Curva de Rendimientos Para TES B Mediante Splines Cúbicos

CALCULO DE LAS TASAS DE RENDIMIENTO DE LOS TITULOS DE
TESORERIA (TES B) EN COLOMBIA MEDIANTE SPLINES CUBICOS
JORGE ARMANDO BEDOYA CADAVID
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
AREA DE ECONOMIA Y FINANZAS
PEREIRA
2008
CALCULO DE LAS TASAS DE RENDIMIENTO DE LOS TITULOS DE
TESORERIA (TES B) EN COLOMBIA MEDIANTE SPLINES CUBICOS
JORGE ARMANDO BEDOYA CADAVID
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO
INDUSTRIAL
DIRECTOR
INGENIERO EDUARDO ARTURO CRUZ TREJOS
MAGISTER EN ADMINISTRACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
AREA DE ECONOMIA Y FINANZAS
PEREIRA
Nota de Aceptación:
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Firma jurado
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Firma jurado
Pereira, 23 de junio de 2008
CONTENIDO
Pág.
AGRADECIMIENTOS
RESUMEN
ABSTRACT
1. INTRODUCCION
1.1 Antecedentes
1.2 Planteamiento del problema
1.2.1 Cobertura del estudio
1.2.2 Situación del problema
1.2.3 Importancia de la investigación
1.2.4 Formulación del problema
1.2.5 Sistematización del problema a investigar
1.3 Justificación
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivos generales
1.4.2 Objetivos específicos
1.5 Narrativa por capítulos
1.6 Glosario de términos
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2. MARCO TEORICO
2.1 Los activos financieros de renta fija
2.2 Proceso de emisión de los títulos de renta fija en Colombia
2.3 Títulos de renta fija en Colombia
2.4 Estructura de Términos de las tasas de interés
2.5 Calculo del precio de los títulos de tesorería clase b (TES B)
2.6 Tasas de interés Spot y futuro
2.7 Interpolación mediante splines cúbicos
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3. METODOLOGIA PROPUESTA
3.1 Tipo de estudio
3.1.1 Recorrido general por el mercado de renta fija en
Colombia y revisión de los conceptos fundamentales
para el desarrollo del estudio.
3.1.2 Consulta de las captaciones de TES B subastas y
underwriting a través del misterio de hacienda y crédito
público.
3.1.3 Selección de una muestra de TES B subastados en
diferentes fechas para realizar la estimación de las tasas
de rendimiento.
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63
63
64
64
Pág.
3.1.4 Realizar un grafico de los rendimientos de los títulos
de tesorería TES B contra su fecha de vencimiento.
3.1.5 Estudio de la interpolación mediante splines cúbicos
a través de la Internet, libros de métodos numéricos
y publicaciones en revistas.
3.1.6 Interpolar las tasas de rendimiento con splines cúbicos
3.1.7 Calculo del precio teórico de los TES B
3.1.8 Calculo de las tasas forward y spot teóricas mediante
el método bootstrap.
3.1.9 Presentar el informe el final
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65
65
65
65
4. DESARROLLO DE LA PROPUESTA
4.1 Planteamiento de modelos
4.2 Solución de ecuaciones y grafico de las curvas de rendimiento
4.3 Calculo del precio teórico de los TES B, calculo de la tasa spot
teórica y la tasa forward teórica.
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5. ANALISIS DE RESULTADOS
96
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
104
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
106
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1 Relación de la calificación de la deuda nacional emitida
por la República de Colombia.
Tabla 2 Escala de Calificación de Riesgo
Tabla 3 Puntos o Nodos para la interpolación mediante splines cúbicos
Tabla 4 Precio teórico de los TES B subastados el 13-05-05
Tabla 5 Tasas spot teóricas de los TES B subastados el 13-05-05
Tabla 6 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B
subastados el 13-05-05
Tabla 7 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B
subastados el 11-07-07
Tabla 8 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B
subastados el 13-05-05
Tabla 9 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B
subastados el 11-07-07
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102
LISTA DE GRÁFICOS
Pág.
Gráfico 1 Proceso de emisión de Bonos
Gráfico 2 Formas típicas de curva de rendimientos
Gráfico 3 Tasas spot y Tasas Forward
Gráfico 4 Interpolación con splines cúbicos
Gráfico 5 Vencimiento (años) de los TES B Vs. Rendimiento
Gráfico 6 Construcción de la curva de rendimiento inicial de los
TES B subastados el 13-05-05
Gráfico 7 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados
el 13-05-05
Gráfico 8 Construcción de la curva de rendimiento estabilizada
de los TES B subastados el 13-05-05
Gráfico 9 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 13-05-05
Gráfico 10 Construcción de la curva de rendimiento inicial de los TES B
subastados el 11-07-07
Gráfico 11 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados
el 11-07-07
Gráfico 12 Construcción de la curva de rendimiento estabilizada de los
TES B subastados el 11-07-07
Gráfico 13 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 11-07-07
Gráfico 14 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados
el 13-05-05
Gráfico 15 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 13-05-05
Gráfico 16 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados
el 11-07-07
Gráfico 17 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 11-07-07
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101
LISTA DE ANEXOS
Pág.
Anexo A
Anexo B
Anexo C
Anexo D
Anexo E
Anexo F
Anexo G
Anexo H
Anexo I
Fragmento (1) de las Captaciones de TES B 2005
Fragmento (2) de las Captaciones de TES B 2005
Curva de rendimiento de los TES B subastados el 26-10-2005
Fragmento de las Captaciones de TES B 2006
Curva de rendimiento de los TES B subastados el 08-02-06
Fragmento de las Captaciones de TES B 2007
Curva de rendimiento de los TES B subastados el 22-08-07
Fragmento de las Captaciones de TES B 2008
Curva de rendimiento de los TES B subastados el 28-01-2008
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115
AGRADECIMIENTOS
Han sido muchas las personas que directa o indirectamente han colaborado en la
realización de esta investigación, pero antes de mencionarlas agradezco primero a
Dios por guiarme en todas mis decisiones y por poner a esas personas en mi
camino. El agradecimiento mas especial es a mi madre y hermana que me han
acompañado, han sido un apoyo incondicional en todos los momentos de mi vida,
han sido mi principal fuente de alegría, confort y sobre todo por que me han
ensañado los valores que un buen hombre debe poseer, gracias a mi director de
tesis Eduardo Cruz por la motivación, el apoyo, lo comprometido que estuvo con
este trabajo y por inculcarme como nadie el amor por el área financiera, gracias a
la empresa donde trabaje grupoJAD LTDA, por regalarme mucho de su tiempo en
la realización de este trabajo, gracias a Andrés Hurtado un gran matemático y
programador por compartir conmigo un poco de su conocimiento, gracias a mi
novia Silvia por su preocupación, cariño y por darme muchos empujoncitos y
gracias a la Universidad Tecnológica de Pereira y la facultad de Ingeniería
Industrial por brindarme la educación de los mejores ingenieros.
RESUMEN
Uno de los instrumentos fundamentales que sirven como fuente de información
financiera para la toma de decisiones en proyectos e inversiones es la estructura
de tasas de interés, la cual trata de medir la relación entre el rendimiento al
vencimiento de activos financieros, de la misma calidad crediticia y sus respectivos
periodos de vencimiento, generando la curva de rendimientos.
El objetivo del presente estudio es obtener la estructura temporal de los tipos de
interés de los activos de renta fija específicamente para los títulos de tesorería
clase B (TES B) y calcular la curva de rendimiento mediante splines cúbicos. Sin
embargo no se seguirá la metodología empleada por algún autor específico,
debido a que algunas características y condiciones en los mercados de renta fija
de otros países son muy diferentes al colombiano. En el presente trabajo se
plantean dos modelos con las condiciones esenciales de una función spline para
el cálculo de la curva de rendimientos de una muestra de títulos de tesorería (Tes
B) que se han negociado recientemente en el mercado Colombiano, donde se
pueda verificar la potencialidad de la metodología propuesta. Cabe notar que esta
metodología puede extenderse de igual forma para calcular las curvas de
rendimientos de títulos de deuda con la misma calidad crediticia.
También se calcula a partir de la representación grafica de la estructura de tipos
de interés, las tasas de interés al contado (spot) teóricas y las tasas de interés a
plazo (forward) teóricas, para que permitan a los agentes del mercado tomar
decisiones más acertadas sobre el tiempo propicio para asumir deuda, o bien,
posponerla.
Palabras Clave
Títulos de Tesorería clase B (TES B)
Estructura Temporal de los Tipos de Interés
Curva de rendimiento
Tasa spot
Tasa Forward
Splines cúbicos
Bootstrap
ABSTRACT
One of the main instruments that works as financial information source to make
decisions in projects and investments, is the term structure of interest rates, witch
tries to measure the relation between the yield to maturity of financial assets, of the
same credit quality and its respective maturity period, creating the yield curve or
interest rate.
This project’s objective is to get the term structure of interest rates, specifically for
treasury tittles class b (TES B) and calculate the yield curve intervening cubic
splines. However a methodology for an specific author won’t be followed, due to
that some characteristics, and conditions in the set rent markets from other
countries are very different to Colombian ones. That is why two models were
planned with the main conditions of a spline function to calculate the yield curve of
a treasury title sample (TES B) that has been negotiated recently in the Colombian
market where can be confirmed the proposed methodology potential. This
methodology can be extended in the same way to calculate the yield curves of the
debt tittles with equal credit quality.
Also it will be calculated from the graphic representation of the term structure of
interest rates, theoretical value of the spot interest rates and forward interest rates
that allow the market agents to make the correct decisions about the propitious
time to assume the debt or postpone it.
Key words
Treasury tittles class b (TES B)
Term structure of interest rates
Yield Curve
Spot Rate
Forward Rate
Cubic splines
Bootstrap
1. INTRODUCCION
En este capitulo se conocerán las razones fundamentales por las cuales se realiza
este trabajo, se encontraran los antecedentes del problema a investigar, la
solución a este problema indagando sobre la situación actual del problema,
estableciendo la importancia de la investigación y la formulación del problema para
luego sistematizarlo, se presentara la justificación de este trabajo, los objetivos
generales y específicos, como se hará la narrativa por capítulos y finalmente se
incluirá un glosario de términos básicos para que las personas que estudien este
trabajo tengan una mejor lectura y comprensión del mismo.
1.1
ANTECEDENTES
En el caso de instrumentos de deuda, el factor de riesgo más importante es la tasa
de interés, de ahí radica la importancia de una buena estimación de las curvas de
rendimiento donde se puedan inferir las tasas de interés esperadas para diferentes
períodos de maduración. Los modelos para el cálculo de esta estructura temporal
de tipos de interés han experimentado una profunda revisión en las últimas
décadas, lo que ha dado lugar a la coexistencia de numerosos enfoques para la
gestión de carteras de renta fija. McCulloch (1971, 1975), fue uno de los primeros
en combinar técnicas econometricas con la teoría matemática de aproximación de
funciones, para la estimación de la curva de rendimientos en activos de renta fija,
en sus estudios propuso modelar la estructura de rendimientos como una función
cubic spline y estimar los coeficientes mediante regresiones lineales. Siguiendo
esta metodología muchos autores han propuesto diferentes modelos que emplean
distintas funciones de aproximación, Posteriormente, Vasicek & Fong (1982), Shea
(1984, 1985), Jordan (1984), Chambers (1984), Heath (1992) y Coleman (1992)
extendieron la técnica de estimación de McCulloch al introducir el efecto de los
impuestos sobre el precio de los bonos para analizar las diferentes
parametrizaciones de la función; Nelson y Siegel (1987) y posteriormente Bliss
(1993), desarrollaron formas funcionales con cuatro parámetros, a diferencia de
los trabajos de McCulloch (1975) que incorporaban hasta dieciocho parámetros.
Este modelo forma parte de las técnicas de interpolación no lineal que incorpora
funciones cubic spline para modelar la tasa de descuento a partir del precio de
instrumentos de deuda. Svensson (1994) propone extender el método de Nelson y
Siegel de manera de generar curvas forward con mayor flexibilidad al incorporar
parámetros al modelo.
12
Una de las desventajas de la función cubic spline estimada por McCulloch (1975)
es que tiende a ser muy inestable lo que se traduce en estructuras de tasas de
interés oscilantes las cuales son poco creíbles en la práctica. Esto dio origen a las
estimaciones de Fisher, Nychka y Zervos (1994) que utilizan B-splines (splines
bicúbicos) de manera de darle mayor estabilidad al método de estimación. Esta
formulación también genera splines cúbicos, idénticos a los generados por el
método de McCulloch (1975), pero a su vez permite resumir en menos parámetros
la función en una formulación numéricamente estable, que busca un buen ajuste
en los precios usando splines pero que a su vez controlan la suavidad de las
curvas generadas.
Muchos han sido los autores que han propuesto, con mayor o menor éxito,
diferentes metodologías y modelos de estimación, sin embargo no existe
consenso a nivel académico ni profesional, sobre cuál es el modelo válido para
establecer la curva de tipos de interés.
En el año 2001 y 2002 se desarrollaron en Colombia trabajos relacionados con el
estudio de metodologías que permitieran estimar la curva de rendimientos spot,
con la colaboración estrecha entre la bolsa de valores de Colombia, el banco de la
republica, la superintendencia de valores y bancaria, y el ministerio de hacienda y
crédito público. Las metodologías estudiadas fueron las de Nelson y Siegel (1987)
y Fisher, Nychka y Zervos (1994)
En este trabajo se profundizara en la utilización de splines cúbicos que es uno de
los modelos que tienen mayor aceptación en el mundo para el calculo de la curva
de rendimiento (yield curve), sin embargo se planteara una metodología diferente
a la de los autores previamente mencionados; para que de acuerdo a las
condiciones particulares de cada instrumento de deuda se pueda modificar y
adaptar el modelo spline a las condiciones de cada mercado.
1.2
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La curva de rendimientos (yield curve) para los títulos de tesorería clase B (TESB)
no es directamente observable en el mercado Colombiano, ya que no cuenta con
suficientes títulos que satisfagan todos los plazos, por lo que es necesario
estimarla. Una función cubic spline permite valorizar instrumentos de deuda con
la misma precisión que otras formas funcionales. Un inconveniente que se
presenta en la estimación de una curva spot, es cuando el número de puntos o
nodos se incrementa por que se generan fuertes oscilaciones en la curva al
valorizar instrumentos de mayor duración. Bajo un escenario libre de riesgo, la
estructura de plazos incorpora información tanto de los precios actuales como de
los precios esperados futuros de las emisiones. En este sentido, oscilaciones en la
13
curva implican fluctuaciones en las expectativas de precios, y por consiguiente en
las tasas de interés futuras esperadas. Para solucionar el problema de las
oscilaciones, Fisher, Nychka y Zervos (1995) presentó una extensión a esta
técnica. En particular, introdujo una restricción adicional o penalidad λ(t) en la
función objetivo para controlar las oscilaciones de la curva. En este sentido,
propone una función cubic spline suavizada para reducir el comportamiento
oscilatorio de los instrumentos de maduración de largo plazo al mismo tiempo que
mantiene la flexibilidad en los instrumentos de maduración de corto plazo. Sin
embargo es una curva de rendimientos (yield curve) la que se va a estimar para
los títulos de tesorería TES B y no una curva spot, ya que estos títulos de tesorería
subastados no se emiten con cero cupón, sino que pagan principal mas cupones
generalmente a plazos de 1, 3, 5, 6 y 10 años y en determinadas ocasiones hasta
de 15 años, esto hace que el numero de nodos sea pequeño y por consiguiente
que las oscilaciones de la curva no sean tan fuertes.
Para controlar estas pequeñas oscilaciones se experimentaran diferentes
condiciones de frontera de modo que estabilicen la curva en los tramos mas largos
y una vez obtenida la curva de rendimientos se utilizara la técnica del
bootstrapping para obtener las tasas spot teóricas y las tasas forward implicitas en
diferentes plazos que permitan dar una mejor interpretación a la curva.
1.2.1.
COBERTURA DEL ESTUDIO
El estudio propuesto se enmarca en la Dirección General de Crédito Público y del
Tesoro Nacional del Ministerio de Hacienda y Crédito Público con las captaciones
de TES clase B subastas y underwriting.
1.2.2.
SITUACIÓN PROBLEMA.
El inversionista de hoy debe hacer uso de diferentes herramientas y metodologías
para crear no sólo métodos más eficientes y productivos sino también para lograr
un mayor grado de certidumbre en sus decisiones; más concretamente con todo lo
relacionado a las decisiones financieras. Se puede afirmar entonces, que día a
día las decisiones financieras de inversión y financiación toman mayor importancia
para los inversionistas y las empresas publicas y privadas; cada uno de estos
agentes del mercado se enfrentan diariamente al gran dilema en qué invertir?,
cuánto invertir?, cuál será el riesgo al que está expuesta la inversión?, y cuál será
la rentabilidad obtenida?
14
1.2.3.
IMPORTANCIA DE LA INVESTIGACIÓN.
La investigación pretende proponer una metodología de inversión que resuelva las
preguntas enunciadas en el párrafo anterior para los Títulos de Tesorería clase B
(TES B) a través de la aplicación de splines cúbicos en el calculo de la estructura
temporal de los tipos de interés y obtener tasas spot teóricas y forward teóricas
que permitan decisiones muy acertadas a lo hora de invertir en los TES.
1.2.4.
FORMULACION DEL PROBLEMA
¿Que metodología se podría utilizar para estimar de forma adecuada los retornos
y rendimientos de un portafolio de inversión en renta fija en Colombia de manera
que los inversionistas tengan una excelente herramienta de decisión?
1.2.5.
SISTEMATIZACION DEL PROBLEMA A INVESTIGAR
•
¿Cómo se determinan los precios de los Títulos de Tesorería (Tes B)
negociados en el mercado?
•
¿Como funciona la interpolación mediante esplines cúbicos?
•
¿Cómo proyectar las tasas de rendimiento del mercado de títulos de
tesorería clase b (TES B) mediante los splines cúbicos?
15
1.3
JUSTIFICACION
La estimación de la curva de Rendimientos es de suma importancia para la
optimización financiera ya que permiten valorizar portafolios de renta fija y aplicar
modelos internos de valoración de riesgos.
