Introducci ´on a los n ´umeros complejos

Introducción a los números complejos
1.1. ¿Cómo y por qué aparecen los números complejos?
Los números complejos no han entrado en la matemática del mismo modo en
que lo han hecho los números naturales, los racionales o incluso los reales, es decir, como construcciones abstractas buscadas ex profeso par resolver un problema:
los números complejos se han colado “por la puerta de atrás”. Los matemáticos se
toparon de frente con ellos sin saber muy bien qué hacer, y fueron considerados
una anomalı́a, algo embarazoso que “ensuciaba” el Álgebra, hasta que primero
Argand y después, sobre todo, Gauss, les dieron el estatus que les correspondı́a al
dar una interpretación geométrica de los números complejos. A partir de ahı́ revelan todo su potencial práctico y entran por la puerta grande en la fı́sica y en la
ingenierı́a, de modo que actualmente, la teorı́a más moderna sobre la Naturaleza,
la mecánica cuántica, no se puede formular sin emplear números complejos; el diseño de circuitos de corriente alterna se basa en los complejos; la teorı́a de control
de sitemas tiene su expresión más simple en números complejos. . . y los números
complejos pueblan la matemática con la naturalidad con que antes lo hacı́an los
números reales.
Si uno busca en la Wikipedia, la primera mención de la raı́z cuadrada de un
4
1 Introducción a los números complejos
número negativo se atribuye a Herón de Alejandrı́a, en el siglo I de nuestra era.
No está muy claro en qué consiste tal mención, pero sı́ parece claro que la primera
manipulación de números complejos se debe a Girolamo Cardano (1501–1576), a
quien debemos las fórmulas para la solución de las ecuaciones de grado 3 y 4.
Cardano era, además de matemático, un afamado médico de Milán. Las fórmulas de la solución de la ecuación cúbica no son suyas, sino que se deben a Tartaglia,
otro matemático contemporáneo suyo, a quien persuadió de que se las revelara, en
1539, bajo el juramento de no divulgarlas hasta que éste las publicara. Cardano
no cumplió su promesa y en 1545 las fórmulas aparecieron en su Ars magna, obra
considerada hoy como el germen del álgebra.
Para ilustrar las fórmulas, Cardano resuelve una serie de ejemplos. En el capı́tulo 37 se plantea el siguiente problema: dividir un segmento de longitud 10 en dos
trozos tales que el rectángulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos tenga
área 40. Si los dos trozos miden x y 10 − x, la ecuación que plantea el problema
es
x(10 − x) = 40.
El propio Cardano admite que el problema no tiene solución, ya que el rectángulo
de mayor área que se puede construir, un cuadrado, corresponderı́a a la división
del segmento en dos iguales de longitud 5, y tendrı́a, por tanto, área 25. Aplicando
√las fórmulas√de las raı́ces de las ecuaciones cuadráticas, Cardano obtiene
5 + −15 y 5 − −15 como longitudes de los segmentos. Desde luego, afirma que tales soluciones son “imposibles”, porque involucran la raı́z cuadrada de
números negativos; sin embargo, si uno las multiplica,
√
√
√
(5 + −15)(5 − −15) = 52 − ( −15)2 = 25 − (−15) = 40,
que es, efectivamente, el área buscada. Ası́ que concluye que, de alguna manera
“sutil” ambas expresiones son solución de la ecuación, pero se apresura a denominar “quantitas sophistica”, es decir, algo ası́ como “número formal”, a la expresión
√
−15.
El álgebra de Cardano fue ampliada y desarrollada posteriormente por Bombelli (1526–1572), cuyos trabajos se recogen en su obra L’algebra, publicada en
Bolonia en 1572. En dicha obra Bombelli vuelve a manipular números complejos,
y lo hace correctamente. El ejemplo más destacable es la manipulación que hace
de las fórmulas de Cardano para resolver la ecuación cúbica
x3 = 15x + 4,
1.1 ¿Cómo y por qué aparecen los números complejos?
