PERTURBACION EN UN MEDIO. ONDAS.

ONDAS
PERTURBACION EN UN MEDIO. ONDAS.-
Supongamos que tiramos a un estanque una piedra. En el punto donde ésta
cae, se produce una perturbación a causa de la que cada partícula de agua varía su
posición inicial y comienza a oscilar entre dos posiciones extremas. Esto origina que
las partículas de líquido cercanas a la primera comiencen a sufrir su influencia y,
como consecuencia de ello, la perturbación se propaga en forma de ondulaciones
(olas u ondas) que tienen su origen en el punto donde se produjo la perturbación y
que se propagan a velocidad constante en todas direcciones de forma que alcanzan
al mismo tiempo puntos equidistantes del foco de la perturbación.
El conjunto de todos los puntos alcanzados al mismo tiempo por la
perturbación recibe el nombre de frente de onda.
En este caso particular la onda se propaga en un medio de dos dimensiones
(la superficie del agua). Se trata de una onda en la que los frentes son
circunferencias centradas en el origen de la perturbación.
En otras ocasiones las ondas se propagan en tres dimensiones y, si el medio
es isótropo - iguales propiedades en todos sus puntos - , los frentes de onda serán
esferas centradas en el origen de la perturbación. Hay ocasiones en que el origen de
la perturbación está tan alejado que podemos considerar que los frentes de onda son
planos.
Pero volvamos de nuevo al caso de la piedra lanzada al estanque y
consideremos que sobre su superficie se encontraba flotando un trozo de corcho. Si
se observa con detenimiento se puede comprobar que el corcho al cabo de un cierto
tiempo está sometido a un movimiento oscilatorio pero su distancia a las orillas no
varía con el tiempo. Esto hace que concluyamos que lo único que se transmite en el
movimiento ondulatorio es energía y no materia.
TIPOS DE ONDAS.
En el ejemplo anterior las ondas transmiten energía producida en una
perturbación provocada en un punto del medio.
Para hacerlo necesitan de un medio material que le sirva de soporte (partículas de
agua). Si se produce una perturbación en el aire se origina una oscilación en las
moléculas que se propaga dando lugar a un sonido. También en este caso las ondas
necesitan para propagarse, de la existencia de un medio material que les sirva de
soporte (aire, un gas, el agua, un sólido......) Si se intenta producir un sonido en el
vacío éste no puede propagarse.
En todos estos casos se dice que las ondas son materiales.
Hay otras ondas que no necesitan para su propagación de la existencia de un
soporte material. Se trata de ondas electromagnéticas. Estas se propagan en el
8
vacío con una velocidad constante c = 3x10 m/s.
Existe otra forma de clasificar las ondas atendiendo a la dirección de la
perturbación referida a la dirección de la propagación.
Así pues hay movimientos ondulatorios en los que la perturbación es
perpendicular a la dirección de la propagación. Por ejemplo la perturbación y la
propagación en el lago son perpendiculares. Son movimientos ondulatorios
transversales.
En
otros
movimientos
ondulatorios la perturbación y la
propagación
tienen
direcciones
iguales.
llaman
movimientos
Se
ondulatorios
longitudinales.
Un
ejemplo de este tipo de ondas es el
sonido.
Existe también una tercera forma de clasificar los movimientos ondulatorios
atendiendo a la forma del frente de onda (ondas planas, esféricas, circulares......).
ALGUNOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES.-
Antes de seguir adelante conviene definir una serie de conceptos referidos a
las ondas.
- Pulso corresponde a la perturbación originada por una oscilación completa
del punto donde se produce la perturbación. Este viaja por el medio por el que se
propaga la onda a una cierta velocidad (constante si el medio es homogéneo).
-
Una
onda
suele
estar
constituida por una sucesión de
pulsos. Cuando la perturbación que
la origina es periódica se puede
hablar de trenes de onda que serían
el conjunto de pulsos.
- Llamamos período al tiempo
que transcurre entre dos pulsos consecutivos si este es constante, o bien al tiempo
en que la partícula del medio en el que se propaga la onda repite posiciones de
forma consecutiva. Se mide en s en el S.I.
- El número de veces que un punto es alcanzado por la perturbación en la
unidad de tiempo se llama frecuencia. Se mide en Herz (ciclos/s).
- La distancia entre dos pulsos consecutivos se llama longitud de onda, y se
mide en m.
- Se dijo anteriormente que la velocidad de propagación de la perturbación era
constante en un medio isótropo y se puede calcular considerando simplemente la
velocidad con que se propaga un pulso. Este recorre una distancia igual a la longitud
de onda en un tiempo igual al período.
v=
λ
T
- Elongación es la separación en cualquier momento, de cada partícula
respecto de la posición de equilibrio.
- Se define como amplitud la elongación máxima de cualquier punto respecto
de la posición de equilibrio.
- Número de onda es el número de longitudes de onda contenidas en 2π:
2π
k=
λ
También se puede poner como:
k=
2·π · f ω
=
λ· f
v
ONDAS ARMONICAS. ECUACION DE ONDA.-
Son aquellas en las que la función correspondiente al perfil de la perturbación
en función del tiempo se puede describir con funciones seno o coseno.
Esto significa que el origen de la perturbación está sometido a un movimiento
vibratorio armónico simple con un período T. Por ejemplo el movimiento de las
partículas de agua en el punto donde se ha producido la perturbación será (si
oscilan sobre una posición de equilibrio y en la dirección del eje Y):
 2π

