OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON POLINOMIOS Ahora se estudiarán las operaciones de multiplicación y división entre polinomios, como complemento de las operaciones vistas anteriormente. Para multiplicar monomios por polinomios se aplica la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la resta, es decir, se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la ley de los signos. Luego se separan los productos parciales por sus respectivos signos. Multiplicar: Multiplicación de expresiones algebraicas En álgebra se cumple la ley conmutativa que dice que el orden de los factores no altera el producto. a × b puede escribirse también b × a. axb=bxa También se cumple la ley distributiva; a x b x c = a (b x c) = c (a x b) Ley de los signos El producto de términos con signos iguales da como resultado otro término con signo positivo, y el producto de términos con signos diferentes da como resultado otro término con signo negativo. Multiplicación entre polinomios Para multiplicar dos polinomios se ordena el polinomio multiplicando y se efectúan los productos entre todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, se tiene en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes. Ley de los exponentes Multiplicar: Para multiplicar potencias de igual base, se escribe como resultado la misma base elevada a la suma de los exponentes de los factores. 6x - 4y por -3y + 4x Se ordena de mayor a menor respecto de la x. Se multiplica el primer término del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicando, y el segundo término del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicando. Ley de los coeficientes El coeficiente del producto de dos o más factores, es el producto entre los coeficientes de cada uno de los factores. 4b x 5c = 20bc 3b x 5c x 2d = 30bcd Multiplicación de monomios por polinomios Luego, se escriben los productos parciales de manera que queden organizados en forma de columna los términos semejantes para luego reducirlos. Multiplicación de polinomios con exponentes literales El coeficiente de la división de dos o más factores es el resultado de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. Multiplicar: División entre monomios Se aplica la ley de los signos, de los exponentes y coeficientes. Ordenando respecto de la letra a de mayor a menor: División de expresiones algebraicas Para dividir expresiones algebraicas se utiliza la ley de los signos que es igual a la de la multiplicación. Recordando que: la división de signos iguales da positivo +; y la división de signos diferentes da negativo -. Ley de los exponentes Para dividir potencias de igual base se escribe como resultado la misma base elevada a la resta de los exponentes del dividendo menos los del divisor. Ley de los coeficientes División de polinomios por monomios División entre polinomios Para dividir dos polinomios se aplica el mismo procedimiento aritmético, cuando se realiza la división indicando las restas correspondientes. La división puede ser exacta o inexacta. Se multiplica este término cociente por cada uno de los términos del divisor y los restantes del dividendo. A los productos de se les cambia de signo y se acomodan debajo dónde sean semejantes con los términos del dividendo División exacta Se ordena el dividendo y el divisor respecto de una letra. Si cuando se ordena el dividendo los exponentes de los términos no siguen una secuencia ascendente o descendente, se deja el espacio donde debería estar escrito el exponente que complete la secuencia. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el producto anterior sucesivamente hasta que la división de como residuo cero. En conclusión: Luego se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor aplicando la ley de los signos. Cada uno de los productos se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo a cada producto y se escribe cada término debajo de su semejante. Si algún término de estos productos no tiene término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente de acuerdo como se haya ordenado inicialmente el dividendo y el divisor. Se baja el o los términos siguientes y se repite de nuevo el proceso hasta que el residuo de la división sea cero, cuando la división es exacta. Los procesos en cada caso son: DIVIDIR Se ordena el dividendo y el divisor respecto a x: Prueba de la división En el dividendo hace falta el término x2 para que la secuencia descendente sea completa, y como no esta se deja el espacio correspondiente: Como la división es el proceso inverso de la multiplicación, entonces el cociente se multiplica por el divisor y debe dar como resultado directo el dividendo. Ahora se divide el primer término del divisor entre el primer término del dividendo para obtener el primer término del cociente División inexacta Luego se tiene: Una división es inexacta cuando su residuo es diferente de cero. Hemos visto en productos notables que: a b2 a 2 2ab b 2 a b2 a 2 2ab b 2 Potenciación La potencia de una expresión algebraica es el resultado de asumirla como factor varias veces. Recordemos: Cubo de un binomio Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva. Por productos notables: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa. a b3 a 3 3a 2b 3ab2 b3 a b3 a 3 3a 2b 3ab2 b3 Desarrollar: Potencia de un monomio Ejemplo: Para elevar un monomio a una potencia cualquiera se eleva el coeficiente del monomio a la potencia dada y se multiplica el exponente de cada una de las partes literales por el exponente que indica la potencia. Para este caso se aplica los dos conceptos anteriores. Ejemplo Cuadrado de un binomio - La suma de los exponentes de las potencias de a y b es 5 en cada uno de los términos del desarrollo. Potenciación EL TRIÁNGULO DE PASCAL. La potencia de una expresión algebraica es el resultado de asumirla como factor varias veces. El triángulo de Pascal de ( a + b)² y (a+b)³ ordenamos los coeficientes de sus términos , obtenemos: (a+b)²=1 a² + 2ab+1 b² 1 2 1 (a+b)³ = 1 a³ + 3 a² b + 3 ab² +1 b³ 1 3 3 1 Si a los coeficientes anteriores se le agregan los correspondientes a los desarrollos de ( a + b )º y ( a + b )¹, llamamos n al exponente de cada binomio y continuamos con exponentes mayores tenemos : Recordemos: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva. Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa. Potencia de un monomio Esta figura se llama Triángulo de Pascal Los números que forman cada fila de esta figura son los coeficientes correspondientes de los términos del desarrollo ordenado de un binomio de la forma ( a + b )n , con n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . El Triángulo de Pascal tiene una ley de formación: “Al sumar dos números adyacentes de una fila se obtiene el que estará entre ellos en la fila siguiente”. En cada fila de números podemos observar que tanto el primero como el último es siempre 1. Ejemplo : Desarrollemos ( a + b )5 , multiplicando los desarrollos de ( a + b )² y ( a + b )³ . Al ordenar el resultado obtenemos: ( a + b )5 = 1 a5 + 5 a4 b + 10 a³ b² + 10 a² b³ + 5 ab4 +1 b5 Podemos observar que: - Las potencias de a comienzan con el exponente 5 y decrecen en forma consecutiva hasta 0. - Las potencias de b crecen desde 0 hasta 5. Para elevar un monomio a una potencia cualquiera se eleva el coeficiente del monomio a la potencia dada y se multiplica el exponente de cada una de las partes literales por el exponente que indica la potencia. Para este caso se aplica los dos conceptos anteriores. Cuadrado de un binomio Hemos visto en productos notables que: a b2 a 2 2ab b 2 a b2 a 2 2ab b 2 (a+b)²=1 a² + 2ab+1 b² 1 2 1 (a+b)³ = 1 a³ + 3 a² b + 3 ab² +1 b³ 1 3 3 1 Si a los coeficientes anteriores se le agregan los correspondientes a los desarrollos de ( a + b )º y ( a + b )¹, llamamos n al exponente de cada binomio y continuamos con exponentes mayores tenemos : Cubo de un binomio Por productos notables: a b3 a 3 3a 2b 3ab2 b3 a b 3 a 3a b 3ab b 3 2 2 3 Ejemplo: Ejemplo Esta figura se llama Triángulo de Pascal Los números que forman cada fila de esta figura son los coeficientes correspondientes de los términos del desarrollo ordenado de un binomio de la forma ( a + b )n , con n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . El Triángulo de Pascal tiene una ley de formación: “Al sumar dos números adyacentes de una fila se obtiene el que estará entre ellos en la fila siguiente”. En cada fila de números podemos observar que tanto el primero como el último es siempre 1. Ejemplo : Desarrollemos ( a + b )5 , multiplicando los desarrollos de ( a + b )² y ( a + b )³ . Al ordenar el resultado obtenemos: ( a + b )5 = 1 a5 + 5 a4 b + 10 a³ b² + 10 a² b³ + 5 ab4 +1 b5 Podemos observar que: - Las potencias de a comienzan con el exponente 5 y decrecen en forma consecutiva hasta 0. - Las potencias de b crecen desde 0 hasta 5. - La suma de los exponentes de las potencias de a y b es 5 en cada uno de los términos del desarrollo. RADICALES Un radical es una expresión de la forma EL TRIÁNGULO DE PASCAL. El triángulo de Pascal de ( a + b)² y (a+b)³ ordenamos los coeficientes de sus términos , obtenemos: n a , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los índices. Para todo m, n, b, Z , se n m RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO a R, b R , Si se cumple que b a, s i s olo s i : a b , donde a es la raíz cuadrada de b 2 25 5 Ejemplo: porque 5 2 25 kn cumple que: b m n b Propiedad fundamental de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto b km b km / kn b m / n n b n , donde k N RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO a, b R , Si entonces se cumple que b a, s i s olo s i : a b , donde a es la raíz cúbica de b 3 3 Ejemplo: 3 125 5 Se debe tener en cuenta que si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista una raíz real. porque 5 3 125 RACIONALIZACIÓN RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO Si a, b R , y n N entonces se cumple que b a, s i s olo s i : an b , donde a es la raíz enésima de b n Ejemplo: 5 32 2 Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador. porque 2 5 32 EXPONENTES RACIONALES Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir n a m Ejemplo: m an 3 52 2 53 PROPIEDADES DE LOS RADICALES. Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n: para cualquier n Z , se 1/n cumple que: n an an n ab n n Z , se cumple que Para todo n, a, b, Z , se cumple que: n a a n b b Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador, en éste caso por sí mismo. a nb Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del dividendo y del divisor. n Ejemplos: a Raíz enésima de un producto: la raíz enésima de un producto es igual al producto de ls raíces enésimas de los factores. Para cualquier n an 2° caso: cuando el radical del denominador es mayor al de segundo grado, es decir radicales de tercer, cuarto, quinto y más grado. (Queda de consulta) 3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio. Ejemplos: Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador. Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del segundo término del segundo binomio. Ejemplos