5
una de cuyas soluciones es, claramente, x = 4. Las fórmulas de Cardano aplicadas
a la ecuación cúbica
x3 = px + q,
dan como una solución la expresión
q
q
√
√
3
3
x = q/2 + d + q/2 − d,
d = (q/2)2 − (p/3)3 .
Aplicadas al ejemplo anterior producen como resultado
q
q
√
√
3
3
x = 2 + −121 + 2 − −121.
El propio Cardano habı́a concluido de este resultado que sus fórmulas no eran
aplicables a este caso; sin embargo, Bombelli razona de la siguiente manera:
√
√
√
√
(2 ± −1)3 = 23 ± 3 · 22 −1 + 3 · 2( −1)2 ± ( −1)3
√
√
√
√
= 8 ± 12 −1 − 6 ± (− −1) = 2 ± 11 −1 = 2 ± −121,
de donde concluye que
Entonces
q
√
√
3
2 ± −121 = 2 ± −1.
q
q
√
√
√
√
3
3
x = 2 + −121 + 2 − −121 = 2 + −1 + 2 − −1 = 4,
que es, en efecto, la una solución de la ecuación. Con esta manipulación Bombelli salva el álgebra de Cardano y aporta la primera manipulación algebraica de
números complejos para resolver un problema de la historia.
En 1637, Descartes, en el apéndice La geometrie de su obra Discourse de la
méthode, afirma
Ni las raı́ces verdaderas ni las falsas son siempre reales; a veces son
imaginarias; es decir, mientras que uno puede imaginar tantas raı́ces de
cada ecuación como grado haya asignado, no siempre hay una cantidad
definida que corresponda a cada raı́z imaginada.
Y con esta frase bautiza como imaginarias las expresiones que contienen raı́ces
cuadradas de números negativos.
Pero a pesar de que los algebristas parecen dispuestos a admitir la existencia
de estos “engendros” para salvar el Álgebra, los números “imaginarios” tienen
6
1 Introducción a los números complejos
muchos detractores. Y no les falta razón, dado que la manipulación de las raı́ces
de números negativos no es consistente; véase, si no, este sencillo ejemplo:
p
√
√
−1 = ( −1)2 = (−1)2 = 1 = 1.
Newton, por ejemplo, afirma que la existencia de estas raı́ces no es más que la
expresión de la insolubilidad de un problema. Al mismo tiempo, Leibnitz hace
una nueva aportación al álgebra de los complejos descubriendo la identidad
q
q
√
√
√
1 + −3 + 1 − −3 = 6,
muy fácil de demostrar sin más que elevar los dos miembros al cuadrado. Además,
afirma que expresiones como log(−1) son números imaginarios.
El primer gran paso hacia la instalación definitiva de los números complejos en
la matemática se debe a Euler (1707–1783). Éste hizo una cosa muy sencilla, y al
mismo tiempo de un enorme alcance: definió un nuevo número, al que llamó
√
i = −1,
y le dio el mismo estatus de existencia que a los números reales. De él afirmó que
no era ni mayor, ni menor, ni igual a ningún número real, y definió las reglas
de suma y multiplicación de este número que hoy conocemos. En particular la
conocida i2 = −1. Con esta aportación aparecen de lleno los números complejos
como el conjunto de todas las expresiones algebraicas construibles con los reales
y este nuevo número, y desaparece el problema de la ambigüedad de las raı́ces
de números negativos. Con estas herramientas Euler empieza a manipular expresiones complejas con una maestrı́a sin precedentes, y nos aporta muchas de las
mayores contribuciones al análisis. Entre sus mayores aportaciones está la denominada fórmula de Euler,
eiθ = cos θ + i sen θ,
que define la exponencial de un número complejo y la relaciona con las funciones
trigonométricas. La manera en que la demuestra es la siguiente. La serie de Taylor
de la exponencial es
∞
X
zn
z
e =
.
n!
n=0
Si sustituimos z = iθ y separamos los términos pares de los impares en la serie,
∞
∞
2n
X
X
θ2n+1
iθ
2n θ
+
.
i2n+1
e =
i
(2n)!
