INTEGRALES M´ULTIPLES PARA FUNCIONES f : R 2 → R

INTEGRALES MÚLTIPLES PARA FUNCIONES
f : R2 → R
Definición 1. Una región R ⊂ R2 es un subconjunto compacto tal que
tomando cuadrı́culas de R2 con áreas chicas, la difernecia entre el área total de aquellos elementos de la cuadrı́cula contenidos en R y aquellos que
intersectn a R puede hacerse tan pequeña como se requiera.
Teorema 1. Sea f : R → R una región. Entonces existe I ∈ R que satisface
que para todo > 0 existe δ > 0 tal que para toda cuadrı́cula Rij de R2 con
áreaRij < δ es se tiene que
X
f (xij )áreaRij − I < ,
Rij ⊂R
donde xij es cualquier elemento de Rij .
¨
Este I se denota
f (x, y)dxdy
R
Teorema 2 (Teorema de Fubini). Si R = [a, b] × [c, d] y f es continua,
entonces
¨
ˆ b ˆ d
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx.
R
a
c
Cambio de variable en integrales múltiples
Teorema 3. Sea f : R2 → R continua y Φ : U → R2 una aplicación
inyectiva con DΦ(u, v) un isomorfismo lineal. Si R es una región contenida
en U, entonces
¨
¨
f (x, y)dxdy =
f ◦ Φ(u, v)JΦ (u, v)dudv
Φ(R)
R
donde
JΦ (u, v) = |detDΦ(u, v)|
Ejemplo 1. Sea R = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 1} y f (x, y) = x2 . Entonces
si tomamos
Φ : R2
to R2
(r, θ) 7→ (r cos θ, r sen θ)
1
Entonces estamos (casi, ¿por qué “casi¿) en las condiciones del teorema 3
con Φ−1 (R) = {(r, θ) ; 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Entonces
JΦ (r, θ) = r
y
ˆ 1 ˆ
¨
2
2
(r cos θ)rdθ dr
f (x, y)dxdy =
0
R
2π
0
ˆ
1
r3 dr =
= π
0
π
4
Ejemplo 2. Cambio a lineales
Integrales múltiples para funciones f : Rn → R
Los teoremas para integrales de funciones de dos variables se extienden de
manera natural a integrales de funciones de n variables:
Teorema 4 (Teorema de Fubini). Sea f : Rn → R continua y R = [a1 , b1 ] ×
· · · × [an , bn ], entonces
ˆ
¨
ˆ b1 ˆ bn
···
f (x1 , · · · , xn )dx1 , · · · , dxn =
f (x1 , · · · , xn )dxn · · · dx1 .
···
R
a1
an
Teorema 5 (Cambio de variable). Sea f : Rn → R continua, Φ : Rn → Rn ,
y R es una región contenida en Rn . Si Φ es una aplicación inyectiva con
DΦ(u1 , · · · , un ) un isomorfismo lineal para (u1 , · · · , un ) ∈ R. Entonces
ˆ
¨
ˆ
¨
···
f (x1 , · · · , xn )dx1 , · · · , dxn = · · ·
f ◦Φ(u1 , · · · , un )JΦ (u1 , · · · , un )du1 · · · dun
Φ(R)
R
donde
JΦ (u1 , · · · , un ) = |detDΦ(u1 , · · · , un )| .
Ejemplo 3 (Cambio a coordenadas cilindricas). La función que da las coordenadas cilı́ndricas en R3 es
Φ : U ⊂ R3 to R3
(r, θ, z) →
7
(r cos θ, r sen θ, z)
2
con r ≥ 0. Se tiene que el jacobiano está dado por
cos θ −r sen θ 0 sen θ r cos θ 0 = r
0
0
1 donde U = {(r, θ, z) ; r > 0, 0 < θ < 2π, z ∈ R}. Al igual que el caso de
2 variables hay un problema cuando en la frontera pero esta dificultad se
resuelve fácilmente.
Ejemplo 4 (Cambio a coordenadas esfericas). En este caso
Φ : U ⊂ R3 to R3
(r, θ, φ) →
7
(r cos θ sen φ, r sen θ sen φ, r cos φ)
donde U = {(r, θ, φ) ; r > 0, 0 < θ < 2π, 0 < φ
jacobiano está dado por
cos θ sen φ −r sen θ sen φ r cos θ cos φ
sen θ sen φ r cos θ sen φ r sen θ cos φ
cos φ
0
−r sen φ
3
< π}. Se tiene que el
= r2 sen φ.