TEMA 8: SEGUNDA PARTE Contrastes para variables Normales y

TEMA 8: SEGUNDA PARTE
Contrastes para variables Normales y proporciones
8.7. Contrastes para una población Normal
Contrastes para la media
Contrastes para la varianza
8.8. Contrastes para dos poblaciones Normales
8.8.1. Muestras independientes
Contrastes para la diferencia de medias
Contraste de igualdad de varianzas en variables Normales
8.8.2. Muestras pareadas: Contrastes para la diferencia de medias
8.9. Contrastes para proporciones
8.9.1. Contrastes para una proporción
8.9.2. Contrastes para la diferencia de proporciones
1
8.7. CONTRASTES PARA UNA POBLACIÓN NORMAL
CONTRASTES PARA LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo 1:1 Sea X la variable “rentabilidad de cierto tipo de fondos de
inversión”. Se considera que la media de esta variable es 15.
Un economista afirma que dicha rentabilidad media ha variado, por lo
que lleva a cabo un estudio sobre una muestra de 9 fondos cuya media
muestral resulta ser de 15,308 y cuya varianza muestral corregida
(cuasivarianza) es 0,193. Con estos datos, y bajo el supuetso de
Normalidad, ¿cómo contrastar la afirmación del economista al 5%?
Sea (X1,...,Xn) m.a.s. de XN(,)
1
Ejemplo tomado de la asignatura Estadística II de la Universidad Carlos III de Madrid
(http://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/economia/estadistica_ii/documentacion_transp_archivos/tema2_2P_esp.pdf)
2
Con varianza 2 conocida

0


H0 :=0Estadístico de contraste: PivoteI.b. Z*= X   0 H
N(0,1)
/ n
Hipótesis alternativa:

H1 :>0
N(0,1)

1-

Rechazo H0 cuando: X   0 z  p-valor=p(Z*zobs)
/ n
z
H1 :<0

Rechazo H0 cuando: X   0 -z  p-valor=p(Z*zobs)
/ n
1-
-z
 H1 :0
/2
/2
1-
-z/2
Rechazo H0 cuando: X  0 z/2  p-valor=2p(Z*|zobs|)
/ n
z/2
3
Con varianza 2 desconocida

H0 :=0Estadístico de contraste: PivoteI.c. t*=
X  0
Sc / n
0
H


tn-1
Hipótesis alternativa:

H1 :>0
tn-1

1-
Rechazo H0 cuando:
X  0
Sc / n
t  p-valor=p(t*tobs)
t

H1 :<0

1- tn-1
Rechazo H0 cuando:
X  0
Sc / n
-t  p-valor=p(t*tobs)
-t

H1 :0
/2
/2
1-
-t/2
Rechazo H0 cuando:
X  0
Sc / n
t/2  p-valor=2p(t*|tobs|)
t/2
4
Relación entre contrastes bilaterales e intervalos de confianza:
H0 :=0
H1 :0
Región crítica: C={
X  0
Sc / n
t/2} = {
Región de aceptación: A= {-t/2
X  0
Sc / n
X  0
Sc / n
-t/2 ,
X  0
Sc / n
t/2} con pH0(C)=
t/2 } = { t / 2 Sc  X  0 t / 2 Sc }=
n
n
={ X t / 2 Sc 0  X t / 2 Sc }={ 0 X t / 2 Sc } , con pH0(A)=1-
n
n
n
Si 0  Intervalo de Confianza para  con nivel de confianza 1-
“Acepto” H0:=0 con nivel de significación 
EN GENERAL: Contrastar H0:=0 frente a H1:0 con nivel de significación 
EQUIVALE A:
Construir un intervalo de confianza para , con nivel de confianza 1-, y
rechazar H0 si 0 no está en dicho intervalo.
5
Ejemplo 1: (continuación)
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Definir el estadístico de contraste:
Definir la región crítica para el nivel de significación dado:
Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
Tomar la decisión:
Calcular el p-valor:
Obtener el intervalo de confianza para  al 95% y comentar resultados
6
CONTRASTES PARA LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
H0 :2= 02 Estadístico de contraste: PivoteI.d.
n 2 H0
S 
 n2 -1
 02
∗
Hipótesis alternativa:
 H1 :
2
> 02
1-
 H1 :
Rechazar H0 cuando:
n 2
S   n2-1,1-
2
0
2
< 02

 H1 :

