Comparaciones múltiples entre medias Tema 6 1. Comparaciones

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Comparaciones múltiples entre medias
Tema 6
1. Comparaciones múltiples
2. Comparaciones planeadas o a priori:
2.1 F planeadas
2.2 Comparaciones de tendencia
3. Comparaciones no planeadas o a
posteriori:
3.1 Prueba de Tukey
3.2. Prueba de Scheffé
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1. Comparaciones múltiples
Combinación lineal de medias
coeficientes que suman cero.
con
Para J medias:
L
= c1 µ 1 + c 2 µ 2 + L + c J µ J
J
∑c
=
j =1
j
µj
Ejemplo: Si desean compararse dos
medias µ1 y µ2, en caso de que sean
iguales:
µ1 = µ2
Esto puede escribirse también del modo:
L = µ1 - µ2 = 0
Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto
suman 0.
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Ejemplo: Tres medias:
1) Una posibilidad es comparar µ1 y µ2,
tomadas juntas, con µ3. Es decir:
µ1 + µ 2
2
= µ3
Lo cual puede escribirse: L1 = µ1 + µ2 - 2µ3
=0
Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por
tanto suman 0.
2) Otra posibilidad es comparar
µ2 =
µ1 + µ3
2
Es decir: L2 = -µ1 + 2µ2 - µ3 = 0
Coeficientes: -1, 2 y -1
3) Otra comparación es: µ1 = µ3
Luego: L3 = µ1 - µ3 = 0
Coeficientes: 1, 0 y -1
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Asignación de coeficientes a las medias
1) Dividir las medias en los dos grupos que
van compararse entre sí.
2) Asignar a la media de cada grupo un
coeficiente igual al número de medias del
otro grupo.
3) Cambiar el signo de los coeficiente de
uno de los grupos.
Ejemplo: Cinco medias: µ1, µ2, µ3, µ4 y µ5.
Desea compararse µ1 y µ2 con µ3, µ4 y µ5.
1) Grupo 1: µ1 y µ2. Grupo 2: µ3, µ4 y µ5
2) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: 2µ3, 2µ4,
2µ5
3) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: -2µ3, -2µ4, 2µ5
Es decir: L = 3µ1 + 3µ2 -2µ3 -2µ4 -2µ5 = 0
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Comparaciones ortogonales
Aquellas que no contienen información
redundante.
La
información
que
proporciona una comparación no se solapa
con la proporcionada por otra.
Con J medias es posible realizar J-1
comparaciones ortogonales.
Regla práctica: Dos comparaciones son
ortogonales si el producto de sus
coeficientes es cero.
L1
L2
= c11 µ 1 + c12 µ 2 + L + c1 J µ J
= c 21 µ 1 + c 22 µ 2 + L + c 2 J µ J
J
Son ortogonales si:
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∑c
j =1
1j
c2 j = 0
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Ejemplo:
Comparación
L1 = µ1 + µ2 - 2µ3
L2 = µ1 - µ2
L3 = µ1 - µ3
Coeficientes
1, 1, -2
1, -1, 0
1, 0, -1
L1 y L2 son ortogonales:
(1*1) + (1*-1)+(-2*0) = 0
L1 y L3 no son ortogonales:
(1*1) + (1*0)+(-2*-1) = 3
L2 y L3 no son ortogonales:
(1*1) + (1*0)+(0*-1) = 1
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2. Comparaciones planeadas o a priori
Se realizan de forma independiente al
ANOVA. No es necesario realizar también
este.
2.1 Pruebas F planeadas
Se aplican cuando desean realizarse dos o
más comparaciones ortogonales: L1, L2, ...,
Lh
Para una comparación Li, por ejemplo con
tres medias:
1. Hipótesis
H0: Li = c1µ1 + c2µ2 - c3µ3 = 0
H1: Li ≠ 0
2. Supuestos (los mismos del ANOVA)
Normalidad
Independencia
Homocedasticidad
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3. Estadístico de contraste
Valor estimado de la comparación
(utilizando las medias muestrales):
Lˆ i = c1Y1 + c 2Y2 + c3Y3 + L + c J YJ
Suma de cuadrados de la comparación:
Lˆ2i
SC ( Lˆ i ) =
J c2
j
∑n
j =1
Para
J-1
ortogonales:
j
comparaciones
J −1
∑ SC ( Lˆ ) = SCI
j =1
j
MC ( Lˆ i ) = SC ( Lˆ i )
Media de cuadrados error (la misma del
ANOVA): MCE
MC ( Lˆi )
Estadístico de contraste: Fi = MCE
Distribución: Fi ~ F1, gle
4. Zona crítica y decisión: Fi ≥1−α F1, gle
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Ejemplo:
(continúa).
Métodos
de
enseñanza.
El
investigador
desea
contrastar si el método presencial difiere
de la enseñanza autodidacta y por internet.
También si el método por internet difiere
del autodidacta.
