Econometría II. Hoja de Problemas 3

Econometría II. Hoja de Problemas 3
Nota: En todos los contrastes tome como nivel de significación 0.05.
1. Considere el modelo lineal con una sola variable explicativa Yt = βXt + ut , para
2
t = 1, ..., T , siendo Xt una variable aleatoria con media µ y varianza σX
. Las variables
∗
∗
Xt e Yt no son observables, pero sí lo son las variables Yt , Xt , definidas como
Yt∗ = Yt + vt , Xt∗ = Xt + wt . Supondremos que {(Xt , ut , vt , wt )}Tt=1 son variables iid,
que los tres errores tienen media 0 y varianzas positivas σu2 , σv2 , σw2 , y que los tres
errores son independientes unos de otros e independientes de Xt .
a) Calcule la media y la matriz de varianzas del vector aleatorio (Yt∗ , Xt∗ )′ .
b) Sea βb el estimador MCO de un modelo con Yt∗ como variable dependiente y
b
X ∗ como variable independiente. Calcule plim β.
t
c) Supongamos ahora que σw2 = 0, ¿Qué implica esta condición? ¿Sería en este
caso consistente el estimador de β obtenido en el apartado b)?
d ) Supongamos ahora que σv2 = 0. ¿Qué implica esta condición? ¿Sería en este
caso consistente el estimador de β obtenido en el apartado b)?
2. Considere el modelo lineal sin constante y con una sola variable explicativa endógena
xt :
yt = βxt + εt
y sea zt un instrumento para xt . Suponga que los vectores {(yt , xt , zt )′ }Tt=1 son independientes e idénticamente distribuidos y se verifican las siguientes propiedades E(εt ) = 0, E(xt εt ) = γ1 6= 0, E(xt ) = µ1 , E(x2t ) = µ2 6= 0, E(zt εt ) = 0 y
E(zt xt ) = γ2 6= 0.
a) Demuestre que el estimador MCO de β no es consistente.
b) Demuestre que el estimador de variables instrumentales que utiliza zt como
instrumento para xt es un estimador consistente de β.
c) Suponga ahora que la variable dependiente y la variable explicativa están medidas con error, y que las variables observadas son yt∗ = yt + vt y x∗t = xt + wt ,
donde E(vt ) = E(wt ) = 0, V ar(vt ) = σv2 y V ar(wt ) = σw2 . Además sabemos que
cov(xt , wt ) = cov(yt , vt ) = cov(εt , wt ) = cov(εt , vt ) = cov(wt , vt ) = cov(zt vt ) =
cov(zt wt ) = 0. Demuestre que el estimador de variables instrumentales que
utiliza zt como instrumento para x∗t es un estimador consistente de β.
1
3. Supongamos que se satisfacen las relaciones:
(1) : Yt = βXt + ut
(2) : Xt = γZt + εt
para t = 1, ..., T. Sabemos que {(Zt , ut , εt )}Tt=1 son variables aleatorias iid y que
E[Zt ] = µ1 , E[Zt2 ] = µ2 > 0, E[ut ] = E[εt ] = 0, var(εt ) = σε2 > 0, var(ut ) = σu2 > 0,
cov(εt , Zt ) = cov(ut , Zt ) = 0, cov(εt , ut ) = α 6= 0 y γ 6= 0.
a) Sea βbM CO el estimador MCO la ecuación (1). Demuestre que βbM CO no es un
estimador consistente de β.
b) Sea βbV I el estimador VI la ecuación (1) que utiliza Zt como instrumento para
Xt . Demuestre que βbV I es un estimador consistente de β.
4. Considere las siguientes ecuaciones:
Yt = βXt + ut (1)
Xt = θZt + wt (2)
Obtenga el estimador MCO de θ en la ecuación (2) y calcule la predicción de Xt
bt ). Regrese Yt sobre X
bt y demuestre que el estimador MCO de esta última regre(X
sión coincide con el estimador de VI de β en la ecuación (1) que utiliza Zt como
instrumento para Xt .
5. Suponga que desea estimar el efecto de la educación sobre el número de hijos que
tienen las mujeres en los países en desarrollo. Para estimar este efecto se considera
el siguiente modelo:
(1)
nhijost = β0 + β1 edadt + β2 edad2t + β3 educt + ut
donde nhijos es el número de hijos, edad y edad2 son la edad y la edad al cuadrado
y educ son los años de educación de la mujer. Se sospecha que el nivel de educación
podría ser endógeno y se propone utilizar los años de educación del marido (heduc)
como instrumento para los años de educación de la mujer. En todas las ecuaciones
los números entre paréntesis son los errores estándar.