y (t ) = A cos(ωt + ϕ ) = A cos 
t +ϕ
T


Siendo A la amplitud de esa oscilación, T el período, y la elongación al cabo de un
tiempo t.
Pero cada partícula está sometida a esta perturbación por tanto su elongación
dependerá del tiempo y de la distancia (x) al punto donde se originó la perturbación.
La onda se propaga en el medio a velocidad constante v y alcanzará a una partícula
que diste x del origen de la perturbación con un retraso t'= (x/v). Esto hace que la
elongación de cualquier partícula que diste x del punto donde se ha producido la
perturbación vendrá dada por:
ω·x


y ( x, t ) = A cos[ω (t − t ' ) + ϕ ] = A cos  ω ·t −
+ ϕ  = A cos(ω ·t − k · x + ϕ )
v


Donde ω es la pulsación y k el número de onda. En caso de que el punto
considerado
estuviese
a
la
izquierda
y ( x, t ) = A cos[ω (t + t ' ) + ϕ ] = A cos(ω ·t + k · x + ϕ )
del
y
origen
podemos
de
la
poner
perturbación:
en
general
y ( x, t ) = A cos(ω ·t ± k · x + ϕ )
PERIODICIDAD.-
Se puede decir que el movimiento ondulatorio es doblemente periódico,
presentando una periodicidad espacial y otra temporal.
Supongamos que en un determinado momento obtenemos una instantánea
del perfil de la onda. En un punto situado a una distancia x del origen de la
perturbación el valor de la elongación será:

 t x 
y(x,t) = A cos(ω ·t − k ·x ) = A cos  2π  -  
 T λ 

Un punto que diste del anterior un número entero de longitudes de onda:


 t x  2π
y (x + nλ ,t) = A cos  2π  −  −
·nλ  = A cos(ω ·t − k ·x − 2πn ) = A cos(ω ·t − k ·x ) = y ( x, t )
λ
T λ 


Como se ve la elongación toma los mismos valores, para el mismo tiempo, en los
puntos que distan un número entero de veces λ (longitud de onda). Existe por tanto
una periodicidad espacial.
Supongamos que ahora estudiamos las elongaciones en un punto fijo en
función del tiempo:


 t x  2π
y (x,t + nT) = A cos  2π  −  +
·nT  = A cos(ω·t − k ·x + 2πn ) = A cos(ω·t − k · x ) = y ( x, t )
T λ  T


