Modelo con un activo riesgoso y un activo libre de riesgo

CARTERA CON UN ACTIVO RIESGOSO Y UN
ACTIVO LIBRE DE RIESGO
(MODELO SIMPLIFICADO DE MARKOWITZ)
Lic. Joel Vaisman
Este breve apunte pretende describir brevemente una situación en la cual se aplica el
célebre refrán “nunca pongas todos los huevos en una misma canasta”. Lo haremos
aplicando los principios de la teoría neoclásica del consumidor, dentro de la rama
microeconómica. Nuestro objetivo será, entonces, analizar como un inversor toma una
decisión de inversión, buscando satisfacer al máximo sus necesidades, dado el contexto
de mercado.
En finanzas, se sabe, hay dos factores básicos a tener en cuenta: la rentabilidad que se
será generada por un activo financiero (un cálculo ex ante); y el riesgo de no obtener, ex
post, ex el resultado esperado.
El primer elemento lo analizamos a través de la esperanza matemática. El segundo, a
través del desvío estándar.
Variables y conceptos económicos relevantes
Rentabilidad
Supongamos la siguiente situación: tenemos dinero disponible para invertir, y dado que
sabemos que podríamos obtener un retorno comprando acciones de una empresa que
cotiza en bolsa, decidimos buscar información acerca de su comportamiento futuro.
Un consultor nos pasa la siguiente información ex ante de Tenaris (TS):
|
Rentabilidad
esperada
Escenario económico bueno
18%
Escenario económico malo
10%
Es decir, si a la economía le va bien 1 , la acción de TS nos generará un retorno del 18%
sobre el capital invertido. Caso contrario, un retorno del 10%.
Ahora nos falta un dato importante: dado que estamos trabajando con proyecciones a
futuro, debemos asignar una probabilidad de ocurrencia, dado que ambos escenarios son
posibles. Para simplificar, supongamos que ambos escenarios son igualmente factibles,
con una probabilidad de 50% de ocurrencia cada uno.
¿Cuál será el retorno, promediando ambos escenarios, de este activo?
1
Podríamos considerar que estamos esperando que tendremos una tasa de crecimiento de PBI “alta”.
Aplicando el operador esperanza matemática, sabemos que:
E(r1) = 0,5.18% + 0,5.10% = 14%
Es decir, en promedio, la rentabilidad esperada del activo TS (o activo 1, para asignarle
un número), es del 14%. Esta probabilidad tiene en cuenta ambos escenarios, y se sitúa
exactamente en el medio de ambos escenario, dado que las probabilidades son iguales a
50%
Con lo cual, r 1 = 14%, que es la forma en la cual automáticamente, al indexar r de esa
forma, nos referiremos a la rentabilidad esperada, sin tener que poner el operador
esperanza.
Riesgo
El otro factor que un inversor debe tener en cuenta a la hora de decidir donde colocar
sus fondos es el riesgo. En este caso, nuestra idea de riesgo es simplemente el hecho que
las observaciones pasadas con las que contamos nos manifiesten que hay mucha
posibilidad de dispersión de los resultados posibles entorno a nuestra rentabilidad
esperada. Por supuesto, podríamos obtener un resultado mejor (o peor, el más temido),
pero sigue siendo distinto al esperado.
El instrumento estadístico que utilizaremos será el desvío estándar. Cuanto mayor es el
desvío estándar sobre el rendimiento de un activo, menor posibilidad de terminar
obteniendo, ex post, la rentabilidad que habíamos calculado ex ante
Supongamos la siguiente información:
Activo 1
Activo 2
Rentabilidad Esperada
15%
15%
Desvío Estándar σ
10%
25%
Ambos activos tienen la misma rentabilidad esperada a futuro, pero difieren en algo, el
desvío.
Un inversor típico, ¿cuál preferiría? La respuesta se simplifica inmediatamente si
suponemos que los agentes, al tomar decisiones, son aversos al riesgo. Esto significa
que el hecho de enfrentar una situación que puede terminar en no obtener el resultado
esperado nos genera una desutilidad. Un inversor, entonces, elegiría automáticamente
invertir en el activo 1.
