Probabilidad

Probabilidad
1.- Obtener la probabilidad de las siguientes jugadas en una mano de 5 cartas de una
baraja de 52 cartas:
a) Pareja. b) Doble pareja. c) Trío. d) Escalera. e) Color. f) Full. g) Póker h) Escalera de
color.
2.- El circuito ilustrado debajo opera si y sólo si hay una trayectoria de dispositivos
funcionales de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione se
indica en el gráfico. Suponga que los dispositivos fallan independientemente. ¿Cuál es la
probabilidad de que el circuito opere?
0.9
0.9
0.8
0.95
0.75
0.9
3. La probabilidad de que llueva un determinado día es 0.3. Pero cuando la vecina canta
al levantarse, la probabilidad de que llueva se duplica. La vecina tiene la costumbre de
cantar todos los días al levantarse a menos que vaya a salir con el novio. La vecina sale
con el novio el 70% de los días. Calcule la probabilidad de que en un determinado día:
a) Llueva y la vecina haya cantado al levantarse.
b) La vecina haya cantado, dado que ese día termino lloviendo.
c) La vecina cante al levantarse y no llueva.
d) Llueva, sabiendo que ese día la vecina no cantó al levantarse.
4.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es
0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace
blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad de que una flecha haga blanco.
5.- Se está experimentando con tres tipos de semillas de trigo A, B, C. Se sembró una
parcela en la que germinará un 60% de plantas de tipo A, 35% del tipo B, y un 5% del
tipo C. La probabilidad de que una espiga tenga más de 50 granos de trigo es 0.2 para el
tipo A, 0.9 para el tipo B, y 0.45 para el tipo C. Si se elige una espiga al azar, a) ¿Cuál es
la probabilidad de que tenga más de 50 granos? b) Sabiendo que una espiga tiene más de
50 granos ¿cuál es la probabilidad de que sea en de tipo A?
6.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es
0,8; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad
de que una flecha haga blanco y sea lanzada por el titular.
7.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es
0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace
blanco con probabilidad 0,7. Una flecha hace blanco. Calcular la probabilidad de que la
haya lanzado el titular.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 1
Probabilidad
8.- En un curso de una escuela de ingenieros sólo hay tres grupos. Se sabe que, el 5% del
grupo A, el 10% del grupo B y el 20% del grupo C aprueban todas las asignaturas en la
convocatoria de junio. Se sabe también que el 40 % estudia en el grupo A, el 20% en el
grupo B y el 40% en el grupo C. Si elegimos un estudiante de dicho curso al azar,
calcular:
a) La probabilidad de que sea del grupo A y haya aprobado todas las asignaturas en
junio.
b) La probabilidad de que haya aprobado todas las asignaturas en junio.
9.- Hay noventa aspirantes para un trabajo en un departamento de una cierta empresa.
Algunos son titulados universitarios y algunos no, alguno de ellos tienen al menos tres
años de experiencia y alguno no la tienen, el análisis exacto es
Titulados
No titulados
universitarios universitarios
Al menos tres
años de
18
9
experiencia
Menos de tres
años de
36
27
experiencia
Si el orden en que el gerente de la empresa entrevista a los aspirantes es aleatorio, T es el
suceso que el primer aspirante entrevistado sea titulado universitario, y E es el suceso de
que el primer aspirante entrevistado tenga al menos tres años de experiencia, determine
cada una de las siguientes probabilidades:
a) P(T) ; b) P(E) ; c) P(T  E) ; d) P(T  E) ; e) P(E / T) ; f) P(T / E)
10.- He estudiado bien cinco de los siete temas de un examen. Se eligen dos temas al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien a esos dos temas?
11.- Se lanza simultáneamente cinco monedas. Hallar la probabilidad de obtener al
menos una cara.
12.- ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, sabiendo que sólo se pueden lanzar
3 torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con cada uno de ellos es 0.2?