En la actualidad, la curva de rendimientos se ha convertido en una herramienta
tradicional de análisis en los mercados de deuda en países desarrollados. Este
trabajo pretende demostrar que una adecuada estimación de la curva de
rendimientos será de suma utilidad en un mercado como el nuestro,
especialmente cuando se busca mayor eficiencia en las decisiones de inversión y
menores riesgos de manipulación de precios y uso de la información.
Los principales beneficios que traerá este trabajo se pueden resumir en cuatro:
1. Obtener una adecuada estructura de plazos de las tasas de interés.
2. Entender de que forma los cambios en las tasas de interés de corto plazo
afectan los niveles de las tasas de interés de largo plazo; esto es
especialmente importante si se toma en cuenta el efecto que tiene la política
monetaria sobre las primeras.
3. Proveer mejor información acerca de las expectativas de los participantes en
el mercado financiero, aspecto muy valioso para los encargados tanto de los
pronósticos de las principales variables macroeconómicas como de la
política monetaria.
4. Asignar los recursos escasos a través de los mercados financieros,
influenciando las decisiones de ahorro e inversión de los agentes
económicos.
16
1.4
OBJETIVOS
1.4.1.
OBJETIVO GENERAL
Modelar el proceso metodológico para calcular las tasas de rendimiento del
mercado de títulos de tesorería en Colombia.
1.4.2.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
•
Explicar la metodología para el cálculo de las tasas de rendimiento
proyectada del mercado de títulos de tesorería en Colombia.
•
Describir el del funcionamiento de los splines cúbicos y su aplicación en el
cálculo de las tasas de rendimiento
•
Determinar el precio en el mercado de los Títulos de Tesorería (Tes B) y
calcular su tasa spot y forward teóricas.
1.5.
NARRATIVA POR CAPITULOS
Este trabajo consta de seis capítulos: en el capitulo uno están incluidos los
antecedentes del problema, el planteamiento del problema, la justificación, los
objetivos de este trabajo y finalmente un glosario de términos; en el capitulo dos
se encontrara todo el marco teórico necesario para lograr los objetivos de este
trabajo; en el capitulo tres se plantea la metodología a seguir; en el capitulo cuatro
se desarrollaran los planteamientos propuestos usando los títulos tesorería clase b
subastados en pesos por el ministerio de hacienda y crédito publico; en el capitulo
cinco se mostraran y analizaran los resultados y finalmente en el capitulo seis se
presentan las conclusiones de este trabajo.
17
1.6.
GLOSARIO DE TERMINOS
Título o Valor: También llamado activo financiero, es un contrato que concede al
inversor el derecho a percibir un flujo de pagos periódicos en el futuro, a cambio
de entregar hoy una cantidad de dinero.
Emisión: Conjunto de títulos o valores, efectos de comercio, que se crean para
ponerlos en circulación. Acto de emitir dinero por el Banco Emisor o títulos cuando
se trata de una sociedad.
Emisor: Entidad oficial que emite papel moneda - Banco Emisor o Banco Central
Institución privada que pone en circulación títulos - valores, bien sea
representativos de propiedad, de deuda, de tradición o de participación.
Underwriting: Es una operación realizada a través de la Banca de Inversión
mediante la cual, sola u organizada en consorcio, se compromete a colocar una
emisión o parte de ella, para posterior reventa en el mercado. La operación de
underwriting se inicia con la asesoría al cliente y puede ser de varias clases según
el nivel de compromiso: en firme, garantizado o al mejor esfuerzo.
Underwriting al Mejor Esfuerzo: El intermediario se compromete con el emisor a
realizar sus esfuerzos a fin de colocar la inversión en el público inversionista a un
precio fijo dentro de un plazo determinado. En este caso, el agente intermediario
no está corriendo ningún riesgo por cuanto al ente emisor más bien le interesa la
experiencia que posee en este campo el agente intermediario y no su capacidad
financiera para absorber los títulos, en caso de que no puedan ser colocados.
Ganancias de una inversión luego de deducir todos los gastos.
Underwriting en Firme: El agente de colocación o intermediario suscribe o
adquiere la totalidad o parte de una emisión de valores, obligándose a ofrecerlos
al público inversionista, al precio que se hubiere establecido y durante un plazo
determinando. En el evento de que el intermediario no coloque los valores o
papeles, asume directamente el compromiso de adquisición.
Underwriting Garantizado: El agente de colocación o intermediario garantiza
ante el emisor de valores la colocación de los mismos dentro de un plazo
determinado al efecto, con el compromiso de adquirir el remanente no colocado en
dicho plazo.
Riesgo del Emisor: Es la capacidad o percepción que tiene el mercado de que
los emisores paguen sus títulos de deuda.
18
Calidad Crediticia: Grado de cumplimiento que el emisor tiene respecto de las
obligaciones contraídas con la emisión objeto de la calificación.
Fitch Ratings, Standard & Poor's y Moody's Investor Service: Son agencias de
calificación que operan en todo el mundo y se encargan de medir la solvencia de
los distintos emisores de renta fija. Si deciden bajar la calificación de un país se
produce una crisis de confianza en ese país ya que los inversores desconfían y
buscan otros países más solventes. Tienen por tanto mucho poder en el mercado.
TRADER: Persona que compra y vende acciones o títulos valores de manera
personal o a nombre de su firma y de terceros.
Activo de renta fija: Se trata de títulos emitidos por emisores públicos o privados,
que garantizan una determinada rentabilidad a lo largo de su vida. En estos casos
los más conocidos son las emisiones de deuda del Tesoro Público y las emisiones
de deuda de empresas privadas, habitualmente conocidos como pagarés u
obligaciones de empresa.
Mercado de renta fija: Es aquel en el que los valores que se transan pagan a su
tenedor una tasa de rendimiento preestablecida para su plazo de vigencia. Por
ejemplo: Bonos, certificados de depósito, etc.
Mercado Público de Valores: Conforman el mercado público de valores la
emisión, suscripción, intermediación y negociación de los documentos emitidos en
serie o en masa, respecto de los cuales se realice oferta pública, que otorguen a
sus titulares derechos de crédito, de participación y de tradición o representativos
de mercancías.
Mercado Primario: Se habla de mercado primario para referirse a la colocación
de títulos que se emiten o salen por primera vez al mercado. A éste recurren las
empresas y los inversionistas, para obtener recursos y para realizar sus
inversiones, respectivamente.
Mercado Secundario: Se refiere a la compra y venta de valores ya emitidos y en
circulación. Proporciona liquidez a los propietarios de títulos. Se realiza entre
inversionistas.
Inversión: Es la aplicación de recursos económicos al objetivo de obtener
ganancias en un determinado período.
Rentabilidad: Es la relación entre la utilidad proporcionada por un título y el
capital invertido en su adquisición.
19
Tasa interna de retorno ( T.I.R.): Tasa que iguala los flujos de ingresos y egresos
futuros de una inversión. Corresponde a la rentabilidad que obtendría un
inversionista de mantener el instrumento financiero hasta su extinción, bajo el
supuesto que reinvierte los flujos de ingresos a la misma tasa.
Tasa de Interés Libre de Riesgo: No presenta ningún riesgo para los
inversionistas. Un ejemplo de ella es la que otorgan en Colombia los Títulos de
Tesorería (TES) del Gobierno.
Rendimiento al vencimiento (YTM) Tasa de rendimiento que obtienen los
inversionistas si compran un bono a un precio especifico y lo conservan hasta su
vencimiento. (Supone que el emisor hace todos los pagos programados de
intereses y principal como prometió)
TES (Títulos de tesorería): Los títulos de tesorería creados en la ley 51 de 1990
son títulos de deuda pública interna emitidos por el Gobierno Nacional.
Existen dos clases de títulos: clase A y clase B. Los primeros fueron emitidos con
el objeto de sustituir la deuda contraída en las operaciones de mercado abierto
realizadas por el Banco de la República. Los segundos son emitidos por la
Tesorería General de la Nación (en pesos, en UVR´s - Unidades de Valor Real
Constante - o en pesos ligados a la TRM) y son subastados por el Banco de la
República. Se caracterizan por ser una de las mayores fuentes de financiación del
Gobierno. En la actualidad solamente se emiten los títulos de clase B.
El plazo se determina de acuerdo con las necesidades de regulación del mercado
monetario y de los requerimientos presupuestales o de tesorería, y fluctúa entre 1
y 10 años. El rendimiento de los títulos lo determina el Gobierno Nacional de
acuerdo con las tasas del mercado para el día de colocación de los mismos.
Moneda de Denominación: Moneda de cotización de precios de los fondos y con
la que se mide el valor de los activos de un fondo.
Tasa Representativa del Mercado: Es el valor del dólar y lo calcula diariamente
el Banco de la República, tomando el promedio del precio de las operaciones de
compra y venta de los dólares, realizadas por entidades financieras en las
principales ciudades del país.
Plazo de Maduración: Término establecido por el emisor para la redención de un
título valor en el cual se retorna el monto total invertido más el valor
correspondiente a los rendimientos obtenidos por la inversión a lo largo del
período.
20
Liquidez: Es la facilidad o dificultad para convertir mi inversión en dinero. Cada
activo tiene un grado de liquidez diferente e incluso entre mismos activos pueden
existir grados de liquidez diferente.
Riesgo de Liquidez: Es la contingencia de que la entidad incurra en pérdidas
excesivas por la venta de activos y la realización de operaciones con el fin de
lograr la liquidez necesaria para poder cumplir con sus obligaciones.
Inflación: Mide el crecimiento del nivel general de precios de la economía. La
inflación es calculada mensualmente por el DANE sobre los precios de una
canasta básica de bienes y servicios de consumo para familias de ingresos
medios y bajos. Con base en éstas se calcula un índice denominado Índice de
precios al Consumidor (IPC). La inflación corresponde a la variación periódica de
ese índice.
Riesgo de Inflación: Posibilidad de que los aumentos en el costo de la vida
reduzcan o eliminen los retornos reales (después de inflación) de una inversión.
Estructura de términos de las tasas de interés: Relación entre la tasa de
interés o tasa de rendimiento y el tiempo al vencimiento.
Curva de rendimiento: Grafica de la relación entre el tiempo que resta para el
vencimiento de la deuda (eje x) y su rendimiento al vencimiento (eje y); muestra el
patrón de los rendimientos anuales de las deudas de características similares y
vencimientos diferentes. Traza gráficamente la estructura de términos de las tasas
de interés.
Arbitraje: es el proceso de comprar y vender simultáneamente el mismo título o
un título equivalente en mercados distintos, generándose ganancias por los
diferenciales de precio. Cabe destacar que mientras más entes participen en el
proceso
de
arbitraje,
los
diferenciales
tienden
a
desaparecer.
Para que exista arbitraje es necesario que se cumpla alguna de las siguientes
condiciones:
1. Un mismo activo, se negocia con diferente precio en los mercados.
2. Dos activos con idénticos flujos de caja se negocian a precios distintos y
3. Un activo con un precio conocido en el futuro, se negocia hoy a un precio
distinto al precio futuro descontado a la tasa del instrumento libre de riesgo.
Spline: Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios.
21
2. MARCO TEORICO
En este capitulo se trataran los conceptos básicos y necesarios para el desarrollo
del modelo con el cual se calculara la Estructura temporal de tipos de interés y a
partir de esta obtener las tasas spot y forward. Primero se definirán los activos de
renta de fija, como se emiten los activos de renta fija en Colombia y como se
subastan, que entidades califican estos títulos y como lo hacen. Después de esto
se darán a conocer los títulos de renta fija que se encuentran en el marcado
colombiano entre los cuales están los Títulos de Tesorería Clase B (TES B) que
son el objetivo de estudio en este trabajo, luego se definirá que es una Estructura
temporal de tipos de interés, una curva de rendimientos, y se darán a conocer
algunas de las teorías que intentan explicar la forma que toman estas curvas,
después de esto se explicaran algunos conceptos muy relacionados con la
Estructura temporal de tipos de interés y la curva de rendimientos como son las
tasas spot y forward. Al final de este capitulo se tratara la interpolación mediante
splines cúbicos que es el método por el cual se obtendrá la estructura temporal de
tipos de interés y la curva de rendimientos para los títulos de tesorería clase B
(TES B) subastados a través del banco de la republica y el ministerio de hacienda
y crédito publico.
2.1.
LOS ACTIVOS FINANCIEROS DE RENTA FIJA1
Un activo financiero es un contrato que concede al inversor el derecho a percibir
un flujo de pagos periódicos en el futuro, a cambio de entregar hoy una cantidad
de dinero. A diferencia de los préstamos, los activos financieros, o títulos, de renta
fija permiten la participación de un mayor número de inversionistas. Y a los
inversionistas les representa la oportunidad de obtener rendimientos más altos
que los que podrían encontrar invirtiendo en lugares como un banco. Los títulos de
renta fija se diferencian de los otros instrumentos de inversión porque el
rendimiento que otorgan esta definido desde el momento de su emisión.
Para poder trabajar con un titilo de renta fija, se deben conocer el cupón y la tasa
del cupón, el plazo y la periodicidad del mismo. El cupón de un Titulo es el valor
de lo que se recibirá si se adquiere el titulo. El plazo, es el periodo de tiempo
durante el cual el titulo estará vigente. La periodicidad es el periodo de pago de las
rentas del cupón.
1
Maria Liduvina Uscanga Borja, " Propuesta para la creación de un índice de renta fija en México "
(Tesis Licenciatura. Actuaría. Departamento de Actuaría, Escuela de Ciencias, Universidad de las
Américas Puebla. 2005) pp. 12-16
22
Los títulos de renta fija pueden ser emitidos de tres maneras: a la par, con prima, o
con descuento. La emisión a la par expresa que se tiene que pagar el valor
nominal para recibir, al vencimiento, el valor nominal más el rendimiento que
generen. Las emisiones con prima son aquellas por las cuales además de pagar el
valor nominal, se tiene que pagar una cantidad adicional. El descuento es lo
contrario a la emisión con prima. En este se paga por el titulo el valor nominal
menos una cantidad predeterminada
Las razones por las cuales se hacen las emisiones con descuento o con prima son
dos: la primera es para aprovechar las ventajas fiscales que se puedan presentar
y la segunda es para unificar las emisiones de un tiempo (t) y anteriores (t-1) y así
facilitar la liquidez. Dado que muchos países consideran distintas a las rentas
periódicas y las ganancias o perdidas de capital, las emisiones con prima o
descuento ayudan a que los participantes se vean afectados lo menos posible por
los cobros de impuestos.
Un titulo promete al inversor la recepción en el futuro de ciertos flujos de caja
previamente especificados. Sin embargo estos flujos pueden llegar a ser, en
realidad, uno sólo; en cuyo caso se dice que es un título cupón cero, y es emitido
con un descuento respecto de su valor nominal, Si, por el contrario, la emisión
consta de varios flujos de caja (por lo general, todos los flujos menos el último
tendrán el mismo valor) se referencia a éstos con el nombre de títulos amortizables.
Se denomina fecha de vencimiento o de amortización al momento en que el
inversor no tiene derecho a recibir ningún flujo de caja más; en esta fecha, y junto
con el último cupón, recibirá el principal o valor nominal del título.
23
2.2.
PROCESO DE EMISIÓN DE LOS TÍTULOS DE RENTA FIJA EN
COLOMBIA2
EMISOR: Es la entidad originadora de los Títulos, quien hace la promesa de pago
de los títulos y recibe los recursos de la emisión.
•
Pueden emitir títulos privados: las sociedades por acciones, sociedades
limitadas, cooperativas y entidades sin ánimo de lucro.
•
Pueden emitir Títulos públicos: la Nación, las entidades territoriales, las
empresas industriales del Estado y sociedades de economía mixta.
ESTRUCTURADOR o BANCA DE INVERSION: Es la entidad que se encarga de
realizar la oferta.
En Colombia son estructuradores las Fiduciarias, las Corporaciones Financieras,
las Comisionistas de Valores y Bancas de Inversión.
Se encargan de hacer el prospecto de Colocación, que es el documento base del
proceso y hace los análisis técnicos, financieros y legales requeridos en el
proceso.
Operaciones Underwriting (Colocaciones)
Después de estos trámites legales de la emisión, es necesario colocar o suscribir
(vender) los títulos en el mercado. Esta colocación se debe hacer por medio de un
agente colocador o comisionista, que ofrece el servicio de Comercialización.
Este servicio se puede hacer a través de tres modalidades:
• Underwriting en Firme: El comisionista compra toda la emisión y después la
vende en el mercado de valores y por consiguiente asume todos los riesgos de la
colocación.
2
Julio Alejandro Sarmiento Sabogal, "Mercado financiero en Colombia", Departamento de
Administración- Pontificia Universidad Javeriana, 2003,
www.javeriana.edu.co/decisiones/Julio/presentaciones/MerVal.pdf, (acceso Octubre 25, 2007).
24
• Underwriting Garantizado: El comisionista se compromete a comprar la parte de
la emisión que no se coloca inmediatamente en el mercado.
• Underwriting al Mejor Esfuerzo: Simplemente se compromete a hacer todo lo
posible por colocar la emisión.
Gráfico 1. Proceso de emisión de Bonos
Fuente: Sarmiento, J, 2003
CALIFICACIÓN DE RIESGO
La calificación es una opinión de una entidad independiente especializada en
estudios de riesgo, sobre la calidad crediticia de una emisión de títulos. De esta
manera las sociedades calificadores de valores promueven la eficiencia y
estabilidad en el mercado de valores. La evaluación se realiza sobre la capacidad
de la entidad emisora de cumplir puntualmente los compromisos financieros
derivados de la emisión. Cabe señalar que tal opinión se concibe sobre la calidad
crediticia de la deuda de un emisor más no de la empresa y no puede interpretarse
como una garantía de pago.
25
La evaluación del riesgo crediticio se basa en el análisis de la interrelación de los
elementos tanto cualitativos como cuantitativos que mayormente afectan o pueden
afectar el cumplimiento de los compromisos financieros adquiridos por un emisor.
Entre los cualitativos se encuentran factores tales como: entorno
macroeconómico, sector en que desarrolla su actividad, posición competitiva a
nivel nacional e internacional, planes y estrategias, calidad de la administración,
innovaciones tecnológicas oportunidades de mercado y políticas de control y
auditoria. La calificación también implica el análisis cualitativo que evalúa aspectos
contables, financieros, de mercado, proyecciones, flujos de ingresos y egresos,
productividad, proveedores, clientes, entre otros. En síntesis la calificación es un
instrumento que permite ponderar la seguridad de los títulos frente a la
rentabilidad que ofrecen sus emisores.