Nótese algo: el mayor desvío estándar del activo 2 podría permitir, quizás, terminar en
un escenario donde la rentabilidad ex post sea mayor a 15%. Esto es más factible que
acontezca con este activo, en comparación al 1, que tiene menor desvío.
Sin embargo, la aversión al riesgo implica que preferiremos siempre un valor lo más
certero posible. Si la rentabilidad es la misma, 15%, prefiero aquel que tenga “mayores
garantías” 2 de generar un resultado ex post semejante al planeado ex ante.
2
Por supuesto, no hay garantía a futuro en el mundo de los mercados financieros, dado que nuestra
información utilizada es en base al pasado. El futuro es desconocido por todos.
El activo libre de riesgo
Existe un activo financiero que se diferencia de todos los demás por una muy sencilla
razón: su desvío estándar con respecto a la rentabilidad esperada es cero. En un mundo
tan volátil, y con tantas crisis económicas y financieras, con cesaciones de pagos y
derrumbes de mercado, para difícil creerlo.
Para los economistas y financistas, sin embargo, fue necesario suponer a nivel teórico la
existencia de un activo con semejantes características. Al “existir” éste, nos permite
analizar una situación en la cual podríamos colocar nuestros fondos en dicho
instrumento, y tener una certeza del 100% de que obtendremos el rendimiento esperado.
A nivel empírico, y dado el sistema financiero internacional generado tras la Segunda
Guerra Mundial, podemos aproximar el concepto de risk free a un bono emitido por el
Tesoro del Gobierno de los Estados Unidos (T-Bills y T-Bonds, dependiendo del
horizonte temporal de inversión).
Esto es así, dado que los EEUU ocupan un lugar central en el comercio internacional:
son los únicos con capacidad de emitir la moneda transaccional por excelencia (el dólar
norteamericano), y se confía en que la fortaleza de la economía de la primera potencia
mundial es lo suficientemente robusta.
Singularmente, las primeras reacciones en una crisis internacional son visibles en el
llamado “fly to quality”, o “vuelo a la calidad”: los inversores internacionales se
desprenden de los activos riesgosos (dado que aumenta la probabilidad de un escenario
malo) y se refugian en los títulos del Tesoro (que se suponen inmunes ante cualquier
escenario económico). Es justamente la fe ciega en que el activo es libre de riesgo lo
que provoca que una crisis que afecta a los EEUU genere un aluvión de dólares a las
arcas del Tesoro y financie las arcas del gobierno norteamericano en el corto plazo.
El modelo
El rendimiento del bono del tesoro de los Estados Unidos lo denotaremos como:
E(rf) = rf
Y su varianza:
σ 2f
pero como sabemos, es libre de riesgo, con lo cual ese término es igual a cero.
Eso genera que la esperanza del rendimiento sea exactamente rf, con lo cual, a nivel
nomenclatura nos será igual llamarlo rf o rf .
Por otro lado, tenemos:
r1 : rendimiento esperado activo riesgoso.
σ 1: desvío estándar del retorno del activo riesgoso.
Queremos crear una cartera que esté formado por el activo riesgoso (que puede ser, a su
vez, un portafolio de activos riesgosos), y el risk free.
A priori, sabemos que la rentabilidad de la cartera será igual a la ponderación que cada
activo tenga:
rc = w1. r1 + wf.rf (1)
Donde w1 y wf son las ponderaciones o weights. Es decir, si tenemos $10.000 para
invertir, w1 y wf equivalente a cuanto dinero destino a colocar en cada activo. Por
ejemplo, si colocara por igual en cada uno ($5000), ambos weight tendrían el mismo
peso, 0,5.
