Ecuaciones del movimiento de un fluido ideal

Ecuaciones del movimiento de un fluido ideal
Fluido ideal:
1. Es incompresible, su volumen no cambia al moverse
2. La densidad ρ es constante para todos los elementos de fluido y para
todos los tiempos.
3. La fuerza sobre un elemento de superficie nδS dentro del fluido es
pn δS,
donde p(x, y, z, t) es una función escalar denominada presión.
1
Implicaciones de la condición de incompresibilidad
El flujo (volumen por unidad de tiempo) a través de un elemento de
superficie δS es
u · n δS.
El flujo neto a través de una superficie cerrada S que rodea un volumen V
será cero en el caso de un fluido incompresible
Z
Z
u · n dS =
S
∇ · u dV = 0.
V
Como esto debe cumplirse para todos los elementos de fluido
∇·u=0
en todos los puntos del fluido.
2
Fuerzas sobre un elemento de fluido: Ecuaciones de Euler
La fuerza sobre una superficie cerrada S que rodea un volumen de fluido
será (tercera propiedad del fluido ideal)
Z
Z
−
pn δS = −
S
∇p dV,
V
Entonces, si ∇p es continuo la fuerza neta por unidad de volumen debida
a la presión será −∇p.
Si sobre el fluido actúa la fuerza de la gravedad (fuerza de volumen), la
fuerza total sobre una partı́cula de fluido de volumen δV será
(−∇p + ρg)δV.
3
Esta fuerza será igual a la masa de la partı́cula de fluido (que se conserva)
por su aceleración
Du
ρδV
.
Dt
Las ecuaciones del movimiento del fluido ideal (denominadas ecuaciones de
Euler) serán
Du
1
= − ∇p + g,
Dt
ρ
∇ · u = 0.
Tenemos una ecuación vectorial (o tres ecuaciones escalares) y una
ecuación escalar, las incógnitas son u, v, w, p.
4
Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas
1 ∂p
∂u
+ (u · ∇)u = −
∂t
ρ ∂x
∂v
1 ∂p
+ (u · ∇)v = −
∂t
ρ ∂y
∂w
1 ∂p
+ (u · ∇)w = −
∂t
ρ ∂z
donde
∂f
∂f
∂f
(u · ∇)f = u
+v
+w
∂x
∂y
∂z
La ecuación de continuidad es
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
5
Ecuaciones de Euler en coordenadas cilı́ndricas
u2φ
∂ur
1 ∂p
+ (u · ∇)ur −
=−
∂t
r
ρ ∂r
∂uφ
ur uφ
1 ∂p
+ (u · ∇)uφ +
=−
∂t
r
ρr ∂φ
∂uz
1 ∂p
+ (u · ∇)uz = −
∂t
ρ ∂z
donde
(u · ∇)f = ur
∂f uφ ∂f
∂f
+
+ uz
∂r
r ∂φ
∂z
La ecuación de continuidad es
1 ∂(rur ) 1 ∂uφ ∂uz
+
+
=0
r ∂r
r ∂φ
∂z
6
Ecuaciones de Euler en coordenadas esféricas
u2θ + u2φ
∂ur
1 ∂p
+ (u · ∇)ur −
=−
∂t
r
ρ ∂r
∂uθ
ur uθ u2φ cot θ
1 ∂p
+ (u · ∇)uθ +
−
=−
∂t
r
r
ρr ∂θ
∂uφ
ur uφ uθ uφ cot θ
1 ∂p
+ (u · ∇)uφ +
+
=−
∂t
r
r
ρr sin θ ∂φ
donde
(u · ∇)f = ur
∂f uθ ∂f
uφ ∂f
+
+
∂r
r ∂θ r sin θ ∂φ
7
La ecuación de continuidad es
1 ∂(uθ sin θ)
1 ∂uφ
1 ∂(r2ur )
+
+
=0
r2 ∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
8
Teorema de Bernouilli
Como la fuerza gravitacional es conservativa podemos escribirla como
gradiente de un potencial χ
g = −∇χ
(en este caso χ = gz.)
∂u
p
+ (u · ∇)u = −∇
+χ .
∂t
ρ
Utilizando la igualdad
1 2
(u · ∇)u = (∇ × u) × u + ∇
u
2
9
y suponiendo que el flujo es estacionario podemos escribir
(∇ × u) × u = −∇H
donde H =
p
ρ
+ 12 u2 + χ.
Multiplicando escalarmente por u tenemos
(u · ∇)H = 0,
por lo tanto en un flujo estacionario de un fluido ideal H es constante a lo
largo de una lı́nea de corriente. Este es el denominado teorema de Bernouilli
para lı́neas de corriente.
Si además ∇ × u = 0 (flujo irrotacional)
(∇ × u) × u = 0 = −∇H
10
es decir, en un flujo estacionario irrotacional de un fluido ideal H es
constante en todo el fluido. Este es el denominado teorema de Bernouilli
para el flujo irrotacional.
11
Ecuación de la vorticidad
Teniendo en cuenta la definición de la vorticidad, ω = ∇×u, la ecuación
de Euler se puede escribir como
∂u
+ ω × u = −∇H,
∂t
y tomando el rotacional
∂ω
+ ∇ × (ω × u) = 0.
∂t
Esta ecuación se puede escribir como
∂ω
+ (u · ∇)ω − (ω · ∇)u + ω∇ · u − u∇ · ω = 0
∂t
12
teniendo en cuenta que ∇ · u = 0 y ∇ · ω = 0 (por ser la divergencia de un
rotacional), tenemos
∂ω
+ (u · ∇)ω = (ω · ∇)u,
∂t
o, alternativamente,
Dω
= (ω · ∇)u.
Dt
Esta es la ecuación de la vorticidad.
Para un flujo bidimensional (ω · ∇)u = ω ∂∂zu = 0, por lo tanto
Dω
= 0.
Dt
En un flujo bidimensional de un fluido ideal sometido a una fuerza conservativa, la vorticidad de cada elemento individual del fluido se conserva.
13
En el caso de un flujo estacionario
(u · ∇)ω = 0,
En un flujo bidimensional estacionario de un fluido ideal sometido a una
fuerza conservativa, la vorticidad de cada elemento individual del fluido es
constante a lo largo de una lı́nea de corriente.
14
Vorticidad y circulación
Por el teorema de Stokes, el flujo de la vorticidad a través de una
superficie es igual a la circulación de la velocidad a lo largo del contorno de
dicha superficie:
Z
Z
v · dl =
Z
∇ × v · dS =
ω · dS
15