200
Capítulo 10
1) Enunciado (prótasis): formulación en términos generales de lo que se
considera dado y de lo que se busca probar (proposición del objeto a
construir si es un problema, o del aserto a establecer si es un teorema).
2)Exposición (ékthesis): presentación de lo dado o introducción de un
caso determinado de aplicación del enunciado mediante la cláusula
“sea …” y uso de letras para designar los elementos del caso.
3) Determinación o delimitación (diorismós): especificación del objeto de
la prueba por referencia al caso expuesto; en los problemas esto se lleva a
cabo mediante la fórmula “lo que se requiere es …” y en los teoremas
mediante “digo que …”. Por diorismo también se entiende delimitación
de las condiciones de posibilidad de la prueba; cuando tiene este significado se suele poner como apéndice del enunciado del problema.
4) Preparación (kataskeué): disposición de construcciones y relaciones,
a partir de lo dado y en orden a la obtención del resultado propuesto.
5) Demostración (apódeixis): proceso demostrativo que consiste en la
derivación de consecuencias sobre la base de los conocimientos previos, ya sean definiciones, postulados, axiomas, o proposiciones sentadas en pruebas anteriores.
6) Conclusión (sympérasma): aserción de que se ha satisfecho el diorismós en el caso de un problema o reiteración del enunciado en el caso de
un teorema como confirmación de que el objeto de la prueba ha sido establecido. Viene marcada con “por consiguiente”. La conclusión en los
problemas se remata con la cláusula “que era lo que había que hacer”, y
en los teoremas con “que era lo que había que demostrar”.
(Euclides 1991, págs. 35-37)
Nos centraremos en las tres primeras proposiciones del libro I
para ilustrar la metodología de trabajo seguida en el tratado y resaltar la
potencialidad de los instrumentos euclideos. Dichas proposiciones pertenecen a la calidad de problemas, cuyos enunciados son los siguientes:
- I.1. Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.
- I.2. Poner en un punto dado (como extremo) una recta igual a una
recta dada.
- I.3. Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a
la menor.
(Euclides 1991, págs. 201-205)
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La proposición 1 se deriva de la primera de las nociones comunes y de los postulados 1 y 3. En ella se justifica la construcción del
triángulo equilátero, se demuestra que tal objeto es construible o, dicho
de otro modo, se garantiza mediante una prueba que existe tal objeto.
La proposición 2 prueba que es posible la construcción de un
segmento congruente a otro segmento dado, habiendo determinado previamente uno de los extremos del segmento buscado.
Presentaremos la prueba de esta proposición, la cual discurre
por los pasos canónicos que Proclo identifica. Cabe señalar que la expresividad original es diferente a la terminología técnica y simbología
que conocemos, la cual corresponderá a momentos posteriores del desarrollo de la Matemática. Haremos una reproducción de dicha prueba,
manteniendo la estructura original de resolución pero utilizando la terminología estándar que hoy nos resulta familiar, para facilitar la comunicación de estas ideas.
I.2. Transportar un segmento a un punto dado (como extremo).
Sean a y bc respectivamente el punto y el segmento dado. Lo
que se requiere es situar en el punto a un segmento congruente al dado
(Figura Nº 01).
∆
Construir el triángulo equilátero abq [I.1]
Prolongar en línea recta qa y qb [Post. 2]
Describir el círculo C(b, bc ) y a su vez describir el círculo C(q,
qe ) [Post.3]
Así pues bc ≡ be qf ≡ qe [Def. 15]; qa ≡ qb [Def. 20]4
Por tanto af ≡
4
be [Ax. 3] Luego af ≡ bc [Ax. 1]
Definición 20: “De entre las figuras triláteras, triángulo equilátero es la que
tiene los tres lados iguales, isósceles la que tiene sólo dos lados iguales y escaleno la que tiene tres lados desiguales”.
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Por consiguiente en el punto dado a se ha colocado un segmento
af congruente al segmento dado bc . Q.E.F. (Quod erat faciendum =
Que es lo que había que hacer)
c
q
b
a
e
f
Figura Nº 01: Construcción referida al problema I.2.
La proposición 3 significa, en versión moderna, transportar un
segmento sobre una semirrecta dada. Esto queda más claro en la versión
de Beppo Levi (1947) del tratado euclideo, que expresa esta proposición
en los siguientes términos “Dados dos segmentos, cortar del mayor un
segmento igual al otro”, y comenta que desde su punto de vista, Euclides supone que son dados un segmento y una semirrecta, a la cual indica
como segmento mayor. Para transportar dicho segmento sobre la semirrecta se requiere aplicar la proposición 2, lo que permite construir un
segmento congruente al dado con extremo en el origen de la semirrecta,
y luego trazar la circunferencia determinada por los extremos de dicho
segmento (tomando como centro al origen de la semirrecta).