Cuando ha transcurrido un tiempo nT desde el momento anterior, la elongación será
por tanto la misma que en ese momento anterior. Hay periodicidad temporal.
ENERGIA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS.-
Hemos considerado que en el movimiento ondulatorio existe la transmisión de
energía y no de materia.
Cuando una partícula del medio es alcanzada por la onda comienza a
moverse con un movimiento oscilatorio armónico simple. Tendrán por tanto energía
cinética y energía potencial. La energía de esta partícula será:
1
1
1
E = m v 2 = m ω 2 y 2 = m ω 2 A 2 = 4 π 2 ν 2 m A2
2
2
2
siendo en este caso v la velocidad con que se mueve la partícula.
Esto significa que la energía transmitida en un movimiento ondulatorio es
directamente proporcional al cuadrado de la amplitud:
E α
A2
También se define la intensidad de onda en un punto como la energía que
atraviesa en ese punto la unidad de superficie en la unidad de tiempo.
Por tanto también la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud:
I α
A2
AMORTIGUACION.-
Se llama así el fenómeno de disminución de la amplitud a medida que nos
alejamos del punto origen de la perturbación.
Para entenderlo supongamos una onda que se propaga con frentes de onda
esféricos. En dos puntos que disten R1 y R2 del origen de la perturbación la energía
que atraviesa las superficies esféricas en la unidad de tiempo. Es decir:
E
E
I1 =
//// además //// I 2 =
S1 ·t
S 2 ·t
por lo tanto:
2
2
2
2
A1 R1 = A2 R 2
⇒
A1 = R 2
A2
R1
Lo cual significa que la amplitud es inversamente proporcional a la distancia al foco
de la perturbación.
Por otro lado se produce una disminución de la amplitud con la distancia al
punto donde se origina la perturbación a causa de que el propio medio absorbe parte
de la energía transmitida.
Se puede ver que la disminución de intensidad es directamente proporcional
al espesor del medio. La constante de proporcionalidad se llama constante de
absorción ß:
− dI = β I dx
Integrando entre dos puntos del medio:
I
X
dI
I0
-β •x
=
∫ I ∫0 - β dx ⇒ ln I = β x ⇒ I = I 0 e
I0
Podemos calcular el espesor para que la intensidad se haga la mitad, se llama
espesor de semiabsorción:
 I0 
 
 2  = - βx
e
I0
:
x=
ln 2
β
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION.-
Establece que cuando una partícula del medio es alcanzada por dos
movimientos ondulatorios en un mismo instante, la perturbación que se produce es la
suma algebraica de las que producirían cada uno de los movimientos ondulatorios
por separado.
La coincidencia de dos ondas en un punto se llama interferencia. Puede
ocurrir que este hecho origine un reforzamiento de las ondas. En este caso se dice
que la interferencia es constructiva. En otras ocasiones se origina una disminución de
la amplitud de la onda resultante. Estamos en el caso de interferencia destructiva.
Estudiaremos a continuación el fenómeno de interferencia de ondas.
Para
facilitar
los
cálculos
supongamos dos ondas en las que
coincidan los valores de la frecuencia y
de la longitud de onda, se llaman
coherentes y aun consideraremos que
sus amplitudes también coinciden. Estas ondas parten de focos F1 y F2
suficientemente alejados como para poder suponer que los rayos sean paralelos.
Cuando alcanzan un punto P del medio por el que se propagan provocarán una
perturbación que, según el principio de superposición será la suma de las
perturbaciones que originaría cada una de las ondas por separado:
y 1 = A cos ( ωt - k x1 ) 
 ⇒ y = y1 + y 2
y 2 = A cos ( ωt - k x 2 ) 
según se sabe la suma de dos senos de dos ángulos es igual al doble del producto
del coseno de la semisuma de los ángulos por el coseno de la semidiferencia de los
mismos, y por tanto:
k( + ) 
k( - )

y = 2 A cos  ωt − x 1 x 2  cos x 1 x 2
2
2


Puesto que x1 y x2 son constantes también lo será:
k( - )
A′ = 2 A cos x 2 x 1
2
De forma que:
k( + ) 

