Ejercicios resueltos del Capítulo 2 Probabilidad

ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD
Alberto Luceño
Francisco J. González
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c 2003 [email protected]
Copyright Actualizado el: 11 de marzo de 2003
Versión 2.00
Tabla de Contenido
2. Probabilidad
2.1. Probabilidad Condicionada
Soluciones a los Ejercicios
Sección 2: Probabilidad
3
2. Probabilidad
Ejercicio 11. Describir el espacio muestral de las siguientes experiencias aleatorias:
a). E1 = {Lanzamiento de un dado y anotamos el resultado}.
b).
E2 = {Lanzamiento tres dados y sumamos las puntuaciones}.
c).
E3 = {La duración de una lámpara hasta que se funde}.
d).
E4 = {La resistencia a rotura de unos tubos de aluminio}.
e).
E5 = {Número de piezas defectuosas de un lote de 5000}.
f). E6 = {Lanzamiento de dos monedas}.
Ejercicio 12. Sean A y B sucesos con P (A) = a, P (B) = b y P (A ∩
B) = c. Expresar las probabilidades siguientes en función de a, b y c.
P (A ∪ B)
Toc
JJ
P (A ∩ B)
II
J
P (A ∪ B)
I
Volver
P (A ∩ B)
J
Doc
Doc
I
Sección 2: Probabilidad
4
Ejercicio 13. Sabiendo que P (A) = 0,2, P (B) = P (C) = 0,2 y
P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0,1 y P (A ∩ B ∩ C) = 0,05.
Calcular la probabilidad de P (A ∪ B ∪ C).
Ejercicio 14. El problema de Galileo. Un prı́ncipe italiano preguntó en
una ocasión al famoso fı́sico Galileo, ¿por qué cuando se lanzan tres
dados, se obtiene con más frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunque
se puedan obtener de seis maneras distintas cada una?
Ejercicio 15. Una urna contiene dos bolas blancas y tres bolas rojas.
Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de
extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja:
a). Cuando habiendo extraı́do la primera bola ésta es devuelta a la
urna para realizar la segunda extracción.
b).
Cuando habiendo extraı́do la primera bola ésta no es devuelta
a la urna para realizar la segunda extracción.
Ejercicio 16. Se extrae una carta de una baraja de 40 cartas. Comprobar cuales de los siguientes pares de sucesos son independientes:
Toc
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Sección 2: Probabilidad
5
a). A = {rey} B = {espadas}
b).
A = {f iguras} B = {espadas}
c).
A = {rey} B = {f iguras}
Ejercicio 17. De una baraja de 40 cartas se extrae una al azar y se
mira. Se repite esta operación 4 veces. Tenemos que apostar a que la
1a es copa, la 2a es oro, la 3a es bastos y la 4a es espadas. Si nos dejan
elegir entre reponer o no la carta extraı́da, ¿qué elegiremos?
Ejercicio 18. El problema del caballero de la Meré. Se considera generalmente 1654 como el año del nacimiento de la teorı́a de probabilidades: el caballero de la Meré, filósofo y hombre de letras en la corte
de Luis XIV, propuso dos problemas al célebre matemático Blaise
Pascal;
a). ¿Qué es más probable, obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, u obtener al menos un doble seis al lanzar
24 veces dos dados?
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Sección 2: Probabilidad
b).
6
Se lanza una moneda varias veces. Por cada “1” obtenido, A
recibe un punto, y por cada “0”, se adjudica un punto B. Gana
la apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de siete
jugadas, A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se interrumpe el juego. ¿Cómo repartir la apuesta de la manera más
equitativa? Las propuestas de Meré dieron lugar a un intercambio de correspondencia entre Pascal y Fermat, del que nacieron
los fundamentos de la teorı́a de probabilidades.
Ejercicio 19. El problema de las uvas pasas. ¿Cuántas uvas pasas
se deben mezclar con 500 gramos de harina para tener una certeza
del 99 % de que un bollo de 50 gramos contenga al menos una pasa?
(Engel, Probabilidad y Estadı́stica, Mestral, 1988).
Ejercicio 20. En una habitación hay una reunión de n personas.
¿Cuál es la probabilidad de que el cumpleaños de al menos dos personas sea el mismo dı́a?
Ejercicio 21. Demostrar que si dos sucesos A y B son independientes,
también lo son los sucesos complementarios de A y B.