Para entender el orden de proposiciones establecidas por Euclides, es necesario hacer algunas precisiones acerca de la naturaleza ideal
de los instrumentos implicados. Los tres primeros postulados sientan las
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bases operativas del procedimiento de construcción con regla y compás.
Los dos primeros nos indican lo que podemos hacer con una regla euclideana; el tercero nos indica lo que podemos hacer con el compás euclideano, se nos permite describir la circunferencia de centro dado y que
tenga a partir de él, un segmento rectilineo como radio, o sea describir la
circunferencia de centro dado y que pase por un punto dado. La regla es
ilimitada, sin marcas y tiene sólo un borde; el compás es un instrumento
que sólo traza circunferencias de centro dado pasando por un punto dado.
Ningún instrumento ha de usarse para transportar distancias. Esto significa que la regla no puede marcarse, y que el compás ha de tener
la característica que si una de sus patas se levanta del papel, el instrumento se cierra; podríamos imaginarlo como un compás que “se cierra o
se abre cuando nos salimos del plano”, es decir pierde su amplitud al
salirnos del plano, de ahí el nombre de compás colapsable que le dieron
los anglosajones. A diferencia de éste, el compás moderno conserva su
abertura y por tanto puede utilizarse para transportar distancias.
Puede parecer que el compás moderno es más potente que el
compás euclídeo pero no es así. En Eves H. (1969) se encuentra una
referencia al respecto, se indica que cualquier construccción que pueda
efectuarse con un compás moderno también puede llevarse a cabo (tal
vez por un camino más largo) por el compás euclídeo. En otras palabras,
el compás euclídeo y el moderno resultan equivalentes. Para probar esto,
es suficiente probar que podemos con el compás euclídeo construir una
circunferencia dados un centro y un radio. En efecto con la proposición
3 se demuestra la equivalencia de los mismos, ya que a partir de ella
podemos usar el compás como transportador de segmentos. Dicha proposición permite en forma teórica transportar distancias; no sólo nos da
la posibilidad de transportar un segmento, sino que además nos habilita
a transportar una circunferencia (transportar una circunferencia es construir con centro en un punto dado una circunferencia congruente a una
Co, oc dada) y a construir una circunferencia dados un centro y un radio.
A partir de esta proposición el “compás euclídeo” puede materializarse
por nuestro compás físico.
La suficiencia de los postulados para transportar segmentos y
circunferencias nos permite visualizar la elegancia del método euclídeo.
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Capítulo 10
Desde la heurística
Lo propio de la heurística es el estudio de los modos de comportamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan en el proceso de resolverlos, que son independientes del contenido y que no suponen garantía de que se obtenga la solución.
Según Polya (1962), las construcciones con regla y compás son
apropiadas tanto para familiarizar al estudiante con las figuras geométricas como para instruirlo en resolución de problemas; y por esta última
razón aborda la discusión de estos problemas. En su libro queda al descubierto la intención de presentar un “método general”, que si bien es
anunciado en el primer tomo, años más tarde tampoco se concreta su
presentación en el segundo tomo. Dicho libro está dedicado al estudio
de algunos métodos generales para la elaboración de planes, o modelos
generales de procedimientos que son propios de problemas particulares.
Acorde a una perspectiva heurística, los problemas de regla y
compás pertenecen a una clase de problemas en la que están implicados
ciertos métodos de resolución, por lo cual pueden ser utilizados para la
enseñanza de la resolución de problemas en el aula. En este sentido,
“regla y compás” es un componente para el que va a trabajar resolución
de problemas, y puede ser utilizado para la adquisición de ciertas competencias heurísticas.
Vamos a examinar los tres métodos que pueden utilizarse para
resolver estos problemas; los cuales plantean una serie de pasos a seguir,
que se traducen en la construcción de ciertos objetos geométricos, para
lo cual no se establecen pautas para su solución; es decir que estos métodos no garantizan la solución del problema inicial, sino que lo transforman en construcciones o problemas más abordables, de ahí es que los
consideramos heurísticos.
