Error Absoluto y Relativo: Cálculo de Errores en Física

TEXTO Nº 2
ERROR ABSOLUTO
ERROR RELATIVO
Conceptos Básicos
Cálculo de Errores
Ajuste de una Recta
Edicta Arriagada D. Victor Peralta A
Diciembre 2008
Sede Maipú, Santiago de Chile
1
Introducción
El objetivo fundamental de esta unidad es aplicar los conceptos fundamentales
de Teoría de Error; para lo cual comenzaremos dando una explicación de la
Teoría de Errores, lo más somera posible y fundamentalmente práctica, que
pueda servir al alumno cuando efectúe sus trabajos teóricos o prácticos en el
Laboratorio de Física, y tener en todo momento conciencia de la realidad de los
valores que va determinando y entre que límites se está moviendo con relación
al valor verdadero de los valores que obtiene.
Por mucho que sea la diligencia y cuidado al realizar cualquier
determinación práctica física, y por muy sensibles y precisos que sean los
aparatos utilizados, es prácticamente imposible el evitar errores, considerando a
éstos como la variación entre los valores hallados y el real o verdadero, el cual
generalmente nos es desconocido.
Tampoco el error, aunque lo conociéramos, nos daría una medida cierta
de su importancia, ya que ésta dependerá no de la magnitud de dicho error, sino
de la magnitud de la medida a valorar y de la necesidad de aproximación a su
valor real. Una diferencia, por ejemplo, de 0,1 mm en la medida del espesor de
un cabello, no se podrá considerar como buena, pero esa misma diferencia en la
medida de la distancia entre Santiago y Valparaíso podría considerarse como
extraordinaria.
No se entrara en desarrollos matemáticos complejos en esta explicación,
sino que va a definir los errores que servirá al alumno para saber en que grado
de aproximación se encuentra con el valor verdadero, apoyándose en las
mediciones obtenidas.
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión
debida a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones
impuestas por nuestros sentidos, que deben registrar la información. El principal
2
objetivo de la teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas
imprecisiones denominadas errores experimentales.
Instrumentos de medida: exactitud, precisión y sensibilidad
La parte fundamental de todo proceso de medida es la comparación de cierta
cantidad de la magnitud que deseamos medir con otra cantidad de la misma que
se ha elegido como unidad patrón. En este proceso se utilizan los instrumentos
de medida que previamente están calibrados en las unidades patrón utilizado.
Un instrumento de medida se caracteriza por los siguientes factores:
•
Exactitud: Se define como el grado de concordancia entre el valor
verdadero y el valor experimental, de modo que un aparato es tanto más
exacto cuanto más aproximado es el valor de la medida realizada al valor
verdadero de la magnitud medida.
•
Precisión: Hace referencia a la concordancia entre varias medidas de la
misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Es por
tanto un concepto relacionado con la dispersión de las medidas, de modo
que un aparato será tanto más preciso cuanto menor sea la diferencia
entre distintas medidas de una misma magnitud
•
Sensibilidad: Es la variación de la magnitud a medir que es capaz de
apreciar el instrumento. Mayor sensibilidad de un aparato indica que es
capaz de medir variaciones más pequeñas de la magnitud medida.
Clasificación de los errores
El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido
experimentalmente.
Los errores siguen una ley determinada y su origen reside en múltiples causas, y
respecto a ellas se pueden clasificar en dos grandes grupos:
3
1. Errores sistemáticos: Tienen que ver con la metodología del proceso de
medida (forma de realizar la medida):
•
Calibrado del aparato. Normalmente errores en la puesta a cero. En
algunos casos errores de fabricación del aparato de medida que
desplazan la escala. Una forma de arreglar las medidas es valorando si el
error es lineal o no y descontándolo en dicho caso de la medida.
•
Error de paralaje: cuando un observador mira oblicuamente un indicador
(aguja, superficie de un líquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de
evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la
escala de medida del aparato.
2. Errores accidentales o aleatorios: Se producen por causas difíciles de
controlar; por ejemplo momento de iniciar una medida de tiempo,
colocación de la cinta métrica, etc. Habitualmente se distribuyen
estadísticamente en torno a una medida que sería la correcta. Para
evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizar un
tratamiento estadístico de los resultados. Se toma como valor o medida
más cercana a la realidad la media aritmética de las medidas tomadas.
Cálculo de errores: Error Absoluto, Error Relativo.
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una
fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos
tipos de errores que se utilizan en los cálculos:
•
Error absoluto (Ea.): Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor
tomado como exacto (valor verdadero o valor probable). Puede ser
positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior a
4
el, (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las
de la medida.
