Documento 489636

Docentes:
Sr. Ricardo Carrillo
Srta. Claudia Barrientos
Departamento de Matematica
Curso: Cuarto Medio
Unidad 3: Estadistica y Prob.
Guia N° 2 - 2013
GUÍA EJERCICIOS MATEMATICA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Ya hemos estudiado las medidas de tendencia central ( x , Me, Mo) y lo que significa cada una de ellas. Ahora,
estudiaremos algunas medidas de dispersión, a saber: el rango, desviación media y desviación típica o estándar.
Las medidas de dispersión son los valores típicos de cada conjunto de datos, que expresan la forma en que ellos se
alejan con respecto de cierto valor, que –generalmente- es la media aritmética.
1. Medidas de Dispersión para Datos NO Agrupados.
a) Rango: en un conjunto de datos numéricos es la diferencia entre el dato mayor y menor de este conjunto de
datos. Es decir,
R = xmáx – xmín
Ejemplo: Alfredo obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 2; 3,9; 5; 5,9; 6,2. Entonces:
R = 6,2 – 2 = 4,2
¿Qué significado tiene el rango 4,2 que obtuvo Alfredo con respecto del rango de las notas de Camila que fue de
un 2,1?
En el primer caso las notas están más dispersas que en el segundo. No sabemos -en absoluto- en qué caso las
notas son mejores, para determinarlo necesitamos de más información.
b) Desviación Media
Considero las calificaciones de Alfredo en Matemática: 2; 3,9; 5; 5,9; 6,2.
La media de estos datos es x = 4,6. Si calculamos la diferencia de una nota con la media aritmética x = 4,6
obtenemos la desviación de la nota con respecto a x . Las desviaciones de todas las calificaciones con respecto de
x = 4,6 se indican a continuación:
Nota
x
Desviación de
cada nota
x-x
-2,6
-0,7
0,4
1,3
1,6
2
3,9
5
5,9
6,2
Calculemos ahora la media de los valores absolutos de las desviaciones de la tabla anterior, e.i.,
2, 6  0, 7  0, 4  1,3  1, 6
= 1,32
5
El valor 1,32 es la desviación media de todas las notas dadas y representa el alejamiento de los datos con
respecto a la media x .
En general:
La desviación media de n datos numéricos x1, x2, …, xn es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones de todos los datos con respecto a x . La designaremos por DM.
DM 
1 n
 xk  x
n k 1
La desviación estándar expresa el grado de dispersión de los datos con respecto a la media x y corresponde a la
raíz cuadrada de la media del cuadrado de las desviaciones de dichos datos con respecto a su media aritmética.
x
n
s
k 1
k
x

2
n
Ejemplo 2: Calculo la desviación estándar de las notas de Alfredo en Matemática. Recordemos sus maravillosas
notas 2; 3,9; 5; 5,9; 6,2. De este modo:
x = 4,6
 2  4, 6    3,9  4, 6    5  4, 6    5,9  4, 6    6, 2  4, 6 
2
s
2
2
5
2
2

11, 66
 2,332  1,53
5
Resuelvo los siguientes Ejercicios
1) Los siguientes datos numéricos corresponden a la cantidad de veces que cada alumno de un grupo ha ido a un
recital o concierto.
2–4–3–2–1–1–6–3–0–3–2–4–6–9–3–2–1–6
Calcula, sin tabular, Media, moda, mediana, desviación, n, rango.
2) En un diagnóstico de educación física se pidió a los alumnos de los cuartos medios que hicieran abdominales
durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados:
4º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54 33 45 44 41 34 36 34 54
4º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42 49 40 37 34 44 41 43
¿cuál de los dos cursos tiene el rendimiento más parejo? ¿qué distribución estadístico permite comparar la
distribución de este tipo de datos?
3) A continuación se presentan los resultados de ambos cursos en la prueba de diagnóstico de salto largo.
4º A : 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9 2.8 2.9 3.3 3.9 4.2 4.1
4.3 4.6 4.4 3.8 3.6
4º B : 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8 2.6 5.5 5.4 4.8 4.9 4.3
2.9 3.9 5.4 5.3 4.2
a) Calcula el promedio de ambos cursos.
b) Construye una tabla de frecuencias para cada curso
c) Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más parejo?
4) Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos:
175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182
170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173 173 174 168 166 172 172 158
159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180 169 165 180 166 184 183 174 173 162
185 189 169 173 171 173
Agrupa estos resultados en 8 intervalos y confecciona una tabla de frecuencias y calcula las medidas de tendencia
central y de dispersión. Además, grafica esta tabla.
5) A los mismos alumnos anteriores se les aplico una prueba de inteligencia, estos han sido:
87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82 141 92 132 112
97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 113 102 109 124 98
140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101 118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131
127 100 91
Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8 y haz lo mismo que en problema anterior.
Selección Múltiple:
1) Si en un conjunto de datos todos ellos tienen el
mismo valor, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones respecto de esos datos es(son) siempre
verdadera(s)?
I. La media aritmética es cero
II. La desviación estándar es cero.
III. Mediana – Moda = 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
3) Si en una muestra la media, moda y mediana son
iguales, siempre se verifica que:
I. Los datos son iguales
II. La desviación típica o estándar es 0
III. Ma moda es por lo menos uno de los datos de la
muestra.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
2) Si en una muestra, la media es igual a la moda y la
mediana, siempre se verifica que:
I. Los datos son iguales
II la desviación típica o estándar es 0
III La muestra tiene un solo dato
A) Solo I
B) I y II
C) I y III
D) I, II y III
E) Todas son falsas
4) Dada la distribución: 3 – 5 – 7. Si cada uno de los
datos aumenta en 3 unidades, entonces, la
nueva desviación estándar:
A) Aumenta en 3 unidades.
B) Aumenta en 1,5 unidades.
C) Aumenta en 3 unidades.
D) No sufre variación.
E) Aumenta en 6 unidades.