1.4. Trabajo en un campo eléctrico. Potencial Al desplazar una

 Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra 2007.www.fisica.ru 1.4. Trabajo en un campo eléctrico. Potencial
Al desplazar una carga de prueba q en un campo eléctrico, las fuerzas eléctricas realizan un trabajo.
Este trabajo en un desplazamiento Δ es igual a (fig. 1.4.1):
Δ
· Δ · cos
Δ cos
Δ,
· d · cos
d cos
d.
o en forma diferencial
Figura 1.4.1. Trabajo de las fuerzas eléctricas al
desplazar en Δ la carga q.
En una traslación finita de la carga q desde un punto (1) hasta un punto (2), el trabajo será
·
cos
El campo electrostático tiene una propiedad muy importante:
El trabajo de las fuerzas del campo electrostático al desplazar una carga de un punto a otro no depende
de la forma de la trayectoria, y se determina solamente por la posición de los puntos final e inicial y la
magnitud de la carga.
Una propiedad análoga tiene el campo gravitacional, lo cual no nos debe sorprender ya que las fuerzas
gravitacionales y las coulombianas se describen con relaciones matemáticas similares.
La siguiente afirmación es consecuencia de la independencia del trabajo con respecto a la trayectoria:
El trabajo de las fuerzas del campo electrostático al desplazar una carga a lo largo de cualquier
trayectoria cerrada es igual a cero.
Los campos que tienen esta propiedad se llaman potenciales o conservativos.
En el dibujo 1.4.2 se ilustran las líneas de campo de Coulomb de una carga puntual Q y dos trayectorias
diferentes de desplazamiento de la carga de prueba q desde el punto inicial (1) hasta el punto final (2).
Sobre una trayectoria se señala un desplazamiento infinitesimal Δ . El trabajo Δ
de las fuerzas
coulombianas sobre este desplazamiento es igual a
Δ
Δ cos
Δr
4
1 Qq
Δr
r
Como se puede apreciar, el trabajo por este desplazamiento depende solamente de la distancia r entre
las cargas y su cambio Δ . Si esta expresión la integramos en el intervalo de r = r1 hasta r = r2, entonces
podemos obtener
1 Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra 2007.www.fisica.ru 1
1
4
Dibujo 1.4.2.
El trabajo de las fuerzas coulombianas al desplazar una
carga q depende solamente de las distancias r1 y r2 de los
puntos inicial y final de la trayectoria.
El resultado obtenido no depende de la forma de la trayectoria. En las tayectorias I y II del dibujo 1.4.2, el
trabajo de las fuerzas coulombianas es el mismo. Al cambiar la dirección de desplazamiento de la carga
q a la contraria, el trabajo cambia su signo. De aquí se deduce que a lo largo de una trayectoria cerrada,
el trabajo de las fuerzas coulombianas es igual a cero.
Si el campo eléctrico lo genera un grupo de cargas puntuales
entonces, al desplazar una carga de
prueba q el trabajo
del campo resultante, de acuerdo al principio de superposición va a ser igual a
la suma de los trabajos
de los campos coulombianos de las cargas puntuales:
1
4
1
,
donde
y
son las distancias desde la carga
hasta las posiciones inicial y final de la carga q.
Debido a que cada miembro
de la suma no depende de la forma de la trayectoria, el trabajo total
del campo resultante no depende del camino y se determina solamente por las posiciones inicial y final.
Energía potencial
La propiedad de potencialidad del campo eléctrico nos permite introducir el concepto de energía
potencial de la carga en el campo eléctrico. Para ello, escojamos cierto punto (0) en el espacio, y la
energía potencial de la carga q, situada en este punto, la tomamos como igual a cero.
La energía potencial de la carga q, situada en cualquier punto (1) del espacio, con relación al punto
predeterminado (0) es igual al trabajo W10, que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga q del
punto (1) al punto (0):
2 Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra 2007.www.fisica.ru Así como en mecánica, la energía potencial está definida con exactitud hasta de una constante, la cual
depende de la elección del punto de referencia (0). Esto de ninguna manera conlleva a malentendidos,
ya que sentido físico tiene no la energía potencial como tal, sino la diferencia de sus valores en dos
puntos del espacio.
El trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga puntual q desde el punto (1) hasta el
punto (2), es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en estos puntos y no depende del
camino de desplazamiento de la carga, ni del punto (0) que se ha elegido.
Δ
Si una carga puntual q es trasladada por la acción de las fuerzas electrostáticas en el campo de una
carga puntual Q, la variación
de su energía potencial para una traslación infinitesimal es
4
La energía potencial de la carga q, situada en un campo eléctrico es proporcional a la magnitud de esta
carga.
Para hallar el valor absoluto de la energía potencial que tiene una carga eléctrica en un punto dado de un
campo electrostático hay que elegir el punto de referencia de la energía potencial. La integración de la
ecuación anterior nos da
,
4
0 cuando r ∞ entonces
0 y obtenemos entonces la
donde es una constante arbitraria. Si
expresión para la energía potencial de la carga q que se encuentra en el campo de la carga Q a la
distancia r de ella. Cuando q y Q son del mismo signo, la energía potencial es positiva y crece cuando
las cargas se aproximan entre sí y decrece al alejarse. En las cargas de signo contrario la energía
potencial es negativa y aumenta hasta cero cuando una de las cargas se aleja hasta el infinito.
Cuando la carga q se encuentra en el campo de un sistema de cargas puntuales
,
,
4
Potencial de un campo electrostático
La magnitud física que es igual a la relación de la energía potencial de la carga eléctrica en un campo
electrostático con la magnitud de esta carga, se denomina potencial del campo electrostático:
4
El potencial
la carga q.
es una característica energética del campo electrostático y no depende de la magnitud de
que realiza el campo al desplazar una carga eléctrica q del punto (1) al punto final (2) es
El trabajo
igual al producto de la carga por la diferencia de potencial
de los puntos final e inicial:
En el Sistema Internacional (SI) la unidad del potencial es el voltio (V):
1
1J/1C
En muchos problemas de electrostática, para calcular el potencial es conveniente tomar como punto de
referencia (0) un punto en el infinito. En este caso el concepto de potencial puede ser definido de la
siguiente manera:
3 Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra 2007.www.fisica.ru El potencial del campo en un punto determinado del espacio es igual al trabajo que realizan las fuerzas
eléctricas al alejar una carga puntual unitaria desde ese punto hasta el infinito.
del campo electrostático creado por una carga puntual Q a la distancia r de ella, con
El potencial
respecto a un punto en el infinito, se calcula de la siguiente manera:
1
1
4
4
Como se puede observar del teorema de Gauss, esta misma fórmula expresa el potencial del campo de
una superficie esférica con cargada homogéneamente (o de una esfera) cuando r = R, donde R es el
radio de la esfera.
Del principio de superposición de los campos generados por cargas eléctricas se deduce el principio de
superposición para los potenciales: El potencial en un punto dado del campo generado por un sistema de
cargas puntuales es igual a la suma de potenciales de los campos de cada una de las cargas:
1
4
donde
es la carga número y
la distancia desde esta carga hasta el punto dado.
Para tener una concepción clara del campo eléctrico, junto con las líneas de campo se introducen
también las llamadas superficies equipotenciales.
La superficie, en todos los puntos de la cual el potencial del campo eléctrico tiene valores iguales, se
denomina superficie equipotencial o superficie de igual potencial.
Las líneas de campo siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales.
Las superficies equipotenciales del campo coulombiano de una carga puntual son superficies esféricas
concéntricas. En el dibujo 1.4.3 se ilustran las líneas de campo y las superficies equipotenciales de
algunos campos electrostáticos simples.
Dibujo 1.4.3.
Superficies equipotenciales (líneas que no se cruzan con las cargas) y lineas de campo (líneas
que se cruzan con las cargas de campos eléctricos simples: a – carga puntual; b – dipolo
eléctrico; c – dos cargas iguales positivas.
