Rotacional de un campo vectorial en dos dimensiones

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 7
(23 feb. 2012)
Rotacional de un campo vectorial en dos dimensiones
1.– Definición de rotacional. 2.– Ejemplos. 3.– Significado geométrico del rotacional. 4.– El teorema de Green
1 Definición de rotacional.
Hemos visto que la condición necesaria para que un campo F = (M, N ) sea un gradiente o, equivalentemente, sea conservativo, es
@M
@N
.
=
@y
@x
Esta condición se puede escribir
@N
@x
@M
=0
@y
de forma que el miembro de la izquierda define una cantidad asociada a F que tiene la propiedad de ser
cero si F es un gradiente.
Por el significado fı́sico y geométrico de esta cantidad (ver más abajo), recibe el nombre de rotacional
de F y se escribe:
@N
@M
rot F =
(1)
@x
@y
Ası́, pues podemos decir:
Todo campo que sea un gradiente tiene rotacional igual a cero en todos los puntos de su dominio.
Recı́procamente, la última parte de la clase anterior muestra que si un campo tiene rotacional igual
a cero en todos los puntos, entonces podemos aplicar el segundo método para el cálculo del potencial y
caso de que podamos obtenerlo habremos demostrado que el campo es un gradiente. De hecho se puede
demostrar que esto se puede llevar a cabo siempre que esté definido y sea continuo en todos los puntos del
plano, por tanto podemos decir:
Todo campo definido y con rotacional nulo en todos los puntos del plano es un gradiente.
2 Ejemplos.
Para acercarnos a comprender el significado del rotacional, calculemos su valor en unos cuantos ejemplos.
Claramente, para cualquier campo de vectores constante, su rotacional es cero. Y también es cero el
rotacional de cualquier campo que sea un gradiente, por ejemplo:
Ejemplo 1
Consideremos el campo F(x, y) = (x, y). Entonces el rotacional de F es: rot F =
Ejemplo 2
Consideremos el campo F(x, y) = ( y, x). Entonces el rotacional de F es
rot F =
@x
@x
@( y)
= 2.
@y
Este resultado muestra que el campo F(x, y) = ( y, x) no es un gradiente.
1
@y
@x
@x
@y
=0
0 = 0.
Clase 7
Rotacional de un campo vectorial en dos dimensiones
Ejemplo 3
Sea
F=
⇣
y x⌘
,
r2 r2
donde r 2 = x 2 + y 2 . Como vamos a necesitar las parciales de r, calculamos:
Entonces el rotacional de F es
@ ⇣x⌘
@ ⇣ y⌘
@ ⇣x⌘
@ ⇣y⌘
rot F =
=
+
2
2
2
@x r
@y
@x r
@y r2
r
=
=
r2
x2
2
x @r
@x
r4
+ y2
r4
+
r2
2x 2
2
y @r
@y
=
r4
x 2 + y2
+
r4
Curso 2011-12
@r 2
@x
= 2x y
@r 2
@y
= 2y.
r2
x · 2x
r 2 y · 2y
+
r4
r4
2
2
2
2y
y
x
x 2 y2
=
+
= 0.
4
r
r4
3 Significado geométrico del rotacional.
@M
Si F = (M, N ), el nombre de rotacional de F para la cantidad @@Nx
@ y proviene del hecho de que el valor
de esta cantidad en un punto P es igual a la circulación del campo alrededor de P por unidad de área.
Veamos qué puede significar esta extraña frase.