Los grupos eran: presencial, internet,
autodidacta. Luego las comparaciones son:
µ1 =
µ 2 + µ3
2
µ 2 = µ3
L1 = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0
L2 = µ2 - µ3 = 0
Son ortogonales: (2*0) + (-1*1) + (-1*-1)= 0
1. Hipótesis
H0(1): L1 = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0
H0(2): L2 = µ2 - µ3 = 0
H1(1): L1 ≠ 0
H1(2): L2 ≠ 0
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2. Supuestos: normalidad, independencia,
homocedasticidad
3. Estadístico de contraste
Medias muestrales: Y1 = 6,48 , Y2 = 4,43 e
Y3 = 3,76
Valores estimados de las comparaciones:
Lˆ1 = (2)6,48 + (−1)4,43 + (−1)3,76 = 4,77
Lˆ 2 = (0)6,48 + (1)4,43 + (−1)3,76 = 0,67
Sumas de cuadrados:
2
ˆ2
L
4
,
77
SC ( Lˆ1 ) = J 1 2 = 2
= 22,75
2
2
cj
2
−1 −1
+
+
∑
6
6
6
j =1 n j
2
ˆ22
L
0
,
67
= 2
= 1,34
SC( Lˆ 2 ) =
2
2
2
J c
0 1
−1
j
+ +
∑
6
6
6
j =1 n j
SC ( Lˆ1 ) + SC ( Lˆ2 ) = 22,75 + 1,34 = 24,09 = SCI
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( )
( )
Como gl=1, entonces MC Lˆi = SC Lˆi
Media de cuadrados error: MCE = 2,308
Estadístico de contraste:
MC ( Lˆ1 ) 22,75
=
= 9,86
F1 =
MCE
2,308
MC ( Lˆ2 )
1,34
F2 =
=
= 0,58
MCE
2,308
Distribución: Fi ~ F1, gle = F1,15
4. Zona crítica:
Fi ≥1−α F1, gle = 0,95 F1,15 = 4,54
5. Decisión:
Rechazar H0(1)
Mantener H0(2)
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2.2 Comparaciones de tendencia
La VI debe ser cuantitativa para poder
aplicar este contraste.
Con J medias pueden contrastarse J-1
tipos de tendencia. Las tendencias más
sencillas son:
Y
6
Y
6
Y
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
2
3
4
5
6
X
1
2
3
4
5
6
X
1
2
3
4
5
6
X
a). Relación b). Relación c). Relación
lineal
cúbica
cuadrática
d) Relación
de 4º grado
e) Relación
de 5º grado
f) Relación
de 6º grado
Se realizan igual que las F planeadas,
tomando los coeficientes de la tabla G.
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Ejemplo: Se está estudiando el efecto de
la dosis de un medicamento sobre el
rendimiento de los sujetos en una prueba
de atención. Se han formado cuatro
grupos de sujetos a los que se suministra
diferente dosis, y se ha medido su
rendimiento. Estudiar el tipo de relación
con α = 0,01 sabiendo que la SCE es
33,32.
Dosis
5mg
10mg
15mg
20mg
Rendimiento
medio
3,58
6,74
6,90
2,90
n
5
5
5
5
Solución: Cómo J=4 se estudia la
tendencia lineal, cuadrática y cúbica
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1. Hipótesis (ver tabla G):
H0(l): Ll : -3µ1 -µ2 + µ3 + 3µ4 = 0; H1(l): Ll ≠ 0
H0(c): Lc : µ1 -µ2 - µ3 + µ4 = 0; H1(c): Lc ≠0
H0(b): Lb : -µ1 +3µ2 -3µ3 + µ4 = 0; H1(b): Lb≠0
2. Supuestos (los mismos del ANOVA)
Normalidad, Independencia,
Homocedasticidad
3. Estadísticos de contraste:
3.1. Valor estimado de la comparación:
Lˆ l = −3Y1 − Y2 + Y3 + 3Y4 =
= (−3)3,58 − 6,74 + 6,9 + (3)2,9 = −1,88
Lˆ c = Y1 − Y2 − Y3 + Y4 =
= 3,58 − 6,74 − 6,9 + 2,9 = −7,16
Lˆ b = −Y1 + 3Y2 − 3Y3 + Y4 =
= −3,58 + (3)6,74 + (−3)6,9 + 2,9 = −1,16
gle = N - J = 20-4 = 16
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3.2. Sumas cuadráticas:
MCE = SCE / gle = 33,32 / 16 = 2,083
2
ˆ2
−
1
.
88
L
SC ( Lˆl ) = J l 2 =
= 0,884
9 +1+1+ 9
cj
∑
5
j =1 n j
2
ˆ2c
L
−
7
.
16
SC ( Lˆc ) = J 2 =
= 64,082
c j 1+1+1+1
∑
5
j =1 n
j
2
ˆ2b
L
−
1
.