Por lo tanto, es condición necesaria que:
w1 + wf = 1 (2)
Ya sabemos como se comporta nuestra medida de rentabilidad, pero nos falta el otro
aspecto, el riesgo. Por definición de varianza, sabemos que es una forma cuadrática:
σ 2c = w12 σ 12 + wf 2. σ
2
f
+ w1.wf.Cov(rf, r1 )
Donde Cov(rf, r1 ) es la covarianza entre ambos activos. Sin embargo, como sabemos
que el activo libre de riesgo no tiene volatilidad, su varianza es cero. De esta forma, dos
de los tres términos también se convierten en cero. Nos queda entonces:
σ 2c = w12 . σ 12
Con lo cual, se nos facilita mucho obtener el desvío estándar de la cartera. Aplicando
raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad:
σ c = w1 . σ 1 (3)
Podemos observar que el riesgo de la cartera dependerá exclusivamente de la
proporción que tenga el componente riesgoso.
Capital Allocation Line (CAL)
Nos queda entonces encontrar el conjunto de carteras factibles que pueden ser creadas
combinando estos dos activos distintos.
Hasta el momento, tenemos tres ecuaciones de comportamiento, (1), (2), y (3).
De (2), podemos hacer un simple despeje:
wf = 1 - w1
Y podemos insertarlo en la ecuación (1):
rc = w1. r1 + (1 - w1).rf
De esta forma, hemos podido expresar la primera expresión, aquella que nos explica el
comportamiento del rendimiento esperado de la cartera, a una sola variables
desconocida hasta el momento, w1.
Aplicando propiedad distributiva primero, y asociativa después, nos queda:
rc = rf + w1.( r1 - rf) (4)
El término ( r1 - rf) es conocido como spread, y nos indica la diferencia entre lo que
rinde un activo riesgoso con respecto al risk free.
Podemos ver hasta el momento, dos componentes que forman parte del rendimiento
esperado de la cartera:
a) Un primer término, representado por el rendimiento del activo libre de riesgo, rf.
Representa el valor tiempo del dinero. Dado que nosotros tenemos dinero para invertir,
y decidimos prestárselo al gobierno norteamericano 3, si bien no hay riesgo de default,
podríamos ex-ante utilizar nuestro capital en otra cosa (consumir, o simplemente,
ponerlo bajo el colchón). Con lo cual, sabemos que no es lo mismo $1 hoy que mañana.
Para que nosotros decidamos darle nuestro dinero a la unidad deficitaria (el Tesoro de
los EEUU), queremos estar compensados, y obtener un plus en el futuro, y abstenernos
de tener el dinero hoy.
Por lo tanto, esa compensación está representada por la tasa del activo libre de riesgo.
b) Un segundo término, representado por el spread, multiplicado por la cantidad que
invertiremos en el activo riesgoso.
Dado que tenemos la posibilidad de invertir todo nuestro capital colocándonos en una
posición long (comprado) en bonos del Tesoro, donde no incurriríamos (supuestamente)
en ningún riesgo para obtener nuestro capital + intereses, debe existir un incentivo
adicional que genere motivos para, justamente, incurrir en riesgos al invertir en un
activo riesgoso.
El spread justamente nos mide cuanto más rinde el riesgoso por sobre el risk free. Si
ambos rindieran lo mismo, implicaría que:
rc = rf
¿Por qué sucedería esto? Porque de tener que elegir entre dos activos que rinden lo
mismo, siempre elegiríamos el que tiene menor riesgo. Con lo cual, si el spread fuera
cero, estaríamos 100% en una posición long T-Bills.
Dado esa situación, nos damos cuenta que, para que decidamos mínimamente colocar
parte de nuestra inversión en el activo riesgoso, r1 > rf, necesariamente.
Aun nos falta integrar (3), que era la definición de desvío estándar de la cartera.
Podemos, nuevamente, hacer una pequeña modificación a la igualdad:
w1 = σ c / σ
1
Y reemplazar en la expresión (4):
3
Recuerde que comprar un bono, ya sea a un gobierno o a una empresa, implica que les estamos
prestando dinero, dado que es un título de deuda.
rc = rf +
1
( r1 - rf) σ
σ1
c
(5)
Esta reexpresión de la ecuación se la llama Capital Allocation Line, o línea de
colocación de capitales. Además del término risk free, que sigue siendo el mismo, ahora
el spread está siendo dividido por el desvío estándar, de la forma 4:
Donde:
S: Ratio de Sharpe
R: rentabilidad del activo riesgoso.
