Conexidad local y conexidad en pequeño en 2 X y C
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Conexidad local y conexidad en pequeño
en
2X
y
C(X).
Eduardo Jacobo Villegas
Noviembre 2014
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
1/7
Resultados en 2X
Denición
X un continuo y x ∈ X . Decimos que X es conexo en pequeño en
x si para cada abierto U que contiene a x existe una vecindad conexa V de
x tal que V ⊂ U .
Sean
Teorema
M ∈ C(X), entonces 2X es conexo en pequeño
M si y sólo si para cada abierto U que contiene a M existe una
componente de U que contiene a M en su interior.
Sean
X
un continuo y
en
Teorema
Sean
M
X
si y
conexo
M ∈ C(X), entonces 2X es localmente conexo en
sólo si para cada abierto U que contiene a M existe un abierto
V tal que M ⊂ V ⊂ U .
un continuo y
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
2/7
Resultados en 2X
Denición
X un continuo y x ∈ X . Decimos que X es conexo en pequeño en
x si para cada abierto U que contiene a x existe una vecindad conexa V de
x tal que V ⊂ U .
Sean
Teorema
M ∈ C(X), entonces 2X es conexo en pequeño
M si y sólo si para cada abierto U que contiene a M existe una
componente de U que contiene a M en su interior.
Sean
X
un continuo y
en
Teorema
Sean
M
X
si y
conexo
M ∈ C(X), entonces 2X es localmente conexo en
sólo si para cada abierto U que contiene a M existe un abierto
V tal que M ⊂ V ⊂ U .
un continuo y
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
2/7
Resultados en 2X
Denición
X un continuo y x ∈ X . Decimos que X es conexo en pequeño en
x si para cada abierto U que contiene a x existe una vecindad conexa V de
x tal que V ⊂ U .
Sean
Teorema
M ∈ C(X), entonces 2X es conexo en pequeño
M si y sólo si para cada abierto U que contiene a M existe una
componente de U que contiene a M en su interior.
Sean
X
un continuo y
en
Teorema
Sean
M
X
si y
conexo
M ∈ C(X), entonces 2X es localmente conexo en
sólo si para cada abierto U que contiene a M existe un abierto
V tal que M ⊂ V ⊂ U .
un continuo y
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
2/7
Resultados en 2X
Teorema
Sean
X
y sólo si
un continuo y
2X
A ∈ 2X ,
entonces
2X
es conexo en pequeño en
es conexo en pequeño en cada componente de
A
si
A.
Teorema
Sean
X
y sólo si
un continuo y
2X
A ∈ 2X ,
entonces
2X
es localmente conexo en
es localmente conexo en cada componente de
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
A
si
A.
C(X)
Noviembre
.
2014
3/7
Resultados en 2X
Teorema
Sean
X
y sólo si
un continuo y
2X
A ∈ 2X ,
entonces
2X
es conexo en pequeño en
es conexo en pequeño en cada componente de
A
si
A.
Teorema
Sean
X
y sólo si
un continuo y
2X
A ∈ 2X ,
entonces
2X
es localmente conexo en
es localmente conexo en cada componente de
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
A
si
A.
C(X)
Noviembre
.
2014
3/7
Resultados en C(X)
Teorema
Sean
X
un continuo y
entonces
C(X)
M ∈ C(X).
Si
2X
es conexo en pequeño en
es conexo en pequeño en
M,
M.
Pregunta
Sean
X
M ∈ C(X). ¾Si 2X es
localmente conexo en M ?.
un continuo y
entonces
C(X)
es
Eduardo Jacobo Villegas
localmente conexo en
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
M,
C(X)
Noviembre
.
2014
4/7
Resultados en C(X)
Teorema
Sean
X
un continuo y
entonces
C(X)
M ∈ C(X).
Si
2X
es conexo en pequeño en
es conexo en pequeño en
M,
M.
Pregunta
Sean
X
M ∈ C(X). ¾Si 2X es
localmente conexo en M ?.
un continuo y
entonces
C(X)
es
Eduardo Jacobo Villegas
localmente conexo en
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
M,
C(X)
Noviembre
.
2014
4/7
Resultados en C(X)
Denición
x ∈ X . Decimos que X es localmente
arcoconexo en x si para cada abierto U que contiene a x existe un abierto
arcoconexo V tal que x ∈ V ⊂ U .
Sean
X
un espacio topológico y
Teorema
Sean
X
un continuo y
entonces
C(X)
M ∈ C(X).
Si
2X
es localmente arcoconexo
es conexo en pequeño en
M,
M.