Las agencias internacionales calificadoras de riesgo que monitorean la deuda del
gobierno Colombiano son: Fitch Ratings, Standard & Poor's y Moody's Investor
Service3.
Tabla 1. Relación de la calificación de la deuda nacional emitida por la República
de Colombia.
Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2007
3
Ministerio de Hacienda y Crédito Público. República de Colombia, “Calificación de Riesgo” ,
http://www.minhacienda.gov.co/pls/portal30/url/ITEM/141B5408C24B015CE040007F01006D7B.
(acceso Noviembre 18, 2007)
26
Escala de calificación
La opinión emitida por las Sociedades calificadoras se orienta a distinguir entre
dos grados:
De inversión: Se considera que la emisión no representa mayores riesgos de
incumplimiento.
Especulativo: Se presentan factores de riesgo que podrían llevar al
incumplimiento en el pago de intereses o del capital.
Tabla 2. Escala de Calificación de Riesgo
Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2007
27
2.3.
TITULOS DE RENTA RIJA EN COLOMBIA4
Existe una gran variedad de títulos de renta fija, a continuación se presenta la
descripción de los principales títulos de renta fija Colombianos:
Papeles Comerciales
Aceptaciones Bancarias
TIDIS
CERTS
CDT’s
Bonos
Bonos Agrarios
Bonos Pensiónales
Bonos de Seguridad
Bonos de Paz
Repos en Renta Fija
TES
PAPELES COMERCIALES
Son papeles comerciales los pagarés ofrecidos públicamente en el mercado de
valores, emitidos masiva o serialmente. Podrán emitir papeles comerciales para
ser colocados mediante oferta pública, previa autorización de la oferta por parte de
la Superintendencia de Valores, toda entidad que de conformidad con su régimen
legal tenga capacidad para hacerlo, salvo los patrimonios autónomos.
El plazo de los papeles comerciales deberá ser superior a 15 días e inferior a un
año, contado a partir de la fecha de suscripción.
Para adelantar la oferta pública de papeles comerciales, deberán observarse las
siguientes reglas:
4
SERFINCO S.A. Medellín - Colombia, Comisionistas de bolsa, “Productos-Renta Fija”,
http://www.serfinco.com/products/rent/default.asp (acceso Noviembre 15, 2007)
28
1. El monto de la emisión de papeles comerciales objeto de oferta pública no debe
ser inferior a dos mil (2.000) salarios mínimos mensuales.
2. Los recursos obtenidos a través de la colocación de papeles comerciales no
podrán destinarse a la realización de actividades propias de los establecimientos
de crédito ni a la adquisición de acciones o bonos convertibles en acciones.
3. Previamente a la publicación del respectivo aviso de oferta pública y con el fin
de dar liquidez secundaria a los papeles comerciales, la sociedad emisora deberá
inscribir dichos títulos en una bolsa de valores.
La oferta de los papeles comerciales podrá adelantarse bajo cualquiera de las
siguientes modalidades:
1. Emisión única. Ofreciendo y colocando una única emisión sin posibilidad de
prórroga del plazo de los papeles comerciales. En este caso, el emisor deberá
indicar en el respectivo aviso de oferta que se trata de una emisión de papeles
comerciales sin posibilidades de rotación ni de prórroga al vencimiento de los
valores.
2. Emisión rotativa. Ofreciendo y colocando de forma rotativa los papeles
comerciales con o sin posibilidad de prórroga de los mismos, utilizando cualquiera
de los siguientes mecanismos:
2.1. Emisión rotativa con posibilidad de prórroga. Se podrán emitir y colocar
papeles comerciales en forma rotativa con la posibilidad de prórroga de su
plazo por un término igual al inicial, evento en el cual la prórroga no implicará
una nueva emisión. En estos casos se podrán variar las condiciones de la
tasa de rentabilidad durante dicha prórroga.
En todo caso, el emisor deberá indicar en el aviso de oferta que los papeles
ofrecidos tienen posibilidad de prórroga de su plazo y la forma y medio que
empleará para informar sobre la efectividad de tal condición.
Esta modalidad de oferta se regirá por los siguientes parámetros:
a) Al cumplimiento del plazo inicial pactado, en silencio del emisor y del
inversionista, se entenderá prorrogado automáticamente el plazo por un
término igual al inicialmente pactado en las mismas condiciones financieras.
29
b) Si a la fecha de vencimiento respectiva, el emisor guarda silencio y el
inversionista solicita la redención, el emisor deberá proceder a la redención
del título.
c) Si el emisor propone modificar la tasa de rentabilidad inicial, y el
inversionista guarda silencio, el plazo del título se prorrogará por un término
igual al pactado inicialmente con las nuevas condiciones financieras ofrecidas
por el emisor.
d) Si el emisor propone modificar la tasa de rentabilidad y el inversionista
manifiesta su no aceptación, el emisor deberá proceder a redimir el título.
e) Si el emisor decide redimir los títulos a su vencimiento comunicará este
hecho al inversionista, el cual se encuentra obligado a aceptar tal redención.
En el caso de que el emisor opte por lo previsto en los literales c), d) y e) del
presente artículo, deberá comunicar su decisión de redención o de cambio de
la tasa de rentabilidad el segundo día hábil anterior a la fecha de vencimiento
de
los
títulos.
En caso de que el inversionista opte por la redención a que se refieren los
literales b) y d) del presente artículo deberá manifestar su voluntad al emisor
el día hábil anterior a la fecha de vencimiento de los títulos.
En todo caso, la sumatoria de las prórrogas de los papeles comerciales no
podrá exceder el plazo máximo contemplado para éstos en la presente
resolución.
2.2. Emisión rotativa sin posibilidad de prórroga. Se podrán emitir y colocar
papeles comerciales en forma rotativa sin posibilidad de prórroga de su
plazo. En este evento, el emisor deberá establecer en el aviso de oferta que
el plazo de los títulos no es objeto de prórroga y que por lo tanto se redimirán
a su vencimiento.
La oferta rotativa de papeles comerciales no podrá superar en ningún evento
el
monto
total
autorizado
para
los
mismos.
Aspectos Jurídicos:
Todos los aspectos legales de la oferta pública de papeles comerciales se
encuentran en la Resolución 400 de 1995. Art. 1.2.4.47
30
ACEPTACIONES BANCARIAS
Instrumento comercial, mediante el cual un banco acepta pagar (se obliga), una
letra de cambio a su vencimiento a un beneficiario, vendedor de una mercancía,
que ha sido adquirida por un comprador mediante una modalidad de financiación.
El comprador se beneficia al poder agilizar compras, pone a su alcance cualquier
proveedor, no necesita liquidez. El vendedor amplía la base de sus clientes,
incrementa las ventas, puede descontar la letra en el banco o en cualquier bolsa
de valores.
Perfil del Inversionista: Las Aceptaciones Bancarias le permiten al originador del
título tener una alternativa de financiamiento, ya que le proporcionan recursos
durante un periodo corto de tiempo. Desde el punto de vista del inversionista, son
adecuadas para aquellas personas que desean conocer con anterioridad sus
rendimientos y que en cualquier momento necesitan de liquidez, ya que son
libremente negociables en el mercado secundario.
Características
•
Ley de circulación: Son títulos a la orden. Se transfieren mediante endoso y
entrega del título.
•
Valor nominal: Corresponde al valor total de los bienes objeto de la
transacción comercial.
•
Plazo: Se expiden máximo a 6 meses. Al cabo de este plazo, la entidad
aceptante paga al poseedor el valor nominal del título.
•
Liquidez: Tienen liquidez inmediata en las bolsas de valores del país, donde
se encuentran inscritas. Se negocian con un descuento determinado por las
condiciones del mercado.
•
Rendimiento: Está determinado por la diferencia entre su valor de compra
en bolsa y el valor nominal o de redención ante la entidad aceptante.
•
Tratamiento tributario: Los rendimientos son gravables.
•
No son fraccionables: Estos títulos a diferencia de otros, deben ser
negociados por su valor total, no es posible comprar o vender una fracción
de estos.
31
TÍTULOS DE DEVOLUCIÓN DE IMPUESTOS ( TIDIS )
Título valor cuya finalidad es la de servir como instrumento de pago para la
devolución de impuestos, cuya cuantía sea superior a $1.000.000.
Perfil del Inversionista: Los TIDIS son el tipo de inversión apropiado para toda
persona que necesita pagar impuestos al Gobierno, ya que al adquirir este título,
se obtienen ventajas derivadas de un menor valor de compra de éste. Así, se
pagan impuestos y se obtienen ganancias por la inversión realizada.
Características
•
Ley de circulación: Son documentos expedidos a la orden, transferibles por
endoso, denominados en moneda nacional.
•
Emisión: Son emitidas por el proponente, autorizado por el Ministerio de
Hacienda por licitación pública. Actualmente el emisor es Fiducolombia.
•
Liquidez: Tienen liquidez primaria, al valor nominal, para el pago de
impuestos o derechos administrados por la Dirección de Impuestos y
Aduanas Nacionales. Tiene liquidez secundaria en cualquier momento a
través de las bolsas de valores. No se puede pagar con TIDIS cuando las
normas legales señalen su pago en efectivo o cheque de gerencia.
•
Plazo: Un año.
•
Rendimiento: No devengan intereses. Sin embargo, en el mercado
secundario, su rendimiento está determinado por la diferencia entre el
precio de compra y su valor nominal, y por el plazo transcurrido entre la
fecha de compra y la fecha de utilización para el pago de impuestos.
•
Tratamiento tributario: La diferencia entre el precio de compra y el valor
nominal del título, causa retención en la fuente.
•
Pueden ser denominados en moneda extranjera, dependiendo de las
condiciones de la emisión.
32
CERTIFICADOS DE REEMBOLSO TRIBUTARIO (CERTS)
Los CERTS son títulos valores expedidos a favor de los exportadores, como un
incentivo a este sector. Buscan orientar la política de comercio exterior colombiano
para promover las exportaciones de bienes y servicios, diversificando y
estimulando la industria y los sectores productivos nacionales, facilitando el
desarrollo y la aplicación de los tratados internacionales y adecuando en forma
permanente, la legislación nacional a los cambios del comercio exterior.
Perfil del Inversionista: Este tipo de inversión es adecuado para aquellas
personas que quieren beneficiarse al pagar los impuestos exigidos por el Gobierno
y que desean obtener rentabilidad por motivo de su inversión, ya que al invertir en
CERTS, se obtiene una utilidad derivada de la diferencia entre el precio de compra
del título y el valor que se paga al Gobierno.
Características
Los CERTS se pueden utilizar desde el momento de su expedición para el pago
de los impuestos sobre la renta y complementarios, gravámenes arancelarios,
impuesto al valor agregado y otros impuestos, tasas o contribuciones siempre que
la entidad que los perciba, los acepte previo acuerdo con el Banco de la
República.
•
Ley de circulación: A la orden.
•
Emisión: El Incomex es el encargado de la emisión y el Ministerio de
Hacienda es el encargado de la edición y expedición.
•
Liquidez: Libremente negociables en el mercado secundario de las bolsas
de valores.
•
Rendimiento: El rendimiento para quien los adquiera en bolsa está
determinado por el descuento entre el precio de compra y su valor nominal,
si paga impuestos con ellos. En caso de que se vendan nuevamente en
bolsa, estará dado por la diferencia entre el precio de compra y el de venta.
•
Vigencia: Plazo de dos años.
•
Tratamiento tributario: Sus rendimientos son gravables.
33
CERTIFICADO DE DEPÓSITO A TÉRMINO (CDT)
Es un título valor expedido por una entidad financiera por el depósito de una suma
de dinero a un plazo y a una tasa determinada. Los plazos pueden ser de 30 días
en adelante, siendo los más comunes los de 30, 60, 90, 180 y 360 días.
Instrumento de inversión de renta fija que puede negociarse en el mercado
secundario de la bolsa de valores, pero que no es redimible sino hasta su
vencimiento.
Perfil del Inversionista: Los CDT son la alternativa de inversión tradicional por
excelencia, donde quien invierte, desea conocer con certeza los rendimientos que
va a recibir en un periodo corto de tiempo. De acuerdo a la entidad donde se
invierte, se obtiene la rentabilidad, dependiendo ésta última en gran medida, de las
condiciones financieras del emisor, así como de las condiciones del mercado al
momento de comprar el CDT.
Los CDT son una inversión apropiada para quienes buscan liquidez en el corto
plazo y para aquellas personas que requieren certeza en los rendimientos que van
a percibir.
Es adecuado tener dentro del portafolio de inversión un porcentaje en este tipo de
títulos, ya que garantizan una alta posibilidad de liquidez. Sin embargo, se debe
tener en cuenta que en el caso de los CDT a tasa fija entre 30 y 180 días, se
sacrifica rentabilidad frente a otras opciones de inversión.
Existe la posibilidad de invertir en un CDT cuya rentabilidad va ligada a un
indicador como la DTF, los intereses fluctúan de acuerdo al comportamiento de
este indicador, por lo tanto, los flujos de caja pueden tener variaciones en cada
periodo de cobro de intereses.
Características
•
Emisor: Son emitidos por entidades financieras (Bancos, Corporaciones
financieras, Corporaciones de ahorro y vivienda y Compañías de leasing),
con el fin de captar ahorro del público.
•
Clase de título: Son títulos nominativos, se emiten a nombre de uno o varios
titulares.
34
•
Ley de circulación: La propiedad se transfiere mediante carta de endoso y
registro ante el emisor.
•
Plazo: El plazo mínimo de los CDT's es de un mes. Son prorrogables por un
término igual al pactado inicialmente, de lo contrario, se redimen en el plazo
previsto.
•
Liquidez: Gozan de liquidez secundaria antes de su vencimiento y son
libremente negociables en el mercado bursátil.
•
Valor Nominal: Se expiden en cuantías mínimas determinadas por el
emisor.
•
Rendimiento: La tasa de interés que devengan los CDT's se pacta con la
entidad emisora dependiendo de las condiciones del mercado de capitales,
el monto y el plazo del depósito.
•
Tratamiento Fiscal: Están sujetos a un 7% de Retención en la Fuente sobre
intereses devengados.
Función Económica:
El CDT se encuadra en el contexto de un contrato de depósito a término. Para
definir su función económica, se establece un paralelo entre los depósitos a
término y los depósitos a la vista.
En los depósitos a término, no sólo cuenta la confianza que se tiene en la entidad,
sino que adicionalmente se persigue un rendimiento al prestar el dinero a un
interés, otorgando la facultad de utilización de este dinero al intermediario
financiero.
Aspectos Jurídicos:
La definición legal se encuentra en el artículo 1393 del Código de Comercio, el
cual se limita a incluir como elementos del contrato, el depósito, la obligación de
restituir el dinero y el plazo. La Superintendencia Bancaria ha definido con mayor
precisión este contrato, al adicionar el derecho al uso y la transferencia del
dominio sobre el dinero depositado.
35
BONOS
Los Bonos son títulos valores que incorporan una parte alícuota de un crédito
colectivo constituido a cargo de una sociedad o patrimonio autónomo.
Los bonos pueden ser emitidos tanto por entidades del sector público, como del
sector privado. Los bonos públicos son emitidos tanto por entes territoriales, como
por personas jurídicas del sector oficial. Ejemplos pueden ser los bonos Santa Fe
de Bogotá o los de Empresas Publicas de Medellín, respectivamente.
Ejemplos de bonos del sector privado pueden ser los bonos ordinarios emitidos
por entidades del sector bancario o compañías de leasing.
Función Económica:
El objetivo, es que los recursos captados con estos bonos, se destinen a financiar
nuevos proyectos de inversión, ampliaciones de planta, sustitución de pasivos,
atención de necesidades de capital de trabajo, etc.
Perfil del Inversionista: Los Bonos son títulos apropiados para aquellas personas
naturales o jurídicas con excedentes de liquidez a más de un año.
Como la rentabilidad generalmente va ligada a un indicador (DTF, TCC, IPC, entre
otros), éste le permite protegerse de las fluctuaciones del mercado. Es importante
tener en el portafolio de inversiones este tipo de títulos, ya que en éstos
obtenemos generalmente mejores oportunidades de rentabilidad.
Características
•
Ley de circulación: Son títulos a la orden. Se transfieren mediante endoso y
entrega del título
•
Valor nominal: Cada bono tiene un valor nominal determinado en el
reglamento de emisión.
•
Liquidez: Son libremente negociables en el mercado bursátil una vez
inscritos en Bolsa.
36
•
Rendimiento: Devengan intereses periódicos de acuerdo con el respectivo
reglamento de emisión. El rendimiento pactado en el mercado secundario
depende de las condiciones imperantes en el momento. La mayoría tienen
su rendimiento indexado con base en una tasa de interés variable( DTF,
IPC, UVR), más algunos puntos porcentuales adicionales.
•
Tratamiento fiscal: Los intereses percibidos están sujetos a un 7% de
retención en la fuente. Bonos emitidos por entidades vigiladas por la
Superintendencia Bancaria a plazos mayores o iguales a 5 años, la
retención en la fuente es del 4%, la misma norma aplica para los bonos
representativos de deuda pública interna.
De acuerdo con la Resolución No. 400 de 1995 de la Superintendencia de Valores
y el Código de Comercio, pueden emitir bonos ordinarios, previa autorización de la
Superintendencia de Valores, las sociedades por acciones y los patrimonios
autónomos para efectos de movilizar activos, las sociedades limitadas, las
cooperativas y las entidades sin ánimo de lucro, en estos dos últimos casos,
siempre y cuando la totalidad del emprésito sea avalado por un establecimiento de
crédito sujeto a la inspección y vigilancia de la Superintendencia Bancaria.
BONOS AGRARIOS
Son títulos de deuda pública interna, esto es, emitidos y respaldados por la
Nación, lo que garantiza su liquidez secundaria en los mercados de dinero y de
capitales. Fueron creados en virtud de la ley 160 de 1994. Los títulos son
colocados por el Instituto Colombiano de la Reforma Agraria INCORA. En su
nombre y en el de la nación, y según el contrato de administración fiduciaria entre
ellos, el Banco de la República tiene a su cargo la edición y administración de los
Bonos Agrarios.
Perfil del Inversionista: El mayor atractivo de estos títulos, es el beneficio
tributario de los intereses, los cuales se encuentran exentos de retención en la
fuente y del impuesto de renta.
