Tema-1: Vectores

- Tema 1. Vectores en el plano Flecha o vector fijo: Son segmentos orientados de los cuales conocemos su origen y su
extremo.
Vector libre o vectores : Conjunto de vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y
sentido.
DETERMINACIÓN DE UN VECTOR:
Vector: Queda determinado si conocemos su:
 Módulo: Es la longitud del vector, siempre tiene que ser un número real. Se
representa: //.
Se calcula hallando la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus
componentes.
// =

a 2  b2
Dirección: Es la recta en la que está contenido el vector. Dos o más vectores tienen
la misma dirección si están contenidos en la misma recta o en una paralela.
 Sentido: Es el recorrido que se sigue en la recta al trasladarse del origen al extremo
del vector. Para comparar el sentido entre varios vectores tienen que tener la misma
dirección.
También puede quedar definido si solo conocemos:
 Módulo: Es la longitud del vector.
 Argumento: Es el ángulo que va desde el semieje positivo x al vector.
El argumento se mide calculando el arco tangente de la segunda componente entre
la primera componente.
β
α = Arc tang
a
b
b
α
a
Según el cuadrante en el que se encuentre el vector, el argumento se calcula:
2º cuadrante: β = 180 – α
3er cuadrante: β = 180 + α
4º cuadrante: β = 360 – α
También puede estar definido únicamente por:
 Componentes de un vector: Son los números que representan los caminos
horizontal y vertical que se han de seguir para llegar del origen al extremo:
 (a, b).
Las componentes se calculan:
A = (a1,b1)
B = (a2,b2)
 = B-A = (a2,b2) - (a1,b1) = [(a2-a1),(b2-b1)]
Si tienen la misma dirección, sentido y módulo son vectores equipolentes.
NOTA:
Un vector que empieza y acaba en el mismo punto es un vector nulo AA = (0,0)
ESPACIO VECTORIAL:
Conjunto de vectores con las propiedades de la suma y las propiedades asociativas y
distributivas del producto.
R2 {(3,5) (5,4)...}
R3 {(3,5,7) (2,4,13)...}
Suma de vectores:
El resultado de la suma de vectores es otro vector.
El cálculo de la suma de vectores se puede realizar de dos formas diferentes:
1. En función de sus componentes:
A + B = (a1,b1) + (a2,b2) = [(a1+a2),(b1+b2)] = (a1+a2 , b1+b2)
2. Geométricamente: Hay dos métodos:
A) Regla del paralelogramo: Consiste en trasladar ambos vectores con el
mismo origen. El vector suma se obtiene como la diagonal del
paralelogramo que tiene por lados dichos vectores.
B)
Regla del polígono. Consiste en trasladar uno de los dos vectores, hasta colocar
su origen sobre el extremo del otro.
A) Regla del paralelogramo
B) Regla del polígono
PROPIEDADES DE LA SUMA:
A. Ley de composición interna: la suma de vectores es otro vector.
B. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
C. Elemento neutro: a + (0,0) = a
D. Elemento opuesto: a + (-a) = (0,0)
E. Conmutativa: a + b = b + a
Si tiene las propiedades anteriormente citadas decimos que es un
grupo
abeliano o conmutativo (V,+)
Multiplicación de un vector por un número real:
El producto de un número real por un vector siempre es otro vector.
Sus características son las siguientes:
k . U = KU
Módulo: |KU| = k . |U|
Dirección: Igual que el vector U
Sentido:
k > 0 = el mismo que el vector U
k < 0 = sentido contrario
El cálculo de la multiplicación de un número real por un vector se realiza de la forma
siguiente:
U = (a,b)
K . U = (K . a, K . b)
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:
A. Distributiva entre 1 número real y 2 vectores: k . ( U + V ) = k . U + k . V
B. Distributiva entre 2 números reales y un vector: (k + b) . U = k . U + b . U
C. Asociativa entre 2 números reales y un vector: (k . b) . V = k . (b . V)
D. Elemento neutro: 1 . V = V
El conjunto de los vectores junto con las propiedades
multiplicación
de suma y
(V,+, .R), se dice que tienen estructura de
espacio vectorial.
COMBINACIÓN LINEAL
Llamamos combinación lineal de dos o más vectores al vector que se obtiene de sumar
dichos vectores multiplicados por sendos escalares.
b.V
k.U
W
W es la combinación lineal de U y V, sí W = k . U + b . V
 Si kU + bV = (0,0) se podría deber dos causas:
1. Son linealmente dependientes o colineales si:
k ≠ 0 y b ≠ 0 (Sus escalares son diferentes a 0).
Tienen sentido opuesto pero la misma dirección y módulo.
Sus componentes son proporcionales
2. Linealmente independientes
k = 0 y b = 0 (Sus
escalares son iguales a 0)
Tienen dirección distinta.
Sus componentes no son proporcionales
FAMILIA VECTORIAL
Varios vectores de un mismo espacio vectorial constituyen una familia.
R2 { (3,5) (5,4) } = Familia
Puede ser de dos tipos:
Libre: Los vectores que forman la familia son linealmente independientes.
Ligada: Los vectores que forman la familia son linealmente dependientes.
Tres vectores son linealmente dependientes si uno de ellos se puede expresar como
combinación lineal de los otros:
Vectores: W – X – Y
W = aX + By
Dos vectores tienen infinitas combinaciones lineales.
Vector unitário: Es el vector cuyo módulo es la unidad.
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Siendo la base: B{u, v} diremos que es base de R2 si cumple las propiedades siguientes:

