1. Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y

ZARAGOZA / JUNIO 99. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES / ALGEBRA / OPCIÓN A / Nº 1
1. Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de
colonia a partir de tres factores productivos: F1, F2 y F3. Las unidades de dichos
factores utilizadas en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la
siguiente tabla:
F1
F2
F3
Perfume Agua de colonia
1
2
2
0
0
4
Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de 5000 pta, de uno de
agua de colonia es de 2000 pta y que la empresa dispone de 240 unidades de F1, de
360 de F2 y de 440 de F3:
a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para
maximizar sus beneficios. Explica los pasos seguidos para obtener la
respuesta. (8 puntos)
b) ¿Se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 en la producción de los
frascos que maximiza los beneficios? (2 puntos)
Solución:
Si se fabrican x unidades de perfume e y de agua de colonia, se tiene:
Cantidad
F1
F2
F3
Perfume
x
1x
2x
0
Agua de colonia
y
2y
0
4y
Disponibilidades
240
360
440
El objetivo es maximizar los ingresos. Esto es:
Maximizar I(x, y) = 5000x + 2000y
restringido por:
x + 2y ≤ 240 (1)
2x ≤ 360
(2)
4y ≤ 440
(3)
x > 0; y > 0
Estas restricciones generan la región factible dada en la figura adjunta.
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Los vértices son:
O = (0, 0),
P = (0, 110),
Q = (20, 110), R = (180, 30), S = (180, 0).
Los ingresos para esos niveles de producción son:
En O,
En P,
En Q,
En R,
En S,
I(0, 0) = 0.
I(0, 110) = 220 000 pta
I(20, 110) = 320 000 pta.
I(180, 30) = 960 0003. Es la solución buscada, los ingresos máximos.
I(180, 0) = 900 000 pta.
b) Sobran 320 unidades del factor F3.
En la figura puede observarse que la solución, que se da en el punto R, verifica las
igualdades correspondientes a las restricciones (1) y (2), lo que indica que se consumen
los factores que intervienen.
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