(2n
+
1)!
n=0
n=0
1.2 Los números complejos
7
Como i2 = −1, i2n = (−1)n y i2n+1 = i(−1)n , ası́ que
∞
2n+1
X
θ2n
n θ
+i
.
(−1)
e =
(−1)
(2n)!
(2n
+
1)!
n=0
n=0
iθ
∞
X
n
Basta identificar las series del coseno y del seno,
∞
X
θ2n
cos θ =
(−1)
,
(2n)!
n=0
n
∞
X
θ2n+1
sen θ =
(−1)
(2n + 1)!
n=0
n
y ya tenemos la fórmula de Euler, de la que, como caso particular, Euler obtiene
su famosa ecuación
eiπ + 1 = 0,
que relaciona cinco de los números más importantes de la matemática: 0, 1, e, i y
π.
El último paso en este proceso lo dieron Argand (1768–1822) y Gauss (1777–
1855), quienes introdujeron el plano complejo, es decir, una representación de los
números complejos x + iy en la que x es la coordenada sobre un eje cartesiano e
y la coordenada sobre el eje perpendicular. Todas las operaciones con complejos
tienen su contrapartida geométrica en el plano. De este modo, por fin, los matemáticos pudieron “ver” los números complejos, pese a que Descartes afirmaba
que eran imposibles de visualizar. Asimismo, definir, por ejemplo, funciones de
una variable compleja no es más que otra manera de tratar con funciones de dos
variables, si bien, como veremos, las funciones de variable compleja revelan unas
estructuras muy ricas que abren posibilidades insospechadas al análisis matemático.
1.2. Los números complejos
1.2.1.
Definiciones básicas
El conjunto de los números complejos se define como
C = {x + iy : x, y ∈ R},
donde i es la unidad imaginaria y verifica i2 = −1. Si z = x + iy, diremos
que x es la parte real de z, que denotaremos x = Re z, y que y es la parte
imaginaria de z, que denotaremos y = Im z. Evidentemente, Re z, Im z ∈ R.
Los números reales son complejos con parte imaginaria 0, de modo que R ⊂ C.
1 Introducción a los números complejos
8
Los complejos con parte real 0 se denominan imaginarios puros. El único número
real imaginario puro es el 0.
Dado un complejo,
pz = x + iy, se define su conjugado como z = x − iy, y su
módulo como |z| = x2 + y 2 .
Dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales e imaginarias; es
decir, si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 ,
(
x1 = x2 ,
z1 = z2 ⇐⇒
y1 = y2 .
La suma de dos complejos se define como
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
y el producto como
z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).
Nótese que el producto de un número complejo por su conjugado es
zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 = |z|2 .
Asimismo, las partes real e imaginaria se pueden expresar como
Re z =
z+z
,
2
Im z =
z−z
.
2i
Suma y producto tienen elementos neutros, 0 y 1 respectivamente, e inversos.
El inverso de z = x + iy respecto de la suma es −z = −x − iy, y respecto del
producto,
1
x − iy
z
z
z −1 = =
.
= 2= 2
z
zz
|z|
x + y2
Como los números reales tiene estructura de cuerpo, los complejos, con las
operaciones suma y producto que hemos definido y sus respectivos neutros e inversos, tienen también estructura de cuerpo. Eso significa, en particular, que todas las manipulaciones algebraicas que se pueden hacer con los números reales
son igualmente válidas para los complejos. Sin embargo, los números complejos
carecen de la estructura de orden que tienen los reales, de modo que, dados dos
complejos, no se puede decir que uno sea mayor o menor que el otro. Esto se
1.2 Los números complejos
9
verá claro cuando hagamos la identificación entre C y R2 , conjunto este último
que carece de la ordenación de R.