Polya (1962) presenta a dichos métodos en líneas generales al
abordar las construcciones geométricas; en Siñeriz (2000) puede encontrarse su presentación en detalle y su utilización en el análisis de los
problemas y de la actuación docente.
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Método de los Dos Lugares
Iniciaremos el tratamiento de las construcciones y métodos subyacentes mediante el siguiente problema
“Construir un triángulo dados los tres lados”
Si bien en el sistema euclideano hay suficientes razones para
restringir el problema al triángulo equilátero, nosotros abordaremos un
problema más general, cuya solución es análoga. Pero antes de focalizar
el método de resolución, analicemos el problema teniendo en cuenta sus
partes principales: datos, incógnita y condición.
Los datos son tres segmentos. La incógnita es una figura geométrica, un triángulo. La condición especifica que los tres segmentos dados
deben ser los lados del triángulo buscado.
La condición especifica cómo la incógnita está ligada a los datos, de ahí la importancia de la misma. Si comparamos nuestro problema
con el siguiente: “Construir un triángulo dadas sus tres alturas”, observamos que los datos de éste son también tres segmentos, la incógnita es
la misma figura geométrica, un triángulo; pero la conexión entre la incógnita y los datos es diferente, lo que hace que los problemas sean
realmente diferentes.
Retomemos el análisis del problema inicial. Sean A, B y C, los
tres segmentos dados (Figura Nº 02).
a
C
A
B
C
b
A
B
c
Figura Nº 02: Construcción de un triángulo dados sus lados
Capítulo 10
206
Enunciemos los pasos de esta construcción, ampliamente conocidos. Transportamos el segmento A y llamamos a sus extremos b y c.
Dibujamos dos circunferencias, una con centro en c y radio B, la otra
con centro en b y radio C. El punto a será uno de los dos puntos de in∆
tersección de ambas circunferencias. El triángulo abc es una solución
del problema; observemos que dicho problema podría no haber tenido
solución.
Tratemos de descubrir el modelo implícito en el procedimiento
anterior. Al trazar el segmento A localizamos dos vértices del triángulo
buscado (vértices b y c) entonces sólo resta hallar el tercer vértice. Es
decir que transformamos el problema propuesto en uno equivalente pero
diferente al inicial.
En este nuevo problema:
-
la incógnita es un punto, el tercer vértice del triángulo a
construir.
-
los datos son dos puntos (b y c) y dos segmentos (B y C).
-
la condición requiere que el punto buscado esté a la distancia B del punto c y a la distancia C del punto b (consideramos distancia entre dos puntos al segmento que une dichos
puntos).
La condición consiste de dos partes, una que concierne al segmento B y al punto c, y la otra al segmento C y al punto b. Tomemos
una parte de dicha condición. Un punto del plano que está a una distancia B del punto c está restringido a un lugar, es decir debe pertenecer a
la circunferencia de centro c y radio B. Análogamente la segunda parte
de la condición indica que el punto debe pertenecer a la circunferencia
de centro b y radio C.
De este modo, el punto incógnita debe pertenecer a dos lugares
geométricos y está en la intersección de los mismos. La intersección de
los dos lugares es el conjunto de soluciones del problema. Este conjunto
contiene dos puntos, hay dos soluciones, dos triángulos simétricos respecto de la recta que contiene a A.
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
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Aquí podemos percibir un modelo, el cual será de gran utilidad
en la resolución de problemas geométricos de construcción.
“Método de los Dos Lugares”
1) Reducir el problema a la construcción de un punto.
2) Dividir la condición en dos partes de modo que cada parte suministre un lugar geométrico para el
punto incógnita; cada lugar debe ser circular o rectilíneo.
En el segundo paso del método se incluye una característica
esencial de los lugares geométricos a considerar: éstos deben ser circulares o rectilíneos. Esta restricción resulta previsible ya que estamos en el
mundo de la regla y el compás.
El término “lugar” significa esencialmente lo mismo que el término “conjunto”; definimos el conjunto (o lugar) enunciando una condición que sus elementos (puntos) deben satisfacer, o una propiedad que
estos elementos deben poseer. Cuando no disponemos de información
respecto a qué propiedad caracteriza a los elementos de un cierto conjunto (S), diremos que “los elementos del conjunto S tienen la propiedad
de pertenecer a S, y satisfacen la condición de que pertenecen a S”.
La reinterpretación de un procedimiento automático de construcción nos llevó a precisar los pasos del método. Contamos con un
método pero además vamos a tener en cuenta otro aspecto que concierne
a su uso: la aplicación del método en un determinado problema debe
realizarse a través de un examen de los antecedentes que hacen falta
para determinar la incógnita.
