Ecuaciones.

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.
1
Ecuaciones.
1.
Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
Repasar las operaciones básicas con números reales.
Repasar las operaciones con monomios y polinomios.
Serı́a conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
2.
Definiciones previas.
Definición: Una ecuación es una igualdad entre números y letras relacionados por operaciones aritméticas. A
las letras se las llamará incógnitas.
Por ejemplo:
x2 + 2x + 4 −
4
2x
= x3
3
5
Definición: Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Las ecuaciones que tienen solución se llamarán compatibles.
Las ecuaciones que no tienen solución se llamarán incompatibles.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Por ejemplo, en la ecuación:
x+3=5
La solución de la ecuación es x = 2, ya que si se sustituye este valor de la x en la ecuación:
2+3=5
La igualdad se cumple.
Una ecuación puede tener más de una solución. Por ejemplo, en la ecuación:
2x − 3 − x = x − 3
x = 0, x = 1 y x = 2 son soluciones de la ecuación.
2 DEFINICIONES PREVIAS.
2.1.
2
Regla de la suma.
Definición: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número, se obtiene una ecuación equivalente.
a= b→ a+c= b+c
o bien
a= b→ a−c= b−c
Si un monomio está sumando en un lado, si se resta dicho monomio en los dos miembros de la ecuación,
será como pasarlo al otro lado cambiado de signo:
Por ejemplo:
2x = 2 + x; ⇒ Se resta x en los dos miembros de la ecuación
2x − x = 2 + x − x;
2x − x = 2
2.2.
Regla del producto.
Definición: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide un mismo número, se obtiene una ecuación equivalente.
a =b→a·c=b·c
o bien
a=b→
b
a
=
c
c
Esto es lo mismo que decir que si un número está multiplicando en un lado pasa al otro dividiendo y viceversa.
Pero hay que tener cuidado con esta regla.
Ejemplo:
3
2x = 3; x =
2
Nota:
Sólo lo podremos pasar de un lado a otro si está multiplicando (o dividiendo) a todo un miembro. Por ejemplo:
4
2(x + 2) = 4; x + 2 = ; x + 2 = 2
2
Pero no se podrá:
2x + 3 = 4; x + 3 =
4
← Esto no se puede hacer.
2
3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
3.
3
Ecuaciones de primer grado.
Las ecuaciones de primer grado son aquellas formadas por polinimios de primer grado. Antes de poder
determinar si una ecuación es o no de primer grado habrá que operarla. Por ejemplo:
x2 + 2x = x2
Después de operarla se encontrará que realmente es de primer grado.
Vamos a resolver la siguiente ecuación 3 (x + 2)2 = 3x2 . Para resolver la se seguirán los siguientes pasos:
Se operan los polinomios en ambos miembros. Hay que recordar que primero se operan los paréntesis,
después las potencias, después multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas.
3 (x + 2)2 = 3x2 ;
|
{z
}
3 x2 + 4x + 4 = 3x2 ;
3x2 + 12x + 12 = 3x2
Si hay fracciones se pone denominador común usando el m.c.m. Una vez que se ha puesto el denominador
común se pueden quitar los denominadores. En ocasiones puede ser cómodo aplicar este punto antes que
el punto anterior.
“Se pasan letras a un lado y números al otro”. Es decir, los monomios de grado mayor que cero se ponen
en uno de los miembros (recordar la regla de la suma) y el resto al otro.
3x2 + 12x + 12 = 3x2 ; 3x2 + 12x − 3x2 = −12; 12x = −12
Si es necesario se aplica la regla del producto.
12x = −12; x =
12
; x = −1
12
Otro ejemplo:
5
x 3
+ x − x = 15
2 4
6
Como hay denominadores en este caso resulta más cómodo quitar los denominadores. Se calcula el m.cm. El
m.c.m es 12. Se pone denominador común:
180
6x + 9x − 10x
=
12
12
Se quitan ahora los denominadores:
1
6x + 9x − 10x = 180
Operando:
5x = 180; x = 36
1
Realmente no es que se quiten los denominadores, lo que sucede es que se pasa, multiplicando, uno de los denominadores al otro
miembro de la ecuación y se simplifican:
6x + 9x − 10x
180
12 · 180
=
⇒ 6x + 9x − 10x =
⇒ 6x + 9x − 10x = 180
12
12
12
4 REGLA DE FACTORIZACIÓN.
4
Importante: Después de resolver una ecuación, las soluciones
=
Ası́, para la ecuación 6x+9x−10x
12
sustituyendo en la ecuación:
6x+9x−10x
12
6·36+9·36−10·36
12
180
12
=
=
=
180
12
180
12
180
12
180
12
siempre se comprueban.
se obtiene como solución x = 36. Se debe comprobar el resultado
⇒ La igualdad se cumple, es correcto el resultado
Ejercicios: Resolver las siguientes, ecuaciones. Verificar que los resultados obtenidos son correctos:
1. 2x − 4 = 5
2.
