2.2 Triángulos Oblicuángulos En esta unidad también es importante

2.2
Triángulos Oblicuángulos
En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un
triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.
Dependiendo de la información que se tiene en el problema, se puede distinguir cuatro casos
importantes:
•
•
•
•
En el Caso 1 (LAL), se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En este
caso existe siempre una solución única.
En el caso 2 (ALA), Se conoce dos ángulos y un lado, en este tipo de problemas siempre
encontramos una solución única.
En el caso 3 (LLL), Se conocen los tres lados. Tiene solución única.
En el caso 4 (LLA), Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este caso
se llama caso ambiguo, ya que puede tener una o dos o ninguna solución.
Para resolver este tipo de problemas, existe una herramienta muy importante llamada Ley de
Seno y Ley de Cosenos.
2.2.1 Ley de los senos
Antes de definir la ley de Seno y Coseno es importantísimo recordar que:
Las definiciones de seno, coseno y tangente sólo son aplicables a TRIANGULOS
RECTÀNGULOS. Pues sólo en estos casos es posible hablar de catetos e hipotenusa
La ley de los Senos dice que en todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos. O sea:
2.2.1.1 Demostración de la Ley de los Senos
Para entender la proporción de la Ley de los Senos, se parte de un triángulo cualquiera ABC,
C
como se muestra en la figura 13
b
a
Figura 13 Oblicuángulos
A
B
c
El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un triangulo rectángulo. Quedando como la Figura 14
C
b
a
Figura 14 triángulos rectángulos
A
Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que
B
D
c
El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que
Con las dos ecuaciones se forman dos ecuaciones con dos incógnitas y se soluciona por sistema
de ecuaciones simultáneas.
Utilizando el método de igualación, se tiene
De la ecuación 1
De la ecuación 2
CD=SenA*b
CD=senB*a
Igualando ambas ecuaciones, se tiene:
b SenA=a senB.
La ecuación anterior se puede expresar:
Para la razón de c con SenC, se traza otra de las alturas del triangulo como en la figura 15
C
P
b
figura 15 –demostración Ley de senos
a
A
Como el triangulo APC es un triangulo rectángulo, se tiene que
B
c
Con las dos ecuaciones se forma dos ecuaciones con dos incógnitas y se solucionan por sistema
de ecuaciones simultáneas.
Utilizando el método de igualación, se tiene
De la ecuación 1
De la ecuación 2
AP=SenC*b
AP=senB*c
Igualando ambas ecuaciones, se tiene:
La ecuación anterior se puede expresar:
Por último se conectan las igualdades 1 y 2
2.2.1.2 Aplicación de la ley de los Senos
Se aplica dependiendo de los datos que se tenga en el problema:
2.2.1.2.1
Se conoce dos ángulos y un lado (A-L-A)
Para resolver el ejercicio se halla la medida del tercer ángulo teniendo en cuenta que la suma de
los tres ángulos internos mide 180º y aplicando la ley de los Senos se halla los otros lados.
Ejemplo 8:
Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:
A= 45º
B= 60º
c= 20m
Solución:
Llevando los datos a la figura 16, se tiene:
figura 16-ejemplo 8
Como se tiene dos ángulos y un lado, se aplica la Ley de los Senos:
Para hallar el angulo C,
C=180-45-60
C=75º
Para hallar el lado “a”, se utiliza la relación que contiene al lado a y la relación que contiene el
lado “c” ya que se conoce el valor. O sea
Reemplazando,
Para hallar el lado b, se utiliza la relación que contiene al lado b y cualquiera de las dos relaciones
ya que se conoce el valor de todos los ángulos y el valor de dos lados.
2.2.1.2.2
Se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)
Este es el caso más complicado ya que su resultado puede tener una o dos o ninguna solución
para solucionarlo se siguen los siguientes pasos:
Se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan; de ahí se concluye
si la solución es única o doble o sin solución.
