COMBINATORIA

COMBINATORIA
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar
agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no,
según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden
de colocación de los elementos.
VARIACIONES
Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en
cuenta que:
•
•
Influye el orden en que se colocan.
Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como
elementos tenga la agrupación.
Existe dos tipos: variaciones sin repetición y variaciones con repetición.
Variaciones sin repetición.
Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de
que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento
como si están situados en distinto orden.
El número de variaciones que se pueden construir se calcula mediante la fórmula:
V ( m, n) = m.( m − 1).( m − 2)......( hasta tener n factores )
Ejemplo: V (6,3) = 6.5.4 ( tres factores ) = 120
Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras se pueden formar sin que se
repita ninguna cifra?
SOLUCIÓN: Como influye el orden, se trata de variaciones ordinarias de 6 elementos tomados
de 4 en 4.
V (6, 4) = 6.5.4.3 = 360
Variaciones con repetición.
Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los m
elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en
algún elemento como si están situados en distinto orden.
El número de variaciones que se pueden construir se calcula mediante la fórmula:
VR(m, n) = m.m........( hasta n factores ) = mn
Ejemplo: VR (5,3) = 5.5.5( tres
factores )
= 125
Con las letras a, b, c, o, ¿cuántas palabras de tres letras iguales o distintas, se pueden formar?.
SOLUCIÓN: Se trata de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de 3 en 3.
VR (4, 3) = 4.4.4 = 64
En el juego de las quinielas, ¿Cuántas cuántas columnas o apuestas hemos de realizar para
acertar con seguridad los 14 partidos.
SOLUCIÓN: Disponemos de tres elementos, 1, x, 2 para formar grupos de 14 elementos en los
que puede repetirse cualquiera de los signos, por tanto, se trata de variaciones con repetición
de 3 elementos tomados de 14 en 14:
VR(3,14) = 3.3.3.3.......( hasta 14 factores ) = 314 = 4782969
PERMUTACIONES
Las permutaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en
cuenta que:
•
•
•
•
Influye el orden en que se colocan.
Tomamos todos los elementos de que se disponen.
Serán Permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos de que disponemos
son distintos.
Serán Permutaciones CON repetición si disponemos de elementos repetidos.
Las permutaciones son un caso particular de las variaciones donde m = n.
Permutaciones sin repetición:
El número de permutaciones de n elementos se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
P ( n) = V ( n, n) = n.( n − 1).( n − 2)......3.2.1
El productos de los n primeros números naturales recibe el nombre de factorial de n y se expresa así: n!
4! = 4.3.2.1
6! = 6.5.4.3.2.1
Etc.
Entonces podemos expresar el número de permutaciones de la siguiente manera: P ( n ) = n !
P (4) = 4.3.2.1 = 24
P (5) = 5.4.3.2.1 = 120
Con las cifras 2, 3, 5 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras podemos escribir sin que se repita ninguna cifra?
SOLUCIÓN: P (4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 números
Con las letras a, b, c, d, e, calcula las palabras de 5 letras, sin que se repita ninguna letra, que
podemos formar en cada uno de los siguientes casos:
a) Sin condiciones.
b) Que la letra b esté siempre en segunda posición.
c) Que la letra a esté en primera posición y la letra d en cuarta.
SOLUCIÓN:
a) P (5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 palabras.
b) En este caso la letra b no se puede mover, estará siempre en segunda posición. Entonces
sólo podemos permutar 4 letras: P (4) = 4.3.2.1 = 24 palabras
c) Ahora son dos letras las que están fijas, luego podemos permutar solamente 3 letras:
P (3) = 3! = 3.2.1 = 6 palabras.
Permutaciones CON repetición:
Cuando en los m elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b
veces, otro c veces, etc ) verificándose que a + b + c + .... = m , las permutaciones que se obtienen reciben el nombre de permutaciones con repetición. Su número se obtiene mediante la
siguiente fórmula:
P ( m ) a ,b , c =
m!
a !b ! c !
En un rallye de una escudería intervienen ocho coches de los cuales tres son italianos, dos
franceses, otros dos alemanes y uno brasileño.
a) Calcula el número posible de clasificaciones por pilotos.
b) Calcula el número posible de clasificaciones por nacionalidades.
SOLUCIÓN:
a) El número de clasificaciones posibles por pilotos es el número de permutaciones que pueden darse entre los ocho pilotos, es decir, P (8) = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320
b) El número de clasificaciones posibles por nacionalidades es el número de permutaciones de
ocho elementos en los que hay pilotos que se repiten: italianos 3, franceses 2 y alemanes 2.
Por tanto, P (8)
3,2,2
=
8!
8.7.6.5.4.3.2.1
=
= 1680
3!2!2! 3.2.1.2.1.2.1
COMBINACIONES
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en
cuenta que:
•
•
NO influye el orden en que se colocan.
Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como
elementos tenga la agrupación.
Existen dos tipos: combinaciones sin repetición y combinaciones con repetición.
Combinaciones sin repetición.
Definición:
Las combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos
de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden construir se calcula mediante la fórmula:
C (m, n) =
m(m − 1)(m − 2)......( hasta tener n factores )
n(n − 1)(n − 2)....3.2.1
Es decir, C ( m, n) =
V ( m, n )
n!
Ejemplos:
C (5,3) =
5.4.3
= 10
3.2.1
C (6, 4) =
6.5.4.3
= 15
4.3.2.1
Otra forma de expresar el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n es
mediante la expresión siguiente:
torio y se lee “m sobre n”.
Ejemplos:
 5  5.4
= 10
 =
 2  2.1
m
  . Esta expresión recibe el nombre de número combinan 
En una clase de 20 alumnos formamos grupos de trabajo de 5 alumnos. ¿De cuántas maneras
podemos hacerlo?.
SOLUCIÓN: Como no influye el orden se trata de combinaciones de 20 elementos tomados de
5 en 5.
 20  20.19.18.17.16
= 19.6.17.8 = 15504
C (20,5) =   =
5.4.3.2.1
5 
Un grupo de 10 amigos juegan al futbol sala. Hay 3 que pueden jugar de porteros y los 7 restantes pueden jugar en cualquier puesto menos de porteros.
¿Cuántos equipos de futbol sala pueden formarse sabiendo que un equipo lo integran 4 jugadores más el portero?
SOLUCIÓN: Tenemos que elegir 4 jugadores entre un conjunto de 7,
conjunto de 3,
7
  y 1 portero entre un
 4
 3
 