3x
15
3.
13+x
20
4.
x−3
5
− x = − 4x
4 +
−
=
x+1
3
x+3
3
5. 1 =
−
=
10+x
5
= − x+8
12 +
7.
x2 −1
x+3
= x−1
2
1−12x
10
x
2
3x+4
5
x−1 x−2
− 3
2
+
−2
6.
8.
4.
5x
2
45
25
=5
x+1
3
x−1 x+1
− 2
2
3
Regla de factorización.
Definición: (Regla de factorización) Si el producto de dos números es cero, al menos uno de ellos debe de ser
cero.
ab = 0 → a = 0 o bien b = 0
Ası́, por ejemplo, para resolver la ecuación:
(x − 2)(x − 3) = 0
Por la regla anterior:
x − 2 = 0; x − 3 = 0
Resolviendo:
x = 2; x = 3
Se pueden aplicar las técnicas de factorización vistas en el capı́tulo anterior. Por ejemplo:
x2 − x = 0
5 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
5
Factorizando:
x(x − 1) = 0
Resolviendo:
x = 0; x − 1 = 0
x = 0; x = 1
Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:
1. x2 + x − 2 = 0
2. x3 − 2 x2 − 5 x + 6 = 0
3. x3 − 6 x2 + 11 x − 6 = 0
4. 2 x3 − 2 x2 − 20 x − 16 = 0
5. 3 x4 + 6 x3 − 3 x2 − 6 x = 0
6. 0 = x5 − 2 x4 − 5 x3 + 6 x2
5.
Ecuaciones de segundo grado.
Sea una ecuación de la forma:
ax2 + bx + c = 0
Esta ecuación tiene dos soluciones dadas por las fórmulas:
√
−b + b2 − 4ac
x=
2a
√
−b − b2 − 4ac
x=
2a
2
A b − 4ab se le denomina el discriminate y se verificará que:
b2 − 4ab > 0 se tienen 2 soluciones.
b2 − 4ab = 0 se tiene una única solución.
b2 − 4ab < 0 no se tienen soluciones. Ecuación incompatible.
Por ejemplo, se desea resolver:
2x2 − 6x + 4 = 0
Se identifican a, b y c.
+2 x2 |{z}
−6 x |{z}
+4 = 0
|{z}
a
b
c
Usando las fórmulas:
x=
−b +
√
b2 − 4ac
−(−6) +
=
2a
p
(−6)2 − 4 · 2 · 4
=2
2·2
6 EJERCICIOS.
6
√
b2 − 4ac
−(−6) −
x=
=
2a
En este caso se tienen dos soluciones ya que b2 − 4ab > 0.
−b −
p
(−6)2 − 4 · 2 · 4
=1
2·2
Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:
1. x2 − 5x + 6 = 0
2. x2 − 4x + 4 = 0
3. x2 − 6x + 8 = 0
4. 2 x2 − 5 x + 3 = 0
5. 3 x2 − 17 x + 10 = 0
6. x2 − 4 = 0
7. x2 − x = 0
8. x2 − x + 10 = 0
6.
Ejercicios.
1. Luı́s tiene el doble de edad que Juan. La suma de ambas edades es 45. ¿Cuales son sus edades? Sol.: 15 y
30
2. Un pastor para tener 20 ovejas tiene que tener las que tiene otras tantas como las que tiene y la mitad de
las que tiene. ¿Cuántas tiene? Sol.: 8
3. Un campo de fúlbol es el doble de largo que de ancho. Si el área total es 11250, ¿cuáles son sus dimensiones? Sol.: 75 y 150
4. La posición de un móvil que parte con una velocidad inicial v0 y tiene una aceleración a viene dada por
la expresión: e = at2 + v0 t + x0 donde t es el tiempo y x0 es la posición inicial. Si la aceleración es de
−10 m/s2 , la posición inicial es 0 m y la velocidad es de 20 m/s, ¿cuálto tiempo tarda en regresar a la
posición inicial? Sol.: 2 s
5. Basádose en el ejercicio anterior calcule: Se lanza un objeto hacia arriba a 19,6 m/s, si la aceleración de
la gravedad son 9,8 m/s2 , ¿cuánto tarda en caer? ¿Afecta el signo de la aceleración? Sol.: 2 s, sı́
6. En el ejercicio anterior, ¿cuál es la altura máxima que alcanza? Sol.: 9,8 m
7. Si se mueve una barra de hierro dentro del campo de un imán se produce una tensión entre los bordes de
la barra. Dicha diferencia de potencial viene dada por V = vBl donde V es la tensión, v es la velocidad
de la barra, B es el campo magnético y l es la longitud de la barra. Si el campo es de 0,1 T y la barra
tiene 0,1 m de longitud, ¿a qué velocidad hay que mover la barra para conseguir un voltio de tensión?
Sol.: 100 m/s