1 Comparación de varianzas, dos poblaciones nor

Inferencia Estadı́stica II
Contrastes de hipótesis con R
1
Comparación de varianzas, dos poblaciones normales
Se han hecho cuatro determinaciones quı́micas en dos laboratorios A y B con
los resultados A: 26,24,28,27; B: 20 34 23 22. Se pide:
• Comparar las varianzas de las dos muestras con nivel de significación 5%,
encontrar la RR y el p-value
> A<-c(26,24,28,27)
> B<-c(20 ,34, 23 ,22)
> var.test(A,B, alternative="two.sided")
F test to compare two variances
data: A and B
F = 0.0737, num df = 3, denom df = 3, p-value = 0.05977
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.004772546 1.137623965
sample estimates:
ratio of variances
0.07368421
> var.test(A,B, alternative="less")
F test to compare two variances
data: A and B
F = 0.0737, num df = 3, denom df = 3, p-value = 0.02988
alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1
95 percent confidence interval:
0.000000 0.683541
sample estimates:
ratio of variances
0.07368421
1
> var.test(A,B, alternative="greater")
F test to compare two variances
data: A and B
F = 0.0737, num df = 3, denom df = 3, p-value = 0.9701
alternative hypothesis: true ratio of variances is greater than 1
95 percent confidence interval:
0.007942995
Inf
sample estimates:
ratio of variances
0.07368421
• Comparar las varianzas de las dos muestras con nivel de significación 2%,
encontrar la RR y el p-value
> var.test(A,B, alternative="two.sided", coef.level=0.98)
F test to compare two variances
data: A and B
F = 0.0737, num df = 3, denom df = 3, p-value = 0.05977
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.004772546 1.137623965
sample estimates:
ratio of variances
0.07368421
> #The Critical region is given by [0, 0.0339] union [29.4567] porque
> qf(0.01, 3, 3, lower.tail=TRUE)
[1] 0.03394814
> qf(0.01, 3, 3, lower.tail=FALSE)
[1] 29.45670
> var.test(A,B, alternative="less", coef.level=0.98)
2
F test to compare two variances
data: A and B
F = 0.0737, num df = 3, denom df = 3, p-value = 0.02988
alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1
95 percent confidence interval:
0.000000 0.683541
sample estimates:
ratio of variances
0.07368421
> #The Critical region is given by [0, 0.0552]
> qf(0.02, 3, 3, lower.tail=TRUE)
[1] 0.05521903
porque
> var.test(A,B, alternative="greater", coef.level=0.98)
F test to compare two variances
data: A and B
F = 0.0737, num df = 3, denom df = 3, p-value = 0.9701
alternative hypothesis: true ratio of variances is greater than 1
95 percent confidence interval:
0.007942995
Inf
sample estimates:
ratio of variances
0.07368421
> #The Critical region is given by [18.1097, Inf)
> qf(0.02, 3, 3, lower.tail=FALSE)
[1] 18.1097
3
porque
2
Comparación de medias de dos poblaciones
con igual varianza
Una compañia introduce un curso de mejora de las ventas para sus empleados.
Se tomó una muestra aleatoria de 6 empleados y se grabaron los datos de ventas
de estos empleados antes y después del curso.
Empleado
1
2
3
4
5
6
Ventas antes del curso
Ventas después del curso
12
18
18
24
25
24
9
14
14
19
18
21
Estudiar si hay suficiente evidencia para concluir que el curso fue un éxito
al 5% de nivel de significación.
Muestras independientes
> x.B<-c(12 ,18 ,25,9,14,18)
> x.A<-c(18,24,24,14,19,21)
> ?t.test
> mean(x.B)
[1] 16
> mean(x.A)
[1] 20
> t.test(x.A, x.B, alternative="g", mu=0, paired=FALSE, var.equal=TRUE)
Two Sample t-test
data: x.A and x.B
t = 1.4384, df = 10, p-value = 0.09044
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
-1.040250
Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
20
16
Muestras apareadas
> t.test(x.A, x.B, alternative="g", mu=0, paired=TRUE, var.equal=TRUE)
Paired t-test
4
data: x.A and x.B
t = 3.6515, df = 5, p-value = 0.007363
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
1.792625
Inf
sample estimates:
mean of the differences
4
3
Función cuantı́lica
Experimentalmente se miden los tiempo de sedimentación de determinadas
partı́culas coloreadas, flotando en un cierto lı́quido. Los tiempos observados,
ya ordenados, fueron: 0.19, 0.78, 0.96, 1.31, 2.78, 3.16, 4.15, 4.67, 4.85, 6.5,
7.35, 8.01, 8.27, 12.06, 31.75, 32.52, 33.91, 36.71, 72.89.
• Construir la función de distribución empı́rica.
> x<-c(0.19, 0.78, 0.96, 1.31, 2.78, 3.16, 4.15, 4.67, 4.85, 6.5, 7.35, 8.01, 8.27,
12.06, 31.75, 32.52, 33.91, 36.71, 72.89)
> summary.stepfun(Fn)
Step function with continuity ’f’= 0 , 19 knots with summary
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
Max.
0.19
2.97
6.50
14.36
21.91
72.89
and
20 plateau levels (y) with summary
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
Max.