Algunas propiedades, bastante obvias, de la conjugación son:
z = z,
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1 z2 = z1 z2 ,
z1
z1
= ,
z2
z2
(z n ) = z n .
Otras, no menos evidentes, relacionadas con el módulo, son:
| Re z| ≤ |z|,
| Im z| ≤ |z|,
|z| = |z|,
z1 |z1 |
=
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |,
z2 |z2 | .
Para demostrar la penúltima basta hacer
|z1 z2 |2 = (z1 z2 )(z1 z2 ) = z1 z2 z1 z2 = z1 z1 z2 z2 = |z1 |2 |z2 |2 .
Para la última sólo hay que tener en cuenta que 1/z = z/|z|2 .
Menos obvia es la desigualdad triangular,
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |,
que se prueba de la siguiente manera:
|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + z1 z2 + z1 z2 + |z2 |2
= |z1 |2 + z1 z2 + z1 z2 + |z2 |2 = |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2
≤ |z1 |2 + 2|z1 z2 | + |z2 |2 = |z1 |2 + 2|z1 ||z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 .
De esta desigualdad se deduce fácilmente
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |,
pues
|z1 | = |(z1 − z2 ) + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 |,
de donde |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |. Por otro lado,
|z2 | = |(z2 − z1 ) + z1 | ≤ |z1 − z2 | + |z1 |,
de donde −(|z1 | − |z2 |) ≤ |z1 − z2 |. Las dos desigualdades juntas demuestran el
resultado.
10
1.2.2.
1 Introducción a los números complejos
Interpretación geométrica: representación polar
El número complejo x + iy se puede identificar con el par ordenado (x, y),
lo que permite representar C en el plano R2 . El eje de las abscisas se denomina
eje real, el de las ordenadas eje imaginario y el plano R2 se denomina plano
complejo. Esta identificación permite representar z = x + iy no sólo en coordenadas cartesianas, sino mediante sus coordenadas polares. Si la distancia del punto
(x, y) 6= (0, 0) al origen es r y el ángulo que forma el vector con el eje real es θ,
el número complejo z = x + iy tiene módulo |z| = r y argumento arg z = θ.
Módulo y argumento se obtienen de z = x + iy mediante
p
y
tan θ = ,
r = x2 + y 2 ,
x
y proporcionan la siguiente representación polar de z
z = r(cos θ + i sen θ) = reiθ ,
empleando la fórmula de Euler que fue introducida en 1.1 y sobre la que volveremos a tratar más adelante.
Es evidente que si un complejo z 6= 0 queda determinado, en forma polar, por
un ángulo θ, quedará igualmente determinado por un ángulo θ + 2kπ, con k ∈ Z.
Ası́ pues, arg z no es una expresión bien definida. En realidad, hay dos maneras
de entender arg z: como función o como conjunto. Como función, es necesario
especificar un intervalo de ángulos de manera que esté unı́vocamente definida.
Tı́picamente se eligen [0, 2π) o (−π, π] como intevalos, aunque cualquier otro de
longitud 2π es igualmente válido. Elegir el intervalo implica adoptar una determinación de la función arg z. La determinación hace que la función no sea continua
en todo el plano complejo. Si S es la semirrecta que comienza en el origen que
marca la determinación elegida, arg z será continua en C − S. La elección de
(−π, π] como intervalo de arg z se denomina determinación principal. Si no se
especifica otra cosa, esta es la determinación que se adopta para las representaciones polares.
Ejemplo 1.1. Hállese la representación polar de −1 − i.
Módulo y argumento se hallan mediante
p
√
r = (−1)2 + (−1)2 = 2,
−1
= 1.
tan θ =
−1
De la segunda ecuación, el signo de parte real e imaginaria, y dado que tenemos que usar la determinación principal, se sigue que θ = −3π/4, ası́ que
√
−1 − i = 2e−3πi/4 .
