Clase práctica 3: Consecuencia Lógica

Clase práctica 3: Consecuencia Lógica
(by Laski)
Primer Cuatrimestre 2014
Repaso de la teórica
Decimos que una valuación v satisface a una fórmula P si v(P ) = 1,
y que satisface a un conjunto de fórmulas Γ si satisface a todas sus
fórmulas, es decir (∀Q ∈ Γ) v(Q) = 1.
Decimos que un conjunto de fórmulas Γ es satisfacible (también llamado
satisfactible) si existe una valuación que lo satisfaga (chocolate por la
noticia). Adivinen cómo se dice cuando no es satisfacible...
Por último, decimos que una fórmula P es consecuencia lógica de un
subconjunto de fórmulas Γ si toda valuación v que satisface a Γ también
satisface a P . Es decir, si (∀v ∈ V al / (∀Q ∈ Γ v(Q) = 1)) v(P ) = 1.
Notación
Si P es consecuencia lógica de Γ podemos escribir Γ P (se puede
leer también “Gamma fuerza la validez de P” si quieren ponerle una
traducción al simbolito).
También vamos a usar Con (Γ) para denotar al conjunto de fórmulas
que son consecuencia lógica de Γ. Es decir, Con(Γ) = {P ∈ Form | Γ P }.
Proposición 1
Toda fórmula de un conjunto de fórmulas es consecuencia lógica del
conjunto. Es decir, (∀P ∈ Γ) Γ P .
Demostración
Por la definición que dijimos recién, una valuación v satisface a
Γ si y solo si satisface a todas sus fórmulas. Dado un P ∈ Γ, v
satisface a P por esto mismo. Usando la definición de consecuencia
lógica llegamos a lo que queríamos. 1
Fácil, ¿no? Por eso ni lo llamé “ejercicio”. Ahora sí...
Ejercicio 1 (Referencia: item a del ejercicio 2 de la práctica 3)
Probar que si Γ es satisfacible y Γ0 ⊆ Γ entonces Γ0 es satisfacible.
Demostración
Como Γ es satisfacible, tenemos al menos una valuación v que lo
satisface.
Supongamos que v 2 Γ0 . Es decir, que hay alguna fórmula P ∈ Γ0
tal que v no la satisface (formalmente, ∃P ∈ Γ0 /v(P ) = 0).
Como Γ0 ⊆ Γ sabemos P ∈ Γ. Pero como habíamos dicho que v
satisface a Γ, v tiene que satisfacer a P (por definición de satisfacer
a un conjunto de fórmulas). Pero es absurdo que v satisfaga y no
satisfaga a P al mismo tiempo. Ejercicio 2 (Referencia: item a del ejercicio 5 de la práctica 3)
Probar que Con(∅) es el conjunto de las tautologías.
Demostración
Necesitamos buscar las fórmulas que valgan para cualquier valuación que satisfaga al conjunto vacío. ¿Cuáles son esas valuaciones?
Como la definición de satisfacer a un conjunto implica satisfacer
a todas las fórmulas del conjunto, podemos asumir que cualquier
valuación satisface al conjunto vacío (porque no hay fórmulas que
satisfacer). Más formalmente, todo v satisface a ∅ porque (∀P ∈
∅) v(P ) = 1.
Entonces necesitamos las fórmulas que valen para cualquier valuación, es decir, {P ∈ Form | (∀v ∈ V al) v(P ) = 1}. Pero esa es
precisamente la definición de tautología =).
Ejercicio 3 Probar que las tautologías pertenecen a Con(Γ) para cualquier
Γ.
Demostración
Ejercicio.
Ejercicio 4 Probar si v ∈ V al satisface a Γ entonces también satisface a
Con(Γ).
Demostración
Ejercicio.
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Ejercicio 5 Probar que si v ∈ V al satisface a Γ y a Σ entonces satisface a
Γ ∪ Σ.
Demostración
Queremos probar que (∀f ∈ Γ ∪ Σ) v f .
Si una fórmula f está en Γ ∪ Σ entonces f ∈ Γ o f ∈ Σ (o ambos).
Pero como v satisface a todas las fórmulas de Γ y de Σ (porque
por hipótesis satisface a ambos conjuntos) entonces v f .
Ejercicio 6 Probar que Con(Γ) es el conjunto de todas las fórmulas ⇔ Γ es
insatisfacible.
Demostración
⇒)
Supongamos que Con(Γ) es el conjunto de todas las fórmulas.
Queremos ver que Γ es insatisfacible.
Por definición de Con(Γ), una valuación que satisfaga Γ debe satisfacer a todas las fórmulas en Con(Γ). Pero como Con(Γ) = Form,
Con(Γ) incluye, entre otras, a las contradicciones. Y ninguna valuación satisface a las contradicciones (porque esa es su definición).
Luego, Γ es insatisfacible.
⇐)
Un conjunto es insatisfacible si no tiene ninguna valuación que
lo satisfaga. Recordemos que una fórmula P sea consecuencia lógica de un conjunto Γ, tiene que pasar que (∀v ∈ V al / (∀Q ∈
Γ v(Q) = 1)) v(P ) = 1. Pero como no hay valuaciones que cumplan satisfacer al conjunto, entonces la definición es cierta para
cualquier P . Luego, las consecuencias de Γ son todas las fórmulas.
