Ecuación Característica del diodo

Ecuación Característica del diodo
La ecuación característica del diodo de acuerdo al modelo Shockley es:
(
) con
;
k = Constante de Boltzmann, q = Carga del electrón y T = temperatura.
En este documento se analiza como se deduce la ecuación característica del diodo.
a. Ley Masa-acción
Cuando un cristal semiconductor puro o intrínseco es sometido a cierta temperatura, se generan
pares electrón-hueco, y con ello, la concentración de electrones1 libres ( ) es igual a la
concentración de huecos ( ):
(el subíndice i, indica que se trata de un material intrínseco)
Esta concentración de electrones (o
huecos) depende de la temperatura
como se muestra en el gráfico (donde
es la brecha de energía que
existe entre la capa de valencia y la
capa de conducción).
A la temperatura ambiente en el caso
del silicio, se tiene una concentración
de 1.5x1010 electrones libres/cm3.
10
1.5x10 electrones
3
Si se considera que en un cristal de
silicio hay 5x1022 átomos/cm3,
entonces uno de cada 3.3 billones de
átomos libera un electrón a la
temperatura ambiente.
Si se hace el mismo ejercicio para el caso del germanio, con 4.4x1022 átomos/cm3 y una
concentración de 2.5x1013 electrones libres/cm3, se tiene que hay un electrón libre por cada 1760
millones de átomos.
De acuerdo con la ley masa-acción, el producto
misma temperatura.
1
debe ser siempre constante para una
Concentración de electrones: Cantidad de electrones libres (banda de conducción) por metro cúbico.
Si se toma un material semiconductor de silicio intrínseco y se dopa con átomos trivalentes al
0.000001%, tenemos que la concentración de átomos aceptores , que dan un hueco extra, será
aproximada de 1 por cada 100 millones de átomos (vs un electrón libre por cada 3.3 billones de
átomos en el material original). Con ello los portadores mayoritarios serán los huecos en el nuevo
material p.
Sea
, la concentración de electrones libres (portadores minoritarios) y sea
la concentración
de huecos en el material p, debido únicamente a la generación de pares electrón-hueco por
efectos de la temperatura.
Entonces la concentración total de huecos en el material p será
Y por la ley masa-acción:
.
(valor constante a una temperatura dada).
Entonces la concentración de portadores minoritarios (electrones) en el material p será
(1.1).
Si se hace un proceso similar dopando otro silicio intrínseco con una concentración
de átomos
donadores pentavalentes. Entonces la concentración de portadores minoritarios (huecos) en el
material n será
(1.2).
b. Barrera de potencial en la unión
El material N posee aproximadamente
electrones libres/cm3 moviéndose en forma aleatoria en
diferentes direcciones como resultado de la energía térmica. Este movimiento aleatorio produce
una corriente promedio total igual a 0.
P
𝑁𝐴
𝑛𝑝
+
+
+
-
𝑁𝐷
n
𝑝𝑛
Pero al unir el material tipo n con el material tipo p se
obtiene un diodo con una barrera de potencial en la unión
.
La razón de ello, es que algunos de los electrones del
material N que están cerca de la unión moviéndose en
forma aleatoria terminan pasando al otro lado de la unión hacia el material p (también algunos
electrones del material P en la banda de valencia pasan la unión hacia el material N), pero como
, pasaran más electrones de N a P que de P a N en la banda de conducción. Al pasar los
electrones del material N al material P, se da una distribución no uniforme en la concentración de
𝑉
x
electrones en el material P, produciendo un gradiente de concentración
(la concentración de
electrones disminuye al alejarse de la unión). Se dice entonces que hay una difusión de electrones
de N hacia P en la banda de conducción y una corriente de difusión respectiva, cuya densidad de
corriente será proporcional al gradiente de concentración
se conoce como la constante de difusión.
y (
) donde
De igual manera para los huecos que pasan de P a N (electrones en la banda de valencia), se tiene
una densidad de corriente de difusión
La corriente total de difusión será
dirección (de P a N).
y (
) donde
.
ya que ambas corrientes van en la misma
Al pasar electrones de N a P, algunos átomos que están cerca de la unión en el lado del material N
pierden estos electrones y se vuelven iones positivos y del otro lado de la unión, los átomos que
ganan estos electrones se vuelven iones negativos. Esta ionización produce una diferencia de
potencial (o barrera de potencial) que provoca una corriente de conducción en la unión cuya
densidad es por la ley de ohm
. Esta corriente va de N a P y contrarresta la corriente de
difusión de forma tal que la corriente total en equilibrio es 0. Para el caso de los electrones libres
en la banda de conducción
= 0. La conductividad
se puede expresar en
términos de la movilidad de los electrones en la banda de conducción (
esta forma se obtiene la relación
) como
. De
(2.1). De la teoría del campo se sabe que
. Como solamente estamos en una dimensión la relación anterior se puede expresar
como
(2.2) y combinando (2.1) y (2.2) se tiene
entonces
o
. Pero si
.