En este sentido es útil hacer un dibujo a mano alzada de dicha
incógnita y remarcar lo dado. A esta figura, que es una representación
del resultado en la cual se refleja todo aquello que se conoce, la llamaremos “figura de análisis” porque nos permite “hacer análisis”. Es decir,
nos permite hacer un examen previo de lo que se busca, y particular-
Capítulo 10
208
mente nos llevará a descubrir los lugares geométricos implicados en
estos problemas.
Vamos a ilustrar esta modalidad de uso del método con un nuevo ejemplo. Sea el siguiente problema:
“Dadas tres rectas que se cortan dos a dos, construir una circunferencia tangente a dos de ellas y con centro en la tercera recta”
Realizamos la figura de análisis para visualizar los datos e indagar las relaciones entre datos e incógnita (Figura Nº 03). Damos el problema por resuelto, dibujamos una circunferencia tangente a M y N con
centro en L, y marcamos lo conocido.
L
o
M
N
Figura Nº 03: Figura de análisis correspondiente a la construcción
de circunferencia tangente a dos rectas con centro en una tercera
Incógnita: o (centro de la circunferencia).
Datos: L, M y N secantes dos a dos y entre las tres no tienen
ningún punto en común.
Condición:
- o equidista de M y N
- o pertenece a L
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El lugar geométrico de los puntos que equidistan de M y N es la
unión de las bisectrices D y D' de los ángulos determinados por dichas rectas.
Luego o pertenece a la intersección de la recta L con el conjunto D ∪ D'.
Ahora sólo resta hacer la construcción recorriendo el camino inverso. En este caso encontramos dos puntos que cumplen la condición, y
para hallar los radios de sendas circunferencias se requiere el trazado de
la perpendicular por cada uno de estos puntos.
Hay una extensa gama de problemas de construcción que se corresponden con este modelo. Vamos a delimitar su campo de acción a
aquellos casos en que el análisis del problema culmina en una recta que
forma un cierto ángulo con otra, en una determinada circunferencia o en
alguna de las siguientes construcciones, que llamaremos elementales:
mediatriz, bisectriz, paralela, perpendicular y arco capaz.
Por otra parte, cabe señalar que existen diversas variables que
afectan a la complejidad de estos problemas, que derivan en ciertas implicaciones didácticas.
Una cuestión a considerar es la diversidad de lugares geométricos que se conjugan. A veces son sencillos porque corresponden a circunferencias o a rectas de fácil construcción (tal como las cuatro primeras construcciones elementales). Otras veces alguno de los lugares involucrados merece un tratamiento especial, por ejemplo el problema puede
requerir encontrar el lugar de los vértices de un ángulo de cierta amplitud
que subtiende un segmento dado; que lleva a realizar la construcción del
“arco capaz”, que si bien conforma nuestra lista de construcciones elementales, es mucho más complicada que las anteriores.
Otra variable a considerar es la dependencia o independencia de
los lugares. Hay problemas, tal como los vistos anteriormente, en los
que los dos lugares pueden encontrarse en forma independiente, en
cualquier orden. En otros problemas se necesita hallar un primer lugar el
cual es necesario para encontrar el segundo; por ejemplo “Dadas dos
rectas paralelas y un punto entre ellas, trazar una circunferencia tangente
a ambas rectas y que pase por el punto dado”, donde primero debemos
trazar la paralela equidistante de ambas rectas para determinar el radio
implicado en el segundo lugar geométrico.
Capítulo 10
210
Hay problemas en los que se da uno de los lugares y sólo es necesario buscar el lugar restante, como es el caso del problema que
hemos utilizado para ilustrar la aplicación del método.
En algunos problemas los dos lugares son construcciones muy
diferentes; en cambio en otros problemas son análogas, como en el primer problema planteado, que involucraba circunferencias.
Hay problemas en los que la incógnita es un punto y se halla de
forma inmediata como intersección de los dos lugares implicados; en
cambio en otros problemas, tal como el último ejemplo tratado, será
necesario hacer algún otro trazado utilizando dicho punto para construir
la figura final.
Todos estos son aspectos a considerar a la hora de diseñar actividades que faciliten el aprendizaje del tema.
Método de la Figura Auxiliar
En algunos problemas es impracticable la construcción de la figura requerida mediante la aplicación directa del método anterior, pero
es posible construir otra figura y utilizarla en la solución del problema
original.