y = A′ cos  ω ·t - x1 x 2 
2


Llamando x a la media aritmética entre x1 y x2 podemos decir que:
y = A′ cos ( ω t − k x )
Como se puede observar el valor de A' es función de la diferencia de las
distancias que recorren las dos ondas desde sus orígenes respectivos hasta P. Por
tanto el máximo de A' se dará en los puntos en que: cos [k(x1-x2)/2] = 1
cuando:
es decir
2π x 2 − x1
= nπ es decir : x 2 − x1 = n·λ
2
λ
En estos puntos la interferencia será totalmente constructiva.
En aquellos puntos en los que:
2π x 2 − x1
π
λ
= (2n + 1)
es decir : x 2 − x1 = (2n + 1)
λ
2
2
2
La interferencia será totalmente destructiva y en ellos no se producirá movimiento
puesto que A' siempre es nula. Los lugares geométricos de estos puntos se llaman
lineas nodales. Su forma es hiperbólica.
Se propone como trabajo buscar en algún libro de Física General o de Óptica
la forma en que Young demostró el comportamiento ondulatorio de la luz basándose
en el fenómeno de la interferencia.
Un caso particular en la interferencia de ondas es el de las ondas
estacionarias:
Supongamos una onda que se propaga en una cuerda fija por uno de sus
extremos. Cuando llega a éste se refleja y la onda que se propaga hacia la derecha
así como la que se propaga en sentido contrario interfieren de forma que la
elongación de cualquier punto será en un instante t cualquiera:
y 1 = A cos ( ωt - kx ) 
 ⇒ y = y 1 + y 2 = 2 A cos ωt cos kx = A′ cos ωt
y 2 = A cos ( ωt + kx )
En cada punto de la cuerda A' será constante y su elongación oscilará entre A' y -A'.
En los puntos en que A' es máxima se cumplirá:
2π
λ
k ·x =
x = nπ ⇒ x = n
2
λ
A' tomará valor cero en los puntos que cumplan:
2π
π
λ
k ·x =
x = (2n + 1) ⇒ x = (2n + 1)
λ
2
4
Estos puntos se llaman nodos. Si estos puntos están siempre en reposo, se puede
deducir con facilidad que la energía no se propaga por la cuerda y todos los puntos
de ella están sometidos a un movimiento armónico de amplitud A' que en cada punto
tomará valores distintos dado que depende de la posición de dicho punto.
Un caso especialmente interesante es el de una cuerda cuyos extremos están
sujetos de forma que la onda que se produce en ella será una onda estacionaria con
nodos en los extremos de la cuerda. Suponiendo que su longitud sea L ha de
cumplirse que la distancia entre nodos debe ser una semilongitud de onda por lo que
las longitudes de onda en una cuerda vibrante serán:
2L
λ =
n
Puesto que n = 1, 2, 3, ... tendremos ondas de distintas longitudes y distintas
frecuencias. La onda llamada fundamental será aquella en que n = 1. Cuando n = 2
tenemos el primer armónico y así sucesivamente.
PRINCIPIO DE HUYGENS.-
A finales del siglo XVII Huygens estudiaba la posibilidad de predecir la forma
de los frentes de onda que se producirían a partir de un frente de onda ya conocido.
De hecho se puede construir trazando un frente de onda paralelo al anterior si el
medio es isótropo.
Pero Huygens para hacerlo consideró que cada punto del medio que es
alcanzado por la perturbación comienza a actuar como origen de una nueva
perturbación de modo que la superposición de todas las ondas secundarias
originadas por cada punto del frente de onda inicial da lugar a una nueva onda de
forma igual a la anterior.
Sin embargo el principio de Huygens tiene el defecto no pequeño de que cada
punto originaría una onda que se propagaría en sentido contrario al de avance de la
onda principal. Esto fue corregido matemáticamente por Kirchhoff.
REFLEXION Y REFRACCION.-
El fenómeno de reflexión se produce cuando una onda se mueve por un
medio 1 y choca con una pared que lo separa de otro medio 2 sin poder pasar a él.
Se produce entonces la vuelta de las ondas al primer medio.
Las leyes de la reflexión son dos:
1-
El
rayo
incidente,
la
normal al plano de separación de los dos
medios y el rayo reflejado están en el
mismo plano.
2- El ángulo de incidencia es
igual al ángulo de reflexión.
Para explicar la segunda ley de la reflexión consideremos el caso en que los
frentes de onda sean planos. Cuando la onda incidente llega a A, dado que no puede
penetrar en el segundo medio se refleja y comienza a moverse de nuevo en sentido
contrario con la misma velocidad que lo hacía antes de llegar a A.
En este instante ha alcanzado el punto B. Cuando la onda alcanzó a C, como
las dos se mueven con la misma velocidad la reflejada estará en B' y BC = AB'. Los
dos triángulos AB'C y ABC son iguales y por ello los ángulos que forman con la
normal a la superficie de separación el rayo incidente y el rayo reflejado serán
iguales.
Cuando la onda pasa de un medio (I) a otro (II) en el que se mueve con
distinta velocidad, el rayo cambia de dirección. Este fenómeno recibe el nombre de
refracción.