A esta fórmula es necesario aplicarle un factor de corrección , que para corrientes pequeñas
como el silicio
y corrientes mayores como el germanio
, entonces la fórmula
anterior queda
Al integrar la fórmula anterior de P a N con sus respectivas concentraciones de electrones.
∫
A partir de la fórmula 1.1, se tiene que
barrera de potencial
∫
, y sustituyendo, se tiene que el voltaje de la
es
Ejemplo:
Si se hace un dopado con átomos pentavalentes y trivalentes de una parte en 108 átomos de silicio
y al considerar que en un cristal de silicio hay 5x1022 átomos/cm3, entonces la concentración de
portadores mayoritarios tanto en el material N como en el material P, será
,
(
)
.
Para el cálculo anterior hay que recordar que
ambiente su valor es
es constante y para el caso de la temperatura
(ver gráfico de la sección a).
c. Variación de la concentración de electrones en función del voltaje
aplicado al diodo.
P
𝑁𝐴
𝑛𝑝
+
+
+
-
𝑁𝐷
Por el proceso de difusión algunos electrones del material N
pasan al material P, produciendo la barrera de potencial
N
𝑝𝑛
En la sección anterior se obtuvo la relación
𝑉
la cual se puede expresar también como
(3.1)
Zona de agotamiento
Si
es la concentración de electrones en la unión del lado del
material P, y el diodo se polariza a favor aplicándole una tensión V
como se muestra en la figura, que reduce la barrera de potencial
y produce una zona de agotamiento, al hacer una integral similar a
la de la sección anterior, se tiene
∫
P
𝑁𝐴
𝑁𝐷
𝑛𝑝
𝑝𝑛
-
𝑉
𝑉
+
∫
Y se puede expresar como
𝑛𝑝
𝑉
+
-
(3.2)
Igualando (3.1) y (3.2) se obtiene la variación de la concentración de electrones en la unión en
función del voltaje V aplicado al diodo
(3.3)
De (3.3) se ve claramente que la concentración de electrones en el material P (cerca de la unión)
aumenta en forma exponencial con la tensión aplicada a favor V. Esto quiere decir que hay más
electrones pasando del material N al material P (debido a que la barrera de potencial se redujo)
y es de esperar que esto resulte en una mayor corriente en el diodo que depende de esta
concentración y por ende del voltaje aplicado.
La corriente va a depender del movimiento de estos electrones en la banda de conducción, pero
también de los huecos en la banda de valencia que al aplicar un análisis similar se obtiene
(3.4).
N
d. La ecuación de continuidad.
En un material semiconductor que este en equilibrio térmico y no tenga ninguna fuente de
excitación exterior (como es la luz o inyección de cargas), es de esperar que la generación
espontánea de pares electrón-hueco permanezca constante. En el material P, la concentración de
electrones está dada por
y por tanto la generación de los pares electrón –hueco por unidad
de tiempo será:
(4.1) donde
es el tiempo promedio de recombinación de los pares
electrón-hueco y
es la concentración de electrones en el material p debido a factores
puramente térmicos.
Por otro lado la disminución de la concentración de electrones en el material P debe ser igual a la
generación de está concentración , para garantizar la operación en estado estable (en equilibrio
térmico).
Uno de los factores que produce la disminución de la concentración de electrones es la
recombinación natural de los electrones-huecos. Esta disminución estará dada por
(4.2)
Sin embargo otra causa en la disminución de la concentración de electrones en el material P,
cuando se está cerca de la unión NP del diodo, es el gradiente de concentración de electrones
, en el material P, que hace que la concentración de electrones no sea constante, siendo mayor
cerca de la unión y disminuyendo conforme nos alejamos de la unión en el lado del material P. En
este caso la disminución en la concentración de electrones será
, donde
es el exceso en la
concentración de electrones que se da por el proceso de difusión (paso de electrones del material
n al material p) que es adicional a la concentración producida por la generación térmica
, de tal
forma que la concentración total de electrones en el material P será
.