Después de encontrar el segundo ángulo, el tercero se halla por la diferencia de la suma de ellos
dos con respecto a 180º.
Para hallar los lados, se procede como el caso anterior (A-L-A)
Ejemplo 9:
Completar los datos del triangulo si se tienen los siguientes datos:
A= 67º
c= 125cm
a=100cm
Solución:
C
Llevando los datos a la figura 17 se tiene:
b
Figura 17ejemplo 9
A
a
45o
60o
B
c=20m
Como se tiene dos lados y un ángulo, se utiliza la ley de los Senos para encontrar uno de los dos
ángulos que faltan; de ahí se concluye si la solución es única o doble o sin solución.
Se tienen los datos a SenA, a y c se puede despejar al ángulo C.
Reemplazando los valores conocidos, se tiene
Se sabe que la función seno puede tomar valores entre -1 y 1; esto quiere decir que no puede ser
mayor de 1. Por lo tanto, no tiene solución ya que SenC=1.1506 >1.
Ejemplo 10:
Completar los datos del triángulo de la figura 18:
C
figura 18 ejemplo 10
Solución:
b
a=10m
30o
A
B
c=15 m
Los datos que se tienen son: SenA, (ya que se conoce el valor del àngulo), los valores “a” y “c”.
para despejar el ángulo C.
C , pued e tom ar dos v alores diferentes :
ò
… … … … … … … … … … … … … … … … ..(P O R Q U E ?)
Ahora para hallar los otros datos se tiene en cuenta los dos valores del ángulo C.
 Con
 Con
Ejemplo 11:
Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el
ángulo de elevación es de 45º. Si se observa desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación
es de 60º.
a.
b.
Calcular la distancia mas corta entre las azoteas de las dos construcciones.
Calcular la altura del rascacielos.
C
Solución
Llevando los datos a la figura 19
B
45
D
50
figura 19-ejemplo 11
•
•
•
•
•
60
A
E
La distancia mas corta está en el lado del triángulo BC; para hallar su longitud o distancia,
se debe conocer, el valor de los ángulos A, B y C.
El ángulo A, por el complemento del angulo de 60º, es de 30º.
El ángulo B, es igual a 45+90 =135º
El ángulo C, por la suma de los ángulos internos es igual:
C=180-135-30=15º.
Para hallar la distancia AB, se utiliza la ley de Senos:
L a d istan cia m as co rta en tre las az o teas es d e 96.5 9 p ies
•
Para hallar la altura del rascacielos, se tiene en cuenta, la altura del lado DC. Si se analiza
la gráfica se ve que entre vértices BCD, se forma un triangulo rectángulo con el lado DC,
como cateto opuesto del angulo de 45º y la longitud del lado (BC) , es la hipotenusa del
triangulo rectángulo.
•
Al tener un triangulo rectángulo se utiliza las funciones trigonométricas para hallar la altura
DC. O sea
•
A la altura DC, se le debe sumar la altura ED, para hallar la altura del rascacielos (EC).
Pero si se observa la gráfica, se ve que la altura ED es la misma altura del edificio AB;
por lo tanto la altura ED es igual a 50 pies. La altura del rascacielos es igual a:
Observación:
L a altu ra d el rascacielo s es d e 1 18.3 p ies.
Los enunciados de los ejercicios 10 y 11, los tomé de la página "Precálculo" de la Escuela Colombiana de Ingeniería (ECI) "Julio Garavito".
2.2.2 Ley de los Cosenos
Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos; relaciona el tercer
lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble productos de estos lados por el coseno
del ángulo que forman. Matematizando el enunciado o ley, queda:
2.2.2.1 Demostración de la Ley de los Cosenos para uno de sus lados
La demostración es similar para los tres lados; en este módulo se demostrará solamente para el
lado a.
Para entender Ley de los Cosenos, se parte de un triángulo cualquiera ABC, como se muestra en
la figura 20.