Esta inversión es adecuada para las personas naturales o jurídicas que buscan
evitar riesgos de emisor y conservar el valor del dinero en el tiempo, ya que parte
de la rentabilidad va ligada a la inflación. La posibilidad de lograr liquidez cada
año, a medida que se libera capital, permite una mejor y flexible administración de
los recursos.
37
Cuando se realizan inversiones en Bonos Agrarios a 5 o 6 años, no significa que
los recursos quedan congelados durante este periodo, debido a que cada cupón
del título tiene la posibilidad de ser negociado de forma independiente en el
mercado secundario.
Características
•
Los intereses generados por los Bonos, gozan de exención de impuestos
de renta y complementarios y en consecuencia, no están sujetos a
retención en la fuente.
•
Expedidos en moneda legal.
•
Se emiten a la orden, son libremente negociables y se transfieren por
simple endoso y entrega material del título.
•
Cada Bono se emite como una serie de cupones de igual valor, con
vencimiento consecutivo anual y plazo final a cinco años, en los casos de
negociación o intervención directa, o seis años en el caso de una
expropiación. Ej.: Un bono de $50 millones emitido en el año 2000 está
compuesto por 5 cupones de $10 millones, donde en el 2001 nos pagan
$10 millones, en el 2002, otros $10 millones y de esta forma, nos van
liberando $10 millones anuales hasta el 2005.
•
La redención parcial por cupones anuales hace que la duración (plazo
medio ponderado) de los Bonos, sea de 2.7 y 3.1 años, para plazos finales
a 5 y 6 años, respectivamente.
•
Cada uno de los cupones puede ser negociado y transferido
individualmente, lo que permite una ágil y eficiente gestión del portafolio.
•
Devengan intereses pagaderos por semestres vencidos, equivalentes al
80% de la variación porcentual del Índice de Precios al Consumidor IPC
que certifique el DANE para el semestre que termina tres meses calendario
antes de la fecha de exigibilidad de los intereses.
•
Agilidad: Para ingresar al fondo, sólo debe llenarse un formulario de
apertura de cuenta.
38
Función Económica
El objetivo de los Bonos Agrarios, es financiar la adquisición de tierras por parte
del Instituto Colombiano de la Reforma Agraria, INCORA, en desarrollo del
programa de reforma agraria.
El Sistema Nacional de la Reforma Agraria, bajo los lineamientos de la Ley 160 de
1994 y la Ley 30 de 1988, introdujo un nuevo dinamismo a la estructura social de
la agraria, con la activación del mercado de tierras sujetas de reforma agraria.
Los Bonos Agrarios son uno de los instrumentos financieros que hacen posible
este cometido, al servir como medio de pago en cualquiera de las tres
modalidades de tradición de bienes rurales que previó la ley:
•
Negociación directa entre campesinos y propietarios, modalidad en la cual
el INCORA paga el 50% del precio pactado con Bonos Agrarios, entregados
como parte del subsidio que establece la ley.
•
Intervención directa, mediante la cual el INCORA, adquiere directamente el
predio, caso en el cual, paga el 60% del precio con Bonos Agrarios.
Administración:
Los títulos son colocados por el Instituto Colombiano de la Reforma Agraria
INCORA. En su nombre y en el de la Nación, y según el contrato de
administración fiduciaria suscrito entre ellos, el Banco de la República tiene a su
cargo la edición y administración de los Bonos Agrarios. El pago de capital e
intereses de cada cupón se realiza en cualquiera de las oficinas del Banco de la
República, por cuenta y con recursos de la Nación, para lo cual basta que el
tenedor legítimo presente los títulos que demuestren la obligación exigible. Para la
expedición y redención de los títulos, el Banco de la República tiene cobertura en
todas las capitales de departamento del país, con excepción de Arauca, Casanare,
Guainía y Amazonas. Los cupones pueden ser fraccionados en valores múltiples
de mil pesos ($1.000), sin que el valor nominal sea inferior a un millón de pesos
($1.000.000). El cargo por fraccionamiento fijado por el Banco, será asumido por
el tenedor legítimo. Los títulos pueden ser depositados en el Depósito Central de
Valores del Banco de la República. Las acciones judiciales para el cobro del
capital y los intereses de los Bonos Agrarios caducarán en el término de 4 años,
contados a partir de la fecha de su exigibilidad, y el derecho derivado de los títulos
prescribirá en el mismo periodo de tiempo, de acuerdo con lo previsto en el Art. 17
de la Ley 185 de 1995.Los Bonos son amortizados mediante cinco cuotas anuales
iguales y sucesivas, la primera de las cuales vence un año después de la fecha de
expedición del bono.
39
BONOS PENSIONALES
Los Bonos Pensionales constituyen aportes destinados a contribuir a la
conformación del capital necesario para financiar las pensiones de los afiliados al
Sistema General de Pensiones. La Nación - Ministerio de Hacienda y Crédito
Público - emite los bonos pensionales tipo A, negociables en el mercado
secundario. Existen también otros bonos, llamados tipo B, emitidos a favor del
ISS, pero éstos no son negociables.
Los bonos pensionales tipo A están debidamente inscritos en la Bolsa de Valores
de Colombia. Los bonos tipo A se expiden a nombre de las personas que,
después de la ley 100 de 1993, se hayan afiliado a alguna Administradora de
Fondo de Pensiones (AFP) habiendo tenido, antes de su afiliación, al menos 150
semanas de aportes al ISS o a alguna Caja de previsión.
Existen actualmente las siguientes AFP, a saber:
COLFONDOS, HORIZONTE, PORVENIR, PROTECCIÓN, SANTANDER y
SKANDIA.
Perfil del Inversionista: Estos bonos son adecuados para aquellas personas que
poseen recursos a mediano y largo plazo y que buscan protegerse de la inflación.
Además, para quienes buscan liquidez, ya que por estar ligados a la inflación y
estar respaldados por el Ministerio de Hacienda y Crédito Público, gozan de este
beneficio.
También son aptos para las personas que prefieren que el cobro de intereses se
dé al finalizar el periodo.
Características
•
Se denominan en moneda legal colombiana.
•
Son nominativos.
•
Son endosables a favor de las entidades administradoras o aseguradoras
cuando se vaya a efectuar el pago de pensiones, o a favor de terceros que
los hayan adquirido según lo dispuesto por la ley.
40
•
A su redención se pagan todos los rendimientos capitalizados a una tasa
del 4% real anual efectiva, para las personas que se hayan trasladado
antes del 1º de enero de 1999. A partir de esa fecha, será el 3% real.
•
Su emisor es el Ministerio de Hacienda y Crédito Público en representación
de la Nación.
•
Son administrados por la oficina de Bonos Pensionales del Ministerio de
Hacienda y Crédito Público.
•
Se mantienen en custodia por las sociedades administradoras de fondos de
pensiones mientras no se rediman.
BONOS DE SEGURIDAD
Los Bonos para la seguridad son títulos de deuda interna, a la orden, con un plazo
de cinco años.
Las personas naturales y jurídicas deberán efectuar por una sola vez una
inversión forzosa en 1997, en Bonos para la Seguridad, equivalente al 0.5% del
patrimonio líquido determinado a 31 de diciembre de 1996.
Perfil del Inversionista: Los Bonos de Seguridad son una excelente oportunidad
de inversión para quienes declaran renta, ya que los rendimientos de estos títulos
están exentos del correspondiente impuesto. Además, al momento del cobro de
rendimientos, están libres de retención en la fuente.
Es una inversión adecuada para aquellos que buscan seguridad y rentabilidad.
Características
•
Son títulos a la orden, denominados en moneda legal.
•
Emitidos en el año de 1997.
•
Tienen un vencimiento de cinco años, contados a partir de la fecha en que
se efectúe la inversión forzosa.
41
•
A partir de la fecha de su vencimiento, los bonos son redimidos en dinero
por las instituciones financieras que autorice el Ministerio de Hacienda y
Crédito Público, en el ciento por ciento (100%) de su valor nominal y podrán
utilizarse para el pago de impuestos, anticipos, retenciones, sanciones e
intereses, administrados por la Unidad Administrativa Especial Dirección de
Impuestos y Aduanas Nacionales.
•
Los Bonos de Seguridad generan intereses vencidos, en un porcentaje
igual al ochenta por ciento (80%) de la variación de precios al consumidor
para ingresos medios certificada por el DANE, durante el periodo
transcurrido entre el primer día del mes en que se suscriban y el último día
del mes anterior a aquel en que se vence el respectivo año.
•
Los intereses se reconocen en cinco (5) vencimientos anuales iguales y
sucesivos, el primero de los cuales tiene lugar un (1) año después de la
fecha en que se realice la inversión forzosa.
•
Son libremente negociables en el mercado de valores.
•
Son fraccionables, por una sola vez en múltiplos de un mil pesos ($1.000),
sin que la fracción sea inferior al 25% del valor nominal del título original,
según lo determine el Ministerio de Hacienda y Crédito Público.
•
Son colocados por las Instituciones Financieras que autorice el Ministerio
de Hacienda y Crédito Público.
•
El Ministerio de Hacienda y Crédito Público solicita la inscripción de los
títulos en las bolsas de valores.
•
Los rendimientos originados en los Bonos para la Seguridad son
considerados como ingreso no constitutivo de renta y por consiguiente,
están exentos de retención en la fuente.
BONOS DE PAZ
Son bonos de deuda pública interna de la Nación.
Perfil del Inversionista: Este tipo de papel es apto para aquellas personas que
poseen recursos a largo plazo, que buscan inversiones en títulos seguros,
rentables y que ofrezcan liquidez. Para quienes declaran renta, es una excelente
inversión, ya que los rendimientos financieros están completamente exentos de
retención en la fuente.
42
Características
•
Son títulos a la orden, denominados en moneda legal.
•
Se emitieron a partir del mes de mayo del año de 1999.
•
Tienen un vencimiento de siete (7) años, contados a partir de la fecha en
que se efectúe la inversión primaria.
•
Generan intereses anuales vencidos, en un porcentaje igual al ciento diez
por ciento (110%) de la variación de precios al consumidor para ingresos
medios certificada por el DANE para el año respectivo, definido como aquel
cuyo vencimiento haya ocurrido dos (2) meses calendario antes de la fecha
de exigibilidad de los intereses.
•
Los intereses se pagan en siete (7) vencimientos anuales iguales y
sucesivos, el primero de los cuales tendrá lugar un (1) año después de la
fecha en que se realice la inversión primaria.
•
Son colocados por las Instituciones Financieras autorizadas por el
Ministerio de Hacienda y Crédito Público.
•
Son emitidas, colocadas y circulan en forma desmaterializada.
•
Son libremente negociables en el mercado de valores.
•
La inversión se debe liquidar y pagar aproximando el valor a invertir al
múltiplo de mil (1.000) más cercano.
•
A partir de la fecha de su vencimiento, son redimidos a través de las
Instituciones Financieras que autorice el Ministerio de Hacienda y Crédito
Público, en moneda legal colombiana por el ciento por ciento (100%) de su
valor nominal y se podrán utilizar para el pago de impuestos, anticipos,
retenciones, sanciones e intereses que administre la Unidad Administrativa
Especial Dirección de Impuestos y Aduanas Nacionales.
Están
obligados
a
suscribir
los
Bonos
de
Paz:
1. Personas jurídicas: Las personas jurídicas deben efectuar durante los años
1999 y 2000, por una sola vez cada año, la inversión forzosa en Bonos de Paz, en
el equivalente al 0.6% del valor que se señala a continuación:
43
•
Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 1999, el patrimonio
liquido poseído a 31 de diciembre de 1998.
•
Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 2000, el patrimonio
liquido poseído a 31 de diciembre de 1998, multiplicado por el resultado que
se obtenga de sumar a la unidad, el porcentaje de inflación medido en
términos del IPC certificado por el DANE para el año de 1999.
•
Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 1999 por personas
jurídicas que se hayan constituido durante el año de 1998, el patrimonio
liquido poseído a 31 de diciembre de 1998.
•
Para las inversiones que se deban efectuar en el año 2000 por personas
jurídicas que se hayan constituido durante el año de 1998, el patrimonio
liquido poseído a 31 de diciembre de 1998, multiplicado por el resultado que
se obtenga de sumar a la unidad, el porcentaje de inflación medida en
términos del IPC certificado por el DANE para el año de 1999.
•
Para las inversiones a efectuarse durante el año 2000 por personas
jurídicas que se constituyan durante el año de 1999, el patrimonio liquido
poseído a 31 de diciembre de 1999.
2. Personas naturales: Las personas naturales cuyo patrimonio liquido a 31 de
diciembre de 1998 exceda la suma de $210.000.000, deberán efectuar durante los
años 1999 y 2000, por una sola vez cada año, la inversión forzosa, en el
equivalente al 0.6% del valor que se señala a continuación:
Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 1999, el patrimonio
liquido poseído a 31 de diciembre de 1998.
Para las inversiones que se deben efectuar durante el año 2000, el patrimonio
liquido poseído a 31 de diciembre de 1998, multiplicado por el resultado que se
obtenga de sumar a la unidad, el porcentaje de inflación medido en términos del
IPC certificado por el DANE para el año de 1999.
Las personas no obligadas a efectuar la inversión forzosa o las personas
extranjeras sin residencia o domicilio en el país, pueden suscribir voluntariamente
los Bonos de Paz.
44
OPERACIONES DE VENTA CON PACTO DE RECOMPRA EN RENTA
FIJA (REPO EN RENTA FIJA)
Las operaciones de venta con pacto de recompra son operaciones de
compraventa de títulos valores, en la cual el comprador se obliga a transferir
nuevamente al vendedor inicial, la propiedad de los títulos negociados, en un
plazo y condiciones fijadas de antemano en el negocio inicial, operación que
requiere
autorización
escrita
del
cliente.
Su objetivo, es crear oportunidades de inversión y de utilización de recursos a muy
corto plazo por parte de las entidades o personas que a través de las firmas
comisionistas, acudan al mercado bursátil.
Perfil del Inversionista: El REPO es una alternativa de financiación para aquellas
personas naturales o jurídicas que teniendo un activo transable (acciones o renta
fija), requieren de liquidez en periodos cortos de tiempo (caso del vendedor), o una
alternativa de inversión para aquellos que buscan obtener rentabilidad a corto
plazo y que desean conocer sus utilidades con anterioridad (caso del comprador).
Además, es una inversión rentable, ya que sus rendimientos están exentos de
retención en la fuente.
Características
•
Monto de la operación: El monto mínimo de las operaciones de venta con
pacto de recompra, es el equivalente a 200 salarios mínimos mensuales,
entendiéndose por monto, la suma de dinero que demanda el vendedor del
título.
•
Plazo de la operación y de vencimiento de los títulos: El plazo para la
recompra de los títulos valores de las operaciones de venta con pacto de
recompra no puede exceder de 90 días calendario. El plazo de vencimiento
de los títulos no puede ser inferior a tres días hábiles a partir de la fecha de
vencimiento de la operación de recompra.
•
Comisiones: Las operaciones de venta con pacto de
comisión tanto de compra como de venta, que se liquida
que se cumpla la operación de compraventa inicial
proporcionalmente al tiempo que transcurre entre
compraventa y la operación de recompra.
45
recompra causan
en el momento en
y que se cobra
la operación de
TÍTULOS DE TESORERÍA - TES
Títulos de deuda pública emitidos por la Tesorería General de la Nación (en
pesos, en UVR´s - Unidades de Valor Real Constante - o en pesos ligados a la
TRM) que son subastados por el Banco de la República. Se caracterizan por ser
una de las mayores fuentes de financiación del Gobierno.
Son títulos a la orden, libremente negociables en el mercado secundario. El plazo
se determina de acuerdo con las necesidades de regulación del mercado
monetario y de los requerimientos presupuestales de tesorería y fluctúa entre 1 y
10 años. El rendimiento de los títulos lo determina el Gobierno Nacional de
acuerdo con las tasas del mercado para el día de emisión de los mismos.
Perfil del Inversionista: Por rentabilidad, seguridad y liquidez, los TES son los
títulos que por excelencia, todos los inversionistas deben tener en sus portafolios.
Las posibilidades de obtener rentabilidad en una variedad de indicadores (tasa fija,
IPC, UVR y TRM) hacen de estos títulos una interesante opción de inversión.
Los TES son el tipo de inversión apropiado para aquellas personas que buscan
seguridad por parte del emisor del título, ya que están respaldados por la Nación.
Además, son adecuados para aquellos que invierten su dinero a largo plazo y que
buscan conocer con anterioridad el rendimiento de su inversión, en el caso de los
que
pagan
rendimientos
a
tasa
fija.
Son altamente confiables (calificación AAA) y por lo tanto, al momento de
necesitar liquidez, son fácilmente negociables en el mercado secundario.
Características
Los Títulos de Tesorería -TES- se introdujeron como mecanismo de financiación
interna del gobierno nacional mediante la Ley 51 de 1990, con el objetivo de ser
utilizados para financiar las operaciones presupuestales, reemplazar a su
vencimiento los Títulos de Ahorro Nacional -TAN - y los Títulos de Participación.
Esta Ley dispuso dos tipos de TES:
46
•
TES Clase A, utilizados para cubrir el pasivo existente con el Banco Central
(Banco de la República), y para sustituir a su vencimiento la deuda
contraída en Operaciones de Mercado Abierto (OMAS) a través de Títulos
de Participación creados con base en las resoluciones 28 de 1986 y 50 de
1990.
•
TES Clase B, destinados a la financiación de la Nación (Apropiaciones
presupuestales y Operaciones temporales de Tesorería del Gobierno
Nacional), para sustituir a su vencimiento a los Títulos de Ahorro Nacional
(TAN) y para emitir nuevos títulos para reponer los que se amorticen o
deterioren sin exceder los montos de emisión autorizados.
Los TES Clase B están conformados por el principal y cupones anuales (intereses
que genera un título en el caso de los TES tasa fija. Se pueden negociar los
intereses en forma independiente al capital).
Son títulos a la orden, no gozan de liquidez primaria antes de su vencimiento y son
libremente negociables en el mercado secundario. La transferencia de los valores
que se encuentren en el Depósito Centralizado de Valores -DCV- puede hacerse
por el registro, previa orden escrita del titular de dichos valores o de su
mandatario.
Los TES Clase B devengan intereses periodo vencido, sobre los cuales se aplica
retención en la fuente.
Los TES Clase B a tasa fija de una misma emisión podrán reunirse en un solo
título que los reemplazaría, con el objeto de unificar un volumen de títulos.