“Construir un triángulo dados dos lados y la altura respecto al
lado restante (A, C, HB)”
Podemos dar el problema por resuelto y realizar un esquema de
la incógnita, y así descubrir los triángulos rectángulos que llevan a la
solución de este problema (Figura Nº 04).
a
p
C
HB
c
A
b
Figura Nº 04: Figura de análisis correspondiente a la
construcción de un triángulo dados dos lados y la altura
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
211
∆
La construcción de uno de dichos triángulos, por ejemplo bpc
implica el Método de los Dos Lugares, a partir de esta construcción el
problema original se traduce en determinar un vértice (a) de la figura
incógnita, que se obtiene mediante la intersección de dos lugares inmediatos ( pc y C(b,C)).
La resolución de estos problemas consiste básicamente en hacer
un bosquejo de la incógnita que se requiere, lo cual permite visualizar la
información y descubrir alguna figura que puede construirse en forma
inmediata y que además resulta útil en la solución del problema original,
y luego a partir de ella se procede a resolver el problema. Polya se refiere al método de la siguiente manera “Trata de descubrir alguna parte de
la figura o alguna figura relacionada, la cual puedas construir, y la puedas usar como un paso para la construcción de la figura original”.
A fin de pautar en forma precisa los pasos que lo componen lo
vamos a enunciar de esta manera:
“Método de la Figura Auxiliar”
1) Construir una figura auxiliar, que esté relacionada
con los datos del problema.
2) A partir de esta figura auxiliar construir la figura
requerida.
La construcción de la figura auxiliar no resuelve el problema sino que es el primer paso para la solución, a partir del cual se apoyará la
construcción de la incógnita. La construcción de dicha figura auxiliar es
entonces un nuevo problema, el cual debe resolverse con regla y compás, y para ello recurrimos al Método de los Dos Lugares.
Método de la Figura Semejante
Otros problemas se caracterizan porque se debe realizar alguna
semejanza u homotecia al resolverlos. En ellos no se puede construir
directamente la figura incógnita, sin embargo es posible construir una
Capítulo 10
212
figura semejante a la misma. La solución siempre implica construcciones acordes a las invariantes geométricas de la homotecia, como son el
trazado de líneas paralelas o la copia de ángulos.
Polya (1962) presenta este método con un ejemplo que culmina
con un comentario general “Si no puedes construir la figura requerida,
piensa en la posibilidad de construir una figura semejante a la misma”.
Por otra parte, Scandura (1977) hace un análisis del método, para lo cual
trata problemas en los que los objetos geométricos que se requiere construir son diferentes, aunque el espíritu del método queda en evidencia.
Vamos a intentar descubrir los pasos de dicho método mediante
el siguiente problema:
“Inscribir un cuadrado en un triángulo dado”
La condición del problema requiere que un lado del cuadrado
esté contenido sobre un lado del triángulo y los otros dos vértices del
cuadrado estén sobre los otros dos lados del triángulo.
La figura de análisis nos puede llevar a considerar la construcción de un cuadrado arbitrario que cumpla parte de la condición, es decir que uno de sus lados esté apoyado en un lado del triángulo y uno de
sus vértices en otro lado del triángulo. De esta manera construimos una
figura semejante, o más precisamente, una figura homotética a la incógnita. La observación de la figura puede llevarnos a visualizar que bp' es
el homotético del segmento bp y mediante el trazado de paralelas obtenemos el cuadrado buscado.
a
p
p'
b
c
Figura Nº 05: Figura de análisis correspondiente a la inscripción
de un cuadrado en un triángulo
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
213
Enunciaremos los pasos del método subyacente de la siguiente
forma:
“Método de la Figura Semejante”
1) Construir una figura semejante a la figura incógnita.
2) Tener en cuenta otra parte de la condición y construir
un segmento X que se corresponda por una homotecia
a un segmento auxiliar X’ de la figura semejante construida, el cual permita la construcción de la figura
buscada mediante el trazado de paralelas.
3) Construir la figura incógnita teniendo construida la
figura semejante y el segmento X.