16
SC ( Lˆb ) = J 2 =
= 0,336
c j 1+ 9 + 9 +1
∑
5
j =1 n
j
3.3 Estadístico de contraste:
Fl = 0,884 / 2,083 = 0,424
Fc = 64,082 / 2,083 = 30,764
Fb = 0,336 / 2,083 = 0,161
MC ( Lˆi )
Fi =
MCE
4. Zona crítica: F ≥ 0,99 F1,16 = 8,53
5. Decisión: Rechazar H0(c). Luego se
concluye que la relación es cuadrática
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3. Comparaciones no planeadas o a
posteriori
Se realizan después del ANOVA para
descubrir donde están las diferencias entre
medias si la F ha resultado significativa.
3.1 Prueba de Tukey
Se comparan todas las medias entre sí,
tomándolas por pares.
Ejemplo: Tabla de pares de cuatro medias
Y2
Y3
Y4
Y1 | Y1 − Y2 | | Y1 − Y3 | | Y1 − Y4 |
Y2
| Y2 − Y3 | | Y 2 − Y 4 |
Y3
| Y3 − Y4 |
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Para cada par de medias:
1) Tomar el punto 1-αqJ, gle de la tabla J.
2) Calcular:
DMSTukey =1−α qJ , gle
MCE  1 1 
 + 
2  n1 n2 
Concluir que las medias poblacionales son
distintas si su diferencia es mayor que la
DMSTukey
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Ejemplo: Comparar entre sí todos los
posibles pares de medias en el ejemplo de
la agorafobia.
Tabla de diferencia de medias
Y1
Y2
Y3
2,65
1,71
Y2
0,94
1-αqJ, gle
= 0,95 q3, 39 = 3,44
(buscando 0,95 q3, 40)
•
Comparando el control con el A
(H0: µ1 = µ2):
DMSTukey =1−α qJ , gle
MCE  1 1 
 + 
2  n1 n2 
3,22  1 1 
= 3,44
 +  = 1,72
2  12 14 
2,65 > 1,72. Diferencia significativa
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•
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Comparando el control con el B
(H0: µ1 = µ3):
DMSTukey =1−α qJ , gle
= 3,44
MCE  1 1 
 + 
2  n1 n3 
3,22  1 1 
 +  = 1,66
2  12 16 
1,71 > 1,66. Diferencia significativa
•
Comparando el A con el B
(H0: µ2 = µ3):
DMSTukey =1−α qJ , gle
MCE  1 1 
 + 
2  n2 n3 
3,22  1 1 
= 3,44
 +  = 1,60
2  14 16 
0,94 < 1,60. Diferencia no significativa
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3.2 Prueba de Scheffé
Se realiza una única comparación. Por
tanto, a diferencia de Dunnett o Tukey,
pueden compararse simultáneamente más
de dos medias.
Ejemplo: Con tres medias:
Hipótesis:
H0: L = c1µ1 + c2µ2 + c3µ3 = 0
H1 : L ≠ 0
Estadístico de contraste:
Estimar: Lˆ = c1Y1 + c 2 Y2 + c 3Y3
J
c 2j
j =1
nj
DMS Scheffe = ( J − 1)1−α FJ −1, gle MCE ∑
ˆ
Rechazar H0 si | L | ≥ DMS Scheffé
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Ejemplo: Contrastar si la media del grupo
control es igual a la del A y B tomados
juntos.
Hipótesis:
H0: L = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0
H1 : L ≠ 0
Estadístico de contraste:
Lˆ = 2Y1 − Y2 − Y3 = (2)7,77 − 5,12 − 6,06 = 4,36
1-αFJ-1, gle
= 0,95F2, 39 ≈
0,95F2, 40
= 3,23
J
c 2j
j =1
nj
DMS Scheffe = ( J − 1)1−α FJ −1, gle MCE ∑
1
1
 4
= ( 2)3,23 3,22 +
+  = 3,12
 12 14 16 
4,36 > 3,12. Rechazar H0
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Formulario del tema 6
Comparaciones ortogonales:
J
∑c
j =1
1j
c2 j = 0
Pruebas F planeadas y de tendencia:
Lˆ i = c1Y1 + c 2Y2 + c3Y3 + L + c J YJ
SC ( Lˆ i ) =
Lˆ 2i
J
c 2j
∑n
j =1
j
MC ( Lˆi )
Fi =
MCE
Fi ~ F1, gle
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Prueba de Tukey:
DMSTukey =1−α qJ , gle
MCE  1 1 
 + 
2  n1 n2 
q ≡ Tabla J
Prueba de Scheffe:
Lˆ = c1Y1 + c 2 Y2 + c 3Y3
J
c 2j
j =1
nj
DMS Scheffe = ( J − 1)1−α FJ −1, gle MCE ∑
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Ejercicios recomendados del libro:
6.9
6.10
6.13
6.14
6.15
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