El uso del Depósito Centralizado de Valores será pagado por la entidad emisora
de los títulos y en consecuencia, el usuario no incurrirá en ningún costo por el
servicio prestado.
El valor mínimo del principal es de quinientos mil pesos y se expedirán títulos en
múltiplos de cien mil pesos.
Pueden ser denominados en moneda extranjera, dependiendo de las condiciones
de la emisión.
Las obligaciones emanadas de los intereses y del capital de los títulos prescriben
a los cuatro años, contados a partir de la fecha de su exigibilidad.
Los TES Clase B están inscritos en las tres Bolsas de Valores del país.
Además de lo anterior, los TES Clase B cumplen con los siguientes objetivos:
47
•
Desarrollan el mercado de capitales Colombiano.
•
Incentivan el ahorro interno a largo plazo.
•
Informan al mercado financiero sobre las expectativas y precios por plazo.
•
Implementan una curva de rendimientos dentro del mercado que permite su
profundización.
•
Atraen inversionistas institucionales.
•
Son instrumentos para las operaciones monetarias (Operaciones de
Mercado Abierto) del Banco Central a partir de 1999.
Títulos de Tesorería TES Clase B - Marco Jurídico
En la Ley 384 de 1997, el Decreto reglamentario 1250 de 1992 y las Circulares
Reglamentarias del Banco de la República UOM-33 de marzo 20 de 1996 y UOM41 de abril 1 de 1997, se establecieron las características de los TES Clase B y los
requisitos para su emisión:
•
Los TES Clase B se dividen según su rendimiento en TES Clase B de Tasa
Fija y TES Clase B de Tasa Variable. Los TES Clase B de Tasa Fija son
emitidos para los plazos de 1, 2, 3 y 5 años, mientras que los plazos para
los de Tasa Variable son de 5, 7 y 10 años.
•
Los TES Clase B son emitidos por la Nación y cuentan con la garantía de
esta última.
•
El estimativo de los ingresos de su colocación se incluirá en el Presupuesto
General de la Nación como recursos de capital.
•
Sus rendimientos se atienden con cargo al Presupuesto General de la
Nación.
•
Su redención se atiende con cargo a los recursos del Presupuesto General
de la Nación.
•
Pueden ser administrados directamente por la Nación o ésta puede celebrar
con el Banco de la República o con otras entidades nacionales o
extranjeras, contratos de administración fiduciaria y todos aquellos
necesarios para la agencia, edición, emisión, colocación, garantía,
administración o servicio de los mismos.
48
•
Su emisión requiere concepto de la Junta Directiva del Banco de la
República sobre las características de la emisión y sus condiciones
financieras, además, requiere del Decreto que las autorice y fije sus
condiciones financieras específicas.
•
Su emisión no afecta el cupo de endeudamiento y está limitada para las
destinadas, a financiar las apropiaciones presupuestales por el monto de
éstas.
•
No cuentan con la garantía del Banco de la República.
En este trabajo se analizaran las curvas de rendimiento para los Títulos de
Tesorería clase B (TES B.)
2.4.
ESTRUCTURA DE TÉRMINOS DE LAS TASAS DE INTERES
Tasa de rendimiento libre de riesgo
La tasa de rendimiento libre de riesgo es el rendimiento que se obtiene de un titulo
valor sin riesgo de incumplimiento de pago por parte del emisor del titulo. En el
caso de los títulos de deuda “libre de riesgo” quiere decir que los pagos de
principal ó nominal e intereses prometidos están garantizados. Los Títulos de
Tesorería TES CLASE B del gobierno Colombiano, se consideran en general
inversiones libre de riesgos.
Estructura de Términos de la tasa de interés.
Para cualquier clase de valores de riesgo similar, la estructura de términos de las
tasas de interés relaciona la tasa de interés o tasa de rendimiento con el tiempo al
vencimiento. En el desarrollo de este trabajo usaremos los Títulos de Tesorería
TES CLASE B para la construcción de la estructura de términos de la tasa de
interés, pero otras clases de títulos de deuda podrían incluir valores que tengan
calidad o riesgo global similar. La naturaleza libre de riesgo de los valores del
tesoro proporciona un escenario adecuado para desarrollar la estructura de
términos.
49
Curvas de rendimientos
“El rendimiento al vencimiento de una deuda representa la tasa de rendimiento
que se obtiene de un valor adquirido en un día dado y que se conserva hasta el
vencimiento. En algún punto en el tiempo, la relación entre el tiempo que resta
para el vencimiento de una deuda y su rendimiento al vencimiento se representa
mediante la curva de rendimiento, la cual muestra el rendimiento al vencimiento de
deudas de características similares y vencimientos diferentes. La curva de
rendimientos es una ilustración grafica de la estructura de términos de la tasa de
interés”5.
Grafico 2. Formas típicas de curva de rendimientos
Las curvas de rendimiento con pendiente positiva, son llamadas curvas de
rendimiento normales e indican que los costos de endeudamiento a corto plazo
son más bajos que los costos de endeudamiento a largo plazo; algunas veces se
han presentado curvas de rendimientos planas que reflejan costos de
endeudamiento relativamente similares para préstamos a corto plazo y a plazos
más largos; muy pocas veces se han observado curvas de rendimiento con
pendiente negativa, llamadas también curvas de rendimiento inversa o anormales
que reflejan costos de endeudamiento a largo plazo mas económicos que los
costos de endeudamiento a corto plazo.
5
Lawrence J. Gitman, Principios de administración financiera, Décima edición, México, Pearson
Educacion, 2003, p 231
50
Teorías de la estructura de términos6
Con frecuencia se citan tres teorías para explicar la forma general de la curva de
rendimiento. Estas son la teoría de las expectativas, la teoría de la preferencia de
liquidez y la teoría de la segmentación del mercado
Teoría de las expectativas. Una teoría de la estructura de términos de las tasas
de interés, la teoría de las expectativas, sugiere que la curva de rendimiento refleja
las expectativas del inversionista acerca de las tasas de interés y de la inflación
futuras. Índices futuros mas altos de inflación esperada dan como resultado tasas
de interés a largo plazo más altas; lo opuesto ocurre con índices futuros más
bajos. Esta explicación ampliamente aceptada de la estructura de términos se
puede aplicar a valores de cualquier emisor.
Según la teoría de las expectativas, por lo general una expectativa de incremento
en la inflación da como resultado una curva de rendimiento de pendiente positiva;
una expectativa de reducción en la inflación de como resultado una curva de
rendimiento de pendiente negativa, y una expectativa de inflación estable produce
una curva de rendimiento plana. Aunque como veremos, existen otras teorías, la
fuerte relación observada entre la inflación y las tasas de interés apoya esta teoría
ampliamente aceptada.
Teoría de la preferencia de liquidez. La tendencia de las curvas de rendimiento
a ser de pendiente positiva se puede explicar con más detalle mediante la teoría
de la preferencia de liquidez. Esta teoría sostiene que para un emisor dado, las
tasas a largo plazo tienden a ser más altas que las tasas de corto plazo. Esta
creencia se basa en dos hechos de comportamiento:
1. los inversionistas perciben menos riesgo en valores de corto plazo que en
valores a plazo más largo y, por tanto, están más dispuestos a aceptar
rendimientos menores de ellos. La razón es que los valores a plazo mas corto son
líquidos y menos sensibles a los movimientos generales de la tasa de interés ³.
2. Por lo común, los prestatarios están dispuestos a pagar una tasa más alta por
un financiamiento a largo plazo que por uno a corto plazo. Limitándose a fondos
con un periodo mas largo, pueden eliminar las posibles consecuencias adversas
de tener que refinanciar una deuda a corto plazo a costos desconocidos para
obtener un financiamiento a largo plazo.
6
Lawrence J. Gitman, Principios de administración financiera, Décima edición, México, Pearson
Educacion, 2003, pp. 232-233
51
Los inversionistas (prestamistas) tienden a exigir una prima por invertir fondos
durante periodos más largos, mientras que los prestatarios están dispuestos a
pagar una prima por obtener un financiamiento a plazo mas largo. Estas
preferencias de prestatarios y prestamistas hacen que la curva de rendimientos
tienda a ser de pendiente positiva. En pocas palabras, los vencimientos más
largos tienden a tener tasas de interés más altas que los vencimientos más cortos.
Teoría de segmentación del mercado. La teoría de segmentación del mercado
sugiere que el mercado de préstamos se segmenta con base en el vencimiento y
que la oferta y la demanda de préstamos dentro de cada segmento determinan su
tasa de interés prevaleciente. En otras palabras, el equilibrio entre proveedores y
demandantes de fondos a corto plazo, como prestamos comerciales, determinaría
las tasas de interés a corto plazo prevalecientes, y el equilibrio entre proveedores
y demandantes de fondos a largo plazo, como los prestamos de bienes raíces,
determinaría las tasas de interés a largo plazo prevalecientes. La relación general
entre las tasas prevalecientes en cada segmento del mercado determinaría la
pendiente de la curva de rendimiento. Dicho llanamente, tasas bajas en el
segmento a corto plazo y tasas altas en el segmento a largo plazo hacen que la
curva de rendimiento tenga una pendiente positiva. Lo contrario ocurre con las
tasas altas a corto plazo y las tasas bajas a largo plazo.
Estas tres teorías de la estructura de términos son validas. De ellas concluimos
que, en cualquier momento, la pendiente de la curva de rendimientos se ve
afectada por: 1) las expectativas inflacionarias, 2) las preferencias de liquidez, 3)
el equilibrio comparativo de la oferta y demanda en los segmentos a corto y a
largo plazos del mercado. Las curvas de rendimiento de pendiente positiva
resultan de expectativas inflacionarias futuras más altas, preferencias del
prestamista por préstamos de vencimientos más cortos y una oferta mayor de
préstamos a corto plazo que de préstamos a largo plazo respecto de la demanda.
Los comportamientos opuestos darían como resultado una curva de rendimientos
de pendiente negativa. En cualquier momento, la interacción de estas tres fuerzas
determina la pendiente prevaleciente de la curva de rendimiento.
52
2.5.
CALCULO DEL PRECIO DE LOS TITULOS DE TESORERIA CLASE B
(TESB)
Antes de tratar el tema de las tasas spot es indispensable saber como se calcula
en Colombia el precio para los Títulos de Tesorería clase B (TES B). Quien
determina la forma del cálculo del precio es el ministerio de hacienda y crédito
público, entidad que ha establecido lo siguiente:
El precio de los TES B es la suma del valor presente (o valor costo) del principal y
de el(los) cupón(es) del título en el día de cumplimiento de la oferta, descontados
a la tasa de rendimiento aprobada en la subasta. Para el cálculo del precio, el
valor nominal será de cien (100) unidades, el cual se aproximará al milésimo más
cercano, menor de cinco (5) o mayor o igual a cinco (5) según corresponda. Dicho
cálculo se hará expresando en forma porcentual con tres (3) decimales.
El precio será el resultado de la siguiente expresión matemática:
Donde:
Precio:
Es el valor costo de la inversión.
Tasa Cupón:
Es el porcentaje con el cual se calculan los rendimientos periódicos
de los títulos y corresponde a la tasa facial de los mismos.
i e:
Es la tasa de rendimiento efectiva anual de los TES resultante
de la subasta (tasa de corte), expresada como porcentaje.
n:
Es el número de días transcurridos entre la fecha de cumplimiento
de la subasta y el próximo pago de intereses del título.
N:
Es el número de cupones de intereses del título pendientes de pago
en la fecha de cumplimiento de la Subasta.
k:
Variable que toma valores entre 1 y N.
53
2.6.
TASAS DE INTERES SPOT Y FORWARD
“La tasa de interés spot o cero cupón para cierto plazo, por ejemplo anual o a n
años, es la tasa de interés que se le pagaría una inversión que se realice al plazo
respectivo. Esto es una tasa spot a 1 año es la tasa de interés que ganaría una
inversión a un año, una tasa spot a 3 años es la tasa de interés que se pagaría a
una inversión realizada para ese periodo, y así para cada periodo que se quiera
considerar. Lo importante que se debe notar es que esa “inversión” que se esta
considerando es una inversión que solamente realiza pagos finales, es decir que
al final del plazo que se considere se pagan intereses y principal, sin que existan
pagos intermedios de ninguna índole como podrían ser pagos de cupones.
Por otro lado, la tasa de interés a futuro o foward, es la tasa de interés que existe
de forma implícita, entre dos tasas spot de diferentes periodos, de esta forma,
podemos hablar de la tasa forward a un año dentro de dos años, por ejemplo, y
con esto nos estaríamos refiriendo a la tasa spot anual que posiblemente podrá
existir dentro de dos años y es la tasa spot forward implícita entre la tasa spot de
dos años y tres años” 7
Gráfico 3. Tasas spot y Tasas Forward
Fuente: Perotti, E, 2005
7
Jaime Díaz Tinoco e Fausto Hernández Trillo, Futuros y opciones financieras, Tercera edición
México, Limusa, 2003, pp. 51-52.
54
Como se puede observar en la sección 2.5 Cálculo del precio de los títulos de
tesorería clase B (TES B), la expresión utilizada para el cálculo del precio de los
TES B es la misma formula para el cálculo del precio de un bono, que puede ser
escrita de una forma más convencional o estandarizada como se muestra a
continuación:
Donde:
P0:
Es el valor costo de la inversión.
c:
Es el pago de Interés (100 * Tasa Cupón)
i e:
Es la tasa de rendimiento efectiva anual de los TES resultante
de la subasta (tasa de corte), expresada como porcentaje.
En esta expresión se nota que esta siendo utilizada una tasa de corte constante
para traer a valor presente cada uno de los flujos, esto es común a nivel mundial,
aunque seria mas razonable traer a valor presente cada uno de los flujos usando
la tasa correspondiente del flujo, es decir, usando una tasa spot, ya que si se
tienen dos títulos con el mismo vencimiento, los rendimientos serán distintos si la
tasa del cupón es diferente, esto hace que la curva que relaciona los rendimientos
al vencimiento y su vencimiento sea muy difícil de interpretar y de usar en la
práctica, debido a esto, es adecuado obtener las tasas spot o forward a partir de la
estructura de plazos de las tasas de interés.
“Un bono con cupones puede verse como un conjunto de bonos que únicamente
poseen un pago al final de cada periodo (bonos cero cupón). El precio del bono
con cupones debe ser igual a la suma de los precios de los bonos cero cupón que
lo componen. La tasa spot z(t), es la tasa a la que se descuenta un flujo de caja
único en el tiempo t, tal como un bono cero cupón”8. El precio del bono estaría
dado por la siguiente expresión:
8
Bolsa de valores de Colombia, “Métodos de estimación de la curva cero cupón para títulos Tes”,
Dirección de investigación y desarrollo, Colombia, 2002,
http://www.bvc.com.co/Normatividad/DocumentoCurvaCeroCupon02.pdf,
(acceso Diciembre 9, 2007).
55
Si se suponen tasas compuestas continuas, El precio del bono estaría dado por la
siguiente expresión:
O lo que es lo mismo:
En el momento de graficar la curva de rendimiento mediante splines cúbicos, se
hace en el plano rendimiento (eje y) – vencimiento (eje x) con una serie de puntos
discretos. Una vez se interpolan estos puntos se obtiene una curva continua
donde se genera la estructura de tasas de interés y a partir de ella las tasas spot.
Si se conoce la tasa spot (z1) de un TES B a un año, se puede determinar la tasa
spot para el segundo año (z2). Usando un TES B existente a dos años:
Como las otras variables son conocidas, z2 se puede calcular.
Luego, z3, el tercer período de la tasa spot, puede encontrarse si se observa un
TES B a 3 años:
Este proceso continúa hasta obtener las tasas spot de todos los periodos. Este
método es conocido como bootstrap y es uno de los modelos mas utilizados para
encontrar las tasas spot y para crear la curva spot (cero cupón).
Como se menciono al inicio de esta sección las tasas forward implícitas son las
tasas de interés de un contrato pactado entre dos fechas en el futuro, pero sobre
condiciones establecidas hoy. Para ilustrar como se realiza el cálculo de estas
tasas, se define la siguiente notación:
56
: Tasa forward implícita entre el periodo t y t+1
z 0,t :
Tasa spot en el periodo t que se negocia el instrumento de deuda
z 0,t +1 : Tasa de interés spot para el periodo de 0 a t+1 a la que se negocia el
Instrumento de deuda
Por relaciones de arbitraje, estas tasas deben cumplir la siguiente condición:
Para t = 1, 2, 3, …, n (numero de periodos)
Luego:
Para t = 1, 2, 3, …, n (numero de periodos)
2.7.
INTERPOLACION MEDIANTE SPLINES CUBICOS 9
En esta parte se tratara la interpolación polinómica a trozos, método con el cual se
pretenden encontrar las curvas de rendimientos para los TES B subastados en
pesos colombianos por el ministerio de hacienda y crédito publico nacional.
Si se tienen n + 1 puntos:
P k ( x k, y k ), donde y k = f(x k), k = 0, 1, . . . , n
en los cuales se quiere interpolar la función f. Las abcisas no es necesario que
sean equidistantes, pero se suponen ordenados, es decir,
x 0 < x1 < x 2 < . . . < x n
Entonces se pueden encontrar polinomios cúbicos q k (x) que interpolen la función
f en el subintervalo
[ x k, x k+1 ], k = 0, 1, . . . , n – 1.
9
Jesús García Quesada. "Tutorial de Análisis Numérico” Interpolación: Splines cúbicos, Depto. de
Informática y Sistemas - Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, v0.3 - 2 de Octubre de 2000,
https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/2/MA33A/1/material_alumnos/objeto/4656.
(acceso Diciembre 9, 2007).
57
Gráfico 4. Interpolación con splines cúbicos
Definición 1. La función s(x) se llama cúbica a trozos en [ x 0, x n] si existen
polinomios cúbicos q0(x), q1(x), . . . , q n-1(x) tales que:
s(x) = q k (x) en [ x k, x k+1],
para k = 0, 1, . . . , n – 1
Para que s(x) interpole en los puntos P0, P1, . . . , Pn los q k(x) han de verificar:
q k( x k) = y k
q k ( x k+1) = y k+1, k = 0, 1, . . . , n – 1
(1)
lo cual supone 2n condiciones. Se llama s(x) spline cúbico, o simplemente spline,
si los polinomios q k (x) tienen la misma pendiente y la misma concavidad en los
nodos que las unen:
q' k-1 ( x k ) = q' k ( x k )
q'' k-1 ( x k ) = q'' k ( x k), k = 1, 2, . . . , n – 1
(2)
lo cual supone 2(n - 1) condiciones a cumplir. Al tener que verificar las condiciones
(1) y (2) se asegura que s(x) tiene su primera y segunda derivadas continuas en
[x0, xn]. En este caso se dice que s(x) es un spline interpolador para P0, P1,..., Pn.