1.2 Los números complejos
11
La otra forma de entender arg z es como conjunto, es decir,
arg z = {θ + 2kπ : k ∈ Z}.
Representa la clase de equivalencia de todos los ángulos que dan lugar a la misma
representación polar de z. Este es el sentido en el que se expresan las siguientes
identidades que involucran la función arg z:
1
arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 ,
arg
= arg z = − arg z,
z
z1
= arg z1 − arg z2 ,
arg
z2
Para poder justificar estas identidades tenemos que estudiar el significado geométrico del producto de dos números complejos (la suma de números complejos es
simplemente la suma de vectores de R2 ).
Antes de ello, vamos a comprobar que la exponencial compleja introducida en
la fórmula de Euler cumple las propiedades básicas de la exponencial, a saber,
(1) eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) ,
(2) 1/eiθ = e−iθ .
La propiedad (1) se prueba mediante las identidades trigonométricas para la suma
de ángulos:
eiθ1 eiθ2 = (cos θ1 + i sen θ1 )(cos θ2 + i sen θ2 )
= (cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 ) + i(sen θ1 cos θ2 + cos θ1 sen θ2 )
= cos(θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 ) = ei(θ1 +θ2 ) .
En cuanto a la propiedad (2), en primer lugar
eiθ = (cos θ + i sen θ) = cos θ − i sen θ = cos(−θ) + i sen(−θ) = e−iθ ;
en segundo lugar,
iθ 2
e = eiθ e−iθ = e0 = 1,
usando la propiedad (1), luego
e−iθ
1
−iθ
.
=
2 =e
iθ
iθ
e
|e |
12
1 Introducción a los números complejos
Gracias a estas propiedades en adelante emplearemos la forma polar con la exponencial, lo que simplificará considerablemente los cálculos.
Retomando el problema del producto de complejos, si z1 = r1 eiθ1 y z2 = r2 eiθ2 ,
z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
El vector de R2 que representa el producto z1 z2 tiene de módulo r1 r2 (es otra
manera de obtener la propiedad |z1 z2 | = |z1 ||z2 |) y de ángulo θ1 + θ2 . Ası́, por
ejemplo, multiplicar un complejo por otro de módulo 1 es lo mismo que rotar el
vector que lo representa un ángulo igual al ángulo de este último. Esto prueba la
identidad
arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 .
Nótese que esta identidad, por ser una relación entre conjuntos, tiene en cuenta el
hecho de que θ1 + θ2 puede ser un ángulo que no está en la determinación fijada
para la función arg. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 1.2. Determina arg (−1 + i)i .
√
Evidentemente, (−1 + i)i = −1 − i = 2e−3πi/4 , pero
π
3π π
5π
3π
, arg i = , =⇒ arg(−1 + i) + arg i =
+ =
,
arg(−1 + i) =
4
2
4
2
4
que se sale de la determinación. Ahora bien, como conjuntos,
π
3π
+ 2k1 π, arg i = + 2k2 π,
arg(−1 + i) =
4
2
siendo k1 , k2 ∈ Z, lo que implica
3π π
5π
arg(−1 + i) + arg i =
+ + 2kπ =
+ 2kπ,
4
2
4
con k = k1 + k2 ∈ Z. El argumento en la determinación principal corresponde a k = −1.
Del mismo modo que el producto, el inverso de z = reiθ será
1
1
1
= iθ = e−iθ ,
z
re
r
y el conjugado
z = reiθ = re−iθ .
La conjugación, pues, corresponde a una reflexión sobre el eje real. Con estas dos
relaciones se demuestran las identidades
1
arg
= arg z = − arg z.
z
A partir de las dos identidades que hemos probado se obtiene la tercera,
1
1
z1
= arg z1
= arg z1 + arg
= arg z1 − arg z2 .
arg
z2
z2
z2
1.2 Los números complejos
1.2.3.