a) Utilizando una muestra para 1956 mujeres casadas se han obtenido las siguientes estimaciones MCO
nhijost = −6.55 + 0.5232edadt − 0.0054edad2t − 0.1720educt + 0.0966νbt + rest
(0.65)
(0.0400)
(0.0006)
(0.0145)
(0.0189)
(2)
nhijost = −7.29 + 0.5059edadt − 0.0050edad2t − 0.0733νbt + residuot
(0.67)
(0.0414)
(0.0006)
(0.0127)
(3)
nhijost = −6.26 + 0.5101edadt − 0.0053edad2t − 0.1737educt + 0.0983εbt + rest
(0.65)
(0.0399)
(0.0006)
(0.0147)
(0.0192)
(4)
nhijost = −7.5 + 0.5158edadt − 0.0051edad2t − 0.0754εbt + residuot
(0.67)
(0.0413)
(0.0006)
2
(0.0127)
(5)
donde νbt son los residuos MCO de la regresión de educt sobre una constante y
heduct ; y εbt son los residuos MCO de la regresión de educt sobre una constante,
edadt , edad2t , y heduct . Suponiendo que efectivamente el nivel de educación
del marido es un instrumento válido, contraste si el nivel de educación de la
mujer es una variable exógena en el modelo de la ecuación (1).
b) Se ha estimado el modelo (1) por MCO y por VI utilizando la educación del
marido como instrumento. Los resultados obtenidos son los siguientes
nhijost = −6.68 + 0.5120edadt − 0.0052edad2t − 0.1157educt + rest
(MCO)
nhijost = −6.26 + 0.5101edadt − 0.0053edad2t − 0.1737educ + rest
(VI)
(0.65)
(0.66)
(0.0402)
(0.0006)
(0.0406)
(0.0006)
(0.0095)
(0.0150)
Contraste si efectivamente el número de hijos depende del nivel de educación
de la madre. ¿Cómo hubiera realizado el contraste si su respuesta al apartado
a) hubiese sido la contraria de la que ha obtenido?.
6. Considere la función de producción
ln(Yt ) = β1 + β2 ln(Lt ) + ut
donde Y es el nivel de producción y L es el nivel de empleo. Se cree que el nivel de
empleo puede estar correlacionado con la perturbación aleatoria del modelo. Para
estimar este modelo se utiliza el logaritmo del salario ln(W ) como instrumento del
logaritmo del nivel de empleo, ya que si el salario se determina fuera de la empresa
no estará correlacionado con la perturbación aleatoria; además el salario estará
correlacionado con el nivel de empleo ya que el nivel de empleo que elija la empresa
dependerá del salario. Con una muestra de T = 400 empresas se han obtenido los
siguientes resultados:
PT
PT
ln(Lt ) = 45,7988
ln(Wt ) = 39,0925
t=1
PT
PTt=1
2
ln(Y
)
=
34,3300
{ln(W
t
t )} = 3,8255
t=1
Pt=1
P
T
T
t=1 ln(Wt ) ln(Lt ) = 4,4736
t=1 ln(Wt ) ln(Yt ) = 3,3538
a) Calcule el estimador de variables instrumentales de los parámetros del modelo.
b) Sabiendo que la suma de los cuadrados de los residuos (calculada con los residuos VI) es 0.001416, obtenga la matriz de varianzas-covarianzas estimada del
estimador VI.
c) Contraste la hipótesis nula de que la elasticidad de la producción respecto al
nivel de empleo es 0.5.
d ) Sabiendo que ln(W ) no está correlacionado con ut y que la suma residual de
la regresión MCO de ln(Lt ) sobre una constante y ln(W ) es 0.0039, contraste
si ln(W ) es un instrumento válido para ln(Lt ).
3
e) Para contrastar la endogeneidad de ln(Lt ) se ha estimado por MCO el modelo
ampliado
Yt = γ1 + γ2 ln(Lt ) + γ3 vbt + ut
donde vbt son los residuos MCO de la regresión de
y ln(Wt ), obteniéndose los siguientes resultados:


0,02200
γ
b =  0,3972 
0,1602

0,000037
0,000000
\
0,000836
var(b
γ ) =  0,000000
−0,000319 −0,000836
ln(Lt ) sobre una constante

−0,000319
−0,000836 
0,003624
Contraste si efectivamente ln(Lt ) es endógena.
7. Considere el siguiente modelo de fecundidad:
childrent = β1 + β2 educt + β3 aget + β4 age2t + ut
(1)
donde children es el número de hijos, educ son los años de educación y age la edad
de la mujer. En base a una muestra de 100 mujeres de Botswana se han obtenido
los resultados que se presentan en las tablas adjuntas (en estas tablas f rsthalf es
una variable ficticia igual a uno si la mujer nació durante los seis primeros meses
del año).
a) Utilizando toda la información en las tablas adjuntas, ¿qué propiedad, de las
estudiadas en este curso, no cumplen los estimadores MCO de la Tabla 1?. Justifique detalladamente su respuesta e indique qué información de la disponible
en las tablas utiliza para llegar a esa conclusión.
b) De acuerdo a su respuesta en el aparatado anterior y utilizando la información
en las tablas adjuntas que considere necesaria, contraste la hipótesis nula de
que un año adicional de educación reduce el número de hijos en 0.3 frente a la
alternativa de que la reducción en el número de hijos es mayor.
c) De acuerdo a sus respuestas en los apartado anteriores, ¿qué papel desempeña
la variable f rsthalf en la estimación del modelo en la ecuación (1)? y ¿qué
condiciones debe cumplir f rsthalf para desempeñar correctamente ese papel?.
