Solución Cuestiones Movimiento Ondulatorio

Solución Cuestiones Movimiento Ondulatorio
1. Se trata de utilizar un péndulo simple, que está constituido por una masa puntual suspendida de un punto fijo
mediante un hilo inextensible y de masa despreciable. Cuando se separa de la posición de equilibrio y se suelta,
oscila en un plano vertical, describiendo un movimiento periódico.
Aplicando la 2ª ley de Newton a la dirección del movimiento,
obtenemos

- m g sin  = m ax
y por tanto,

ax = - g sin 
Para ángulos pequeños ( hasta unos 15º ), el valor del seno de
un ángulo es prácticamente igual al valor del ángulo expresado en
radianes. Por tanto, si se trata de pequeñas oscilaciones
ax = - g 


T

X
P
Pero la relación entre la longitud de un arco, x, el ángulo en radianes, , y el radio del mismo, R, es α 
La ecuación del movimiento nos queda de la forma
x
R
x
,
L
que comparándola con la de un M.A.S., a = - 2 x, e identificando ambas, obtenemos que
g
ω2  ,
L
y por tanto,
g 2π
ω

,
L
T
de donde despejando,
L
T2π
g
Si lo que nos interesa es calcular el valor de la aceleración de la gravedad, de la expresión anterior,
4 π2 L
g
T2
Es decir, que contando el periodo de las oscilaciones, midiendo la longitud del péndulo y aplicando la ecuación
anterior, podemos obtener el valor de la aceleración de la gravedad.
ax  - g
2. Las ondas más útiles son las de Onda Media, porque sus longitudes van desde los 180 m hasta los 6000 m
aproximadamente, los que les permite superar con facilidad los objetos que podrían perturbar su propagación,
debido a que esta longitud es mucho mayor que el tamaño de dichos obstáculos, pudiendo producirse en estas
condiciones la difracción, que es el cambio de dirección que experimenta una onda en su propagación cuando se
encuentra con obstáculos o aberturas.
3. En las ondas longitudinales (sonido) la dirección de propagación y la dirección de la perturbación coinciden,
mientras que en las transversales (ondas superficiales en el agua) ambas son perpendiculares. Las ondas
mecánicas (sonido) necesitan un medio material para propagarse, mientras que las electromagnéticas (radio)
pueden propagarse incluso en el vacío.
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4. Es el cambio de dirección que experimenta una onda en su propagación cuando se encuentra con obstáculos o
aberturas. Gracias a ella las ondas pueden bordear obstáculos. Su magnitud depende de la relación existente entre
la longitud de onda y las dimensiones del obstáculo. Cuanto mayor sea esta diferencia (mayor , menor longitud del
obstáculo) mayor será la difracción. Un ejemplo podría ser el observado en la cubeta de ondas: cuando una onda
plana llega a un obstáculo con un pequeño orificio, los puntos del frente de ondas incidente, por el principio de
Huygens, se transforman en emisores de ondas elementales, produciéndose una onda circular.
5. Porque la luz tiene unas longitudes de onda muy pequeñas, del orden de 10-7 m, y por tanto sólo puede
experimentar difracción con obstáculos de su orden de magnitud, mientras que el sonido sí que tiene longitudes de
onda que permiten su difracción en la esquina, cambiando su dirección de propagación y bordeando la esquina.
6. Según el principio de superposición, cuando dos o más ondas coinciden simultáneamente en un punto del medio en
que se propagan, la perturbación producida en dicho punto es igual a la suma de las perturbaciones que, individual
e independientemente, originaría en dicho lugar cada una de ellas.
P
Supongamos el punto P sometido a la acción de dos ondas
siendo x1 y x2 las distancias de P a los focos de dichas ondas.
x1
x2
Si suponemos que ambas ondas tienen igual frecuencia, amplitud
y velocidad de propagación, de acuerdo con el principio de
superposición, la perturbación en el punto P será la suma de las
perturbaciones que originan en dicho punto cada una de las ondas:
y = A sin (  t – k x1 ) + A sin (  t – k x2 ), que de acuerdo con la ecuación
A B
A-B
sin A  sin B  2 sin
cos
2
2
x -x
k x1  x 2  

y  2 A cos k 2 1 sin  ω t 
2
2


x 2 - x1
2
El valor máximo de la amplitud (interferencia constructiva) será 2 A, que se producirá cuando
x -x
cos k 2 1  1 ,
2
y por tanto x2 – x1 = n , con n = 0, 1, 2, ..., es decir, cuando la diferencia de caminos entre las dos ondas sea un
número entero de veces la longitud de onda, mientras que el valor mínimo de la amplitud (interferencia
destructiva) se producirá cuando
x -x
cos k 2 1  0 ,
2
λ
y por tanto x2 – x1 = ( 2n + 1 ) , con n = 0, 1, 2, ..., es decir, cuando la diferencia de caminos entre las dos ondas
2
sea un número impar de semilongitudes de onda.
Se puede observar que también se trata de una onda pero de amplitud variable, A'  2 A cos k
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7. Es el resultado de la superposición de dos ondas de igual frecuencia, velocidad de propagación y amplitud que
avanzan en sentidos opuestos. Son un caso particular de interferencias. Siendo rigurosos, una onda estacionaria no
es un movimiento ondulatorio, puesto que no hay un transporte neto de energía de unos puntos a otros: los puntos
del medio (excepto los nodos) vibran como si se tratase de un conjunto de osciladores armónicos, cada uno con su
amplitud determinada, por lo que el perfil de la onda no se desplaza, es estacionario.
De acuerdo con el principio de superposición de ondas, la perturbación producida en un punto del medio a una
distancia x del origen será
y = A sin (  t + k x ) + A sin ( t - k x ) = 2 A cos k x sin  t
Se observa que cualquier punto del medio se comporta como un oscilador armónico cuya amplitud 2 A cos k x
depende de su distancia al origen. Para una onda estacionaria con un nodo en el origen se puede demostrar que se
obtiene
y = 2 A sin k x cos  t
Los puntos de amplitud mínima se denominan nodos, y se obtienen de sin k x = 0, y por tanto k x = n , de
donde
λ
λ 3λ
x  n  0, , λ, , ...
2
2
2
mientras que los puntos de amplitud máxima se denominan vientres, y se obtienen de hacer que sin k x = 1, y por
π
tanto k x = ( 2 n + 1 ) , de donde
2
λ
λ 3λ 5λ
x  ( 2 n  1)  , , ,...
4
4 4 4
Si tenemos una cuerda con un extremo fijo, una condición que deben cumplir las ondas estacionarias formadas
en ella es que exista un nodo en ambos extremos de la cuerda, es decir, que la ecuación de los nodos debe
verificarse para x = 0 y x = L. La primera es trivial, y la segunda condición implica que
λ
2L
L  n , ó lo que es lo mismo, λ 
2
n
lo cual quiere decir que para una cuerda de longitud L no es posible obtener una onda estacionaria de cualquier
longitud, siendo solamente posibles aquellas que cumplan la anterior ecuación.
8. Si n1 > n2, , el rayo debe incidir con un ángulo menor que el ángulo límite,
 L  arc sin
n2
,
n1
mientras que si n1 < n2, no se podrá nunca producir reflexión total.
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