58
Si s(x) es cúbica a trozos en el intervalo [ x 0, x n ], su derivada segunda s''(x) es
lineal en el mismo intervalo e interpola en los puntos (x k, s'' (x k)) y ( x k+1, s'' (x k+1))
en [ x k, x k+1 ]. Por tanto, q k ( x ) es un polinomio de grado uno que interpola en los
puntos ( x k, s '' ( x k ) ) y ( x k+1, s'' ( x k+1)):
Si se denota
h k = x k+1 – x k, k = 0, 1, . . . , n – 1
y
σ k = s'' (x k), k = 0, 1, . . . , n
se tiene:
(3)
donde h k y σ k son constantes (k a determinar). Integrando dos veces.
(4)
donde el termino lineal se puede escribir como:
C k + D k x = A k(x – x k) + B k (x k+1 – x)
siendo A k y B k constantes arbitrarias, quedando entonces:
(5)
Aplicando a (5) las condiciones (1):
(6)
(7)
y despejando de aquí A k y B k y sustituyendo en (5) resulta :
59
(8)
Que es la ecuación del spline q k (x).
Falta aun por conocer los valores σ0, σ1, . . . , σ n (n+1 incógnitas) para lo cual se
puede usar (2); derivando en (8) se tiene :
Por tanto:
(9)
(10)
Reemplazando k por k -1 en (10) para obtener q ' k-1(x k) e igualando a (9) se tiene:
(11)
o también
(12)
o incluso
(13)
60
Como el índice k varia de 1 a n – 1, se producen n -1 ecuaciones lineales con n +1
Incógnitas σ0, σ1, . . . , σn, lo cual produce un sistema subdeterminado que tiene
linfitas soluciones.
Existen varias estrategias para eliminar σ0 de la primera ecuación y σn de la (n–1)esima produciendo un sistema tridiagonal de orden (n–1) en las variables
σ1, σ2, . . . , σn-1
ALTERNATIVA I Especificar el valor de s''(x) en los puntos extremos: σ0 = s''(x0)
y σn = s''(xn). Si se pone σ0 = 0; σn = 0 se denomina spline cúbico natural.
ALTERNATIVA II Suponer que s''(x) es constante en los extremos: σ0 = σ 1 y
σ n = σ n-1
ALTERNATIVA III Suponer que s''(x) es lineal cerca de los extremos:
ALTERNATIVA IV Especificar el valor de s'(x) en los puntos extremos:
Si hay que calcular muchas veces s(z) entonces es preferible hacer la sustitución :
x k+1 – z = (x k+1 – x k) – (z – x k) = h k – (z – x k)
en q k (z) y entonces expresar este en potencias de z – x k para obtener :
q k (z) = y k + α1 (z – x k) + α 2 (z – x k)2 + α 3 (z – x k)3
= y k + (z – x k) (α1 + (z – x k) (α2 + (z – x k) α3))
61
Evaluado con solo 4 sumas/restas y 3 productos, donde
En forma matricial, el sistema tridiagonal que resulta es (caso de spline cúbico
natural):
o también
62
3. METODOLOGIA PROPUESTA
En este capitulo se describirá brevemente la metodología que se siguió para
cumplir con el objetivo de este trabajo que es encontrar la forma adecuada de
estimar los rendimientos y retornos de un portafolio de inversión en títulos de renta
fija específicamente en los títulos de tesorería de manera que los inversionistas
tengan una excelente herramienta de decisión.
3.1.
TIPO DE ESTUDIO.
Se utilizo la investigación descriptiva - explicativa para conocer los activos de renta
fija, las curvas de rendimiento, la interpolación mediante splines cúbicos y el
método bootstrap para el calculo de tasas spot y forward. Se utilizo la
investigación histórica para la recolección de información acerca de las emisiones
y subastas de los títulos de tesorería clase B (TES B) a través del ministerio de
hacienda y crédito publico. Finalmente, con base en el tipo de investigación
estudio de caso, se presento la propuesta del modelo de splines cúbicos para
estimar la estructura temporal de tipos de interés que permitirá obtener las tasas
spot y forward para evaluar cada alternativa de inversión en TES B de la mejor
manera.
3.1.1 Recorrido general por el mercado de renta fija en Colombia y revisión
de los conceptos fundamentales para el desarrollo del estudio.
El primer paso necesario para el desarrollo de este trabajo es conocer el
mercado de renta fija en Colombia, por lo que se investigo en diferentes
entidades cuales son los títulos de renta fija en Colombia con todas sus
características, como se emiten, quien los emite y quien los califica, para de esta
forma introducir el objeto de estudio que son los títulos de tesorería clase b (TES
B), después de hacer esto se introducirán varios conceptos fundamentales
buscados en diferentes libros y publicaciones como que es la estructura
temporal de tipos de interés, que es una curva de rendimiento y sus formas
típicas, que son las tasas spot y forward y como se calculan, y finalmente se
estudiara la teoría sobre interpolación mediante splines cúbicos. Todos estos
conceptos se trataron en el marco teórico (Capitulo 2), y una vez claros se puede
proceder a buscar las emisiones de TES B para extraer un conjunto de títulos y
hacer el cálculo de las curvas de rendimiento mediante splines cúbicos.
63
3.1.2 Consulta de las captaciones de TES B subastas y underwriting a
través del Misterio de Hacienda y Crédito Público.
A través de la pagina Web del ministerio de hacienda y crédito publico se
consultaron las emisiones de títulos de tesorería clase b (TES B) subastados en
pesos en los últimos tres años; la información de estas emisiones consultadas se
observan en los Anexos A, B, D, F y H.
3.1.3 Selección de una muestra de TES B emitidos en diferentes fechas
para realizar la estimación de las tasas de rendimiento.
Una vez obtenido los archivos de las emisiones de los TES B subastados en
pesos de los últimos tres años, se utilizaron varios de estos títulos para probar
los modelos splines propuestos en el capitulo cuatro.
3.1.4 Realizar un grafico de los rendimientos de los títulos de tesorería
TES B contra su fecha de vencimiento.
Una vez fueron seleccionados los TES B para las probar los modelos
planteados, se graficaron los puntos que serán interpolados, donde el tiempo
que resta para el vencimiento del TES B se representara en el eje x y su
rendimiento al vencimiento (tasa de corte) se representara en el eje y).
3.1.5 Estudio de la interpolación mediante splines cúbicos a través de la
Internet, libros de métodos numéricos y publicaciones en revistas.
Se realizo una búsqueda profunda sobre la interpolación con splines cúbicos en
diferentes medios como el Internet, libros en bibliotecas y revistas, y se
selecciono la teoría que de forma mas clara daba a entender la interpolación
mediante los splines cúbicos para que finalmente fuera usada como base en el
desarrollo de los modelos splines para el calculo de las curvas de rendimiento.
64
3.1.6 Interpolar las tasas de rendimiento con splines cúbicos.
Luego de estudiar y entender la interpolación mediante splines cúbicos, se
plantearan dos modelos que estimen el vencimiento y el rendimiento al
vencimiento para el conjunto de TES B seleccionados, se establecerán nuevas
condiciones de frontera si es necesario, para estabilizar el modelo spline y
finalmente se trazara la grafica con los resultados del modelo.
3.1.7 Cálculo del precio teórico de los TES B
A partir de las graficas obtenidas mediante los splines cúbicos, se logra extraer
el rendimiento para cualquier vencimiento, utilizamos el rendimiento de cada
TES B con periodos de vencimiento de 6 meses hasta llegar al vencimiento mas
largo de cada titulo emitido; para luego calcular el precio de cada titulo en estos
periodos, de manera que mas adelante se puedan calcular las tasas spot y
forward.
3.1.8 Cálculo de las tasas forward y spot teóricas mediante el método
bootstrap.
Una vez graficada la curva de rendimientos y obtenida la estructura temporal de
los tipos de interés para los TES B escogidos, se procedió a calcular las tasas
spot y forward teóricas mediante el método de bootstrap y luego se presentaron
los resultados en una tabla.
3.1.9 Presentar el informe final
Finalmente se mostraron los resultados de cada modelo planteado, se realizo el
análisis de los resultados y se presentaron las conclusiones finales del trabajo.
65
4. DESARROLLO DE LA PROPUESTA
Hasta el momento se tienen todos los conceptos necesarios para el desarrollo del
modelo de splines cúbicos para el cálculo de la estructura temporal de los tipos de
interés para los TES B, para que a partir ella podamos obtener las tasas spot y
forward. En este capitulo se desarrollaran dos modelos de splines para los TES B,
uno con cinco nodos, cuando en una emisión se tengan cuatro fechas de
vencimiento y otro con seis nodos, cuando en una emisión se tengan cinco fechas
de vencimiento, esto debido a que en una emisión de TES B a veces se tienen
cuatro plazos de vencimiento y otras veces cinco.
4.1.
PLANTEAMIENTO DEL MODELO
En el marco teórico se mostró la forma de construir una función spline para que
de acuerdo con las condiciones de una función spline se pueda construir la curva
de rendimientos para los TES (títulos de tesorería) clase B subastados en pesos
por el gobierno nacional y el ministerio de hacienda y crédito público.
A continuación se explica como construir la curva de rendimientos con una función
spline, todos los cálculos se realizaron a través del programa DERIVE 6 gracias a
la facilidad de su estructura para realizar operaciones matemáticas y para realizar
gráficos con múltiples opciones para el análisis de las curvas. Antes de empezar la
construcción de los modelos, se recuerdan las condiciones esenciales de una
función spline:
Si se tienen n + 1 puntos:
P k ( x k, y k ), donde y k = f(x k), k = 0, 1, . . . , n
en los cuales se quiere interpolar la función f. Las abcisas no es necesario que
sean equidistantes, pero se suponen ordenados, es decir,
x 0 < x1 < x 2 < . . . < x n
Entonces se pueden encontrar polinomios cúbicos q k (x) que interpolen la función
f en el subintervalo
[ x k, x k+1 ], k = 0, 1, . . . , n – 1.
66
Definición 1. La función s(x) se llama cúbica a trozos en [x0, xn] si existen
polinomios cúbicos q0(x), q1(x), . . . , q n-1(x) tales que:
s(x) = q k (x) en [ x k , x k+1 ],
para k = 0, 1, . . . , n - 1
Para que s(x) interpole en los puntos P0, P1, . . . , Pn los q k(x) han de verificar:
q k ( xk ) = y k
q k ( xk+1) = y k+1, k = 0, 1, . . . , n – 1
(1)
q ' k-1 ( x k) = q ' k ( x k )
q '' k-1 ( x k ) = q '' k( x k ), k = 1, 2, . . . , n – 1
(2)
Se llamará a s(x) spline cúbico, o simplemente spline, si los polinomios q k (x)
tienen la misma pendiente y la misma concavidad en los nodos que las unen. Con
base esta teoría se obtendrá la representación de la estructura temporal de tipos
de interés; se redefinirán algunos de los términos anteriormente utilizados para un
mejor acercamiento a la construcción de la curva de rendimientos:
Cada punto será P k (t k, r k), donde r k = f ( t k), k = 0, 1, . . . , n
La variable t representa el tiempo en años, y la variable r representa el rendimiento
al vencimiento de cada TES B.
Gráfico 5. Vencimiento (años) de los TES B Vs Rendimiento al vencimiento
67
Generalmente en las subastas, se tienen TES B a plazos de 1, 3, 5, 6, 10 y/o 15
años con diferentes rendimientos. Por esta razón se construirá un spline con cinco
nodos y otro spline con seis nodos, donde cada nodo representa el tiempo y el
rendimiento en ese tiempo. Sin embargo si se tuvieran más o menos nodos el
procedimiento para la construcción de la curva seria el mismo; la diferencia estaría
simplemente en el aumento o disminución de las restricciones del spline.
Cada polinomio cúbico que interpole la función f en el subintervalo [t k, t
llamado Rk (t), para k = 0, 1, . . . , n - 1
k+1]
será
Con cinco nodos (n=5) se tienen cuatro polinomios:
R0 = a + b t + c t ² + d t ³
para t en el intervalo
[ t 0, t 1 ]
R1 = e + f t + g t ² + h t ³
para t en el intervalo
[ t 1, t 2 ]
R2 = i + j t + k t ² + l t ³
para t en el intervalo
[ t 2, t 3]
R3 = m + n t + p t ² + q t ³
para t en el intervalo
[ t 3, t 4]
Con seis nodos (n=6) se tienen cinco polinomios, los cuatro anteriores más el
siguiente:
R4 = u + v t + w t ² + x t ³
para t en el intervalo
[ t 4, t 5]
Para que s(x) interpole en los puntos P1, P2, . . . ,Pn los R k ( t ) han de verificar:
R k (t k ) = r k
R k (t k+1) = r k+1, k = 0, 1, . . . , n – 1
68
(1)
Las condiciones de continuidad para n=5 son entonces las siguientes:
a + b t0 + c t0 ² + d t0 ³ = r 0
para t en el intervalo [ t 0, t 1 )
a + b t1 + c t1² + d t1 ³ = r 1
para t en el intervalo ( t 0, t 1 ]
e + f t1 + g t1 ² + h t1 ³ = r
1
para t en el intervalo [ t 1, t 2 )
e + f t2 + g t2 ² + h t2 ³ = r
2
para t en el intervalo ( t 1, t 2]
i + j t2 + k t2 ² + l t2 ³ = r 2
para t en el intervalo [ t 2, t 3)
i + j t3 + k t3 ² + l t3 ³ = r 3
para t en el intervalo ( t 2, t 3]
m + n t3 + p t 3 ² + q t3 ³ = r 3
para t en el intervalo [ t 3, t 4)
m + n t4 + p t 4 ² + q t4 ³ = r 4
para t en el intervalo ( t 3, t 4]
Si n=6 Entonces se adicionan las siguientes condiciones de continuidad a las
anteriores:
u + v t4 + w t 4 ² + x t4 ³ = r 4
para t en el intervalo [ t 4, t 5)
u + v t5 + w t 5 ² + x t5 ³ = r 5
para t en el intervalo ( t 4, t 5]
Para que s(x) interpole en los puntos P1, P2, . . . ,P5 los R k ( t ) también verifican:
R'k-1 ( t k) = R'k (t k )
R''k-1 ( t k) = R'' k ( t k ), k = 1, 2, . . . , n – 1
(2)
Para n=5 las condiciones de diferencialidad (primera y segunda derivadas
continuas) son las siguientes:
69
b + 2c t1 + 3d t1 ² =
f + 2g t1 + 3h t1 ²
f + 2g t2 + 3h t2 ² =
j + 2k t3 + 3l t3 ²
j + 2k t2 + 3l t2 ²
= n + 2p t3 + 3q t3 ²
2c + 6d t1
=
2g + 6h t1
2g + 6h t2
=
2k + 6l t2
2k + 6l t3
=
2p + 6q t3
si n=6 entonces se adicionan a las anteriores condiciones de diferencialidad estas
dos condiciones
n + 2p t4 + 3q t4 ²
2p + 6q t4
=
v + 2w t4 + 3x t4 ²
=
2w + 6x t4
Como se observa, cuando se tienen cinco nodos (n=5) el sistema se encuentra
con dieciséis incógnitas y catorce ecuaciones, de igual forma cuando se tienen
seis nodos (n=6) el sistema se encuentra con veinte incógnitas y dieciocho
ecuaciones; por lo cual es necesario incluir dos condiciones de borde, las
alternativas son:
(a) Spline Natural:
R '' (t0) = 0,
R '' (t n) = 0
(b) Spline Extremos Constantes: R '' ( t 0) = R '' ( t 1),
(c) Spline Valor Fijo:
R'' ( t 0 ) = α,
(d) Spline Sujeta: R ' ( t 0 ) = f ' ( t 0 ),
R '' ( t n ) = R '' ( t n−1 )
R '' ( t n ) = β
R ' ( t n) = f ' ( t n)
La propuesta que se plantea es utilizar el spline natural y observar como es el
comportamiento de la curva, si en el corto o largo plazo se presenta alguna
oscilación fuerte, se propone utilizar otra condición de borde como el spline de
valor fijo. El valor se calculara mediante un proceso de prueba y error, ensayando
con diferentes valores para R '' (x0) y R '' (t n) hasta encontrar los valores fijos
óptimos. Por ahora se trabajara con el spline natural.
70
Las condiciones finales de borde con el spline cúbico natural serian entonces:
Para n=5
2c + 6d t0 = 0
2p + 6q t4 = 0
Para n=6
2c + 6d t0 = 0
2p + 6q t5 = 0
Incluidas las condiciones de borde se observa que:
Para n = 5 se tienen dieciséis incógnitas con dieciséis ecuaciones
y
Para n = 6 se tienen veinte incógnitas con veinte ecuaciones
Para encontrar los coeficientes de cada polinomio Rk (t), k = 0, 1, . . . , n - 1 se
utiliza la notación A¯¹ . r = B
Donde A¯¹ representa la inversa de la matriz del spline, r el vector de resultados
de la matriz y B representa la matriz de coeficientes de cada polinomio Rk (t), k =
0, 1, . . . , n – 1
71
Sistema Inicial de Ecuaciones para cinco nodos (n=5)
72
Forma matricial (con n=5) para hallar los coeficientes de cada polinomio Rk (t), k = 0, 1, . . . , n – 1
73
Sistema Inicial de Ecuaciones para seis nodos (n=6)
74
Forma matricial (con n=6) para hallar los coeficientes de cada polinomio Rk (t), k = 0, 1, . . . , n –1
75
4.2.
SOLUCION DE ECUACIONES Y GRAFICO DE LAS CURVAS DE
RENDIMIENTO.