0.00
0.25
0.50
0.50
0.75
1.00
> summary(Fn)
Empirical CDF:
19 unique values with summary
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
Max.
0.19
2.97
6.50
14.36
21.91
72.89
> postscript("ecdf.ps")
> plot(Fn)
> dev.off()
5
0.0
0.2
0.4
Fn(x)
0.6
0.8
1.0
ecdf(x)
0
20
40
60
80
x
• Determinar los cuartiles de la distribución muestral.
Funcion cuantı́lica empı́rica
## Default S3 method:
quantile(x, probs = seq(0, 1, 0.25), na.rm = FALSE,
names = TRUE, type = 7, ...)
Por defecto type=7, que no es vlida para cuando buscamos el cuantil discreto...
para esto necesitamos poner type=1 o type=2 o type=3
> quantile(x, prob=c(0.25,0.5, 0.75), type=1)
25%
50%
75%
2.78 6.50 31.75
Funcion cuantı́lica continua
> quantile(x, prob=c(0.25,0.5,
25%
50%
75%
2.4125 5.6750 16.9825
> quantile(x, prob=c(0.25,0.5,
25%
50%
75%
2.8750 6.5000 26.8275
> quantile(x, prob=c(0.25,0.5,
25%
50%
75%
2.78 6.50 31.75
> quantile(x, prob=c(0.25,0.5,
25%
50%
75%
6
0.75), type=4)
0.75), type=5)
0.75), type=6)
0.75), type=7)
2.970
4
6.500 21.905
Contraste de χ2 de Pearson de bondad de ajuste
Una compañia que hace tractores toma una muestra diaria de 4 tractores para
una inspección de la calidad de su producto. El número de tractores que necesitaban algún ajuste se tomó durante 200 dı́as que dio como resultado la siguiente
tabla. Contrastar si el model binomial con p = 0.1 es apropiado.
N. necesitando ajustes/dı́a (xi )
0
1
2
3
4
Total
N. de dı́as (oi )
102
78
19
1
0
200
pi = P (X = xi ) si X ∼Bin(4, 0.1)
Frecuencia esperada (ei )
0.6561
131.22
0.2916
58.32
0.0486
9.72
0.0036
0.72
0.0001
0.02
1
200
El problema es que las clases 3 y 4 tienen menos de 5 elementos cada una.
Ası́ que las agrupamos con la clase 2 y la tabla queda
N. necesitando ajustes/dı́a (xi )
0
1
2, 3 y 4
Total
N. de dı́as (oi )
102
78
20
200
pi = P (X = xi ) si X ∼ Bin(4, 0.1)
Frecuencia esperada (ei )
0.6561
131.22
0.2916
58.32
0.0523
10.46
1
200
(oi −ei )2
ei
6.51
6.64
8.70
21.85
> o.i<-c(102,78,20)
> p.i<-c(0.6561,0.2916
+ )
> pbinom(2, 4, 0.1, lower.tail=FALSE)
[1] 0.0037
> pbinom(1, 4, 0.1, lower.tail=FALSE)
[1] 0.0523
> p.i<-c(0.6561,0.2916, 0.0523)
> chisq.test(x=o.i, p=p.i)
Chi-squared test for given probabilities
data: o.i
X-squared = 21.8486, df = 2, p-value = 1.802e-05
7
5
Contraste de Kolmogorov–Smirnov de bondad de ajuste
Contrastar si la muestera siguiente de duraciones de vida puede suponerse exporencial:
16, 8, 10, 12, 6, 10, 20, 7, 2, 24
x
Por lo tanto F (x) = 1 − e− x̄ donde x̄ = 11.50. Construimos una tabla con
las discrepancias para cada valor de la muestra.
David, el ks.test de R no parece funcionar bien. Para resolver el
problema he hecho lo siguiente y el output no tiene sentido. Puedes
hecharle un vistazo y ver si a encuentras la forma, gracias
> x<-c(16, 8, 10,12,6,10,20,7,2,24)
> y<-rexp(50, mean(x))
> ks.test(x,y)
Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: x and y
D = 1, p-value = 1.156e-07
alternative hypothesis: two-sided
Warning message:
cannot compute correct p-values with ties in: ks.test(x, y)
> mean(x)
[1] 11.5
> ks.test(x,"pexp", rate=mean(x))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: x
D = 1, p-value = 4.122e-09
alternative hypothesis: two-sided
6
Contrastes de normalidad
> x<-c(20,22,24,30,31,32,38)
> shapiro.test(x)
8
Shapiro-Wilk normality test
data:
x W = 0.9478, p-value = 0.7096
Esta muestra es pequeña, en general el test de Kolmogorov-Smirnov-Llliefords
no es tan eficiente. Vamos a ver los resultados.
> x<-c(20,22,24,30,31,32,38)
> mean(x)
[1] 28.14286
> var(x)
[1] 40.80952
> sd(x)
[1] 6.388233
> help.search("Kolmogorov-Smirnov")
> ?ks.test
> ks.test(x, "pnorm",mean=mean(x), sd=sd(x))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: x
D = 0.1858, p-value = 0.9345
alternative hypothesis: two-sided
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