Rf: rentabilidad del activo risk free.
El Ratio de Sharpe tiene como numerador al spread, y como denominador al desvío
estándar del activo riesgoso. Es decir, nos mide cuanto nos paga el mercado (spread),
por cada unidad de riesgo asumido (sigma).
Nuevamente, nos está mostrando cuanto rendimiento extra el mercado considera que
debe estar compensado un inversor por invertir en activos que conllevan riesgo. Cuanto
mayor el ratio S, más estamos siendo compensados por asumir riesgo. Este ratio es
utilizado tanto para la evaluación ex ante de una cartera (de lo que se trata nuestro
modelo), como ex post, para evaluación de performance de la cartera una ves invertido
el capital y llegado al momento T en el cual la inversión maduró.
Analicemos matemáticamente la expresión (5). Podemos ver que la rentabilidad
esperada de la cartera, rc , es una función lineal, con ordenada al origen rf (lo mínimo
que exigimos como rentabilidad, dado que es lo que rinde un título sin riesgo), más la
compensación de riesgo, S, multiplicado por la cantidad de riesgo que contiene la
cartera, σ c .
Por supuesto, es una función lineal creciente, que nos muestra todas las combinaciones
factibles entre el risk free y el riesgoso que podemos obtener. Cuanta mayor
ponderación tendrá el riesgoso, por supuesto el riesgo incurrido será mayor.
4
En este caso, utilizamos la definición de 1964. Sharpe aplicó una nueva definición en 1994 para poder
comparar con otros benchmark.
En el anterior gráfico, se ve la de la CAL, formado por la combinación lineal entre
ambos instrumentos. Dos puntos a tener en cuenta: la ordenada al origen, rf, y (E(Ri);
σ i) que representa al activo riesgoso.
Si todo nuestro capital estuviera invertido en bonos del tesoro, obtendríamos como
rendimiento
rc = rf
con un riesgo de 0%.
Por otro lado, si decidiéramos que nuestra cartera fuera long 100% en el activo riesgoso,
estaríamos enfrentando una rentabilidad de
rc = E(Ri) = r1 ,
con un desvío de
σ c= σ 1
¿Qué sucede con los puntos sobre la recta que están en el medio de ambos activos? Las
combinaciones más cercanas a la ordenada al origen tendrán un posición long mayor a
la tenida en el riesgoso. A medida que vamos subiendo por la CAL, invirtiendo más en
el riesgoso, el mercado nos paga una prima por cada unidad de riesgo (en este caso, una
compensación fija igual a S). Por supuesto, como hemos mencionado anteriormente, la
búsqueda de una mayor rentabilidad por sobre el risk free implica incurrir en un riesgo
mayor.
Operaciones short o venta en corto:
Mientras estemos analizando combinaciones intermedias entre 100% risf free y 100%
activo riesgoso, estamos siempre suponiendo que parte de nuestro dinero está siendo
prestado al Tesoro de los EEUU, ya que estamos siempre en posiciones long Bono, long
activo riesgoso.
Sin embargo, podemos observar que la semirecta CAL no finaliza en el activo riesgoso,
y prosigue. ¿Qué sucede con esas posibles carteras? Si queremos acceder a esas
combinaciones, en una primera instancia, no nos alcanzaría el dinero disponible para
generar una cartera que tenga una posición comprada en ambos activos. Pero eso no nos
detiene de poder tener un mecanismo para poder solucionar esa situación.
Supongamos que pudiéramos tomar prestados bonos del Tesoro de otra persona (con la
promesa de devolver el importe, por supuesto, en el futuro), y los vendemos en el
mercado hoy. En la jerga financiera se lo conoce como venta en corto, o short sale.