Si llamamos x a la medición y V al valor verdadero o valor probable, el
error absoluto será:
Ea = x − V
Observación:
Se define también como error absoluto de una magnitud tomada de un
conjunto de datos, como la semi diferencia entre los valores extremos (el
mayor valor menos el menor valor de las mediciones realizadas, es decir.
Ea =
•
xMayor − xMenor
2
Error relativo (Er): Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el
valor verdadero o probable. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por
ciento (%) de error o error porcentual. Al igual que el error absoluto puede
ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser
por exceso o por defecto. no tiene unidades.
El "Error Relativo", definido por el cociente entre el error absoluto y el valor
real, está dado por la fórmula:
5
El Error Porcentual se obtiene al multiplicar por 100 el Error Relativo; es decir:
Error Porcentual =
∙ 100%
Cálculos con datos experimentales:
En las Ciencias Experimentales, las reglas que generalmente se adoptan en el
cálculo con datos experimentales son las siguientes:
•
Una medida se deberá repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar
el error accidental.
•
Se tomará como valor real o valor probable (que se acerca al valor
exacto) la media aritmética simple de los resultados o promedio de las
mediciones.
•
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las
medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).
•
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma
dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).
Ejemplo 1.- Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes
alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
 Valor que se considera exacto o real (V):
V=
3,01 + 3,11 + 3,20 + 3,15 12,47
=
= 3,1175 ≈ 3,12 s
4
4
6
 Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas
3,01 s
3,11 s
3,20 s
3,15 s
Errores absolutos
3,01 - 3,12 = - 0,11 s
3,11 -3,12 = - 0,01 s
3,20 -3,12 = + 0,08 s
3,15 - 3,12 = + 0,03 s
Errores relativos
-0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
-0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)
+0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)
+0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)
Ejemplo 2: En el siguiente cuadro se muestran los resultados de siete mediciones
de distancia (N=7) recorrida por un carrito de laboratorio:
Medición
Medición
(x)
N°
1
cm
2,83
2
2,85
3
2,87
4
2,84
5
2,86
6
2,84
7
2,86
7
Determinar:
a) El valor probable o verdadero (V).
b) Error absoluto, error relativo y error porcentual de la 3° y 4° medición.
c) Comparar los errores y decir que medida es mejor
d) Calcula la distancia más probable y el error cometido
Solución (a)
Valor probable o verdadero V
V=
2,83 + 2,85 + 2,87 + 2,84 + 2,86 + 2,84 + 2,86 19,95
=
= 2,85
7
7
Es decir:
Valor Verdadero V= 2,85cm.
Solución (b)
Cálculo del error absoluto de las mediciones 3 y 4
Si
x3= 2,87
y V= 2,85 al reemplazar en Ea = x – V
Se obtiene el error absoluto:
Ea3= 2,87 – 2,85
Ea3= 0,02
8
Si
x4= 2,84
y V= 2,85 al reemplazar en Ea= x – V
Se obtiene el error absoluto:
Ea4= 2,84 – 2,85
Ea4= - 0,01
Cálculo del error relativo de las mediciones 3 y 4
Si
V= 2,85
y Ea3=0,02 al reemplazar en
Er =
Ea
x
Se obtiene el error relativo:
Er =
0,02
2,85
Dividiendo se obtiene el error relativo:
E r = 0,007
Si
V= 2,85
y Ea4=-0,01 al reemplazar en
Er =
Ea
x
Se obtiene:
Er =
- 0,01
2,85
Dividiendo se obtiene el error relativo:
E r = −0,0035
Cálculo de error porcentual de la medida 3
E 3 Porcentual = E r ⋅ 100
Entonces:
9
E 3 Porcentual = 0,007 ⋅ 100 = 0,7%
Cálculo de error porcentual de la medida 4
E 4 Porcentual = E r ⋅ 100
E 4 Porcentual = −0,0035 ⋅ 100 = 0,35%
Solución (c)
Como el error de la tercera medición es un error por exceso de un 0,7% y el de
la cuarta medición es un error por defecto de un 0,35%. Se puede afirmar que la
mejor medición es la cuarta
Solución (d)
Para el cálculo del error absoluto de todas las mediciones aplicaremos la
dispersión de las medidas (método estadístico)
El Valor Verdadero de la medición es V= 2,85cm
Cálculo de la desviación media o error absoluto de las mediciones
Ea =
Ea =
∑ x−V
N
(2,83 − 2,85) + (2,85 − 2,85) + (2,87 − 2,85) + (2,84 − 2,85) + ... ... + (2,86 − 2,85)
7
Ea =
0,08
= 0,011 ≈ 0,01
7
10
El resultado anterior significa que el carrito recorrió una distancia de 2,85 metros
y en la medición se produce un error absoluto de aproximadamente 0,01m
Cifras significativas:
Las cifras significativas de una medida están formadas por los dígitos que se
conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la
medida. Así, por ejemplo, si decimos que el resultado de una medida es 3,72 m,
serán significativas las cifras 3, 7 y 2; donde los dígitos 3 y 7 son cifras exactas y
el dígito 2 puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta
las centésimas de metro (centímetros), aquí es donde está el error del aparato y
de la medida. Por tanto, el alumno ha de tener en cuenta:
•
Que en física y en química el número de dígitos en el resultado de una
medida (directa o indirecta) es importante. No se puede anotar todos los
dígitos que da la calculadora. Los resultados no pueden ser más precisos
que los datos de donde se obtienen, es decir, los resultados deben tener
tantas cifras significativas o menos que los datos de procedencia.