Teorema
Sean
X
un continuo y
M ∈ C(X).
M.
Si
int(M ) 6= ∅,
entonces
C(X)
es
localmente arcoconexo en
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
5/7
Resultados en C(X)
Denición
x ∈ X . Decimos que X es localmente
arcoconexo en x si para cada abierto U que contiene a x existe un abierto
arcoconexo V tal que x ∈ V ⊂ U .
Sean
X
un espacio topológico y
Teorema
Sean
X
un continuo y
entonces
C(X)
M ∈ C(X).
Si
2X
es localmente arcoconexo
es conexo en pequeño en
M,
M.
Teorema
Sean
X
un continuo y
M ∈ C(X).
M.
Si
int(M ) 6= ∅,
entonces
C(X)
es
localmente arcoconexo en
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
5/7
Resultados en C(X)
Denición
x ∈ X . Decimos que X es localmente
arcoconexo en x si para cada abierto U que contiene a x existe un abierto
arcoconexo V tal que x ∈ V ⊂ U .
Sean
X
un espacio topológico y
Teorema
Sean
X
un continuo y
entonces
C(X)
M ∈ C(X).
Si
2X
es localmente arcoconexo
es conexo en pequeño en
M,
M.
Teorema
Sean
X
un continuo y
M ∈ C(X).
M.
Si
int(M ) 6= ∅,
entonces
C(X)
es
localmente arcoconexo en
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
5/7
Resultados en C(X)
Teorema
X un continuo y x ∈ X , entonces X es
si C(X) es conexo en pequeño en {x}.
Sean
sólo
conexo en pequeño en
x
si y
x
si y
Corolario
Sean
X un continuo y x ∈ X , entonces X es conexo
C(X) es localmente arcoconexo en {x}.
en pequeño en
sólo si
Corolario
X un continuo y x ∈ X . Si X es localmente
C(X) es localmente arcoconexo en {x}.
Sean
Eduardo Jacobo Villegas
conexo en
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
x,
entonces
C(X)
Noviembre
.
2014
6/7
Resultados en C(X)
Teorema
X un continuo y x ∈ X , entonces X es
si C(X) es conexo en pequeño en {x}.
Sean
sólo
conexo en pequeño en
x
si y
x
si y
Corolario
Sean
X un continuo y x ∈ X , entonces X es conexo
C(X) es localmente arcoconexo en {x}.
en pequeño en
sólo si
Corolario
X un continuo y x ∈ X . Si X es localmente
C(X) es localmente arcoconexo en {x}.
Sean
Eduardo Jacobo Villegas
conexo en
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
x,
entonces
C(X)
Noviembre
.
2014
6/7
Resultados en C(X)
Teorema
X un continuo y x ∈ X , entonces X es
si C(X) es conexo en pequeño en {x}.
Sean
sólo
conexo en pequeño en
x
si y
x
si y
Corolario
Sean
X un continuo y x ∈ X , entonces X es conexo
C(X) es localmente arcoconexo en {x}.
en pequeño en
sólo si
Corolario
X un continuo y x ∈ X . Si X es localmente
C(X) es localmente arcoconexo en {x}.
Sean
Eduardo Jacobo Villegas
conexo en
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
x,
entonces
C(X)
Noviembre
.
2014
6/7
Resultados en C(X)
Teorema
Sean
X
x ∈ X , entonces X es conexo en pequeño en x si y
M ∈ C(X) tal que x ∈ M , se tiene que C(X) es conexo
M.
un continuo y
sólo si para cada
en pequeño en
Teorema
M ∈ C(X), entonces X es conexo en pequeño en
U que contiene a M , cada sucesión de
subcontinuos contenida en U que converge a M es tal que a partir de algún
momento se queda contenida en la componente de U que contiene a M .
Sean
M
X
un continuo y
si y sólo si para cada abierto
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
7/7
Resultados en C(X)
Teorema
Sean
X
x ∈ X , entonces X es conexo en pequeño en x si y
M ∈ C(X) tal que x ∈ M , se tiene que C(X) es conexo
M.
un continuo y
sólo si para cada
en pequeño en
Teorema
M ∈ C(X), entonces X es conexo en pequeño en
U que contiene a M , cada sucesión de
subcontinuos contenida en U que converge a M es tal que a partir de algún
momento se queda contenida en la componente de U que contiene a M .
Sean
M
X
un continuo y
si y sólo si para cada abierto
Eduardo Jacobo Villegas
Conexidad local y conexidad en pequeño en
2X
y
C(X)
Noviembre
.
2014
7/7