1 
Número de combinaciones posibles:
 7   3  7.6.5.4 3
. = 105.3 = 415 equipos.
  .  =
 4  1  4.3.2.1. 1
En un programa de televisión hay cuatro presentadoras. Si aparecen de dos en dos en la pantalla, ¿de cuántos modos pueden hacerlo?.
SOLUCIÓN:
 4  4.3
C (4, 2) =   =
= 6 modos.
 2  2.1
Combinaciones con repetición
Definición:
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) se definen
como las distintas agrupaciones de n elementos eligiéndolos de entre los m elementos de que
disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No
influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula
siguiente:
 m + n − 1
CR(m, n) = 

 n

Ejemplo: Con las cifras 1, 2, 3 y 4 podemos formar las siguientes combinaciones con repetición:
1, 2, 3, 4 (Combinaciones de orden 1)
Número de combinaciones: 4, es decir,
 4 + 1 − 1  4 

= =4
 1  1 
11, 12, 13, 14
22, 23, 24

(Combinaciones de orden 2)

33,
34

44
Número de combinaciones: 10, es decir,
 4 + 2 − 1  5  5.4
= 10

= =
 2   2  2.1
111, 112, 113, 114, 122, 123, 124, 133, 134

144, 222, 223, 224, 233, 234, 244, 333, 334
344, 444

Número de combinaciones: 20, es decir,
(Combinaciones de orden 3)
 4 + 3 − 1  6  6.5.4
= 20