La estimación de la curvas de rendimientos que se presentan en las gráficas 9 y
13, se realizaron con los TES B subastados el 13 de mayo de 2005 y el 11 de julio
de 2007 (Ver las características de estas emisiones en los Anexos A y D); Se
seleccionaron estos TES a conveniencia ya que después de varias curvas de
rendimiento realizadas con diferentes TES B (ver Anexos C, E, G, I) se
encontraron características especiales en ellos, por ejemplo en los TES
subastados el 13-05-05 se encontraron oscilaciones en el largo plazo por lo que
hubo que recurrir a cambios en las dos condiciones de borde para estabilizar el
spline, con lo cual se tendría un base perfecta para el calculo de otras curvas que
presenten oscilaciones en largo plazo; en el TES subastado el 11-07-07 se
encontró que los rendimientos en el corto, mediano y largo plazo eran muy
similares, situación perfecta para que con las tasas spot teóricas calculadas mas
adelante se tome la mejor dedición a la hora de elegir al plazo al cual invertir.
Otra característica importante de estos dos TES es que con el subastado el
13-05-05 se tiene información para formar el spline con seis nodos, y con el TES
subastado el 11-07-07 existe información para calcular un spline con cinco nodos;
de esta forma se pueden aplicar los dos modelos planteados anteriormente. De la
información presentada en cada emisión se obtienen las coordenadas de cada
punto o nodo para la estimación de las curvas de rendimiento de los TES B:
Tabla 3. Puntos o Nodos para la interpolación mediante splines cúbicos
Fecha
Cumplimiento
13/05/2005
13/05/2005
13/05/2005
13/05/2005
13/05/2005
13/05/2005
11/07/2007
11/07/2007
11/07/2007
11/07/2007
11/07/2007
Fecha
Vencimiento
07/04/2006
11/04/2008
10/07/2009
12/02/2010
12/09/2014
14/05/2009
24/11/2010
28/10/2015
24/07/2020
Vencimiento Vencimiento
(Días)
(Años)
Tasa de Corte
0
1
7,19
329
0,90
9,18
1064
2,92
10,14
1519
4,16
10,80
1736
4,76
12,10
3409
9,34
0
1
9,72
673
1,84
9,82
1232
3,38
9,87
3031
8,30
9,83
4762
13,05
De igual manera se establecieron los nodos para la estimación de las curvas de
rendimiento mostradas en los Anexos C, E, G, I
76
Reemplazando la información de cada nodo en la matriz se obtienen los polinomios del spline natural
TES B subastados el 13-05-05
.
77
R0 = 1 + 7.8839·t + 0·t ² - 1.2421·t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 0.9 ]
R1 = -0.42262 + 12.626·t - 5.2689·t ² + 0.70932 t ³
para t en el intervalo
[ 0.9 , 2.92 ]
R2 = 23.656 - 12.112·t + 3.2031·t ² - 0.2578·t ³
para t en el intervalo
[ 2.92 , 4.16 ]
R3 = 13.942 - 5.1073·t + 1.5191·t ² - 0.12287·t ³
para t en el intervalo
[ 4.16 , 4.76 ]
R4 = -1.1586 + 4.41·t - 0.48027·t ² + 0.01714·t ³
para t en el intervalo
[ 4.76 , 9.34 ]
Gráfico 6. Construcción de la curva de rendimiento inicial de los TES B subastados el 13-05-05
78
Gráfico 7. Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados el 13-05-05
Como se menciono en el planteamiento del problema, bajo un escenario libre de riesgo, la estructura de plazos
incorpora información tanto de los precios actuales como de los precios esperados futuros de las emisiones. En este
sentido, oscilaciones en la curva implican fluctuaciones en las expectativas de precios, y por consiguiente en las
tasas de interés futuras esperadas, para solucionar este problema se establecieron nuevas condiciones de frontera
en cada uno de los modelos planteados, como se muestra a continuación:
79
Para estabilizar la curva se cambio R''(t 0) = 0 por R''(t 0) = -22 y R''(t 6) = 0 por R''( t 6 ) = 0.4
80
R0 = 1 + 13.909·t - 11· t ² + 3.5414·t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 0.9 ]
R1 = 3.3717 + 6.0033·t - 2.2156· t ² + 0.28799·t ³
para t en el intervalo
[ 0.9 , 2.92 ]
R2 = 11.145 - 1.9829·t + 0.51934 t ² - 0.024219·t ³
para t en el intervalo
[ 2.92 , 4.16 ]
R3 = 31.575 - 16.716·t + 4.061· t ² - 0.30801·t ³
para t en el intervalo
[ 4.16 , 4.76 ]
R4 = -5.8611 + 6.878·t - 0.89577· t ² + 0.039106·t ³
para t en el intervalo
[ 4.76 , 9.34 ]
Grafico 8. Construcción de la curva de rendimiento estabilizada de los TES B subastados el 13-05-05
81
Grafico 9. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 13-05-05
82
TES B subastado el 11-07-07
83
R0 = 1 + 6.0489·t + 0·t^2 - 0.38688· t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 1.84 ]
R1 = - 4.6524 + 15.264·t - 5.0086· t ² + 0.52048· t ³
para t en el intervalo
[ 1.84 , 3.38 ]
R2 = 16.335 - 3.3637·t + 0.50278· t ² - 0.023056· t ³
para t en el intervalo
[ 3.38 , 8.3 ]
R3 = 0.29125 + 2.4354·t - 0.19592· t ² + 0.0050044· t ³
para t en el intervalo
[ 8.3 , 13.05 ]
Grafico 10. Construcción de la curva de rendimiento inicial de los TES B subastados el 11-07-07
84
Grafico 11. Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados el 11-07-07
85
Para estabilizar la curva se cambio R''(t 0) = 0 por R''(t 0) = -15
86
R0 = 1 + 13.958·t - 7.5· t ² + 1.353·t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 1.84 ]
R1 = 9.3992 + 0.26367·t - 0.057378· t ² + 0.0047922·t ³
para t en el intervalo
[ 1.84 , 3.38 ]
R2 = 9.563 + 0.11832·t - 0.014375· t ² + 0.00055131·t ³
para t en el intervalo
[ 3.38 , 8.3 ]
R3 = 9.8522 + 0.013777·t - 0.0017796· t ² + 0.00004·t ³
para t en el intervalo
[ 8.3 , 13.05 ]
Grafico 12. Construcción de la curva de rendimiento estabilizada de los TES B subastados el 11-07-07
87
Grafico 13. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 11-07-07
88
4.3.
CALCULO DEL PRECIO TEORICO DE LOS TES B, CALCULO DE LA
TASA SPOT TEORICA Y LA TASA FORWARD TEORICA
Hasta el momento se ha estimado la estructura de tasas de interés, sin contar con
suficientes instrumentos que satisficieran todos los plazos. Gracias a que ahora se
cuenta con la representación grafica de la estructura de las tasas de interés se
pueden obtener las tasas de corte para diferentes plazos, y con un tasa de cupón
dada, calcular el precio teórico, las tasas spot teóricas y las tasas forward teóricas.
El cálculo de las tasas spot teóricas se realizara con el método Bootstrap ilustrado
en el marco teórico que consiste básicamente en lo siguiente:
1. La tasa spot de un periodo es igual a la tasa de corte de un TES B a un
período.
2. Utilizando la tasa spot a un periodo, se determina la tasa spot para el
segundo periodo ya que las demás variables como el precio del TES B en
el segundo periodo, el cupón, y la tasa de corte son conocidas.
3. Se repite el proceso de la misma manera para determinar secuencialmente
las tasas spot para todos los periodos.
El procedimiento produce las tasas cero cupón para los distintos vencimientos de
cada TES B.
Como se ha mencionado a largo de este trabajo en las captaciones de TES B
subastas y underwriting realizadas por el ministerio de hacienda y crédito publico
no se emiten TES B con cero cupón, por lo tanto se asumirá que un TES B a seis
meses (0,5 años) se emite con cero cupón, debido a esto el periodo de pago de
intereses debe ser cada 6 meses, la tasa de cupón fue propuesta de acuerdo a las
captaciones de TES B subastas y underwriting realizadas por el ministerio de
hacienda y crédito publico para los TES B donde se ha calculado la curva de
rendimientos. A continuación se ilustra el proceso para el cálculo de las tasas spot
y forward teóricas.
La tasa de corte de acuerdo al vencimiento en años es obtenida de la curva de
rendimientos, y la tasa de cupón fue escogida como se explico en el párrafo
anterior. El proceso del cálculo de las tasas spot y forward teóricas de los TES B
subastados el 13-05-05 es el siguiente:
Primero se calcula el precio de acuerdo con el vencimiento, tasa de cupón y tasa
de corte:
89
•
Precio para el primer periodo:
•
Precio para el segundo periodo:
•
Precio para el tercer periodo:
•
Precio para el cuarto periodo:
Y así de igual forma se calcula el precio para los plazos restantes. Los resultados
se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 4. Precio teórico de los TES B subastados el 13-05-05
VENCIMIENTO
(Años)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
TASA
CUPON
0,000%
3,750%
4,000%
4,250%
4,650%
5,000%
5,650%
6,250%
6,500%
6,500%
6,525%
6,550%
6,575%
6,600%
6,625%
6,650%
6,700%
6,750%
90
TASA DE
CORTE
5,653%
7,452%
8,368%
8,819%
9,031%
9,219%
9,527%
9,981%
10,521%
11,023%
11,378%
11,607%
11,738%
11,806%
11,835%
11,856%
11,898%
11,994%
PRECIO
97,213
99,912
99,247
99,074
100,136
101,448
104,482
107,287
107,672
106,235
105,332
104,826
104,683
104,803
105,105
105,445
105,922
106,084
Ahora se procede a calcular la tasa spot teórica con el método bootstrap como se
muestra a continuación:
Se recuerda que la tasa spot de un periodo (6 meses) es igual a la tasa de corte
de un TES B a un período. Por lo tanto la primera tasa spot que se conoce es
5,653%, el cálculo para la tasa spot a dos periodos (1 año) se hace de la siguiente
forma:
Tasa spot para el segundo periodo (1 año)
Tasa spot para el tercer periodo (18 meses)
91
Tasa spot para el cuarto periodo (2 años)
Y así de igual forma se repite el proceso para determinar secuencialmente las
tasas spot de todos los periodos de los TES B subastados el 13-05-05; el
resultado final es el siguiente:
Tabla 5. Tasas spot teóricas de los TES B subastados el 13-05-05
VENCIMIENTO
(Años)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
TASA
CUPON
0,000%
3,750%
4,000%
4,250%
4,650%
5,000%
5,650%
6,250%
6,500%
6,500%
6,525%
6,550%
6,575%
6,600%
6,625%
6,650%
6,700%
6,750%
TASA DE
CORTE
5,653%
7,452%
8,368%
8,819%
9,031%
9,219%
9,527%
9,981%
10,521%
11,023%
11,378%
11,607%
11,738%
11,806%
11,835%
11,856%
11,898%
11,994%
92
PRECIO
97,213
99,912
99,247
99,074
100,136
101,448
104,482
107,287
107,672
106,235
105,332
104,826
104,683
104,803
105,105
105,445
105,922
106,084
0,928
0,881
0,837
0,796
0,756
0,712
0,664
0,611
0,561
0,516
0,478
0,445
0,416
0,391
0,367
0,344
0,319
TASA
SPOT
5,653%
7,486%
8,430%
8,899%
9,122%
9,325%
9,687%
10,247%
10,931%
11,573%
12,029%
12,316%
12,465%
12,523%
12,523%
12,516%
12,555%
12,704%
Ahora que se han calculado las tasas spot para cada periodo, se pueden
determinar fácilmente las tasas forward tratadas en el capitulo 2, su cálculo se
realiza como se muestra a continuación:
Tasa forward implícita entre 0.5 y 1 (entre 6 y 12 meses)
= 9,351%
Tasa forward implícita entre 1 y 1.5 (entre 12 y 18 meses)
= 10,343%
Tasa forward implícita entre 1.5 y 2 (entre 18 y 24 meses)
= 10,317%
93
De la misma forma se calculan las demás tasas forward, a continuación se
presentan los resultados finales para el TES B subastado el 13-05-05:
Tabla 6. Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B subastados el
13-05-05
VENCIMIENTO
(Años)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
TASA
CUPON
0,000%
3,750%
4,000%
4,250%
4,650%
5,000%
5,650%
6,250%
6,500%
6,500%
6,525%
6,550%
6,575%
6,600%
6,625%
6,650%
6,700%
6,750%
TASA DE
CORTE
5,653%
7,452%
8,368%
8,819%
9,031%
9,219%
9,527%
9,981%
10,521%
11,023%
11,378%
11,607%
11,738%
11,806%
11,835%
11,856%
11,898%
11,994%
PRECIO
97,213
99,912
99,247
99,074
100,136
101,448
104,482
107,287
107,672
106,235
105,332
104,826
104,683
104,803
105,105
105,445
105,922
106,084
TASA
TASA
SPOT FORWARD
5,653%
7,486%
9,351%
8,430%
10,343%
8,899%
10,317%
9,122%
10,019%
9,325%
10,350%
9,687%
11,882%
10,247% 14,250%
10,931% 16,561%
11,573% 17,520%
12,029% 16,693%
12,316% 15,519%
12,465% 14,266%
12,523% 13,276%
12,523% 12,529%
12,516% 12,411%
12,555% 13,189%
12,704% 15,267%
PRIMA
POR
LIQUIDEZ
1,865%
1,913%
1,418%
0,897%
1,025%
2,195%
4,003%
5,629%
5,946%
4,663%
3,203%
1,802%
0,753%
0,006%
-0,105%
0,633%
2,563%
Como complemento, se adiciono a la anterior tabla la prima por liquidez teórica
que se otorgo en esta emisión; que es el resultado de restarle a la tasa forward la
tasa spot en los periodos correspondientes.
94
El proceso para el cálculo del precio, la tasa spot y la tasa forward de los TES B
subastados el 11-07-07, es igual al anterior, por lo que no se hace necesaria su
ilustración, los resultados finales son los siguientes:
Tabla 7. Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B subastados el
11-07-07
VENCIMIENTO
(Años)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
TASA TASA DE
CUPON CORTE
0,000%
6,321%
3,750%
8,808%
4,375%
9,632%
4,375%
9,736%
4,150%
9,755%
3,950%
9,804%
3,750%
9,825%
3,780%
9,842%
3,810%
9,855%
3,840%
9,864%
3,870%
9,871%
3,900%
9,875%
3,930%
9,876%
3,960%
9,876%
3,990%
9,874%
4,000%
9,871%
4,150%
9,869%
4,300%
9,865%
4,450%
9,861%
4,600%
9,857%
4,750%
9,853%
4,900%
9,850%
5,050%
9,844%
5,200%
9,840%
5,350%
9,835%
5,500%
9,830%
PRECIO
96,889
98,591
98,476
97,824
96,327
94,552
92,573
91,844
91,200
90,638
90,152
89,742
89,406
89,135
88,930
88,568
89,804
91,199
92,732
94,392
96,172
98,057
100,065
102,157
104,346
106,619
TASA
SPOT
6,321%
8,855%
9,706%
9,799%
9,805%
9,849%
9,865%
9,880%
9,892%
9,900%
9,906%
9,909%
9,908%
9,906%
9,902%
9,896%
9,893%
9,887%
9,880%
9,874%
9,867%
9,861%
9,850%
9,842%
9,833%
9,822%
TASA
FORWARD
PRIMA
POR
LIQUIDEZ
11,450%
11,428%
10,079%
9,828%
10,071%
9,959%
9,987%
9,986%
9,970%
9,966%
9,939%
9,899%
9,884%
9,843%
9,813%
9,841%
9,779%
9,763%
9,746%
9,728%
9,748%
9,607%
9,667%
9,595%
9,566%
2,595%
1,722%
0,279%
0,023%
0,222%
0,094%
0,107%
0,094%
0,070%
0,060%
0,030%
-0,009%
-0,022%
-0,059%
-0,084%
-0,052%
-0,107%
-0,117%
-0,127%
-0,138%
-0,114%
-0,243%
-0,176%
-0,237%
-0,256%
Como complemento, se adiciono a la anterior tabla la prima por liquidez teórica
que se otorgo en esta emisión; que es el resultado de restarle a la tasa forward la
tasas spot.
95
5. ANALISIS DE RESULTADOS
Lo primero que cabe notar en este análisis de resultados, es que los dos modelos
splines propuestos en el capitulo cuatro para el calculo de la estructura temporal
de tipos de interés en los títulos de tesorería clase B (TES B) fueron
correctamente planteados, esto se evidencia en el trazo de las graficas que se
hicieron con las ecuaciones obtenidas, donde se puede observar una curva que
interpola todos los puntos y que además es suave y continua en cada punto o
nodo.
En el siguiente análisis se considera específicamente los TES B mostrados en el
anterior capitulo, ya que en las pruebas de los modelos, estos TES B presentaron
mayor dificultad en los cálculos, así que un similar análisis de estos títulos puede
hacerse para los demás TES B mostrados en los Anexos.
Análisis TES B subastado el 13-05-05
R0 = 1 + 7.8839·t + 0·t ² - 1.2421·t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 0.9 ]
R1 = -0.42262 + 12.626·t - 5.2689·t ² + 0.70932 t ³
para t en el intervalo
[ 0.9 , 2.92 ]
R2 = 23.656 - 12.112·t + 3.2031·t ² - 0.2578·t ³
para t en el intervalo [ 2.92 , 4.16 ]
R3 = 23.656 - 12.112·t + 3.2031·t ² - 0.2578·t ³
para t en el intervalo [ 4.16 , 4.76 ]
R4 = -1.1586 + 4.41·t - 0.48027·t ² + 0.01714·t ³
para t en el intervalo [ 4.76 , 9.34 ]
Gráfico 14. Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados el 13-05-05
96
El gráfico 14 muestra la curva de rendimientos obtenida inicialmente con el modelo
de splines para 6 nodos, como se menciono en el capitulo cuatro, la propuesta
era inicialmente construir un spline natural, donde se encontraran los coeficientes
de cada polinomio, y de acuerdo con el comportamiento de la grafica de las
ecuaciones, establecer nuevas condiciones de frontera para estabilizar la grafica.