•
No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que
se ha precisado hasta la centésima mientras que en el segundo caso
sólo hasta la décima, es decir la primera medición es más precisa.
decímetros.
•
Un aparato de medida debería tener el error en el último dígito que es
capaz de medir. Así si tengo una regla cuya escala alcanza hasta los
milímetros, su error debería ser de más o menos algún milímetro. Si el
error lo tuviese en los centímetros no tendría sentido la escala hasta los
milímetros.
Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un
número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de
cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.
11
Ejemplo.
Se mide cinco veces la distancia entre dos puntos y se obtienen como resultados
4,56 m; 4,57 m; 4,55 m; 4,58 m; 4,55 m. Si calculamos la media aritmética
(sumamos todas las medidas y dividimos por el total de medidas, cinco en este
caso) da como resultado 4,562 m. Como el aparato no sería capaz de medir
milésimas, redondeamos y nos queda 4,56 m como medida real.
EJERCICIOS RESUELTOS – TEORIA DE ERRORES
1)
Un alumno quiere determinar el volumen de
gas desprendido, para ello realiza la
experiencia cuatro veces. Los resultados
obtenidos son:
100,0 cm3 ; 98,0 cm3 ; 101,0 cm3 ; 97,0 cm3
Determinar el error absoluto y relativo de la
medida 101,0 cm3
Valor real o probable del volumen del gas V :
V=
(100,0 + 98,0 + 101,0 + 97,0)cm 3
4
= 99cm 3
Error absoluto E a :
Ea = x − V
12
E a = 101,0 − 99,0
E a = 2,0
Error relativo E r :
Er =
Er =
Ea
⋅ 100
V
2,0
⋅ 100 = 0,0202 ⋅ 100 = 2,02%
99,0
2) Calcular el error absoluto, si al medir 10,2537 gr. de una sustancia se obtiene
un valor de 10,2100 gr.
Solución:
Cálculo de error absoluto de la medición
Como x= 10,2100 y la medida verdadera es V= 10,2537, se obtiene
Ea = x − V
E a = 10,2100 − 10,2537
E a = −0,0437
El signo negativo significa que es un error por defecto.
3) Calcular el error relativo cometido si al medir 10,2357gr de una sustancia
obtenemos un valor de 10,21gr.
13
Solución:
El error relativo se define como E r =
Ea
V
Y
E a = x − V = 10,21 - 10,2357 = −0,0257
Entonces el error relativo es:
Er =
- 0,0257
= −0,00251
10,2357
Es decir el error porcentual de la medición es de un -0,251%
4) Al medir una mesa con una cinta métrica de 1mm de resolución se obtiene
un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometido
Solución:
El valor real de la medición corresponde a: V = 115,2cm y el error absoluto
corresponde a:
E a= 1mm = 0,1cm
Como el error relativo se define
Er =
Ea
al reemplazar los datos se
V
obtiene:
Er =
0,1
= 0,000868
115,2
Es decir el error porcentual es de 0,0868%
5) Al masar 2,2558 kg de una sustancia obtenemos un valor de 2,24kg. Hallar el
error absoluto y el error relativo porcentual de esta medida.
Solución:
14
Cálculo del error absoluto: E a = x − V
E a = 2,24kg − 2,2558kg
E a = −0,0158
Cálculo del error relativo porcentual: E r =
EP =
Ea
⋅ 100
V
− 0,0158
⋅ 100 = −0,700
2,2558
Es decir, el error porcentual corresponde a un 0,7% por defecto
6) Al masar un objeto tres veces hemos obtenido los siguientes resultados:
20,08g, 19,87g y 20,05g. Calcular el error absoluto y relativo de la segunda
medición.