= =
 3   3  3.2.1
En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir
cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4. (No son permutaciones.)
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
(No son variaciones).
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. (Son combinaciones con repetición)
 5 + 4 − 1  8  8.7.6.5
CR(5, 4) = 
= 70
= =
 4
  4  4.3.2.1
EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN DISTINTAS CONVOCATORIAS
1. Sea
A = {números de cinco cifras que terminan en tres o siete}
A) Cardinal de A = 20000
B) Cardinal de A = 88888
C) Cardinal de A =18000
(Convocatoria septiembre 2001. Examen tipo A)
SOLUCIÓN:
Como influye el orden, se trata de variaciones con repetición. Lo hacemos dibujando 5 casillas
correspondientes a cada una de las cifras de los números:
Existe 10 cifras para formar números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
En la casilla de la izquierda podemos poner cualquiera de las cifras, excepto el 0 porque entonces el número no sería de cinco cifras.
En las casillas centrales podemos colocar cualquiera de las cifras, es decir, 10.
Finalmente, en la casilla de la derecha solamente podemos poner dos cifras, el 3 ó el 7.
9 10 10 10 2
Números posibles:
9 ×10 ×10 ×10 × 2 = 18000
Cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene. En este caso, como se pueden
formar 18000 números el cardinal es 18000.
La opción C) es la correcta.
2. Sea
A = {números de cinco cifras divisibles por 5}
Entonces, cardinal de A vale:
A) 20.000
B) 9.000
C) 10.000
(Convocatoria junio 2003. Examen tipo J)
SOLUCIÓN:
El problema es idéntico al anterior.
D) 18.000
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó 5. Entonces en la casilla de la derecha
podemos colocar dos cifras.
En la casilla de la izquierda podemos poner 9 números ya que el 0 no puede estar.
En las casillas centrales pueden estar cualquiera de las 10 cifras.
9 10 10 10 2
Números posibles:
9 ×10 ×10 ×10 × 2 = 18000
La opción D) es la correcta.
3. En una baraja española de 40 cartas, ¿cuántas maneras distintas hay de extraer sin
reemplazamiento 3 oros y 2 copas?
A) 600
B) 1000
C) 5400
D) 165
(Convocatoria junio 2004. Examen tipo J)
SOLUCIÓN:
Tenemos que extraer 3 oros entre un conjunto de 10 oros. Formas de hacerlo:
 10 
 
3
Además hemos de extraer 2 copas entre un conjunto de 10 copas. Formas de hacerlo:
 10 
 
2
Entonces, las maneras de extraer 3 oros y 2 copas es
10  10  10.9.8 10.9
.
= 120.45 = 5400 maneras.
  .  =
 3   2  3.2.1 2.1
La opción C) es la correcta.
4. Una mano de mus consta de 4 cartas del conjunto de 40 cartas de la baraja española.
¿Cuántas manos de mus contiene 2 oros y 2 copas?.
A) 2025
B) 1000
C) 165
(Convocatoria junio 2007. Examen tipo G)
D) 6125
SOLUCIÓN:
Formas de extraer 2 oros entre 10 oros que contiene la baraja:
 10 
 
2
Formas de extraer 2 copas entre 10 copas que contiene la baraja:
Formas de extraer 2 oros y 2 copas:
 10 
 
2
10  10  10.9 10.9
.
= 45.45 = 2025
  .  =
 2   2  2.1 2.1
La opción A) es la correcta.
5. En una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3 alemanes,
2 franceses y un belga. Si un pódium consiste en tres personas situadas en tres puestos
distintos, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera?
A) 220
B) 10235
C) 1320
D) 3960
(Convocatoria septiembre 2007. Examen tipo A)
SOLUCIÓN:
Número de participantes: 12
Un pódium lo forman 3 personas.
Variaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3: V (12, 3) = 12.11.10 = 1320
La opción C) es la correcta.
6. Con las vocales a, a, e, e, e, i, i, o, u, u, ¿Cuántas palabras de 10 letras se pueden formar?
A) 50400
B) 100800
C) 151200
D) 75600
(Convocatoria 2007) Examen tipo F)
SOLUCIÓN:
P (10) 2,3,2,1,2 =
10!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1.
=
= 75600
2!3!2!1!2! 2.1.3.2.1.2.1.1.2.1
La opción D) es la correcta.
7. Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden formar con dos aes, una pe
y dos eses. (por ejemplo aapss).
A) 10
B) 30
C) 20
D) 120
(Convocatoria de junio 2008. Examen tipo A)
En este caso tenemos 5 letras de las cuales 2 son aes y otras 2 son eses:
El número de palabras que pueden formarse es:
P (5) 2,2 =
5!
5.4.3.2.1
=
= 30
2!2! 2.1.2.1
La opción B) es la correcta.
8. Cuántos números de tres cifras (dónde la primera por la izquierda no es un cero) existen
cuando quitamos los que tiene todas sus cifras iguales.
A)
B)
C)
D)
1000.
991.
891.
639.
(Convocatoria de septiembre 2008)
SOLUCIÓN.
Lo hacemos por cajas:
9 10 10
A la izquierda podemos poner 9 números. (el cero no puede estar)
En el centro podemos poner 10 números.
A la derecha también podemos poner 10 números.
Por tanto, 9.10.10 = 900 números.
Ahora tenemos que restar los que tienen las tres cifras iguales, es decir,
111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999. Total 9 números.
900 − 9 = 891
La opción correcta es la C).