13.- Una urna se ha llenado lanzando un dado y colocando bolas blancas en número
igual al número de puntos obtenidos al lanzar el dado. A continuación se añadieron
bolas negras en número determinado por una segunda tirada del dado. Se sabe también
que el número total de bolas en la urna es 8. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga
exactamente 5 bolas blancas?
14.- En una clase hay 10 alumnos, de los que 8 no fuman y 12 alumnas de las que 9 son
fumadoras. Se elige al azar dos estudiantes de la clase. Sea A=”elegir un alumno
fumador”, B=”elegir una alumna” y C=”elegir una alumna fumadora. Hallar P(A),
P(B), P(C), P(A ∪ B), P(A ∪ C)
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Asignatura: Cálculo y Estadística 2
Probabilidad
15.- Se tienen dos urnas, una con 50 bolas blancas y otra con 50 bolas negras. Calcular la
probabilidad de escoger una urna y sacar una bola blanca. Y si sacamos 49 bolas
blancas y las ponemos con las 50 bolas negras.
16.- Se ha hecho un lanzamiento de dados y se ha obtenido 4 puntos. ¿Cuál es la
probabilidad de que se hayan lanzado 3 dados?
17.- Tres plantas de una fábrica de automóviles producen diariamente 800, 1200 y 2000
unidades respectivamente. El porcentaje de unidades del modelo A es 60%, 20% y 40%
respectivamente. Calcular la probabilidad de que:
a) Un automóvil elegido al azar sea del modelo A.
b) Un automóvil de este modelo haya sido fabricado en la primera planta.
18.- En el programa de Cálculo y Estadística hay 7 temas. Un estudiante prepara
solamente 4 de ellos. En el examen se sacan 3 temas al azar. Calcular la probabilidad de
que por lo menos dos de ellos estén entre los 4 preparados.
19.- En una reunión hay 14 personas de las que sólo 4 fuman tabaco rubio, 3 sólo fuman
negro y 2 fuman de las dos clases. Se elige al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad
de que sea fumador? Se eligen al azar dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que una
(al menos) fume? ¿Y la de que las dos fumen rubio?
20.- En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es
0,95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber
peligro es 0.1.
a) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione.
b) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no hubiese
peligro.
21.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, sin
embargo, la probabilidad de aprobar el test de Estadística, aunque, haya aprobado la
Estadística es de 0,5. Por otra parte, los suspensos del test representan el 99% cuando
corresponden a los suspensos en Estadística. Calcular la probabilidad de aprobar
Estadística sabiendo que aprobó el test.
22.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no
suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0.2, pero si no suena, la
probabilidad de que llegue tarde es 0.9.
a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador.
b) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo.
c) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el
despertador.
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Asignatura: Cálculo y Estadística 3
Probabilidad
23- En una terraza de un bar el 60% de las mesas consumen vino, en el 30% cerveza y
en el 20% ambas bebidas. Elegimos una mesa al azar:
a) Si han pedido vino, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pedido también cerveza?
b) Si han pedido cerveza, ¿cuál es la probabilidad de que no hayan pedido también
vino?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan pedido ni vino ni cerveza?
24.- Tenemos 3 cajas con tornillos. En la primera hay 3 defectuosos y 7 buenos; en la
segunda hay uno malo de los 5 que tiene y en la tercera tiene 8 de los que 2 son
defectuosos. Escogiendo un tornillo al azar entre todos ellos, ¿cuál es la probabilidad de
que sea bueno?
25.- Se sabe que una determinada enfermedad afecta a un 10% de las personas. Existe
una prueba con un índice de acierto del 90% sobre las personas enfermas; pero con un
índice de falso positivo, es decir, dar por enferma a una persona sana, del 1%. Calcular
la probabilidad de ser una persona enferma si el resultado de la prueba es que es sana.
26.- Tres máquinas de una planta de montaje producen el 30%, 25% y 45% de
productos, respectivamente. Se sabe que el 2%, 3%, y el 1% de los productos de cada
máquina tienen defectos.
a) Seleccionado un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de esté defectuoso?
b) Seleccionado un producto al azar resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que
proceda de la primera máquina?