u y v son linealmente independientes

B es un sistema generador
Sistema generador: Para cualquier vector que pertenezca a R2, pero que no pertenezca a
la Base se puede expresar como combinación lineal de los elementos de la base.
Tipos de base:

Si los vectores son perpendiculares y unitarios a la base se le llamará: ortonormal.
= 1

Si los vectores que forman la base son unitarios y no son perpendiculares entre sí se
les llamaran: Normal
=1

Si los vectores que forman la base no son unitarios y son perpendiculares entre sí se
les llamará: Ortogonal.
= u

Si no son perpendiculares ni unitarios seran: base
=u
SISTEMAS DE REFERENCIA
Ejes: Rectas que contienen a los vectores de la base.
Cualquier vector de R2 se podrá expresar como combinación lineal de los elementos de
la base.
x = av + bu
A los números reales que multiplican a los vectores de la base
se les llama
coordenadas del vector x respecto a su base. En este caso serían las coordenadas
del vector x a y b.
PRODUCTO ESCALAR DE LOS VECTORES
El producto de dos vectores es un número real que se obtiene de multiplicar los
módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman dichos vectores.
u . v = |u|.|v|.Cos|u,v| = |u|.|v|.Cos α
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DEL PRODUCTO ESCALAR
a
p
b
ProyrP = P’
ProyrAB = a’ b’
r
P’
a’
r
b’
d
ProyrCD = c’ d’
c’
d’
r
u . v = |u|.|v|.Cos α = |u| * ProyuV . Demostración:
B
Cos α = OC/OB (Mirar figura)
v
u
O
α
C
A
OC = OB
.
Cos α
OC = ProyuV
OA . OB . cos α = OA
.
OC= OA
.
ProyuV =
|u| * ProyuV
Definición.
El producto escalar de dos vectores es un número real, que se obtiene de multiplicar el
módulo de uno de los dos vectores por la proyección del otro sobre él.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Si el producto escalar es igual a 0 puede ser por dos motivos.
a. Uno de los dos es el vector nulo: v = (0,0) o u = (0,0).
b. Siendo los vectores distintos del vector nulo, si forman un ángulo de 90º.
|u|.|v|.Cos90º = 0

Conmutativa: u . v = v . u

Asociativa entre un número real y dos vectores: (k*u)*r = k*(u*v)

Distributiva del producto respecto a la suma: u*(v+w) = uv + vw
NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR
Z --- Zn Igual dirección , sentido y módulo la unidad.
|Zn| =1 = Vector cuyo módulo es la unidad
El cálculo para normalizar un vector es el siguiente:
Zn =
Zn
Z
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR.
Cuando los vectores vienen expresados en función de su base.
Caso general:
 
Sistema de referencia no es ortonormal.  = (O, u , v )
 






Los vector x e y están en función de su base: x  a 1u  b1v e y  a 2 u  b2v




2


2
.
x y = ( a 1u  b1v ).( a 2 u  b2v ) = a 1a 2 u  a 1b2uv  b1a 2 v u  b1b2v
Caso particular:
 
Sistema de referencia ortonormal.  = (O, i , j )
El producto escalar de dos vectores en función de sus componentes es igual a un
número real que se obtiene de multiplicar la 1ª componente del 1er vector por la 1ª
componente del 2º vector, más la 2ª componente del 1er vector por la 2º componente del
2º vector.
 
Son perpendiculares los vectores i , j  cos 90º = 0
 

 . 

j ) (a2 i +b2 j ) = a1 a2 i . i + a1 b2 i
 
 
= a1 a2 i . i + b1 b2 j . j = a1 a2 + b1 b2
.

x y = (a1 i + b1
Por tanto:
x.y
=
a1 a2 + b1 b2
.


j + b 1 a2 j
.


i + b1 b2 j
.

j
CALCULAR MÓDULOS
Cualquier vector multiplicado consigo mismo es igual al cuadrado de su módulo.
x . x =|x|2
Módulo:
|x|2= (au + bv)2 = a2*|u|2 + 2abuv + b2*|v|2
|x|=  a2*|u|2 + 2abuv + b2*|v|2
Caso particular
Si la base es Ortonormal los módulos se calculan de la siguiente forma:
 
Sea B={ i , j } base de R2
 

x  a i b j = (a, b) En este caso su módulo es la raíz cuadrada de la primera
componente del vector al cuadrado por la segunda componente del vector al cuadrado.
|x|=
a 2  b2