d - Canek

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Reglas de derivación.
E: Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/seg, entonces
su altura después de t segundos es:
s(t) = −5t2 + 25t
(a) Determine el dominio de la función
(b) ¿Para qué valores de t la pelota se encuentra a más de 30 m del suelo?
(c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está a 20 m arriba del piso en su camino hacia
arriba y luego hacia abajo?
D: H
(a) La función altura o de posición con respecto al suelo es: s(t) = −5t2 + 25t.
El dominio de esta función es
t ≥ 0 s(t) ≥ 0 = t ≥ 0 − 5t2 + 25t ≥ 0 =
= t ≥ 0 5t(−t + 5) ≥ 0 = t ≥ 0 − t + 5 ≥ 0 =
= t ≥ 05 ≥ t = t ≥ 0t ≤ 5 = t0 ≤ t ≤ 5 =
Ds =
= [0, 5]
(b) Se cumple si:
s(t) > 30 ⇔ −5t2 + 25t > 30 ⇔ −5t2 + 25t − 30 > 0 ⇔ −5(t2 − 5t + 6) > 0 ⇔
⇔ t2 − 5t + 6 < 0 ⇔ (t − 2)(t − 3) < 0.
Desigualdad que se cumple cuando
t−2 < 0 y t−3 > 0
t<2 yt>3
t<2 yt>3
o bien
o bien
o bien
t − 2 > 0 y t − 3 < 0;
t > 2 y t < 3;
2 < t < 3.
Ya que no hay t ∈ R tales que t < 2 & t > 3, entonces la desigualdad se cumple sólo
cuando 2 < t < 3.
Por lo tanto, la desigualdad s(t) > 30 se cumple cuando, y sólo cuando, 2 < t < 3.
(c) Primero determinamos los instantes en que la pelota está 20 metros arriba del suelo.
s(t) = 20 ⇔ −5t2 + 25t = 20 ⇔ −5t2 + 25t − 20 = 0 ⇔
⇔ −5(t2 − 5t + 4) = 0 ⇔ t2 − 5t + 4 = 0 ⇔
⇔ (t − 1)(t − 4) = 0 ⇔ t = 1 o bien t = 4
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canek.azc.uam.mx: 12/ 2/ 2007
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Luego calculamos la velocidad intantánea de la pelota en cualquier instante t.
d
d
v(t) = s(t) = (−5t2 + 25t) =
dt
dt
s(t + h) − s(t)
−5(t + h)2 + 25(t + h) − (−5t2 + 25t)
= lı́m
= lı́m
=
h→0
h→0
h
h
−5(t2 + 2th + h2 ) + 25t + 25h + 5t2 − 25t
= lı́m
=
h→0
h
−10th − 5h2 + 25h
= lı́m(−10t − 5h + 25) =
= lı́m
h→0
h→0
h
= −10t + 25
Finalmente, obtenemos v(1) = v(t = 1) y v(4) = v(t = 4)
v(1) = −10(1) + 25 = −10 + 25 = 15 ⇒ v(1) = 15 m/s
v(4) = −10(4) + 25 = −40 + 25 = −15 ⇒ v(4) = −15 m/s
El signo positivo de v(1) = 15 m/s nos indica que la pelota va hacia arriba y el signo
negativo de v(4) = −15 m/s nos dice que la pelota se dirige hacia abajo.