Toc
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Sección 2: Probabilidad
7
Ejercicio 22. Demostrar:
P (A|B) > P (A) =⇒ P (B|A) > P (B)
Ejercicio 23. Sean dos sucesos A y B, donde P (A) = 0,5 y P (A ∪
B) = 0,8. Asignar el valor de P (B) para que:
a). A y B sean incompatibles.
b).
A y B sean independientes.
Ejercicio 24. Indicar en cada caso si los sucesos A y B son incompatibles o independientes:
a). P (A) = 0,2, P (B) = 0,4 y P (A ∪ B) = 0,6.
b).
P (A) = 0,3, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,65.
c).
P (A) = 0,4, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,7.
Ejercicio 25. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Tres jugadores A, B y C extraen una bola sin devolución en este mismo orden.
Toc
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Sección 2: Probabilidad
8
Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidad
de que gane C.
2.1. Probabilidad Condicionada
Ejercicio 26. Supongamos que tenemos 10 urnas: 5 de ellas son de
tipo U1 y contienen 3 blancas y 3 negras, 3 de ellas son de tipo U2 y
contienen 4 blancas y 2 negras, y el resto son de tipo U3 y contienen
1 blanca y 5 negras. Se pide:
a). Probabilidad de que una bola extraı́da al azar de una de las 10
urnas sea blanca.
b).
Probabilidad de que habiendo salido una bola negra, proceda de
una urna del tipo U2 .
c).
Sabiendo que ha salido una bola negra, ¿de qué tipo de urna es
más probable que haya salido?
Ejercicio 27. Alarma Falsa. En cierto lugar se ha instalado un dispositivo de alarma. Si hay peligro, el dispositivo se pone en funcionaToc
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Sección 2: Probabilidad
9
miento el 99 % de las ocasiones. Por otra parte, la probabilidad de que
se dispare la alarma espontáneamente es del 0,5 %, y la probabilidad
de que una noche haya un intento de robo es 0,1 %. Si una noche determinada se oye la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que sea falsa
(no haya peligro)?
Ejercicio 28. Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A
y B. El primer negocio tiene pérdidas en el 25 % de los balances,
mientras que el 2o , donde la perspectiva de beneficio es menor, tiene
pérdidas sólo en el 5 % de los casos. Se supone que el conjunto de
operaciones es análogo en ambos negocios. Si, analizando el resultado
económico de una de las operaciones, se observan pérdidas, ¿cuál es
la probabilidad de que dicha operación correspondiese al negocio B?
Ejercicio 29. Para la elección de las personas de un jurado se disponen de dos urnas. En la 1a hay 10 papeletas con nombres de 6 hombres
y 4 de mujeres, en la 2a hay 5 papeletas con nombres de 2 hombres
y 3 de mujeres. Alguien cambia una papeleta de la 1a urna a la 2a e
inmediatamente después se extrae al azar una papeleta de la 2a urna
que resulta ser nombre de mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que la
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Sección 2: Probabilidad
10
papeleta cambiada contenga un nombre de mujer?
Ejercicio 30. Considérese tres cartas: una con las dos caras negras,
otra con ambas caras blancas y la tercera con una blanca y la otra
negra. Se elige una carta al azar y se coloca sobre la mesa. La cara
superior resulta negra, ¿cuál es la probabilidad de que la cara oculta
sea blanca?
Ejercicio 31. Una fábrica de ladrillos suministra estos a buen precio
pero el 10 % de ellos son defectuosos. Con objeto de mejorar la calidad
del producto se someten los ladrillos a un ensayo no destructivo antes
de su venta. Este ensayo da como buenos el 99 % de los que son buenos
y da por malos el 98 % de los que son malos.
a). Determinar la probabilidad de que un ladrillo en mal estado
supere el proceso de control de calidad.
b).
c).
Determinar la probabilidad de aceptar como bueno un ladrillo
cualquiera.
Determinar la probabilidad de que un ladrillo, que ha sido aceptado, esté en malas condiciones
Toc
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Sección 2: Probabilidad
d).
11
Si el coste estimado por cada ladrillo fabricado en malas condiciones es C euros. Determinar el precio máximo que debe pagarse por ensayo no destructivo para que este sea rentable.