1-
Rechazar H0 cuando:
n 2
S   n2-1,
2
0
2
 02
Rechazar H0 cuando:
n 2
n 2 2
S   n21,/2 ó
S  n1,1/2
2
2
0
0
7
8.8. CONTRASTES PARA DOS POBLACIONES NORMALES
8.8.1. MUESTRAS INDEPENDIENTES
CONTRASTES PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Ejemplo 2: El departamento de control de calidad de una empresa sospecha
que la calidad media de los productos fabricados en el turno de noche es
inferior a la de los productos fabricados en el turno de día. Para contrastar
esta sospecha, se eligen al azar 8 productos fabricados en cada turno y se
obtienen los siguientes índices de calidad
Turno de día
Turno de noche
92
82
85
86
X1,...,Xn1 m.a.s. de una N(1,1)
89
96
89
89
93
87
90
86
91
83
95
92
independientes
X 1,...,Xn2 m.a.s. de una N(2,2)
8
Varianzas conocidas H0 :1-2≤0
H1 :1-2>0
Estadístico de contraste: Pivote II.a. Bajo H0  Z*=
( X1  X 2 )   0
12
n1
N(0,1)

1-
0

 22
N(0,1)
n2
Rechazar H0 si Z* z.
z
¿ Y si queremos contrastar alternativas distintas: de otro lado o bilateral?
 H0 :1-2≥0
H1 :1-2<0
Rechazar H0 si Z*-z.
 H0 :1-2=0
H1 :1-20
Rechazar H0 si Z*-z/2 o si Z* z/2 si |Z*|z/2
9
Varianzas desconocidas iguales
H0 :1-2≤0
H1 :1-2>0
Estadístico de contraste: Pivote II.b. Bajo H0  t*=
( X 1  X 2 )  0
2  n S2
n1S X
2 X2
1
n1  n2  2
tn1+n2-2
1
1
n1  n 2
tn n 2
1 2
Rechazo H0 cuando: t*  t

1-
0
t
 H0 :1-2≥0
H1 :1-2<0
Rechazar H0 si t*-t
 H0 :1-2=0
H1 :1-20
Rechazar H0 si t*  t / 2 o t *  t/2  si |t*|t/2
Varianzas desconocidas distintas: Idem con Pivote II.c.
10
Ejemplo 2:
X = índice de calidad de productos fabricados de día N(x,x)
Y = índice de calidad de productos fabricados de noche N(y,y)
X,Y independientes
 Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
 Definir el estadístico de contraste (suponiendo varianzas iguales)
 Definir la región crítica
 Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
 Tomar la decisión:
11
CONTRASTE DE IGUALDAD DE VARIANZAS
Ejemplo 3:2 Un inversor quiere comparar los riesgos asociados a dos
mercados diferentes (A y B), teniendo en cuenta que dicho riesgo se mide
por la variabilidad en las fluctuaciones diarias de precios. Para ello se
obtienen datos de 21 cambios de precios diarios para el mercado A y de 16
para el mercado B, obteniéndose los siguientes resultados:
Mercado A
= 0,3
ScA= 0,25
X1,...,Xn1 m.a.s. de una N(1,1)
Mercado B
=0,4
ScB =0,45
independientes
X 1,...,Xn2 m.a.s. de una N(2,2)
2
Ejemplo tomado de http://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/economia/estadistica_ii/documentacion_transp_archivos/tema2_2P_esp.pdf)
12
H0 : 12 =  22
H1: 12   22
Contraste bilateral:
Estadístico de contraste: PivoteII.d. Bajo H0 
F *
SC2
1
SC2
2
F
n11,n21
/2
/2
1-
F/2
Rechazo H0 cuando: {
S C2 1
S C2 2
 F/2 ,
F1-/2
S C2 1
S C2 2
 F1-/2 }
Otra opción: obtener el Intervalo de Confianza 1- para 12 / 22 y rechazar H0 si 1I.C.
Contrastes unilaterales:

H1: 12 >  22
 Rechazar H0 cuando
 H1: 12 <  22  Rechazar H0 cuando
S C2 1
S C2 2
S C2 1
S C2 2
> F1-
< F
13
Ejemplo 3: (continuación)
X = fluctuaciones diarias de precios en el mercado AN(A,A)
Y = fluctuaciones diarias de precios en el mercado BN(B,B)
 Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
 Definir el estadístico de contraste y calcular su valor para la muestra dada:
 Definir la región crítica
 Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
 Tomar la decisión:
 Obtener el intervalo de confianza para 12 /  22 y comentar resultados
14
Ejemplo 2: (continuación)
X = índice de calidad de productos fabricados de día N(x,x)
Y = índice de calidad de productos fabricados de noche N(y,y)
X,Y independientes
Contraste para comparar las medias:
H0 :Y≥X
H1 :Y<X
Para resolver este problema, tendríamos que haber contrastado
previamente si las varianzas de las dos variables son iguales 
contraste previo:
H0 :  2X =  2Y
H1 :  2X   2Y
15
8.8.2. MUESTRAS PAREADAS: CONTRASTE DE IGUALDAD DE MEDIAS
Ejemplo 4: (Casas, 1997, pp. 262-264)
Se tienen los siguientes datos del consumo de gasolina por 1000 km
de una muestra aleatoria de 9 coches utilizando dos carburantes X e
Y (coches conducidos por los mismos conductores, en las mismas
carreteras, las mismas distancias, etc).
X
Y
D=X-Y
132
124
8
139
141
-2
126
118
8
114
116
-2
122
114
8
132
132
0
142
145
-3
119
123
-4
126
121
5
Suponiendo normalidad, contrasta al 1% si el consumo medio con
ambos carburantes es igual.
16





X 1  ...  X n  m.a.s. de una Normal bidimensional  X  N  x   x2

2    


Y 
Y1   Yn 
  y  xy


 xy 

 y2 
2
2
Diferencia: D=X-Y N(D,D), con D=x-y, D =  X   Y  2 XY
Tengo una m.a.s: D1,...,Dn de una v.a. unidimensional: DN(D,D)
Contraste bilateral:3
H0 :x-Y=0
H1 :X-Y0
H0 : D =0
H1 : D 0
Estadístico de contraste : Pivote I.c. bajo H0 
D  0
SC / n
tn-1
D
Rechazo H0 si:
D  0
SC / n
 t/2
D
Otra opción: obtener el Intervalo de Confianza 1- para D y rechazar H0 si 0I.C.
Importante: las muestras pareadas reducen el efecto de otros factores
3
Para alternativas H1 unilaterales se procede como en los casos anteriores
17
Ejemplo 4: (continuación)
H0 :D =0
H1 :D 0
Contraste bilateral:
1
n
D   Di =2; ScD=
n i 1
PIVOTE (I.c):

1
n
 (Di  D )2 =5.17
n  1 i 1
D   D t 
n-1
SC D / n
I.C. para D al (1-α)%  D D t/2
S CD
n
(1-)=0.99  0.995=p(t8  t/2 )  t/2 =3.355
I.C.: [2 3.355x 5,17 ]=[-3.78, 7.78]  Como D=0 I.C. “Acepto” H0 al 1%
9

(1-)=0.95  0.975=p(t8  t/2 )  t/2 =2.306
I.C.: [2 2.306x 5,17 ]=[-1.97, 5.97]  Como D=0 I.C. “Acepto” H0 al 5%
9
18
8.9. CONTRASTES PARA PROPORCIONES
8.9.1. CONTRASTES PARA UNA PROPORCIÓN
Ejemplo 5: Un fabricante de automóviles trabaja con un proveedor que
afirma que no más del 5% de sus piezas son defectuosas. El fabricante
decide contrastar esta afirmación seleccionando de su inventario 20 piezas y
probándolas. ¿Deberá sospechar el fabricante de la afirmación del proveedor
si se descubren 2 piezas defectuosas en la muestra?
Ejemplo 6: Peña (2001, p.393) La proporción de gente que votó a cierto
partido en las elecciones pasadas fue el 25%. Se toma hoy una muestra de
500 electores y se obtiene que el 22% votaría a dicho partido. ¿Hay
evidencia de un descenso en la intención de voto?
1 si ocurre A (éxito)  p
0 si ocurre A (fracaso)  1  p
Sea X1,...,Xn m.a.s de una Bernoulli b(p), Xi= 
_
Xi=nº de éxitos en la muestra; p̂ = X = proporción de éxitos en la muestra
19
Muestras “pequeñas”  Estadístico de contraste: Xi
H0 :p≥p0
H1:p<p0
H0 :p≤p0
H1:p>p0
B(n,p0)
H0 :p=p0
H1:pp0
p-valor=p(Xi≤(xi)obs) p-valor=p(Xi≥ xi)obs) p-valor=2min{p(Xi≥(xi)obs),p(Xi≤(xi)obs)}
Ejemplo 5: (continuación)

Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:

Definir el estadístico de contraste y su distribución:

Definir la región crítica:

Obtener el valor del estadístico para la muestra dada y calcular el p-valor:

Tomar la decisión:
20
Muestras “grandes”Teorema Central del Límite:
 Estadístico de contraste: Bajo H0  Z*=
pˆ  p0
p 0 (1  p 0 )
pˆ  p
~ N ( 0,1)
p (1  p ) A
n
~A
N (0,1)
n

H0 :p≥p0
H1 :p<p0

N(0,1)
Rechazo H0 si
pˆ  p0
-z  p-valor=p(Z*≤zobs)
p0 (1  p0 ) / n
-z

H0 :p≤p0
H1 :p>p0
N(0,1)
Rechazo H0 si

1-
pˆ  p0
z  p-valor=p(Z*zobs)
p0 (1  p0 ) / n
z
21

H0 :p=p0
H1 :pp0
N(0,1)
/2
/2
1-
-z/2
0
Rechazo H0 si: |
| z/2
 p-valor=p(|Z*||zobs|)=2p(Z*|zobs|)
z/2
¡ OJO ! ¡ diferencia importante respecto al intervalo de confianza !
Para construir el Intervalo de Confianza para p, el pivote es:
pˆ  p
pˆ (1  pˆ )
n
~
A
N (0,1)
sustituimos p por su estimador
En problemas de proporciones, los contrastes bilaterales no se
resuelven a través del I.C. sino planteando la región crítica de 2 colas
22
Ejemplo 6: (continuación)
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Definir el estadístico de contraste:
Definir la región crítica:
Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
Calcular el p-valor:
Tomar la decisión:
23
8.9.2. CONTRASTES PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES
Ejemplo 7: (Newbold, 1998, p. 270)
Se extrajeron dos muestras aleatorias independientes de estudiantes
universitarios de último curso de sexo masculino y femenino. De 120
hombres seleccionados, 107 esperaban disfrutar de un trabajo fijo en
un máximo de 10 años. De 141 mujeres seleccionadas, 73 tenían esa
esperanza. ¿Podemos concluir, con un nivel de significación del 5%,
que las expectativas de empleo son iguales en hombres y en mujeres
con estudios universitarios?
X1,...,X
m.a.s. de una v.a. Xb(pX)
Y1,...,Y
m.a.s. de una v.a. Yb(pY)
independientes
24
Teorema Central del Límite:
( pˆ X - pˆ Y ) - ( pX - pY )
~ N (0,1) , donde p̂X = , p̂Y =
pX (1 pX ) pY (1 pY ) A

nx
ny
Hipótesis nula: H0 :pX=pY=p0
Estadístico de contraste: Bajo H0 
pˆ X  pˆ Y
pˆ X  pˆ Y

p0 (1 p0 ) p0 (1 p0 )
1 1

p0 (1 p0 )  
nx
ny
 nx n y 


Estimar p0 con la media ponderada: pˆ
0

~ N(0,1)
A
n x pˆ X  n y pˆ Y
nx  n y
Hipótesis alternativa:
H1 :pX>pY
H1 :pX<pY
H1 :pXpY
Rechazar H0 si:
pˆ X  pˆ Y
 z
Rechazar H0 si:
pˆ X  pˆ Y
-z
Rechazar H0 si:
| pˆ X  pˆ Y | z/2
 1
1 
pˆ 0 (1  pˆ 0 )  
 nx n y 


 1
1 
pˆ 0 (1  pˆ 0 )  
 nx n y 


 1
1 
pˆ 0 (1  pˆ 0 )  
 nx n y 


25
Ejemplo 7: (continuación)
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Definir el estadístico de contraste:
Definir la región crítica para el nivel de significación dado:
Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:
Tomar la decisión:
Calcular el p-valor:
Obtener el intervalo de confianza para  al 95% y comentar resultados
26
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Canavos, G.C. (2001) Probabilidad y estadística: aplicaciones y
métodos, Madrid: McGraw-Hill.
Secciones 9.6, 9.7, 9.8
Casas, J.M. (1997) Inferencia estadística (incluye ejercicios resueltos).
Madrid: Centro de Estudios Ramón Areces.
Capítulo 6
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:
Newbold (1998) Estadística para los Negocios y la Economía. 4ª ed.
Madrid: Prentice Hall.
Capítulo 9
Novales (1997) Estadística y Econometría. Madrid: McGraw Hill.
Capítulo 10
Peña, D. (2008) Fundamentos de estadística, Madrid: Alianza.
Secciones 10.4, 10.5, 10.6
27