Con el cash que recibimos, podemos comprar más activos riesgosos de lo que
hubiéramos podido hacer inicialmente.
En este caso, podemos ver, estamos tomando prestado dinero, y lo utilizamos para
comprar más del instrumento financiero con riesgo. Es lo que se llama una compra
apalancada.
Por supuesto, la rentabilidad de esas carteras es creciente en proporción S, dado que
estamos sobreinvertidos en el activo con riesgo. Pero, recordemos, también crece sigma.
Ahora, además, estamos en una posición short Bono 5, long Activo.
Las preferencias del inversor: la función de Utilidad
En Microeconomía, las preferencias de los consumidores están representadas por una
función de Utilidad. Cada nivel de ésta (gráficamente, una curva de nivel) muestra todas
las combinaciones de bienes que le generan al agente el mismo nivel de satisfacción.
5
Observe que, al estar en posición short Bono, es como que “nos prestan” a la tasa libre de riesgo. ¿No
sería el sueño de todo inversor?
La Teoría de la Cartera logró utilizar este enfoque, adaptándolo a la toma de decisiones
para un inversor.
Para ello, trabajaremos con la siguiente función:
U( ) = rc - 0,005.A.
σ 2c
Donde A indica el grado de aversión al riesgo del inversor. Nótese que:
𝜕𝑈
>0
𝜕𝑟𝑐
𝜕𝑈
<0
𝜕𝜎
Es decir, esta función de utilidad tiene UMg positiva con respecto al rendimiento de un
activo (un “bien”, según la teoría microeconómica), mientras que la UMg con respecto
al riesgo, medido por el desvío, es negativa (un “mal”, lo cual condice con el supuesto
de aversión al riesgo del inversor).
¿Para qué utilizaremos la función de utilidad? Una vez que hemos combinado el risk
free con el riesgoso, obteniendo así la CAL, necesitamos elegir la proporción de dinero
en invertir en cada uno. La función de utilidad nos brinda, entonces, una medida de
“satisfacción” para el inversor, ajustada por el grado de aversión al riesgo.
Con lo cual, sabiendo que las rentabilidades y desvíos son datos históricos, nuestra
variable de elección será simplemente w1, la proporción a invertir en el activo riesgoso.
Una vez encontrado w1, muy simplemente encontraremos wf, recordando que:
w1+ wf = 1
Dado que no podemos invertir más de lo que tenemos disponible.
El problema a resolver, entonces, será:
Max U = rc - 0,005.A.
σ 2c
Esto es, queremos encontrar el mayor nivel de utilidad posible para el inversor. De
resolver este problema, encontraremos la cartera óptima.
Recordamos que
rc = w1. r1 + (1 - w1).rf
σ 2c = w12. σ 1 2
Podemos reemplazar dentro de la función de utilidad.
U = w1. r1 + (1 - w1).rf - 0,005.A.
σ 2c = w12. σ 1 2
Con lo cual el problema a resolver es:
Max U = w1. r1 + (1 - w1).rf - 0,005.A.
w1
σ 2c = w12. σ 1 2
Tenemos que encontrar la cantidad a invertir en el activo riesgoso, w1, que nos permita
obtener el mejor nivel de utilidad.
Buscamos entonces el punto crítico, donde la derivada se anula.
CPO:
dU
dw1
Entonces:
=
r1
− rf − 0,01. A. w1. σ 1 2 = 0
w1* =
r1 -𝑟𝑓
0,01.A.
σ
1 2
La proporción a invertir en el activo sin riesgo será, por supuesto:
wf* = 1 - w1*
Observe el gráfico anterior. La CAL se obtiene de combinar el activo libre de riesgo,
cuyo rendimiento es de 7%, con un activo riesgoso, P, cuyo rendimiento es de 15%.
Dado un grado de aversión al riesgo A, la cartera óptima para el inversor es la C, que
hace tangencia entre la CAL y la curva de indiferencia.
Bibliografía:
Bodie – Kane – Marcus. “Principios de Inversiones”