Solución:
Cálculo del valor probable o verdadero V
V =
(20,08 + 19,87 + 20,05)g
3
= 20,00 g
Cálculo del error absoluto
E a = 19,87g – 20,00g
E a = 0,13g
Cálculo del error relativo porcentual
EP =
− 0,13
⋅ 100 = −0,65%
20,00
Es decir el error por defecto de la segunda medición es de 0,65%
15
7) Tres personas han medido la distancia recorrida por un móvil y han anotado
los siguientes resultados: 37,5 m, 37,8 m y 37,4 m. Calcular la medida más
probable, el error absoluto y relativo cometido en la medición.
Solución:
Medida más probable:
V =
∑x
N
i
=
37,5 + 37,8 + 37,4
= 37,566 ≈ 37,6
3
Es decir la distancia medida más probable es aproximadamente de 37,6 cm.
Error absoluto:
En este caso como existe un conjunto de datos, se utilizará la semi diferencia
entre los valores máximo y mínimo, es decir:
Ea =
x Mayor − x Menor
2
=
37,8 − 37,4
= 0,2
2
Error relativo:
Er =
Ea
0,2
=
= 0,0053
V
37,6
Esto significa que en la medición se ha cometido un error por exceso de 0,53%
16
AJUSTE DE UNA RECTA
Muchas veces se deben representar los datos obtenidos en una medición y
hallar la función que describe su comportamiento. Cuando esta función es una
recta de la forma y=mx +n, se emplea el Método de los Mínimos Cuadrados,
que nos da el valor de los coeficientes m y n con su error, es decir:
(1)
m=
N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y
N ⋅ S XX − S X ⋅ S X
(2)
n=
S XX ⋅ S Y − S X ⋅ S XY
N ⋅ S XX − S X ⋅ S X
Donde:
S XY = ∑ xi ⋅ yi
S XX = ∑ xi ⋅ xi = ∑ ( xi )2
S X = ∑ xi
, SY = ∑ yi
Para medir la calidad de este ajuste, es decir, si los datos están más o menos
cerca de los valores teóricos que nos da la recta calculada, se emplea el
coeficiente de correlación (r), que está acotado entre -1 y 1. Este coeficiente es
tanto mejor cuanto más se acerque a alguno de estos valores y peor cuanto más
se acerque a cero. La fórmula de coeficiente de correlación es:
r=
[N ⋅ S
N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y
XX
][
− (S X )2 ⋅ NS YY − (S Y )2
]
Supongamos que hemos obtenido N medidas independientes de dos
magnitudes físicas x e y, y que teóricamente, están relacionadas por medio de
una cierta función en la que aparecen varios parámetros:
Y = f(x, a, b)
Donde:
17
•
a, b son parámetros, que pueden representar magnitudes físicas
constantes.
•
(Xi , Yi) con i = 1,2, …
…, n medidas experimentales.
Ejemplo:
Y = a x + b. Una función de este tipo la encontramos en la práctica de un
Movimiento Rectilíneo Uniforme, donde Y es la distancia d recorrida por un
móvil; x el tiempo t empleado en recorrerla. El parámetro a será entonces, la
velocidad media o constante del móvil que designamos por v m y b debe ser
nulo, lo que expresamos:
d = vm ⋅ t
Para fijar ideas vamos a efectuar un ajuste a una recta, cuya función es
Y = a x + b , cuyos datos y cálculos están representados en la siguiente tabla
i
1
2
3
4
5
6
7
8
N=8
Xi
1
2
3
5
6
8
9
10
SX = 44
Yi
1,5
2,0
4,0
4,6
4,7
8,5
8,8
9,9
SY = 44
Xi Yi
1,5
4,0
12,0
23,0
28,0
68,0
79,2
99,0
SXY = 314,9
2
X i
1,0
4,0
9,0
25,0
36,0
64,0
81,0
100,0
SXX =320
2
Y i
2,25
4,00
16,00
21,16
22,09
72,25
77,44
98,01
SYY =313,2
(n+mX i - Y i)
0,042
0,052
0,699
0,187
1,606
0,440
0,000
0,037
S = 3,063
Parámetros de ajuste:
m=
n=
N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y 8 ⋅ 314,9 − 44 ⋅ 44
=
= 0,935
8 ⋅ 320 − 44 ⋅ 44
N ⋅ S XX − S X ⋅ S X
S XX ⋅ S Y − S X ⋅ S XY 320 ⋅ 44 − 44 ⋅ 314,9
=
= 0,36
8 ⋅ 320 − 44 ⋅ 44
N ⋅ S XX − S X ⋅ S X
18
2
Cálculo del coeficiente de correlación:
r=
[N ⋅ S
N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y
XX
][
− (S X )2 ⋅ NS YY − (S Y )2
]
Sacando los valores de la tabla se tiene:
r=
8 ⋅ 314,9 − 44 ⋅ 44
[8 ⋅ 320 − (44) ]⋅ [8 ⋅ 313,2 − (44) ]
2
2
= 0,978
Esto significa que el modelo es aceptable ya que representa un 97,8% al ajuste
realizado.