13
Potencias y raı́ces
De nuevo la representación polar permite estudiar potencias y raı́ces de números complejos. La potencia se obtiene de una forma muy sencilla. Si z = reiθ y
n ∈ Z,
n
z n = reiθ = rn einθ ,
de donde se siguen dos identidades más entre módulos y argumentos:
|z n | = |z|n ,
n arg z ⊂ arg(z n ),
esta última, de nuevo, entendiendo arg como conjunto. La razón de esta relación
es que arg(z n ) = nθ + 2kπ, con k ∈ Z, mientras que n arg z = n(θ + 2lπ), con
l ∈ Z, o lo que es lo mismo, n arg z = nθ + 2k ′ π pero con k ′ múltiplo de n.
Cuando |z| = 1, obtenemos la identidad
n
eiθ = einθ ,
que se reescribe como una identidad trigonométrica que recibe el nombre de
fórmula de De Moivre:
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ.
Ejemplo 1.3. Empleando la fórmula de De Moivre obtén las identidades de seno y coseno de
ángulos múltiplos.
Para n = 2 la fórmula de De Moivre da
cos 2θ + i sen 2θ = cos2 θ − sen2 θ + i2 sen θ cos θ,
de donde
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ,
sen 2θ = 2 sen θ cos θ,
las conocidas fórmulas del ángulo doble.
Pero la fórmula es igualmente aplicable a n = 3,
cos 3θ + i sen 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ + i(3 cos2 θ sen θ − sen3 θ),
de donde
cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ,
sen 3θ = 3 cos2 θ sen θ − sen3 θ.
En general, empleando la regla del binomio, obtendremos las siguientes fórmulas:
X n
(−1)k cosn−2k θ sen2k θ,
cos nθ =
2k
k : 0≤2k≤n
X
n
(−1)k cosn−2k−1 θ sen2k+1 θ.
sen nθ =
2k
+
1
k : 0≤2k≤n−1
1 Introducción a los números complejos
14
cω
c
c
cω
θ
θ
cω
2
cω4
cω2
cω3
(a)
(b)
Figura 1.1: Si c es una ráiz n-ésima de z, las figuras representan los puntos correspondientes a las
n raı́ces para n = 3 (a) y n = 5 (b). Los puntos forman sendos polı́gonos de n lados.
Las raı́ces de números complejos son más sutiles. Sea z = reiθ y supongamos
que queremos hallar la raı́z n-ésima de z. Teniendo en cuenta que z = rei(θ+2kπ)
para todo k ∈ Z,
1/n √
√
i(θ+2kπ)
n
= n rei(θ+2kπ)/n ,
z = re
k ∈ Z.
Ahora bien, según vamos dando valores a k, empezando por k = 0, obtenemos
√
distintos argumentos para n z hasta que llegamos a k = n − 1. A partir de ahı́,
si k = n, 2kπ/n = 2π y se obtiene el mismo argumento que para k = 0; si
k = n + 1, 2kπ/n = 2π + 2π/n, y se obtiene el mismo argumento que para
k = 1; etc., y lo mismo ocurre si k < 0.
Resumiendo, el número complejo z = reiθ tiene n raı́ces n-ésimas, a saber,
√
√
√
√
n
n
reiθ/n , n reiθ/n+2πi/n , n reiθ/n+4πi/n , · · ·
reiθ/n+2π(n−1)i/n ,
todas las cuales son soluciones w ∈ C de la ecuación wn = z. Esta propiedad se
plasma en las dos identidades
√
p
n z = n |z|,
arg
1
√
n
z = arg z,
n
la segunda, de nuevo, entendida como relación entre conjuntos.
Un hecho importante es que la ecuación wn = 1 tiene n raı́ces distintas. Cada
una de ellas recibe el nombre de raı́z n-ésima de la unidad. Si denotamos ωn ≡
e2πi/n , éstas son,
1, ωn , ωn2 , · · · , ωnn−1 .
1.2 Los números complejos
15
Si n = 2, las dos raı́ces son 1 y eiπ = −1, como ya sabı́amos.