Ejercicio 32. Los almacenes A, B y C, que están dirigidos por la
misma persona, tienen 50, 75 y 100 empleados, y, respectivamente,
el 50 %, 60 % y 70 % de ellos son mujeres. El hecho de que una persona sea despedida del trabajo es igualmente probable entre todos
los empleados, independientemente del sexo. Se despide un empleado,
que resulta ser mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que trabajara en el
almacén C?
Ejercicio 33. Dos proveedores A y B entregan la misma mercancı́a
a un fabricante, que guarda todas las existencias de esta mercancı́a
en un mismo lugar. Los antecedentes demuestran que el 5 % de la
mercancı́a entregada por A es defectuosa y que el 9 % lo es de B. A
entrega 4 veces más que B. Si se saca una pieza y no es defectuosa,
¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado A?
Ejercicio 34. Se diseña un dispositivo de frenado para evitar que un
Toc
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Sección 2: Probabilidad
12
automóvil patine en el que incluye un sistema electrónico e hidraúlico. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemas en
serie que operan de manera independiente: un sistema electrónico, un
sistema hidraúlico y un sistema mecánico. En un frenado particular,
las probabilidades de estas unidades funcionen son aproximadamente
0,995, 0,993 y 0,994, respectivamente. Calcular la probabilidad de que
sistema frene.
Ejercicio 35. El volumen de producción diario en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la 1a , 1000 en la 2a y 2000
en la 3a planta. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas
producidas en las plantas es de 1 %, 0,8 % y 2 %, respectivamente,
determinar la probabilidad de que:
a). Extraı́da una unidad al azar, resulte no defectuosa.
b).
Habiendo sido extraı́da una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera planta.
Ejercicio 36. Tres imprentas realizan trabajos para la oficina de publicaciones de la Universidad de Cantabria. La oficina de publicaciones
Toc
JJ
II
J
I
Volver J Doc Doc I
Sección 2: Probabilidad
13
no negocia una multa contractual por trabajos atrasados, y los datos
siguientes reflejan una gran experiencia con estas imprentas.
imprenta
i
1
2
3
fracción
de contratos
0,2
0,3
0,5
fracción de tiempo
con retraso
0,2
0,5
0,3
Un departamento observa que un pedido tiene más de un mes de
retraso. ¿Cuál es la probabilidad de que el contrato se haya otorgado
a la imprenta 3?
Ejercicio 37. Una compañia de aviones dispone de 20 pilotos y 15
auxiliares de vuelo. Si en cada vuelo viajan como equipo responsable,
dos pilotos y tres auxiliares. Se pide:
a). ¿De cuántos equipos distintos dispone la compañia para los vuelos?
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Sección 2: Probabilidad
14
b).
El piloto RX34 tiene a su mujer como auxiliar de vuelo. Si tomamos un vuelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vaya el
matrimonio en el personal de vuelo?
c).
Si elegimos un vuelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
vaya RX34 o su mujer en el personal de vuelo?
Ejercicio 38. Una fábrica dispone de 20 transportistas, 45 empleados
de mantenimiento y 5 ingenieros supervisores. La contratación de todo
el personal se divide en fija y temporal. De los transportistas 8 son
fijos; de los empleados de mantenimiento 35 son fijos y de los ingenieros
3 son fijos. Si elegimos una persona al azar:
a). ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un contrato temporal?
b).
¿Cuál es la probabilidad de que tenga un contrato temporal y
no sea ingeniero?
c).
Si elegimos una persona que tiene contrato fijo, ¿cuál es la probabilidad de que sea un transportista?
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
15
Soluciones a los Ejercicios
Ejercicio 11.
a). Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b).
Ω2 = {3, 4, 5, . . . , 18}
c).
Ω3 = {t > 0/t ∈ R}
d).
Ω4 = {r ∈ (Rmin , Rmax )}
e).
Ω5 = {0, 1, 2, . . . , 5000}
f). Ω6 = {(C, C); (C, X); (X, C); (X, X)}
Ejercicio 11
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
16
Ejercicio 12.
a). P (A ∪ B) = 1 − P (A ∩ B) = 1 − c
b).
P (A ∩ B) = P [B − (A ∩ B))] = P (B) − P (A ∩ B) = b − c
c).
P (A ∪ B) = P (A) + p(B) − P (A ∩ B) = 1 − a + c
d).
P (A ∩ B) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − a − b + c
Ejercicio 12
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
17
Ejercicio 13.
