EFECTO ZEEMAN

EFECTO ZEEMAN
Cuando se coloca un átomo en un campo magnético externo, se observa un
desdoblamiemto de las lı́neas espectrales y también una polarización de la
luz emitida. Este efecto fue observado por primera vez por Zeeman en 1896, sin
tener ningún conocimiento de la estructura interna del átomo. Clásicamente el
valor de la variación de la frecuencia debida a la acción del campo magnético
sobre una carga oscilante resulta en un corrimiento:
eB
4πmc
∆ν = 0
∆ν = ±
e, m carga y masa del oscilador.
B intensidad del campo externo
eB
−1
Llamaremos unidad de Lorentz: L = ± 4πmc
) = 4.67 × 10−5 B(cm−1 )
2 (cm
Resulta un desdoblamiento en tres lı́neas espectrales con una lı́nea central sin corrimiento y se denomina Efecto Zeeman normal. Pero veremos
cuánticamente que el desdoblamiento puede ser de un número mayor que tres
componentes, con separaciones que no corresponden exactamente al valor clásico
y se denomina Efecto Zeeman anómalo.
Efecto Zeeman anómalo
En ausencia de un campo magnético externo, el momento angular orbital L y
el momento angular de spin S precesionan con velocidad uniforme alrededor de
su resultante J. Cuando el átomo está ubicado en un campo magnético externo
debil B, el momento magnético µj hace precesionar al átomo como un trompo
alrededor de la dirección del campo externo, el cual debe ser lo suficientemente
debil como para no destruir la interacción spin-órbita y es J quien interactúa
con B.
Las condiciones cuánticas impuestas a este movimiento es que la proyección
del momento J sobre la dirección del campo tome sólo valores Jz = ~mj , donde
mj = −j...+j. Las orientaciones discretas del átomo en el espacio y los pequeños
cambios de energı́a debido a la precesión, da origen a los niveles Zeeman discretos. La energı́a dependerá ahora del número cuántico mj .
El par de fuerzas que hace precesionar J alrededor del campo es:
~
T~ = µ~j × B
µj = −gj
µB ~
e ~
J = −gj
J
2mc
~
e~
donde µB = 2mc
= 0.927 10−20erg/gauss = 5.79 10−9eV /gauss, se llama
magnetón de Bohr.
La energı́a de orientación debida a la precesión es:
1
~
∆E = −~µj .B
e ~ ~
J.B
∆E = gj
2mc
e
ˆ = gj e BJz
JBcos(JB)
∆E = gj
2mc
2mc
Recordando que Jz = ~mj ,
∆E = gj
∆T (cm−1 ) =
e~
Bmj
2mc
∆E
eB
mj = g j mj L
= gj
hc
4πmc2
eB
−5
B cm−1 , se llama unidad de Lorentz y representa
L = 4πmc
2 = 4.67 10
la separación para el caso del triplete Zeeman normal (caso clásico).
∆T (cm−1 ) = gj mj L
Vemos que la energı́a depende ahora de mj , se ha destruı́do la degeneración
respecto a este número cuántico, el cual indica en cuántos niveles se desdobla
un nivel de estructura fina en presencia de un campo externo. La separación
de los niveles será equidistante y podemos expresarla como fracción de L, cuya
expresión incluye la intensidad del campo B.
Ejemplo:
Partimos de un nivel de estructura fina 2 P3/2 , donde j=3/2 y mj = ±3/2, ±1/2,
es decir tendremos cuatro niveles simétricos.
2
El factor giromagético que aparece en la expresión ∆T se llama factor de
Landé y depende de los números cuánticos que definen el nivel de estructura
fina (l,s y j ). Están tabulados en White pág. 442 para acoplamientos L-S (Tabla
IV) y para acoplamientos j-j (Tabla V).
~ +S
~ y el momento magnético
El momento total de los electrones es J~ = L
e
e ~
~ + S),
~ mientras que la resultante
J = −gj 2mc
(L
correspondiente es ~
µj = −gj 2mc
de µ
~ ls = ~
µl + ~
µs , no es paralela a ~µj , ya que el factor giromagnético de µs es
dos veces el del µl .
e ~
~
[L + 2S]
2mc
µls precesiona alrededor de µ
~
~ j , por lo tanto las componentes perpendiculares
se anulan y solo interesa considerar las proyecciones paralelas.
µ
~ ls = −
3
ˆ + µs cos(SJ)
ˆ
µj = µl cos(LJ)
i
e h
ˆ + 2Scos(SJ)
ˆ
Lcos(LJ)
2mc
Para obtener los ángulos, como se conservan durante la precesión, aplicamos el
teorema del coseno:
µj =
2
2
2
ˆ ⇒ Lcos(LJ)
ˆ = L −S +J
S 2 = L2 + J 2 − 2LJcos(LJ)
2J
2
2
2
ˆ ⇒ Scos(SJ)
ˆ = S +J −L
L2 = S 2 + J 2 − 2SJcos(SJ)
2J
µj =
2
2
e
L − S2 + J 2
3J − L2 + S 2
2S 2 + 2J 2 − 2L2
e
=
+
2mc
2J
2J
2mc
2J
Reemplazando los módulos de los vectores L, S y J, obtenemos la expresión en
función de los números cuánticos:
e~2 3j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
e
µj =
= gj
J
2mc
2J
2mc
g j = ~2
3j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
3j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
=
2J 2
2j(j + 1)
gj = 1 +
j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)
2j(j + 1)
Reglas de polarización:
Una forma cualitativa de ver cómo se produce la polarización, es imaginando los movimientos proyectados que tendrı́a un electrón libre en un campo
magnético. Supongamos que se comporta como un oscilador armónico y el
campo se aplica en la dirección z. El campo afectará entonces el movimiento sobre el plano x, y y el movimiento a lo largo de z permanece invariable. Tratándose
de movimientos de oscilación, los movimientos en x, y pueden expresarse como
la superposición de dos movimientos circulares, uno en el sentido de las agujas
de un reloj y el otro en sentido contrario. El efecto del campo B es acelerar
y desacelerar el movimiento en ±∆ν. Como el oscilador emite radiación en
la misma frecuencia, en la dirección perpendicular al campo (1) tendremos radiación ν0 ± ∆ν, es decir, veremos tres componentes, una sin desplazar ν0 (que
corresponde al movimiento a lo largo de z) y otras dos a ±∆ν. Se obtiene entonces el triplete Zeeman Normal.
En cambio si se observa en la dirección del campo (2), como la luz es un
movimiento de onda transversal, el movimiento a lo largo de z no emite luz
en la dirección del campo (la lı́nea en ν0 será invisible) y veremos solo las dos
componentes en ±∆ν.
4
Además la luz estará polarizada. En la dirección perpendicular al campo (1),
vemos el movimiento armónico simple a través y a lo largo de la visual y la luz
emitida o absorbida estará linealmente polarizada. La componente central
tiene el vector eléctrico paralelo a B y se indica como componente p ó π; en
tanto las dos componentes laterales tienen E perpendicular a B y se indican
como componentes s ó σ (del alemán senkrecht, que significa perpendicular).
Si se observa en la dirección del campo (2), el electrón se observa moviéndose
en trayectoria circular en un sentido y en otro. Solo se observarán las lı́neas
laterales (componentes σ), pero no la central y la luz estará polarizada circularmente en un sentido y el otro.
En el efecto Zeenam anómalo vamos a tener también esta polarización y las
componentes p (ó π), s (ó σ), estarán dadas por las distintas transiciones donde
la regla de selección que debe cumplirse, respecto al número cuántico mj es:
∆mj = 0 ± 1
5
~
Observador⊥B

