Los Logaritmos. Propiedades y ejercicios resueltos.

Los Logaritmos
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación,
División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos
Logaritmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el
propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos
numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas,
cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
Definición de Logaritmo: Se llama logaritmo en base a del
número x al exponente b al que hay que elevar la base para
obtener dicho número.
Logax = b <=> ab = x
Que se lee: "el logaritmo en base a del número x es b”, o también: "el número b
se llama logaritmo del número x respecto de la base a “. Como podemos ver, un
logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar
cuando trabajemos con logaritmos. La constante a es un número real positivo
distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para
cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
Es la función inversa de la función exponencial. La operación logaritmación
(extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo
real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos,
(siendo, además, a distinto de 1)
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
Loga1 = 0
Logaa = 1
Logaax = x
aLogax = x
Loga(U·V) = LogaU + LogaV
Loga(U/V) = LogaU - LogaV
Loga(Un) = n·LogaU
Loga(U1/n) = (1/n)·LogaU
Logaritmos Decimales:
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base
el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
Log10x = Logx
1
Logaritmos Neperianos:
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que
tienen por base el número e.
Logex = Lnx
Cambio de Base:
LogaN = LogbdN / Logbda
Donde bd es la base deseada; normalmente las más usadas son: la base 10 o la
base e; de la cual disponemos en las calculadoras científicas.
Antilogaritmo:
Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema
inverso al cálculo del logaritmo de un número.
Logax = y <=> AntiLogay = x <=> ay = x
es decir, consiste en elevar la base al número resultado.
Cologaritmo:
Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.
CoLogN = Log(1/N) = -Log(N)
Ecuaciones Logarítmicas:
Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de
logaritmación. La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la
igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolución de
ecuaciones logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos").
LogaU = LogaV <=> U = V
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes
enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones
oportunas.
Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas:
Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en
los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo. Se resuelven
como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos
para realizar transformaciones convenientes.
2
Características Útiles:


Para a>1 Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo. Los
números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
Para 0<a<1 Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo. Los
números mayores que 1 tienen logaritmo negativo.
Ejercicios Resueltos.1. 10Log(7) = 7
2. 102+Log(3) = 102·10Log(3) = 100·3 = 300
3. Log8(64) + Log4(64) = Log8(82) + Log4(43) = 2 + 3 = 5
4. Log4(8) + Log4(2) = Log4(8·2) = Log4(16) = Log4(42) = 2
5. Log9(243) - Log9(81) = Log9(243/81) = Log9(3) = Log9(91/2) = 1/2
= 0,5
6. Log7(2) + Log7(0,5) = Log7(2·0,5) = Log7(1) = 0
7. Log5(375) - Log5(3) = Log5(375/3) = Log5(125) = Log5(53) = 3
8. Log0,25(16) = Log0,25(42) = Log0,25((1/4)-2) = Log0,25(0,25-2) = -2
9. Log5(8·10-3) = Log5(23·10-3) = Log5(0,5-3·10-3) = Log5(5-3) = -3
10.
Log16(32) = Log2(32)/Log2(16) = Log2(25)/Log2(24) = 5/4 =
1,25
11.
Log81(27) = Log3(27)/Log3(81) = Log3(33)/Log3(34) = 3/4 =
0,75
12.
Log4(3x+1) = 2 => 4Log4(3x+1) = 42 => 3x+1=16 => 3x=15
=> x=5
13.
Logx(343) = 3 => xLogx(343) = x3 => x3 = 343 => x =
(343)1/3 => x = 7
14.
Logx+1(64) = 2 => (x+1)Logx+1(64) = (x+1)2 => 64 = (x+1)2
=> 64 = x2+2x+1 => x2+2x-63 = 0 => (x-7)(x+9) = 0 => x= 7
solución válida
15.
Log3(4x+1) = 4 => 3Log3(4x+1) = 34 => 4x+1 = 81 => x =
20
16.
Logx(5x-6)=2 => xlogx(5x-6)=x2 => x2=5x-6 => x2-5x+6=0
=> (x-2)(x-3)=0 => x=2 y x=3 son soluciones válidas
Ejercicios Resueltos:
Sabiendo que: Log (2) = a, Log (3) = b y Log (7) = c; entonces:
1. Log(6)=Log(2·3)=Log(2)+Log(3)=a+b
2. Log(49)=Log(72)=2Log(7)=2c
3
3. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-Log(2)=1-a
4. Log(20,5)=0,5Log(2)=0,5a
5. Log(700)=Log(7·100)=Log(7)+Log(100)=c+2
6. Log(0,125)=Log(125/1000)=Log(53/103)=Log((5/10)3)=Log((1/2)3
)=Log(2-3)=-3a
7. Log(0,5)=Log(2-1)=-log(2)=-a
Ejercicios para Resolver:
1. Log2(8) =
2. Log3(27) =
3. Log4(0,25) =
4. Log4(8) =
5. Log27(9) =
6. Log(1000) =
7. Log(0,01) =
8. Log(2x-7) - Log(x-1) = Log(5)
9. Log(2x-7) - Log(18) = Log(x)
10.
Log(3x-2) + Log(6) = Log(5x)
11.
2x = 128
12.
2(x-3) = 16
13.
2(5x+4) = 8x
14.
7(5x+1) = 49(3x+2)
15.
10x-1·7x = 25
16.
4x·3y=8 ; 2x·8y=9
Ejercicios para Resolver:
Sabiendo que: Log(2) = a, Log(3) = b y Log(7) = c
1. Log(4) =
2. Log(6) =
3. Log(8) =
4. Log(9) =
5. Log(14) =
6. Log(21) =
7. Log(5) =
8. Log(15) =
9. Log(1,5) =
4
10.
Log(0,5) =
11.
Log(0,2) =
12.
Log(12) =
Ejercicios para Resolver:
En cada caso calcular el valor de x:
1. x = Log8(16)
2. -3 = Log3(x)
3. (4/3)=Logx(102/3)
4. -3 = 2Log25(x)
5. x = Log8(25) + Log7((1/49)1/3)
6. Log5(100)+log3(4) = x
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