P (A ∪ B ∪ C)
= P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C)
−P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) =
= 0,2 + 0,2 + 0,2 − 3 · 0,1 + 0,05 = 0,35
Ejercicio 13
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
18
Ejercicio 14.
Suman 9
6-2-1 6 casos
5-3-1 6 casos
5-2-2 3 casos
4-4-1 3 casos
4-3-2 6 casos
3-3-3
1 caso
Total 25 caso
P (sumen 9) =
Toc
JJ
25
= 0,116
63
II
J
Suman 10
6-2-2
3 casos
5-4-1
6 casos
5-3-2
6 casos
4-4-2
3 casos
4-3-3
3 casos
3-6-1
6 casos
Total 27 casos
P (sumen 10) =
I
Volver
27
= 0, 125
63
Ejercicio 14
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
19
Ejercicio 15.
a). P (BR) =
2 3
6
=
5 5
25
b).
2 3
6
=
5 4
20
P (BR) =
Ejercicio 15
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
20
Ejercicio 16.
a). Sean A = {rey} B = {espadas}, son independientes pues,
P (A|B) =
b).
Sean A = {f iguras} B = {espadas}, son independientes pues,
P (A|B) =
c).
P (A ∩ B)
1
1
=
= P (A) =
P (B)
10
10
P (A ∩ B)
3
12
=
= P (A) =
P (B)
10
40
Sean A = {rey} B = {f iguras}, no son independientes pues,
P (A|B) =
P (A ∩ B)
4
4
=
6= P (A) =
P (B)
12
40
Ejercicio 16
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
21
Ejercicio 17. Sea el suceso A = {C − O − B − E},
a). Con reposición
b).
P (A) =
10 10 10 10
·
·
·
40 40 40 40
P (A) =
10 10 10 10
·
·
·
40 39 38 37
Sin reposición
Elegiremos lo más probable, que corresponde al segundo caso, sin
reposición.
Ejercicio 17
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
22
Ejercicio 18.
a). Sea el suceso
S = {al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado}
luego
S = {ningún seis en cuatro lanzamientos de un dado}
Como
4
5
= 0, 48225
P (S) =
6
Sea el suceso
P (S) = 0, 51775
T = {al menos un doble seis en 24 lanzamientos de dos dado}
luego
T = {ningún doble seis en 24 lanzamientos de dos dado}
Como
P (T ) =
Toc
JJ
II
35
36
24
= 0, 5086
J
I
P (T ) = 0, 4914
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
b).
23
El reparto equitativo corresponde a repartir lo apostado proporcionalmente a las espectativas que tiene cada jugador de ganar
a partir de la interrupción de la partida. Es decir,a A le falta un
”1”y a B dos ”0”s. Se puede dar
Gana A si 1 − 01
Gana B si 00
Luego
1 1
3
1
+ =
P (B) =
2 4
4
4
Con lo cual deben repartir lo apostado en razón de 3 a 1. Si
hubiesen apostado 120 unidades, 90 para A y 30 para B.
P (A) =
Ejercicio 18
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
24
Ejercicio 19. Sea el suceso
S = {al menos una pasa en un bollo de 50 g.}
y
S = {ninguna pasa en un bollo de 50 g.}
Como los 500 g. corresponden a 10 bollos de 50 g., la experiencia
consiste en elegir aleatoriamente un bollo de entre 10. La probabilidad
de que un bollo cualquiera no sea elegido en n intentos, es
n
1
P (S) =
10
Si exigimos que
P (S) = 1 − P (S) = 1 −
1
10
n
≥ 0,99 =⇒ n ≥ 44
Ejercicio 19
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
25
Ejercicio 20. Sea el suceso
An = {al menos dos personas entre n que han nacido el mismo dı́a}
y por tanto
An = {ninguna persona de las n ha nacido el mismo dı́a que otra}
365 · 364 · 363 · · · (365 − n + 1)
365n
Veamos la solución para algunos valores de n
P (An ) =
n
5
10
15
20
P (An )
0,0271
0,1169
0,2231
0,3791
n
23
32
40
50
P (An )
0,5073
0,7533
0,8912
0,9704
Ejercicio 20
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
26
Ejercicio 21. Sean A y B, independientes, P (A|B) = P (B), entonces
P (B|A) = 1 − P (B|A) = 1 − P (B) = P (B)
De (1) A y B son independientes.