8. Considere la ecuación de oferta de trabajo para mujeres casadas
hourst = β1 +β2 lwaget +β3 educt +β4 aget +β5 kidslt6t +β6 kidsge6t +β7 nwif einct +ut
donde hours son las horas trabajadas en un año, lwage es logaritmo del salario por
hora, educt son los años de educación, age es la edad de la mujer en años, kidslt6 es
el número de hijos menores de 6 años, kidsge6 es el número de hijos entre 6 y 18 años
4
(1)
y nwif einc es la renta no laboral. Se sospecha que lwage podría ser endógeno en
este modelo y se propone utilizar como instrumentos la experiencia laboral (exper)
y su cuadrado (expersq). En base a una muestra de 428 mujeres americanas se han
obtenido los resultados que se presentan en la tablas adjuntas.
a) Suponiendo que exper y expersq no están correlacionadas con el término de
error de la ecuación (1), contraste si exper y expersq son instrumentos válidos
para lwage.
b) Contraste si lwage es una variable exógena en la ecuación (1).
c) En base a los resultados obtenidos en los apartados anteriores, contraste la
hipótesis nula de que el efecto sobre la oferta de trabajo de los hijos menores
de 6 años es el mismo que el efecto de los hijos entre 6 y 18 años.
9. Para estimar el valor económico de la educación se cuenta con una muestra de 3010
hombres estadounidenses. En la regresión del logaritmo del salario (LW AGE) se
incluyen como regresores, además de la constante, los años de estudio (EDU C), los
años de experiencia laboral y su cuadrado (EXP ER, EXP ERSQ), una dummy de
raza (BLACK) y la región de residencia (REGION ):
LW AGEt = β1 + β2 EDU Ct + β3 EXP ERt
+ β4 EXP ERSQt + β5 BLACKt + β6 REGIONt + ut
Se dispone también de información sobre si el domicilio de nacimiento estaba cercano
a una universidad (N EARU N I). Se sospecha que EDU C podría ser endógena en la
regresión de LW AGE. Las tablas 1-6 ofrecen resultados de una serie de estimaciones.
a) ¿Le parece válido el estimador MCO para estimar el valor económico de la
educación en el presente contexto? Justifique su respuesta.
b) ¿Le parece válido el estimador VI para estimar el valor económico de la educación en el presente contexto? Justifique su respuesta.
c) Contraste si el valor económico de la educación es superior al 5 %.
10. Considere el modelo:
Y1t = β1 Y2t + u1t
(1)
donde u1t son iid, y todos tienen media 0 y varianza σ12 , y:
Y2t = α1 Y1t + α2 Xt + u2t
(2)
donde u2t son iid, y todos tienen media 0 y varianza σ22 . Xt es una variable exógena
iid e independiente de u1t y u2t para todo t, y β1 α1 6= 1.
a) Explique por qué en general Y2t es una variable endógena en la ecuación (1).
5
b) Obtenga la expresión del estimador de β1 por el método de variables instrumentales utilizando Xt como instrumento. La expresión final del estimador de
VI de β1 tiene que ser una función de Y2t , Y1t y Xt .
c) ¿Bajo qué condiciones el estimador del apartado b) es un estimador consistente?
Demuéstrelo.
d ) ¿Cambiaría alguna de sus respuestas a los apartados anteriores si α2 = 0?
Razone la respuesta.
e) Con la información que se proporciona a continuación, ¿hay evidencia empírica
suficiente para concluir que Y2t es una variable endógena en el modelo (1)?
Y1t = 0,9 Y2t + û1t
(3)
(0,2)
Y1t = 0,6 Y2t + 0,03 v̂2t + v̂1t
(0,22)
Y1t = 1,5 Y2t − 0,5 Xt + η̂1t
(0,7)
(5)
(0,12)
Y2t = 0,4 Y1t + 0,09 Xt + û2t
(0,15)
(4)
(0,01)
(6)
(0,03)
Y2t = 0,19 Xt + v̂2t
(7)
(0,05)
Y1t = −0,06 Y2t + 0,03 û2t + η̂3t
(0,18)
(8)
(0,10)
Los valores entre paréntesis son los errores estándar robustos a la heterocedasticidad.
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