C
b
Figura 20-Ley de cosenos
a
A
B
c
El triangulo de la figura anterior, se puede llevar a dos triángulos donde cada uno forme un trianC
gulo rectángulo. Quedando como la figura 21
la figura 21-ley de cosenos-
b
A
a
h
x
c-x
B
D
c
•
Como el triangulo ADC es un triangulo rectángulo, se tiene que
•
El triangulo CDB también es un triangulo rectángulo; de ahí que
•
Las dos ecuaciones se resuelven por igualación (Sistemas de ecuaciones simultáneas)
•
Resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de
la ecuación queda:
……………………
•
En el triangulo ADC se cumple que
Reemplazando el valor de x en la ecuación 3, se tiene
2.2.2.2 Aplicación de la Ley de los Cosenos.
La ley de Cosenos se aplica cuando:
2.2.2.2.1
Se conoce dos lados y el àngulo entre ellos (L-A-L)
Para este caso se halla el tercer lado y uno de los ángulos utilizando la ley de Cosenos y para
hallar el tercer àngulo se hace por la suma de los ángulos internos o por la ley de cosenos.
Ejemplo 12
Resolver el triangulo ABC de la siguiente figura 22
A
40o
Figura 22-ejemplo 12
Solución
Para hallar el valor de a,
15
8
B
a
C
Con los tres lados, se puede hallar los otros ángulos utilizando la de Coseno o por la Ley de
senos. Utilizando la ley de cosenos,
Despejando coseno de B, se tiene
Para hallar el angulo C, se utiliza la regla de la suma de los ángulos internos.
2.2.2.2.2. Se conoce los tres lados (L-L-L)
Para este caso se halla el primer angulo utilizando la ley de Cosenos; con un àngulo conocido,
se puede utilizar la ley de Senos o Cosenos para hallar el segundo angulo. Para hallar el tercer
àngulo se puede hallar por otra ley se seno o coseno o por la suma de los ángulos internos.
Ejemplo 13
Resolver el triángulo de datos: a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.
Hallar el àngulo B, utilizando la ley de Cosenos.
Para hallar el àngulo A, se puede por la Ley de Senos o Cosenos. Utilizando la ley de cosenos,
El Angulo C se halla por la suma de los ángulos internos de un triangulo.
Ejemplo 14
Determinar la distancia que separa los cabos ubicados en los puntos P y Q sabiendo que la
distancia de A hasta P es de 900m, la distancia de A hasta Q es de 1700 m y el angulo PAQ es
de 50º.
Solución
Llevando los resultados a la figura 23
figura 23 ejemplo 14,
P
900m
Q
60o
1700m
A
De acuerdo a los datos y a la figura 2.23, se relaciona la figura con un triángulo no rectángulo
(figura 24).
La información que se tiene es dos lados y el angulo entre ellos.
a
P
(figura 2.24-ejemplo 14).
q=900m
Q
p= 1700m
60o
A
Para hallar la distancia PQ, se utiliza la Ley de cosenos donde se tiene que hallar el lado “a” de
la figura anterior.
L a d is ta nc ia q ue s e p a ra lo s c ab os ub ic ad os e n lo s p unto s P y Q e s d e 1 47 3 .1 m .
Ejemplo 15
Un alambre de 60 pulgadas es doblado en forma de triángulo. Si dos de los lados del triángulo
miden 20 pulgadas y 24 pulgadas, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?
Solución
Llevando los datos a la figura 25), se tiene:
Figura 25-ejemplo 15
-
A
?
24
20
El lado c = 20.
B
16
C
El lado b =24
Como el alambre tiene de largo 60 pulgadas, el lado a tiene 16 pulgadas.
Como se conoce los tres lados del triángulo, se puede hallar el àngulo C que es el angulo
que se forma entre ellos.
E l àngu lo q ue se form a entre los la do s b y c es de 41.4 1º