(1)
P (A|B) = 1 − P (A|B) = 1 − P (A) = P (A)
(2)
De (2) A y B son independientes.
P (A|B) = 1 − P (A|B) = 1 − P (A) = P (A)
(3)
De (3) A y B son independientes.
Ejercicio 21
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
27
Ejercicio 22. Sean A y B, con P (A) > 0 y P (B) > 0, entonces
P (A ∩ B) = P (A|B) p(B) = P (B|A) p(A)
=⇒
P (A|B)
P (B|A)
=
>1
P (A)
P (B)
Ejercicio 22
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
28
Ejercicio 23.
a). Incompatibles luego P (A ∩ B) = 0, y
P (A ∪ B) = P (A) + p(B) − P (A ∩ B) =⇒ P (B) = 0,3
b).
Independientes luego P (A ∩ B) = P (A) · P (B), y
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =⇒ P (B) = 0,6
Ejercicio 23
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
29
Ejercicio 24.
a). Incompatibles, pues
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =⇒ P (A ∩ B) = 0
b).
Independientes, pues
P (A ∪ B)
c).
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
=⇒ P (A ∩ B) = 0,15 = P (A) P (B)
Independientes, pues
P (A ∪ B)
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
=⇒ P (A ∩ B) = 0,2 = P (A) P (B)
Ejercicio 24
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
30
Ejercicio 25.
Las probabilidades respectivas de ganar de cada jugador son:
5 3 2 1
36
P (GA ) =
+ ·
·
=
8 8 7 6
56
3 5
15
P (GB ) =
·
=
8 7
56
3 2 5
5
P (GC ) =
·
·
=
8 7 6
56
Ejercicio 25
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
31
Ejercicio 26. Sea Ui el suceso se elige la urna de tipo Ui , B el suceso
se extrae bola blanca y N el suceso se extrae bola negra
a).
P (B)
= P (B|U1 ) · P (U1 ) + P (B|U2 ) · P (U2 ) + P (B|U3 ) · P (U3 )
3 5
4 3
1 2
29
=
·
+ ·
+ ·
=
6 10 6 10 6 10
60
b).
P (U2 |N )
=
=
Toc
JJ
P (N |U2 )P (U2 )
P (N |U1 )P (U1 ) + P (N |U2 )P (U2 ) + P (N |U3 )P (U3 )
2 3
·
6
6 10
=
3 5
2 3
5 2
31
·
+ ·
+ ·
6 10 6 10 6 10
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
c).
32
Análogamente se tiene
15
7
P (U3 |N ) =
31
31
luego es más probable que haya salido de la urna de tipo U1 .
P (U1 |N ) =
Ejercicio 26
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
33
Ejercicio 27. Sea R el suceso ”hay peligro”y A el suceso ”suena la
alarma”. Los datos son
P (A|R) = 0,99 P (A|R) = 0,005 P (R) = 0,001
Se pide
P (A|R) · P (R)
p(A|R) · P (R) + p(A|R) · P (R)
0,005 · 0,999
=
= 0,83
0,99 · 0,001 + 0,005 · 0,999
Es decir, una alarma de alta eficacia con un ı́ndice de peligrosidad por
noche del orden del 0,001 lleva a que la mayorı́a de los avisos de las
alarmas sean falsas.
Ejercicio 27
P (R|A)
Toc
JJ
=
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
34
Ejercicio 28. Denotamos por A el suceso {operación con el negocio
A} y análogamnete para B. Sea D el suceso {tener pérdidas}. Se sabe
que P (A) = P (B) = 1/2 , P (D|A) = 0,25 y P (D|B) = 0,05 entonces
P (B|D)
=
=
Toc
JJ
II
P (D|B) · P (B)
P (D|A) · P (A) + P (D|B) · P (B)
0,05 · 0,5
1
=
0,25 · 0,5 + 0,25 · 0,5
6
Ejercicio 28
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
35
Ejercicio 29. Cuando se pase una papeleta de la urna U1 a la urna U2 ,
ésta quedara, si se pasa nombre de hombre como UH = {3 h, 3 m},con
P (UH ) = 6/10, y si se pasa nombre de mujer como UM = {2 h, 4 m},con
P (UM ) = 4/10. La probabilidad pedida es:
P (UM |M )
=
=
P (M |UM ) · P (UM )
P (M |UM ) · P (UM ) + P (M |UH ) · P (UH )
2
4
16
3 · 10
4
1
6 = 34
2
3 · 10 + 2 · 10
Ejercicio 29
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
36
Ejercicio 30.