La alternativa utilizada fue especificar el valor de s''(x) en los puntos extremos:
R '' ( t 0 ) = α y R '' ( t n ) = β
Los valores iniciales eran R '' ( t 0 ) = 0; R'' ( t 6 ) = 0 que es el spline cúbico
natural, mediante un proceso de prueba y error se encontraron los valores óptimos
R '' ( t 6) = 0.4
para estabilizar la grafica que fueron: R'' ( t 0 ) = -22,
Estas fueron las ecuaciones encontradas y la grafica de la curva de rendimientos
con las estas nuevas condiciones de frontera:
R0 = 1 + 13.909·t - 11· t ² + 3.5414·t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 0.9 ]
R1 = 3.3717 + 6.0033·t - 2.2156· t ² + 0.28799·t ³
para t en el intervalo [ 0.9 , 2.92 ]
R2 = 11.145 - 1.9829·t + 0.51934 t ² - 0.024219·t ³
para t en el intervalo [ 2.92 , 4.16 ]
R3 = 31.575 - 16.716·t + 4.061· t ² - 0.30801·t ³
para t en el intervalo [ 4.16 , 4.76 ]
R4 = -5.8611 + 6.878·t - 0.89577· t ² + 0.039106·t ³
para t en el intervalo [ 4.76 , 9.34 ]
Gráfico 15. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 13-05-05
97
En la curva de rendimientos del grafico 15 se puede observar una pendiente
siempre positiva, la cual posiblemente indica que en los días de negociación del
titulo, el mercado esperaba que las tasas de interés aumentaran sustancialmente
al igual que la inflación, esto efectivamente ocurrió en Colombia entre los años
2005 y 2008. La inflación en el 2007 se ubicó en un 5,69 por ciento, por encima
del punto máximo del rango entre 3,5 y 4,5 por ciento establecido por el banco de
la republica como meta para ese año y que es el mismo fijado para el 2008. Mas
adelante en la grafica del titulo subastado el 11 de julio de 2007 se observa una
curva de rendimientos muy plana que podría indicar que el mercado esperaba una
disminución en las tasas de interés y en la inflación, de manera que se
estabilizaran un poco de acuerdo con las metas establecidas por el banco de la
republica.
Para una mejor interpretación de la curva de rendimientos y determinar cual es la
mejor opción de inversión se calcularon las tasas spot y forward cuyos resultados
finales fueron los siguientes:
Tabla 8. Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B subastados el
13-05-05
VENCIMIENTO
(Años)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
TASA
CUPON
0,000%
3,750%
4,000%
4,250%
4,650%
5,000%
5,650%
6,250%
6,500%
6,500%
6,525%
6,550%
6,575%
6,600%
6,625%
6,650%
6,700%
6,750%
TASA DE
CORTE
5,653%
7,452%
8,368%
8,819%
9,031%
9,219%
9,527%
9,981%
10,521%
11,023%
11,378%
11,607%
11,738%
11,806%
11,835%
11,856%
11,898%
11,994%
PRECIO
97,213
99,912
99,247
99,074
100,136
101,448
104,482
107,287
107,672
106,235
105,332
104,826
104,683
104,803
105,105
105,445
105,922
106,084
98
TASA
TASA
SPOT FORWARD
5,653%
7,486%
9,351%
8,430%
10,343%
8,899%
10,317%
9,122%
10,019%
9,325%
10,350%
9,687%
11,882%
10,247% 14,250%
10,931% 16,561%
11,573% 17,520%
12,029% 16,693%
12,316% 15,519%
12,465% 14,266%
12,523% 13,276%
12,523% 12,529%
12,516% 12,411%
12,555% 13,189%
12,704% 15,267%
PRIMA
POR
LIQUIDEZ
1,865%
1,913%
1,418%
0,897%
1,025%
2,195%
4,003%
5,629%
5,946%
4,663%
3,203%
1,802%
0,753%
0,006%
-0,105%
0,633%
2,563%
Con las tasas spot y forward, el inversionista puede seleccionar cual considera es
su mejor alternativa de inversión, en la tabla 8 se observa que entre mayor es el
vencimiento del titulo mayor es el tasa spot teórica del título, donde se esta
otorgando una prima por liquidez al inversionista.
La decisión que tome cada inversionista sobre el tiempo adecuado para realizar
una inversión en los TES B, depende de sus necesidades. Con la anterior
estructura temporal de tipos de interés, el inversionista cuenta con un precio, tasa
spot y forward teóricas para esta emisión, donde tiene la posibilidad de elegir
claramente lo que mas le convenga, si el inversionista necesita liquidez, podría
invertir entre 1.5 años con una tasa spot de 8,430%, pero como se observa hay
expectativa de que las tasas de interés suban en el futuro, debido a una
pendiente bastante pronunciada, además de que se esta otorgando una prima por
liquidez al aumentar las tasas spot año tras año, por lo que seria conveniente
invertir en el mediano o largo plazo. Si el inversionista optara por invertir en el
mediano o largo plazo la mejor alternativa serian invertir entre 4 y 5 años, ya que
es en este tiempo donde se esta otorgando la prima por liquidez mas alta, como
se puede observar en la tabla 8.
Se otorga una prima por liquidez cuando la tasa forward implícita es mayor que la
tasa spot. Entre mayor es esta distancia, mayor es la prima que se esta otorgando,
por eso la importancia de haber encontrado las tasas spot y seguidamente las
tasas forward para determinar cuando es el tiempo propicio para invertir en los
TES B.
99
Análisis TES B subastado el 11-07-07
R0 = 1 + 6.0489·t + 0·t^2 - 0.38688· t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 1.84 ]
R1 = - 4.6524 + 15.264·t - 5.0086· t ² + 0.52048· t ³
para t en el intervalo
[ 1.84 , 3.38 ]
R2 = 16.335 - 3.3637·t + 0.50278· t ² - 0.023056· t ³
para t en el intervalo
[ 3.38 , 8.3 ]
R3 = 0.29125 + 2.4354·t - 0.19592· t ² + 0.0050044· t ³
para t en el intervalo
[ 8.3 , 13.05 ]
Gráfico 16. Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados el 11-07-07
El grafico 16 muestra la curva de rendimientos obtenida inicialmente con el modelo
de splines para cinco nodos, que se planteo en el capitulo cuatro, al igual que el
anterior título analizado, la propuesta era inicialmente construir un spline natural,
donde se encontraran los coeficientes de cada polinomio, y de acuerdo con el
comportamiento de la grafica de las ecuaciones, establecer nuevas condiciones de
frontera para estabilizar la grafica.
La alternativa igualmente fue especificar el valor de s''(x) en los puntos extremos:
R '' ( t 0 ) = α y R '' ( t n ) = β
100
Los valores iniciales eran R '' ( t 0 ) = 0; R '' ( t 6 ) = 0 que es el spline cúbico
natural y mediante el proceso de prueba y error se encontraron los valores
óptimos para estabilizar la grafica que fueron: R '' ( t 0 ) = -15, R '' ( t 6) = 0.
Cabe notar que solo se cambio la condición de frontera inicial, ya que cuando se
experimentaron varios valores para establecer la condición de frontera optima en
el ultimo nodo, estos valores desestabilizaban la curva de rendimientos en el
tramo largo, por esto se conservo en el valor de 0 para R '' ( t 6).
Estas fueron las ecuaciones encontradas y la grafica de la curva de rendimientos
con las estas nuevas condiciones de frontera:
R0 = 1 + 13.958·t - 7.5· t ² + 1.353·t ³
para t en el intervalo
[ 0 , 1.84 ]
R1 = 9.3992 + 0.26367·t - 0.057378· t ² + 0.0047922·t ³
para t en el intervalo
[ 1.84 , 3.38 ]
R2 = 9.563 + 0.11832·t - 0.014375· t ² + 0.00055131·t ³
para t en el intervalo
[ 3.38 , 8.3 ]
R3 = 9.8522 + 0.013777·t - 0.0017796· t ² + 0.00004·t ³
para t en el intervalo
[ 8.3 , 13.05 ]
Gráfico 17. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 11-07-07
Se observa en el gráfico 17 una curva de rendimientos muy plana que como se
menciono anteriormente indica que el mercado posiblemente esperaba una
disminución en las tasas de interés y en la inflación, de manera que se
101
estabilizaran un poco de acuerdo con las metas establecidas por el banco de la
republica. Se nota incertidumbre en el mercado por en el comportamiento futuro
de las tasas de interés y por el compartimiento de la inflación. Además de esto se
observa unas tasas de rendimientos similares para todos los plazos, con lo que
resultaría muy difícil tomar una decisión sino se obtienen las tasas spot, y aquí es
donde esta uno de los puntos fuertes de este estudio, ya que se utilizaron los TES
B con cupones para convertirlos en conjunto de bonos que únicamente poseen un
pago al final de cada periodo (bonos cero cupón), y de esta forma mediante el
método bootsrap calcular las tasas spot y forward para cada periodo y establecer
la mejor alternativa de inversión. Los resultados de esta emisión fueron los
siguientes:
Tabla 9. Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B subastados el
11-07-07
VENCIMIENTO
(Años)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
TASA TASA DE
CUPON CORTE
0,000%
6,321%
3,750%
8,808%
4,375%
9,632%
4,375%
9,736%
4,150%
9,755%
3,950%
9,804%
3,750%
9,825%
3,780%
9,842%
3,810%
9,855%
3,840%
9,864%
3,870%
9,871%
3,900%
9,875%
3,930%
9,876%
3,960%
9,876%
3,990%
9,874%
4,000%
9,871%
4,150%
9,869%
4,300%
9,865%
4,450%
9,861%
4,600%
9,857%
4,750%
9,853%
4,900%
9,850%
5,050%
9,844%
5,200%
9,840%
5,350%
9,835%
5,500%
9,830%
PRECIO
96,889
98,591
98,476
97,824
96,327
94,552
92,573
91,844
91,200
90,638
90,152
89,742
89,406
89,135
88,930
88,568
89,804
91,199
92,732
94,392
96,172
98,057
100,065
102,157
104,346
106,619
102
TASA
SPOT
6,321%
8,855%
9,706%
9,799%
9,805%
9,849%
9,865%
9,880%
9,892%
9,900%
9,906%
9,909%
9,908%
9,906%
9,902%
9,896%
9,893%
9,887%
9,880%
9,874%
9,867%
9,861%
9,850%
9,842%
9,833%
9,822%
TASA
FORWARD
PRIMA POR
LIQUIDEZ
11,450%
11,428%
10,079%
9,828%
10,071%
9,959%
9,987%
9,986%
9,970%
9,966%
9,939%
9,899%
9,884%
9,843%
9,813%
9,841%
9,779%
9,763%
9,746%
9,728%
9,748%
9,607%
9,667%
9,595%
9,566%
2,595%
1,722%
0,279%
0,023%
0,222%
0,094%
0,107%
0,094%
0,070%
0,060%
0,030%
-0,009%
-0,022%
-0,059%
-0,084%
-0,052%
-0,107%
-0,117%
-0,127%
-0,138%
-0,114%
-0,243%
-0,176%
-0,237%
-0,256%
Como se puede observar en la tabla 9 con las tasas spot y forward, seria muy
riesgoso para el inversionista invertir en el largo plazo, donde al contrario de la
tabla 8, en esta ocasión la mayoría de las tasas forward en el largo plazo son
inferiores a las tasas spot, y solo en el corto plazo se observa una pequeña prima
por liquidez, lo que posiblemente indica que no se debe invertir en el largo plazo.
Además, teniendo en cuenta que la curva de rendimientos para esta emisión es
muy plana, seria muy difícil determinar si las tasas de interés pueden subir o bajar,
manejado un riesgo de tasa de interés considerable.
Conociendo el inversionista los anteriores argumentos dados, sería aconsejable
para el invertir en un rango entre 1 y 3 años; aunque otra alternativa que podría
considerar seria invertir en el mediano plazo, esto si se tiene como expectativa
que las tasas de interés al igual que la inflación podrían disminuir en los próximos
años, y así el TES B ganaría unos puntos de interés, en este caso, en la tabla 9
se observa que la mejor opción para invertir en el mediano plazo seria a 6 años,
ya que la tasa spot teórica que se tiene para este periodo es 9,909%, la mayor
tasa en toda la emisión.
Cabe notar finalmente que con la información que se tiene inicialmente de las
captaciones de los títulos de tesorería clase B (TESB) seria muy difícil tomar una
decisión acertada acerca del tiempo propicio para realizar una inversión, con la
estructura temporal de los tipos interés estimada, y las tasas spot y forward
halladas a partir de esta estructura, se pueden realizar diferentes análisis que
guíen al inversionista a tomar las mejores decisiones.
103
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
•
Ante la necesidad de buscar herramientas y crear nuevas metodologías que
permitan valorizar mejor las inversiones en los mercados financieros de
renta fija, se ha desarrollado en este trabajo una aplicación alternativa, con
la estimación mediante splines cúbicos de las curvas de rendimiento de los
títulos de tesorería clase B (TES B) colombianos, estas curvas de
rendimiento han mostrado la relación entre el rendimiento y el vencimiento
de los TES B que difieren sólo en el plazo al vencimiento, y la tasa del
cupón. Se evidencio como la forma de las curvas de rendimiento define las
expectativas de los agentes sobre el curso futuro de las tasas de interés, la
liquidez del mercado y las preferencias en determinadas emisiones,
además que permiten al inversionista mediante el calculo de las tasas spot
y forward teóricas, tomar decisiones mas acertadas sobre el plazo y el
rendimiento adecuado para invertir.
•
En este trabajo se logro estimar la estructura temporal de las tasas interés
para diferentes emisiones de títulos de tesorería clase B (TES B) en pesos
colombianos, esta estimación se realizo satisfactoriamente mediante
splines cúbicos y con un ajuste de las curvas de rendimiento, evitando así
las oscilaciones en la curva que implican fluctuaciones en las expectativas
de precios, y por consiguiente en las tasas de interés futuras esperadas.
Para encontrar el ajuste que evitara las oscilaciones en las curvas de
rendimiento se utilizo primero un spline natural donde R '' ( t 0 ) = 0 y
R '' ( t n ) = 0, y después cambiando a un spline de valor fijo R '' ( t 0 ) = α
y
R '' ( t n ) = β, donde los valores α y β fueron hallados
experimentalmente de manera que estabilizaran las curvas de rendimiento
inicialmente encontradas.
•
Gracias a la excelente estimación realizada de la estructura temporal de los
tipos de interés para diferentes TES B fue posible convertir cada titulo en
bonos cupón cero, que no pagan intereses periódicos (cupones) sino que al
momento del vencimiento se emite un solo pago que incluye principal e
intereses. De esta forma los inversionistas pueden darle mejor
interpretación a las curvas de rendimiento usando las tasas spot y forward
para optimizar sus portafolios, evitando el problema de tener incertidumbre
al encontrarse TES B con similares tasas de corte (rendimiento) pero con
diferente tasa de cupón.
104
RECOMENDACIONES
•
El proceso metodológico propuesto en este estudio para el calculo de la
curva de rendimientos, las tasas spot y forward de los títulos de tesorería
(TES B) seleccionados, presentó unos resultados muy precisos y acordes
con la realidad, por lo que se recomienda a los inversionistas utilizar esta
metodología como herramienta para optimizar sus portafolios.
•
Es Importante que se revisen diferentes trabajos donde se utilice el método
de los splines cúbicos en el calculo de curvas de rendimientos para que se
establezcan nuevas metodologías o se mejore la que se presenta en este
trabajo; esto con el objetivo de lograr una mayor eficiencia en las predicción
de la estructura temporal de los tipos de interés, y en las tasas spot y
forward teóricas.
•
La metodología propuesta y los resultados hallados permiten a las líneas y
grupos de investigación en economía y finanzas, tener un referente
adecuado sobre la valorización de instrumentos de renta fija y sobre la
creación y aplicación de otros métodos parametricos y no parametricos en
la optimización económica y financiera.
•
Es necesario que se tengan en cuenta cambios en las políticas monetarias
al analizar las curvas de rendimientos, ya que variables como la tasa de
interés y la inflación se harán visibles en la forma que adopten las curvas de
rendimiento en los títulos de tesorería clase b (TES B).
105
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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edición, México, Pearson Educacion, 2003.
R Charles Moyer, James R. McGuigan, William J. Kretlow, Administración
financiera contemporánea, novena edición, México, Internacional Thomson
editores, 2005.
Uscanga Borja, M. L. “Propuesta para la creación de un índice de renta fija en
México”, Tesis Licenciatura. Actuaría. Departamento de Actuaría, Escuela de
Ciencias, Universidad de las Américas Puebla, 2005
Gitman, Lawrence, Principios de administración financiera, Décima edición,
México, Pearson Educacion, 2003, pp. 232-233
Díaz Tinoco, Jaime e Fausto Hernández Trillo, Futuros y opciones financieras,
Tercera edición, México, Limusa, 2003, pp. 51-52.
Sarmiento Sabogal, Julio Alejandro, "Mercado financiero en Colombia",
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www.javeriana.edu.co/decisiones/Julio/presentaciones/MerVal.pdf,
(acceso
Octubre 25, 2007).
García Quesada, Jesús. "Tutorial de Análisis Numérico. Interpolación: Splines
cúbicos" Departamento de Informática y Sistemas - Universidad de Las Palmas de
Gran
Canaria,
v0.3 2
de
Octubre
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2000,
https://www.ucursos.cl/ingenieria/2007/2/MA33A/1/material_alumnos/objeto/4656.
(acceso
Diciembre 9, 2007).
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para títulos Tes”, Dirección de investigación y desarrollo, 2002,
http://www.bvc.com.co/Normatividad/DocumentoCurvaCeroCupon02.pdf, (acceso
Diciembre 15, 2007)
Julio J.M., Mera, Silvia., Revéiz, Alejandro., “La curva Spot (Cero Cupón)
Estimación con splines cúbicos suavizados-usos y ejemplos”, Banco de la
republica,
http://www.banrep.gov.co/docum/Lectura_finanzas/pdf/lectura4.pdf
(acceso Diciembre 15, 2007)
Ministerio de Hacienda y Crédito Público.
http://www.minhacienda.gov.co/MinHacienda
106
República
de
Colombia,
ANEXOS
Anexo A. Fragmento (1) de las Captaciones de TES B 2005
Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2005
107
Anexo B. Fragmento (2) de las Captaciones de TES B 2005
Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2005
108
Anexo C. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 26-10-2005
Fuente: Elaboración Propia
109
Anexo D. Fragmento de las Captaciones de TES B 2006
Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2006
110
Anexo E. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 08-02-06
Fuente: Elaboración Propia
111
Anexo F.
Fragmento de las Captaciones de TES B 2007
Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2007
112
Anexo G. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 22-08-07
Fuente: Elaboración Propia
113
Anexo H. Fragmento de las Captaciones de TES B 2008
Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2008
114
Anexo I. Curva de rendimiento de los TES B subastados el 28-01-2008
Fuente: Elaboración Propia
115