3.1 Concepto general de densidad superficial.
Consideremos una placa plana cuya masa está distribuida por toda su extensión de una forma no homogénea
de forma que la densidad superficial de masa varı́a de un punto a otro de la placa. ¿Cómo podemos definir
la densidad superficial de masa en un punto P = (x, y)? La idea es elegir una pequeña región R
alrededor de P, averiguar su masa m(R), averiguar su área y hallar el cociente m(R)/Área(R) que es la
densidad media de masa en R. A medida que R se va haciendo más y más pequeña (en el sentido de que
puede ser encerrada en un cı́rculo de radio más y más pequeño) entonces ese cociente o densidad media va
acercándose a un valor lı́mite que es igual a la densidad superficial de masa en P, que por tanto podemos
definir como
m R✏ (P)
(P) = lim
✏!0 Área R✏ (P)
donde, para cada número ✏ > 0, R✏ (P) es una región que contiene al punto P y que puede ser encerrada
en un cı́rculo de radio ✏.
Esta definición es equivalente a decir que la masa total de una placa que ocupa una región plana R está
dada por la integral doble:
ZZ
Masa =
d A.
R
3.2 Concepto de densidad superficial de circulación.
De forma análoga a la definición de densidad superficial de masa, se puede definir para cada punto P
del dominio de definición de un campo vectorial F, la densidad superficial
R de circulación alrededor de P:
Tomamos una pequeña región R alrededor de P, hallamos la circulación C F· dr de F a lo largo de la curva
cerrada C R= @ R que es la frontera de R orientada positivamente1 , averiguamos el área de R y hallamos el
cociente C F · dr /Área(R). La densidad superficial de circulación de F alrededor de P se define como
el lı́mite
R
C F · dr
lim
(2)
✏!0 Área R✏ (P)
donde, para cada número ✏ > 0, R✏ (P) es una región que contiene al punto P y que puede ser encerrada
en un cı́rculo de radio ✏.
Este lı́mite es igual al valor del rotacional de F en P. Para comprender mejor esta idea, veamos un
ejemplo.
1 El sentido de la orientación positiva es aquél en el que debemos recorrer la frontera para que la región quede a nuestra izquierda.
2
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3.3 Ejemplo.
Consideremos el campo vectorial F(x, y) = (2y, x 2 ), cuyo aspecto es el que se muestra en la siguiente
figura:
4
2
�4
�2
2
4
�2
�4
El rotacional de F es:
@x2
@(2y)
= 2x 2 = 2(x 1).
@x
@y
En particular, en los puntos P1 = (0, 0), P2 = (1, 0) y P3 = (2, 0), el rotacional vale:
rot F =
(rot F)(P1 ) =
(rot F)(P2 ) = 0 ,
2,
(rot F)(P3 ) = 2.
Calculemos ahora el lı́mite (2) en cada uno de esos puntos para comprobar que coincide con el rotacional:
En P1 = (0, 0) consideramos un pequeño cı́rculo C1 de centro P1 y radio r y calculamos la integral de
lı́nea
Z
Z
Z
F · dr =
M dx + N dy =
2y dx + x 2 dy.
C1
C1
C1
Parametrizando la circunferencia mediante
(
x = r cos ✓,
C1 :
y = r sen ✓,
la integral de lı́nea queda:
Z
Z
2y dx + x 2 dy =
C1
2⇡
0
=
=
dx = r sen ✓ d✓
dy = r cos ✓ d✓
2r sen ✓ ( r sen ✓ d✓) + (r cos ✓)2r cos ✓ d✓
2r 2
Z
0
2⇡
sen2 ✓ d✓ + r 3
h
2⇡r + r sen ✓
2
3
1
3
Z
2⇡
0
sen3 ✓
cos3 ✓ d✓
i2⇡
0
=
2⇡r 2 + 0 =
2⇡r 2 .
Ası́ pues, dado que el área del cı́rculo C1 es ⇡r 2 , el lı́mite (2) es
Z
1
1
lim
F · dr = lim
2⇡r 2 = 2 = (rot F)(P1 ).
r!0 ⇡r 2 C1
r!0 ⇡r 2
En lugar de usar una región circular alrededor del punto P1 podrı́amos haber usado una de cualquier
otra forma, por ejemplo el cuadrado de semilado igual a a de vértices (a, a), ( a, a), ( a, a), (a, a).