Corolario
Si Con(Γ) para algún Γ ⊆ Form tiene una contradicción, entonces Γ
es insatisfacible (y por lo tanto Con(Γ) = Form).
Demostración
Usando ⇒) de la demostración anterior sale directamente. Ejercicio de parcial
Sean q0 , q1 , ... variables proposicionales (no necesariamente distintas entre sí, no necesariamente todas las variables), y sean
Γ 0 = q0
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Γn+1 = Con(Γn ∪ {¬qn ∨ qn+1 })
Probar que ∪∞
i=1 Γi no es trivial (no es vacío ni todas las fórmulas).
Demostración
Vamos por partes.
Primero veamos qué onda esta definición. Parece difícil, pero desmenuzándola un poco vemos que no lo es tanto. Viéndolo de cerca
notamos que cada nuevo conjunto qn+1 se define como las consecuencias de “el conjunto anterior agregándole ¬qn ∨ qn+1 ” (entre
comillas para que se note que son las consecuencias de todo lo que
está entre comillas).
Hagamos un paso recursivo a ver si lo vemos bien (recordemos que
Γ0 = q0 ).
Γ1 = Con(Γ0 ∪ {¬q0 ∨ q1 }) = Con({q0 , ¬q0 ∨ q1 }})
Γ1 es entonces las consecuencias de {q0 , ¬q0 ∨ q1 }.
Detengámonos un poco ahora y veamos qué queremos probar.
Queremos ver que una unión de conjuntos de fórmulas es no vacía
y que no tiene a todas las fórmulas. Llamemos Γ (sin subíndice)
a esa unión de todos los Γi con i de 1 a infinito. Veamos primero
que Γ no es vacío.
Como vimos antes, toda fórmula es consecuencia lógica de un conjunto que la contiene. Entonces {q0 , ¬q0 ∨ q1 } q0 . Como Γ1 es
Con({q0 , ¬q0 ∨ q1 }), entonces q0 ∈ Γ1 y por lo tanto q0 ∈ Γ (pues
Γ es unión de conjuntos entre los cuales está Γ1 ).
Probamos que Γ 6= ∅. Veamos ahora que Γ 6= Form. En particular,
vamos a probar que Γ no tiene a las contradicciones. Como Γ es la
unión de muchos conjuntos, necesitamos ver que ninguno de ellos
las tiene. Si probamos eso terminamos, porque probamos que Γ
nunca va a tener una contradicción. ¿Y cómo probamos algo sobre
una lista de cosas definida recursivamente? Adivinaron, inducción.
Vamos a hacer inducción en el índice de los Γn . Para cada uno
de ellos queremos probar que no tiene contradicciones. Pero como
vimos, para probar que un Con(Σ) con Σ ⊆ Form no tiene contradicciones alcanza con probar que Σ es satisfacible (contrarrecíproco del corolario que vimos recién). Si llamamos Σn al conjunto
“generador” de cada Γn (es decir, Γn−1 ∪ {¬qn−1 ∨ qn }, sin el Con)
alcanza con probar que Σn es satisfacible para probar que Γn no
tiene contradicciones.
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Para eso hay que dar una valuación que satisfaga a cada uno. No
hace falta que sea la misma para todos, pero en este caso casualmente lo es: vamos a ver que v(x) = 1 ∀x ∈ V ar (la valuación que
hace verdaderas a todas las variables proposicionales) satisface a
todos los Σn .
Caso base: v satisface a Σ1
Recordemos que Γ1 = Con({q0 , ¬q0 ∨ q1 }}), es decir que Σ1 =
({q0 , ¬q0 ∨ q1 }}). Podemos ver fácilmente que para el v que elegimos v(q0 ) = 1 y v(¬q0 ∨ q1 ) = 1. Entonces Σ1 es satisfacible y el
conjunto de sus consecuencias (Γ1 ) no tiene contradicciones.
Caso inductivo: v satisface a Σn ⇒ v satisface a Σn+1
Hipótesis inductiva: v satisface a Σn = Γn−1 ∪ {¬qn−1 ∨ qn }. Es
decir, Γn no tiene contradicciones.
Queremos ver que Γn+1 = Con(Γn ∪ {¬qn ∨ qn+1 }) no tiene contradicciones, o sea que v satisface a Σn+1 = Γn ∪ {¬qn ∨ qn+1 }.
Por hipótesis inductiva, v satisface a Σn . Como ya probamos (en
realidad lo tienen que probar, pero no es difícil), si una valuación
satisface a Σn satisface también a Con(Σn ). Es decir, v satisface
Γn .
Otra cosa que sí probamos es que si una valuación satisface a
un conjunto Π y también a otro conjunto ∆ entonces satisface a
Π ∪ ∆. Entonces para que v satisfaga a Γn ∪ {¬qn ∨ qn+1 } solo nos
falta probar que satisface a {¬qn ∨ qn+1 }. Pero eso también es fácil
porque v(qn+1 ) = 1.
Probamos entonces que v satisface a Σn+1 , es decir que Γn+1 no
tiene contradicciones.
Entonces por inducción ningún Γi tiene contradicciones y por ende
Γ tampoco, como queríamos.
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