P (C3 |N ) =
Toc
P (N |C3 ) · P (C3 )
p(N |C1 ) · P (C1 ) + p(N |C2 ) · P (C2 ) + p(N |C3 ) · p(C3 )
1 · 13
2
P (C3 |N ) = 1 1
1
1 = 3
2 · 3 +0· 3 +1· 3
Ejercicio 30
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
37
Ejercicio 31. Sea D el suceso ”ladrillo en mal estado” y + el suceso
un ladrillo supera el control.
a). P (+|D) = 0,02
b).
P (+) = P (+|D)·P (D)+P (+|D)·P (D) = 0,02·0,1+0,99·0,9 =
0,893
c).
P (D|+) =
d).
De N ladrillos fabricados, el coste asociado a los ladrillos + y D
viene dado por C · P (+ ∩ D) · N = 0,098 · C · N , luego el precio
máximo pmax · N < 0,098 · C · N y por tanto pmax < 0,098 · C
P (D ∩ +)
0,02 · 0,1
=
= 0, 0022
P (+)
0,893
Ejercicio 31
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
38
Ejercicio 32. Sea M el suceso ”se despide una mujer”
P (C|M )
=
=
Toc
JJ
P (M |C) · P (C)
P (M |A) · P (A) + P (M |B) · P (B) + P (M |C) · P (C)
100
0,7 ·
225
= 0,5
75
100
50
0,5 ·
+ 0,6 ·
+ 0,7 ·
225
225
225
Ejercicio 32
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
39
Ejercicio 33.
P (A|D)
=
=
Toc
JJ
II
P (D|A) · P (A)
P (D|A) · P (A) + P (D|B) · P (B)
0,95 · 0,8
= 0,806
0,95 · 0,8 + 0,91 · 0,2
Ejercicio 33
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
40
Ejercicio 34. Al estar en serie y ser independientes el sistema frena
si lo hacen los tres, es decir
P (f rene) = 0,995 · 0,993 · 0,994 = 0,98
Ejercicio 34
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
41
Ejercicio 35. Sean los sucesos Pi = {pieza fabricada por la planta i}
1
2
4
P (P1 ) =
P (P2 ) =
P (P3 ) =
7
7
7
y D = {def ectuosa} con
P (D|P1 ) = 0,01
a). P (D) =
i=3
X
P (D|P2 ) = 0,008
P (D|P1 ) = 0,02
P (D|Pi )P (Pi ) = 0,015, luego P (D) = 0,985
i=1
b).
P (P1 |D) =
P (D|P1 )P (P1 )
= 0,094
P (D)
Ejercicio 35
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
42
Ejercicio 36. Sea R el suceso un pedido tiene más de un mes de
retraso y sea Ii el suceso contrato se haya otorgado a la imprenta i
P (I3 |R)
=
=
Toc
JJ
P (R|I3 ) · P (I3 )
P (R|I1 ) · P (I1 ) + P (R|I2 ) · P (I2 ) + P (R|I3 ) · P (I3 )
0,3 · 0,5
15
=
0,2 · 0,2 + 0,5 · 0,3 + 0,3 · 0,5
34
Ejercicio 36
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
43
Ejercicio 37.
a). Número de equipos posibles
b).
20 15
= 86450
2
3
Sea el suceso R = {viaje el marido} y sea M = {viaje la mujer}
19 14
P (R ∩ M ) =
1
2
86450
= 0,14
c).
P (R ∪ M )
= P (R) + P (M ) − P (R ∩ M )
19 15
20 14
=
=
1
3
86450
0, 28
+
2
2
86450
− 0,14
Ejercicio 37
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Soluciones a los Ejercicios
44
Ejercicio 38. Si diseñamos una tabla de doble entrada se obtienen
las probabilidades con facilidad:
Empleado
Transporte
Mantenimiento
Ingeniero
a). P (T ) =
Fijo
8
35
3
46
Temporal
12
10
2
24
20
45
5
70
24
70
b).
P (T ∩ I) =
22
70
c).
P (T r|F ) =
8
46
Ejercicio 38