Cabe señalar que según Polya, el Método de la Figura Semejante puede considerarse como un caso particular del Método de la Figura
Auxiliar, es decir, la figura semejante del Método de la Figura Semejante puede verse como una figura auxiliar especial. Así también hace extensiva esta consideración al punto, al cual queda reducido el problema
mediante el Método de los Dos lugares. Nosotros haremos caso omiso a
estas “inclusiones de clase” ya que no brindan aportes que lleven a un
mayor conocimiento acerca de los métodos. Desde nuestro punto de
vista, cada método actúa sobre el proceso de resolución de una manera
muy particular, característica del método en sí, y al reducir unos métodos a otros se borran las diferencias que son precisamente lo que constituye la materia de enseñanza de los métodos.
La aplicación de un método genera una serie de problemas que
lo caracteriza, lo cual ha sido objeto de estudio en un proyecto marco
(Siñeriz, 2000), donde se han elaborado los respectivos esquemas de
generación de problemas de cada uno de los métodos involucrados, y se
los ha utilizado como herramienta metodológica para el análisis, lo cual
permitió apreciar la forma en que los métodos delinean el proceso de
resolución. Además, a partir de combinar los respectivos conjuntos de
problemas asociados a cada método, el contenido matemático, las heu-
214
Capítulo 10
rísticas y las tareas de gestión implicadas en la resolución de esta clase
de problemas, fue posible precisar las competencias que se ponen en
juego al abordarlos. Nos limitamos sólo a hacer mención de estos aspectos, ya que están fuera de los propósitos de este trabajo.
Comentarios finales
Se ha intentado mostrar las dos caras de una temática que forma
parte de los contenidos curriculares.
Desde la cara correspondiente a una Matemática formal o formalizada, los problemas de regla y compás van a demostrar que un objeto geométrico es construible con dichos instrumentos. Hemos visto que
las construcciones geométricas juegan un rol indudable en el sistema
euclídeo; así también, constituyen un dominio propicio para el trabajo
con demostraciones.
Desde una perspectiva heurística, complementaria a la anterior,
podemos valemos de los problemas de regla y compás para enseñar
métodos de resolución. Hemos presentado los métodos implicados en
esta clase de problemas y hemos delimitado su dominio de aplicación.
La noción de “figura de análisis”, nos ha llevado a establecer el
punto de partida sobre el cual se apoya el uso de los distintos métodos.
El Método de los Dos Lugares es el más simple, intentaremos
aplicarlo a condición de llegar a una de las construcciones elementales,
y si este no es el caso, recurriremos a otro método.
El Método de la Figura Auxiliar, consiste en hacer una figura de
análisis, descubrir cierta figura que permitirá la construcción de la original y resolver el problema con lo que se deriva de haber construido dicha figura auxiliar.
En algunos problemas la construcción de la figura auxiliar no se
reduce al Método de los Dos Lugares, en tal caso habría que hallar una
nueva figura auxiliar relacionada con la anterior, es decir se haría uso
doblemente del Método de la Figura Auxiliar.
El Método de la Figura Semejante, también está basado en el análisis previo de la figura, que nos muestra la posibilidad de construir una
figura semejante y de determinar un segmento de la figura incógnita que
Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
215
sea homotético al de la figura semejante ya construida, lo cual nos va a
permitir construir la figura que buscamos a partir de la figura semejante.
Lo fundamental del método no es hacer un figura semejante, sino que es
hacer una figura semejante pero sabiendo cómo se utilizará para construir
la figura requerida; es decir, construir una figura semejante que ya esté
enlazada con la que se quiere construir gracias a un análisis previo.
En este capítulo se ha pretendido poner en evidencia la existencia de los método heurísticos implícitos en las construcciones geométricas y dar algunas pautas para organizar el uso de los mismos, a fin de
facilitar su inclusión en la enseñanza.
Se aspira haber ofrecido elementos teóricos que llevan a otorgar
un lugar privilegiado a las construcciones geométricas en la tarea escolar, por ser el instrumento que puede ser utilizado para promover habilidades de resolución de problemas.
Referencias bibliográficas
Levi, B. (1947): Leyendo a Euclides. Ed. Rosario S. A.
Euclides (1991): Elementos. (Editorial Gredos: Madrid).
Eves H. (1969): Estudio de las Geometrías. Tomo I. México: Unión
Tipográfica Editorial Hispanoamericana.
Polya, G. (1962-1965): Mathematical Discovery. 2 vols. New York:
John Wiley and Sons.
Scandura, J. M. (1977): Problem Solving. A structural/process approach
with instructional implications. Nueva Cork: Academic Press.
Siñeriz, L. (2000): La enseñanza de la resolución de problemas de regla
y compás. Del mundo de la pura resolución de problemas a la escuela media argentina. Tesis Doctoral. Universidad de Valencia.
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