Las leyes que rigen la refracción son dos:
1- El rayo incidente, la normal a la superficie de separación de los dos
medios y el rayo refractado están en el mismo plano.
2- El cociente entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción
es igual al índice de refracción. (Ley de Snell).
Supongamos que en el medio (I) se mueve el
frente de onda AB con una velocidad v1. En ese
momento la onda penetra en (II) moviéndose con
velocidad v2. Cuando la onda llegó a C al cabo de un
tiempo t, la onda refractada habrá llegado hasta C'
de forma que:
BC
·t 
= v1 
sen i
AC
AC
= v1
⇒
A′C
·
t
sen
r
v2
sen r =
= v2 
AC
AC 
sen i =
Cuando la onda es electromagnética el cociente entre la velocidad de la luz en
el vacío y la velocidad de la luz en otro medio cualquiera se llama índice de
refracción. Por esto si el fenómeno de refracción se diese en la luz:
sen i
(c / v2 )
v
n
= 1 =
= 2 = n21
sen r
(c / v1 )
v2
n1
A n12 se le llama índice de refracción relativo.
DIFRACCION.Es un fenómeno que tiene lugar en el caso de que una onda pase a través de
un orificio cuyo tamaño sea del orden de su longitud, o bien tropiece con un objeto de
un tamaño de ese orden.
Cuando ocurre eso, se produce un fenómeno de interferencia explicable a
partir del principio de Huygens, debido a que los puntos del orificio se comportan
como focos de ondas secundarias que dan lugar al fenómeno antes estudiado de
interferencia, que en unos puntos será constructiva y en otros destructiva con la
consiguiente aparición de máximos y mínimos.
Si la onda es luminosa la difracción provocará zonas iluminadas y otras zonas
de sombras en las cercanías de la perpendicular desde la pantalla al orificio por el
que pasa la luz. Dependiendo de la forma del orificio se obtienen distintas figuras de
difracción.
El fenómeno de difracción característico de las ondas se daba en un chorro de
electrones cuando se hace pasar a través de una rendija de tamaño adecuado. Es
entonces cuando se determina que estas partículas tienen asociada una onda
(Experiencia de difracción de electrones realizada por Davidson y Germer).
POLARIZACION.-
El movimiento de una onda transversal puede ser de forma que el vector de
posición de una partícula que oscila a causa de ella, o bien el vector campo eléctrico
en una onda electromagnética están siempre en el mismo plano. En este caso se
dice que la onda es linealmente polarizada.
En el caso de ondas electromagnéticas puede ocurrir que el vector campo
eléctrico tenga módulo constante y a medida que avanza la onda se mueve girando
en el mismo sentido o en sentido contrario a las agujas del reloj. En este caso se
habla de polarización circular.
En todo caso vamos a fijarnos ahora en la polarización lineal. Volviendo al
caso de las ondas electromagnéticas podemos conseguir la polarización de las
mismas haciéndolas pasar a través de medios que, selectivamente, solo dejen pasar
aquellas ondas que tienen una dirección de vibración de E determinada. Estos
medios reciben el nombre de polarizadores.
EFECTO DOPPLER.-
Cuando escuchamos el ruido de la sirena de una fábrica desde dentro de un
vehículo en el que nos movemos, parece que el sonido no es igual cuando nos
acercamos hacia ella que cuando nos alejamos de ella y de hecho tampoco parecerá
igual cuando lo oigamos estando nosotros parados.
De igual forma estando al borde de una carretera no percibimos de la misma
forma el ruido del motor de un coche cuando se acerca o se aleja de nosotros.
Estos fenómenos se conocen con el nombre de efecto Doppler y se pueden
explicar de la siguiente forma:
a) Observador en movimiento y
emisor en reposo:
La velocidad relativa con que percibe la
onda el observador será la {suma/resta} de
su velocidad de propagación y de la
velocidad con que se {acerca/aleja} el
observador al foco emisor.
v′ = v ± v o = λ · f '
v'
v ± vo
f' =
=
λ
λ
λ=
v
f
 v ± vo 
f' = f 

 v 
b) Foco emisor en movimiento y observador en reposo. En este caso la
longitud de onda que percibe el observador será:
 vf
 f
λ ′ = λ m v f · T = λ m 



En este caso, y como se puede apreciar en la figura el signo menos corresponde al
caso en que el foco emisor se acerque al observador.
Según esto la frecuencia percibida por el observador
será:
f' =
v
=
λ′
v
λm
vf
f
= f
ν
v m vF
Cuando están en movimiento tanto el foco emisor como el observador podemos
considerar que el observador percibe una frecuencia:
v
v ± vO v
v ± vO
f '' = f '
= f
= f
v m vF
v v m vF
v m vF
ONDA DE CHOQUE.Se produce cuando el emisor
se mueve con una velocidad mayor
que la de propagación de las ondas.
El seno del ángulo α se
puede calcular fácilmente a partir de
la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de avance del foco emisor.
v ·t
v
sen α = onda = onda
·
t
v foco
v foco