Retornando al caso general, si c representa cualquiera de las raı́ces n-ésimas
de z, las n raı́ces se obtienen mediante las fórmulas
c,
cωn ,
cωn2 ,
cωnn−1 .
··· ,
Geométricamente, la acción de ωn es la de rotar el vector correspondiente a c un
ángulo 2π/n. En consecuencia, y como las n raı́ces de z tienen el mismo módulo
y están, por tanto, sobre una circunferencia, los puntos correspondientes a las n
raı́ces formarán los vértices de un polı́gono de lado n (véase la figura 1.1).
1.2.4.
Conjuntos de C y puntos notables
El conjunto básico es el entorno de un punto, también denominado disco.
Está dado por
D(z0 , ǫ) = {z ∈ C : |z − z0 | < ǫ},
y representa un cı́rculo en el plano complejo, de radio ǫ y centro z0 (excluyendo la
circunferencia lı́mite.
Dado un conjunto Ω ⊂ C, diremos que es abierto si para todo z ∈ Ω existe un
entorno D(z, ǫ) ⊂ Ω. Diremos que Ω es cerrado si su complementario Ωc = C−Ω
es abierto. Un conjunto dado no tiene por qué ser ni abierto ni cerrado. El conjunto
C es, a la vez, abierto y cerrado.
Un punto z es punto interior de Ω si existe D(z, ǫ) ⊂ Ω, y es punto exterior si
existe D(z, ǫ) ⊂ Ωc . Si un punto no es ni exterior ni interior es un punto frontera.
Un conjunto abierto no contiene ningún punto frontera y uno cerrado los contiene
todos. Se denomina cierre o clausura de Ω a la unión de Ω y todos sus puntos
frontera (y se denota Ω).
Ejemplo 1.4. El conjunto D(z0 , ǫ) es abierto.
Para probarlo, tomemos un punto z ∈ D(z0 , ǫ). Por definición, |z − z0 | < ǫ. Sea δ = ǫ −
|z − z0 | > 0 y consideremos el disco D(z, δ). Vamos a demostrar que D(z, δ) ⊂ D(z0 , ǫ), lo que
probará que D(z0 , ǫ) es abierto. Para ello bastará probar que todo punto de D(z, δ) está también
en D(z0 , ǫ). Sea y ∈ D(z, δ); por definición
|y − z| < δ = ǫ − |z − z0 |
⇐⇒
|y − z| + |z − z0 | < ǫ,
pero por la desigualdad triangular, entonces,
|y − z0 | ≤ |y − z| + |z − z0 | < ǫ,
lo que prueba que y ∈ D(z0 , ǫ).
La circunferencia |z − z0 | = ǫ es la frontera de D(z0 , ǫ) y, por tanto, el cierre de este conjunto
será
D(z0 , ǫ) = {z ∈ C ; |z − z0 | ≤ ǫ}.
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1 Introducción a los números complejos
Un punto z ∈ C es punto de acumulación de Ω si todo entorno D(z, ǫ) tiene
intersección no vacı́a con Ω − {z}.
Un conjunto abierto Ω es conexo si cada par de puntos z1 , z2 ∈ Ω se puede
unir por una curva continua γ : [a, b] → Ω, es decir, γ(a) = z1 y γ(b) = z2 .
Llamaremos dominio a cualquier conjunto abierto conexo. Cuando el conjunto
pueda contener algún punto frontera lo llamaremos región.
Un conjunto Ω es simplemente conexo si “no tiene agujeros”. Más formalmente, si es conexo y ninguna curva cerrada contenida en Ω rodea puntos que no pertenecen a Ω. En caso contrario se denomina múltiplemente conexo. Por ejemplo,
el anillo Ω = {z ∈ C : 1 < |z − z0 | < 2} es múltiplemente conexo.
Finalmente, un conjunto Ω es acotado si está contenido en algún disco.