Gráfico correspondiente a los datos de la tabla
Y
19
Ahora aplicamos los valores de m y n en la nueva recta de regresión:
Yi = m ⋅ xi + n para cada punto ( x i , y i ) de la tabla.
xi
Yi = mxi + n
1
2
3
5
6
8
9
10
1,30
2,23
3,17
5,04
5,97
7,84
7,78
9,71
La gráfica con su respectivo ajuste está representada en la siguiente imagen:
20
EJERCICIOS PROPUESTOS – CALCULO DE ERROR
1) Determinar el error absoluto y el error relativo, si al pesar 50,06 kg de masa
de una sustancia se obtuvo un valor de 50,3 kg
Sol: 0,24kg , 0,48%
2) En un circuito cerrado de velocidad se desea determinar el tiempo que tarda
un automóvil en pasar de 0 a 100 km /h a máxima potencia. Previamente se
asume que la experiencia tendrá errores experimentales difíciles de eliminar,
tales como: tiempo de reacción del conductor, respuestas específicas del motor,
tiempo atmosférico (humedad, viento), etc. Para intentar reducirlas se ha
repetido la experiencia cinco veces, dando como resultado los siguientes
tiempos: 11,2 s; 10,9 s; 11,1 s; 11,0 s; 10,8 s.
a) ¿Qué cifra debes poner como tiempo que tarda el vehículo en pasar de cero a
100 km / h?
b) ¿Cuál es el error absoluto de cada medida?
c) ¿Cuál es el error relativo porcentual de cada medida?
3) Para un cubo cuya arista es de 10,5 ± 0,5 cm, calcular el error relativo y
porcentual de la superficie y el volumen.
Respuesta: 0,095 y 9,52 %
0,143 y 14,3 %
4) Calcular el error absoluto cometido si al pesar 10,2537 g de una sustancia
obtenemos un valor de 10,21 g.
Respuesta: 0,0437 g
5) Calcular el error relativo y el error relativo porcentual cometido si al pesar
10,2537 g de una sustancia obtenemos un valor de 10,21 g.
Respuesta: 0,00426
0,426%
6) Al medir una mesa con una cinta métrica de 1 mm de resolución se obtiene un
resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometidos.
(Como no podemos calcular la dispersión, el Ea es igual a la resolución del
aparato, por tanto: Ea = 0,1 cm.)
Respuesta: 0,1 cm.
8,7·10-4
21
7. En el laboratorio se tomaron las mediciones del tiempo (xi) que demora una
bolita al desplazarse (yi) en una superficie sin roce, con movimiento rectilíneo
uniforme (M.R.U.)
Completar la tabla, graficar y ajustar la recta resultante
i
xi
yi
xi ⋅ y i
xi 2
yi 2
1
2
3
4
5
6
7
8
N =8
1,0
2,0
3,2
4,1
5,1
6,2
7,0
8,0
Sx =
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
Sy =
S xy =
S xx
S yy
Solución:
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
N =8
1,0
2,0
3,2
4,1
5,1
6,2
7,0
8,0
S x = 36,6
xi ⋅ y i
xi 2
2,0
2,0
1,0
4,0
8,0
4,0
6,0
19,2
10,24
8,0
32,8
16,81
10,0
51,0
26,01
12,0
74,4
38,44
14,0
98,0
49,0
16,0
128,0
64,0
S y = 72,0 S xy = 413,4 S xx = 209,5
yi
yi 2
4,0
16,0
36,0
64,0
100,0
144,0
196,0
256,0
S yy = 812,0
Ecuación de regresión Y = mx + n = 1,990 x − 0,138
x
Y
1,0
1,85
2,0
3,84
3,2
6,23
4,1
8,02
5,1
10,01
6,2
12,20
7,0
13,79
8,0
15,78
22
BIBLIOGRAFÍA
- Paúl E. Tippens
- Física, Conceptos y Aplicaciones
Mc Gaw Hill, Quinta Edición, 1996
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