Entonces tendrı́amos que haber calculado la circulación de F a lo largo de los cuatro lados, sumar las cuatro
y dividir por el área del cuadrado que es (2a)2 = 4a 2 . Queda esto como ejercicio para el estudiante:
3
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Ejercicio 1
Calcular la circulación de F(x, y) = (2y, x 2 ) a lo largo del perı́metro del cuadrado con vértices (a, a),
( a, a), ( a, a), (a, a) y luego hallar el lı́mite para a ! 0 del resultado obtenido dividido por el área
de dicho cuadrado. Comprobar que el resultado obtenido es igual al valor del rotacional de F en P1 .
Igualmente, usando la siguiente parametrización de la circunferencia de centro P2 y radio r:
(
x = 1 + r cos ✓, dx = r sen ✓ d✓
C2 :
y = r sen ✓,
dy = r cos ✓ d✓
se puede hallar la circulación alrededor del punto P2 = (1, 0), obteniéndose:
Z
Z 2⇡
2y dx + x 2 dy =
2r sen ✓ ( r sen ✓ d✓) + (1 + r cos ✓)2r cos ✓ d✓
C2
0
=
=
2r 2
Z
0
2⇡
sen2 ✓ d✓ + r
Z
2⇡
0
cos ✓ d✓ + 2r 2
h
2
3
2⇡r 2 + r [sen ✓]2⇡
sen ✓
0 + 2⇡r + r
Z
0
1
3
2⇡
cos2 ✓ d✓ + r 3
sen3 ✓
i2⇡
0
Z
2⇡
cos3 ✓ d✓
0
= 0.
Al ser cero esta circulación, será cero el cociente de dividirla por el área del circulo y también será cero
el lı́mite del cociente que por tanto coincide con el valor del rotacional en P2 . Se deja como ejercicio para
el estudiante el comprobar la situación para el punto P3 .
Ejercicio 2
Calcular la circulación de F(x, y) = (2y, x 2 ) a lo largo de la circunferencia de centro P2 = (2, 0) y radio
r recorrida en sentido antihorario y luego hallar el lı́mite para r ! 0 del resultado obtenido al dividir esa
circulación por el área del cı́rculo limitado por dicha circunferencia. Comprobar que el resultado obtenido
es igual al valor del rotacional de F en P3 .
4 El teorema de Green
Los ejemplos de la sección anterior son consistentes con la afirmación hecha de que el rotacional de un
campo es la densidad superficial de circulación:
R
C F · dr
(rot F)(P) = lim
(3)
✏!0 Área R✏ (P)
donde R✏ (P) es una región que contiene a P y contenida en un cı́rculo de radio ✏, y C = @ R✏ (P) es la
frontera de dicha región orientada positivamente (es decir, de forma que se deje la región a la izquierda al
avanzar por C).
La ecuación (3) es equivalente a un importante teorema conocido como Teorema de Green:
Teorema 1 (Teorema de Green) Sea F = (M, N ) un campo vectorial cuyo rotacional está definido en
todo el plano, sea R una región del plano cuya frontera es una curva diferenciable a trozos, C, orientada
positivamente. Entonces:
Z
ZZ
Z
ZZ ⇣
@N
@M ⌘
F · dr =
rot F d A o también:
M dx + N dy =
dx dy.
@y
C
R
C
R @x
Este teorema lo demostraremos en la próxima clase, pero observemos que será suficiente demostrarlo
solo en los casos M = 0 y N = 0, es decir, demostrar:
Z
ZZ
Z
ZZ
@M
@N
M dx =
dx dy y
N dy =
dx dy,
@y
C
R
C
R @x
e incluso de éstas basta demostrar una sola ya que la otra se puede deducir de la primera mediante un
intercambio de coordenadas (el cual cambia la orientación de C y de ahı́ el cambio de signo).
4