 ∆mj = 0

⇒ (comp. plano-polarizada) π
∆mj = ±1 ⇒ (comps. plano-polarizadas ) σ
~
Observador k B

 ∆mj = 0

~ kB
~
E
~ B
~
E⊥
⇒ transición prohibida
∆mj = ±1 ⇒ comps. circ. polarizadas σ
El efecto Zeeman normal se produce en el caso particular cuando el momento
angular de spin es cero, entonces J=L y
ˆ =
∆E = −µl Bcos(LB)
e
ˆ = eB Lz = eB~ ml
BLcos(LB)
2mc
2mc
2mc
∆T =
eB
ml
4πmc2
eB
Si ∆ml = ±1 ⇒ ∆ν = ± 4πmc
2 = ±L
Si ∆ml = 0 ⇒ ∆ν = 0
En consecuencia todos las transiciones entre términos de estructura fina de
singuletes tendrán el pattern normal.
Ejemplo:
Vamos a ver cuantas lı́neas espectrales observaremos del doblete de resonancia
del N a I cuando el átomo está sometido a un campo magnético no demasiado
intenso, de modo que se conserve la interacción spin-órbita. La figura muestra
el pattern Zeeman anómalo para las dos lı́neas del doblete y para un observador
perpendicular al campo magnético. Las marcas en la parte inferior de la figura
indica cuáles serı́an las separaciones para un triplete normal (∆ν = ±L y ∆ν =
0).
Niveles
2
P3/2
2
P1/2
2
S1/2
gj
4/3
2/3
2
mj
±3/2, ±1/2
±1/2
±1/2
∆T = gj mj L(cm−1 )
±6/3L, ±2/3L
±1/3L
±L
6
Para las transiciones del doblete:
P3/2 →2 S1/2
2
P1/2 →2 S1/2 ,
los corrimientos de niveles obtenidos son los indicados en la tabla. Los números
de onda de las transiciones entre los niveles desdoblados se calculan tomando
las diferencias entre ellos pero teniendo en cuenta las reglas de selección de mj .
Para hallar el ∆ν para cada lı́nea se puede utilizar un esquema que facilita
el cálculo. Se ubican en fila los niveles desdoblados correspondientes a 2 P3/2
y debajo los niveles de 2 S1/2 . Las diferencias verticales corresponden a las
transiciones ∆mj = 0, éstas son las componentes π que por convención las
dibujamos hacia arriba en el pattern. Las diferencias diagonales corresponden a
∆mj = ±1, componentes σ, dibujadas hacia abajo.
2
Transición
2
P3/2 →2 S1/2
2
P1/2 →2 S1/2
∆mj
0 Componentes π
±1 Componentes σ
0 Componentes π
±1 Componentes σ
∆ν(cm−1 )
±1/3L
±L, ±5/3L
±2/3L
±4/3L
En la figura siguiente se muestra el desdoblamiento de los niveles, las transiciones permitidas y el pattern resultante para cada lı́nea del doblete.
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Figure 1: Porción del espectro de la estrella magnética HD94660, con los correspondientes pattern Zeeman para cada lı́nea.
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Efecto Paschen-Back
Cuando la intensidad del campo externo es mayor que el campo intrı́nseco
del átomo, la interacción spin-órbita entre L y S se destruye y los niveles se
desdoblan en forma distinta a lo predicho por el efecto Zeeman. Se produce
entonces lo que se llama efecto Paschen-Back. La energı́a ahora no dependerá
de mj sino de los números cuánticos magnéticos ml y ms :
∆T (cm−1 ) = (ml + 2ms )L + a ml ms
donde a es el coeficiente de estructura fina:
a=
n3 l(l
Rα2 Z 4
(cm−1 )
+ 1/2)(l + 1)
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