Parcial 1 - Jos Luis Quintero D vila

Universidad Central de Venezuela – Facultad de Ingeniería – Departamento de Matemática Aplicada
ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA – PRIMER PARCIAL (35%)
1. (4 puntos). Complete la tabla con la letra “V” o “F” según considere la oración sea verdadera
o falsa. Cada respuesta correcta vale 0.50 puntos y cada incorrecta vale -0.50 puntos.
a. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento seguro es
igual a cero
b. Si dos eventos no vacios son independientes, entonces la probabilidad de su intersección
es el producto de sus probabilidades
c. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad
d. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B)
respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B no lo son
e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables
f. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de tamaño tres
sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es X3 / (X + Y)3
g. Si se pretende colocar una pelota en cada una de n cajas y se dispone inicialmente de n
pelotas, el número de formas como se puede hacer esto se conoce como permutaciones de
n elementos
h. Pn = Vn,n
Pregunta
a
b
c
d
e
f
g
h
Respuesta
F
V
V
F
F
F
V
V
2. (4 puntos). En cada caso, marque con una X la respuesta correcta. Cada respuesta correcta
vale 0.50 puntos y cada incorrecta vale -0.50 puntos.
a. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. El evento “ocurre al menos uno” se
expresa como
( ) A1 ∩ A2 ∩ A3
(
) A1 ∪ A2 ∪ A3
(
) A1 ∩ A2 ∩ A3
(
) A1 ∪ A2 ∩ A3
b. Si A y B son dos eventos independientes, con P(A) = P(B) = p , se afirma que P(A ∪ B) :
(
) (1 − p)2
(
) 2(1 − p)
(
) 1 − (1 − p)2
(
) 2p
c. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números
obtenidos sea mayor o igual a 11 es equivalente a
(
) 1/12
(
) 1/6
(
) 5/36
(
) 5/6
d. Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un
dardo. Si el dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. La probabilidad de no
obtener el premio corresponde a
(
) (RL π )2
(
) 1 − ( πLR )2
(
) 1−
2 πR
L2
(
)
(L-R π)(L+R π)
L2
e. Dadas 40 personas, la cardinalidad del evento “nadie cumple años el mismo día” es
( ) VR365,40
( ) V365,40
( ) CR365,40
( ) C365,40
f. Un jugador lanza un dado equilibrado. El juego termina hasta que salga uno. La
probabilidad de ganar en el k-ésimo intento viene dada como
(
) ( 56 )k-1 ( 16 )
(
) ( 16 )k −1( 56 )
(
) ( 56 )k
(
) ( 16 )k
g. Una moneda se lanza tres veces de forma consecutiva. Se desea determinar el número de
caras obtenidas. La cardinalidad del espacio muestral es
(
)2
(
)3
(
)4
(
Código: 0260 – Sábado 11/06/16 – Hora: 9:00 a.m. – Prof. José Luis Quintero
)8
1
h. Un evento tiene la probabilidad 1 n , en donde n es un número natural. La probabilidad de
que el evento no ocurra en n repeticiones independientes es igual a
( ) 1−1 n
( ) 1n
( ) 1 − (1 − 1 n)n
(
) (1 − 1 n )n
3. (4 puntos). Sean A y B eventos de un espacio muestral con P(A) = a, P(B) = b, P(A ∩ B) = c .
Calcule
a. (1 punto). P(A ∩ B)
Solución.
P(A ∩ B) = b − c
b. (1 punto). P(A ∪ B)
Solución.
P(A ∪ B) = 1 − b + c
c. (1 punto). P(A ∩ B)
Solución.
P(A ∩ B) = 1 − a − b + c
d. (1 punto). P(A ∩ B)
Solución.
P(A ∩ B) = 1 − a + c
4. (4 puntos). Cuatro personas se suben en un ascensor en el piso 0 de un edificio de ocho
plantas (0,1,2,…,7,8). Cada persona selecciona el piso en donde se bajará, entre el 1 y el 8.
Nadie más se subirá. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:
a. (2 puntos). Todas las personas se bajan antes del cuarto piso
Solución.
Experimento aleatorio: Elegir al azar cada piso donde debe bajarse cada una de las 4
personas
Propósito: Determinar el número del piso donde se bajará cada persona
Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden bajar las cuatro personas
Evento de interés: A: Todas las personas se bajan antes del cuarto piso
NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cuatro personas
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Se tiene que NS = VR8,4 = (8)4 y NA = VR3,4 = (3)4 . Por lo tanto
P(A) =
NA (3)4  3 
=
=
NS (8)4  8 
4
b. (2 puntos). En los pisos uno, seis y siete no se baja nadie
Solución.
Evento de interés: B: En los pisos uno, seis y siete no se baja nadie
NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cuatro personas
NB : Número de formas distintas en las que se produce el evento B
Se tiene que
NS = VR8,4 = (8)4 y NB = VR5,4 = (5)4
Por lo tanto
P(B) =
NB (5)4  5 
=
= 
NS (8)4  8 
4
Código: 0260 – Sábado 11/06/16 – Hora: 9:00 a.m. – Prof. José Luis Quintero
2
5. (4 puntos). Considere una caja con 2 pelotas amarillas y 1 pelota roja. Dos jugadores, A y B,
se turnan para extraer pelotas de la caja. Si ambas pelotas son del mismo color, gana A; si
ambas pelotas son de distinto color, gana B. Toda pelota extraída se devuelve a la caja antes
de extraer otra pelota. Cada vez que un jugador gana recibe una ficha. Este juego se repite
varias veces. Calcule la probabilidad de que después de 3 extracciones de ambos jugadores, el
jugador A haya acumulado más fichas que el jugador B
Solución.
Sean
NA: Número de fichas que gana el jugador A al hacer ambos jugadores cuatro extracciones
NB: Número de fichas que gana el jugador B al hacer ambos jugadores cuatro extracciones
Se sabe que NA + NB = 3
Eventos de interés.
A: El jugador A ganó una ficha en la primera extracción de ambos jugadores
D: después de 3 extracciones de ambos jugadores, el jugador A ha acumulado más fichas que
el jugador B
El evento D ocurre solamente si ocurre alguno de los siguientes eventos:
A2B1: el jugador A gana 2 fichas y el jugador B gana 1 ficha
A3B0: el jugador A gana 3 fichas y el jugador B no gana ninguna ficha
En tal sentido
2 2 1 1 4 +1 5
. + . =
=
3 3 3 3
9
9
3
3
2
1
3
0
P(D) = P(A2B1) + P(A3B0) =   P(A) 1 − P(A) +   P(A) 1 − P(A)
2
3
P(A) =
2
1
3
0
3 × 25 × 4 + 125 425
5   4 
5   4 
= 3    +     =
=
9
9
9
9
729
729
   
   
Código: 0260 – Sábado 11/06/16 – Hora: 9:00 a.m. – Prof. José Luis Quintero
3