En un campo homogéneo las superficies equipotenciales representan un sistema de planos mutuamente
paralelos.
Si la carga de prueba +q realiza un desplazamiento muy pequeño ∆ en la dirección desde el punto (1)
al punto (2), entonces podemos escribir:
∆
∆
Δ
4 donde Δ
Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra 2007.www.fisica.ru es la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2.
Δ
Δ
Esta expresión en forma escalar expresa la relación entre el campo y el potencial. Aquí
es la
coordenada a lo largo de la línea de campo. En el caso general de campos heterogéneos, los puntos 1 y
2 se deben elegir lo suficientemente cerca uno del otro, para que se pueda considerar el campo
constante en el segmento Δ . Pasando al límite Δ
0, obtenemos:
.
La derivada que aquí aparece expresa la rapidez del cambio de potencial en la dirección dada. Vemos
que la proyección del vector campo en la dirección dada es igual a rapidez del cambio de potencial en
esta dirección con signo contrario.
La relación entre el campo y el potencial se puede expresar por medio del gradiente del potencial. Se
llama gradiente de la magnitud escalar
al vector, cuya dirección coincide con la dirección de mayor
crecimiento de la magnitud . La magnitud de este vector es igual al cambio de al desplazarse en una
unidad de longitud en la dirección de mayor cambio. Este vector se denota por grad . Entonces la
intensidad del campo eléctrico es igual al gradiente del potencial con signo menos:
grad
En conclusión, sabiendo la distribución del potencial, siempre se puede determinar la proyección del
campo en cualquier dirección, es decir se pueden hallar las proyecciones , , , y por consiguiente el
vector .
De la formula
/ se deduce que la magnitud del campo es igual a la tensión en unidad de
longitud de línea de campo. Por ello siempre se puede determinar el campo midiendo la tensión entre los
conductores cargados que generan el campo. Si el campo es homogéneo, por ejemplo en el caso del
campo de un condensador plano, si es la tensión entre las placas y la distancia entre ellas, tenemos
Esta relación se utiliza para definir la unidad del campo. Una unidad de campo es aquel campo en el
cual la tensión en un metro de longitud de línea de campo es igual a un voltio. Esta unidad se le
denominó voltio sobre metro: V/m.
Ecuación de Laplace:
Al reemplazar las componentes del campo en la fórmula de Poisson obtenemos
Si en el punto (x,y,z) no hay cargas, entonces
0
Esta ecuación se denomina ecuación de Laplace. El problema general de la electrostática se reduce a
hallar la función U(x,y,z) en todo el espacio, la cual satisface la ecuación de Laplace.
5 Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra 2007.www.fisica.ru Recomendaciones a la solución de problemas utilizando la ley de Gauss:
1. Leer el problema y sacar del texto la mayor cantidad de datos posible.
2. Tener en cuenta que el potencial es una magnitud escalar, es decir no hay necesidad de
descomponerlo como un vector. El potencial total de un sistema de cargas es simplemente la
suma escalar de los potenciales correspondientes a cada una de las cargas.
3. El potencial de una carga positiva es positivo y el de una carga negativa es negativo. En la suma
de potenciales se respeta el signo.
Problemas:
1. Hallar el potencial de una carga puntual q a una distancia r de la carga, conocido el campo.
2. Condensador esférico. Se tienen dos electrodos en forma de superficies esféricas concéntricas
con radios a (interna) y b (externa). El campo E entre los electrodos se expresa por la fórmula
/4
, y varía en el espacio de la misma manera que una carga puntual. Hallar la
diferencia de potencial entre la esfera interna y cualquier punto del espacio entre los electrodos,
a una distancia r del centro del condensador.
3. Condensador plano. Hallar la diferencia de potencial entre la placa positiva y cualquier punto
alejado de ella a una distancia x.
4. Condensador cilíndrico. Hallar el potencial entre dos electrodos cilíndricos coaxiales.
5. Deducir la fórmula integral para calcular el potencial de una distribución volumétrica de carga, en
un punto dado. Asimismo para la distribución superficial.
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