Sea dQ el diferencial de carga que se tiene en un diferencial de volumen , y sea este diferencial
de volumen con un área constante A de forma tal que
. La carga total Q será igual a la
carga de q de un electrón multiplicado por el número de electrones. Para ello, se tiene que el
número de electrones en este diferencial de volumen dV debido a la difusión2 es
y por tanto
Si definimos un diferencial de corriente de difusión
producto de la
variación de está carga
en el tiempo
, entonces
.
Entonces la disminución de la concentración de electrones que se da, producto del proceso de
difusión será
, donde
es la corriente de difusión y
, es la densidad de corriente
de difusión de los electrones que pasan del material n al material p, y con ello
2
La concentración de electrones es el número de electrones por m
3
(4.3).
En la sección b, se definió la densidad de corriente de difusión como
(4.4) y (
)
donde
es la constante de difusión. Entonces sustituyendo (4.4) en (4.3), queda que la
disminución de la concentración de electrones producto del proceso de difusión será:
(4.5)
Al principio de esta sección se dijo que la disminución de la concentración de electrones en el
material P debe ser igual a la generación de está concentración , para garantizar la operación en
estado estable (en equilibrio térmico).
De lo que se ha analizado hasta el momento, la generación
se da por emisión espontánea,
debido a factores térmicos. Pero la disminución se debe a dos diferentes factores:
a. Factores térmicos:
b. Proceso de difusión:
Entonces en estado estable se puede obtener la siguiente ecuación conocida como “ecuación de
continuidad”, que está basada en el hecho de que la carga no puede ser creada ni destruida y
permite representar la concentración de electrones en el material p, en función tanto del tiempo
como de la distancia:
. Puesto que la concentración total de electrones
en el material P es
, entonces la ecuación queda
puede también expresar como
, con
√
. La cual se
conocida como Longitud de
difusión y representa la distancia promedio que viajan los electrones en el material p antes de
recombinarse.
La solución de esta ecuación de continuidad será:
(4.6).
e. La ecuación del diodo.
A partir de la ecuación (4.4) de la sección anterior, se puede definir la densidad de corriente
debida al exceso de electrones en el material p producidos por la difusión como
(5.1). Pero derivando (4.6) en (5.1) se tiene que la densidad de corriente es
(5.2). Del resultado anterior, se puede definir la corriente que pasa por la
unión (x=0) como
dado por
, pero como la densidad de electrones total en el material p está
, la corriente que pasa por la unión será entonces
. En la sección c, se definió
.
y entonces:
El proceso de difusión en la unión, se da tanto para los electrones que pasan del material n al
material p, provocando la corriente
que se acaba de obtener, pero también se debe a los
huecos que pasan del material p al material n, provocando una corriente total
.
Si por un proceso similar al estudiado en este documento se obtiene que
,
entonces la corriente total en el diodo será:
(
)
(
Si se define la corriente de saturación inversa como
) entonces se
(
obtiene la ecuación bien conocida del diodo:
) con
.
f. La corriente de saturación inversa.
En la sección anterior se definió la corriente de saturación inversa como
(
)
y en la sección a. se definió la concentración de portadores minoritarios (electrones) en el material
p como
(1.1) y la concentración de portadores minoritarios (huecos) en el material n
como
(1.2).
Entonces la corriente de saturación inversa se puede definir como
Luego en al sección d. se definió
y
√
considera una situación similar para los huecos:
√
√
(
√
√
(
√
√
) , con
(
).
para el caso de los electrones. Si se
, o finalmente:
) con
De aquí vemos que la corriente de saturación inversa (corriente no deseada ya que es debida a los
portadores minoritarios) va a depender de:
1. Características propias del material semiconductor utilizado: la corriente de saturación
aumenta al aumentar la movilidad de las cargas μ y el tiempo medio de recombinación par
electrón-hueco τ; y disminuye al aumentar la brecha de energía entre la capa de
conducción y valencia
(por eso la corriente de saturación inversa de un diodo de
silicio, con
, es menor a la de un diodo de germanio con
).
2. Características de construcción del diodo: la corriente de saturación inversa aumenta al
aumentar el área transversal del diodo A, pero disminuye al aumentar el dopado con
átomos donadores
y aceptores .
3. Condiciones de operación: la corriente de saturación inversa aumenta con la temperatura
T (aproximadamente se duplica por cada 10°C).
Referencia: Millman y Halkias, Integrated Electronics: analog and digital circuits and systems,
1972, McGraw-Hill. Capítulos 1,2,3 y 19.