27.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan el 40%, 30%, 20%
y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2,
0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?
b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del
primer radar?
28.- En un pueblo existen 3 hoteles que dan servicio al 20%, 50%, 30% de los turistas.
Se sabe que la probabilidad de no encontrar habitación es: 0,05, 0,08 y 0,03
respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar habitación?
b) Sabiendo que ha encontrado habitación, ¿cuál es la probabilidad de que sea en el
primer hotel?
29.- La compañía farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las
cuales 10 eran defectuosas; la compañía B entregó 100 unidades de las que había 20
defectuosas y la compañía C entregó 200 unidades de las que 25 eran defectuosas.
Se almacenaron todas las unidades de forma que se mezclaron aleatoriamente. Calcular:
1º.- Probabilidad de que una unidad tomada al azar sea de la compañía A.
2º.- Probabilidad de que sea de C y defectuosa.
3º.- Probabilidad de que sea de A y buena.
4º.- Probabilidad de que sea buena.
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Asignatura: Cálculo y Estadística 4
Probabilidad
5º Si resultó ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía C?
6º Si es buena ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía B?
30.- Según el empleo y sexo, los profesores de la E.T.S.I.T.G.C se distribuyen según la
tabla siguiente:
Si nos encontramos con un profesor en el aparcamiento, calcular:
a) La probabilidad de que sea hombre.
b) La probabilidad de que sea catedrático.
c) La probabilidad de que sea
Mujer (M) Hombre (H) Total
hombre y profesor de escuela
Catedrático. (C)
4
6
10
universitaria.
Profesor Escuela
d) La probabilidad de que
Universitaria (P)
10
28
38
siendo mujer sea catedrático.
Profesor
e) La probabilidad de que sea
Asociado (S)
1
13
14
mujer pero no sea profesor
Total
15
47
62
de escuela universitaria.
f) La probabilidad de que
siendo hombre no sea profesor asociado.
g) ¿Son independientes los sucesos ser catedrático y ser mujer?
31.- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras
que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue
del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que
elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador?
32.- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; 2 monedas con 2 caras;
y 2 monedas con 2 cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide:
a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento.
b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida
tenga cara y cruz?
33.- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 30%,
la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50%
de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una
población tenga casa propia?
b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. ¿Cuál es la
probabilidad de que esa persona sea de la clase baja?
34.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una
conduce al recinto A en la que hay 4 coches de los que sólo 3 tienen gasolina y la otra al
recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una puerta y un
coche, se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de escapar?
b) Si se sabe que ha escapado, ¿cuál es la probabilidad de que hay salido por la puerta
B?
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Asignatura: Cálculo y Estadística 5
Probabilidad
35.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan el 40%, 30%, 20%
y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2,
0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?
b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del
primer radar?
36.-. Un libro ha sido traducido por tres traductores A, B y C. El 90% de las páginas que
traduce A no contienen errores. El 95% de las traducidas por B y el 99% de las
traducidas por C tampoco tienen errores. El libro tiene 500 páginas, de las cuales A, B y
C han traducido 125, 175 y 200 páginas respectivamente.
Si elegimos al azar una página del libro ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún
error?
37.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La
probabilidad de que un caso se deba remitir al bufete A es 0.3; de que se remita al bufete
B es 0.5 y de que se remita al bufete C es 0.2. La probabilidad de que un caso remitido al
bufete A sea ganado en los tribunales es 0.6; para el bufete B esta probabilidad es 0.8 y
para el bufete C es 07.
a) Calcular la probabilidad de que la empresa gane un caso.
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, hallar la probabilidad de que lo ganase el bufete
A.
38.- El 30% de los empleados de una empresa son ingenieros el 20% son economistas y
el 50% no son ingenieros ni economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto
directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no
economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea ingeniero?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
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Asignatura: Cálculo y Estadística 6
Probabilidad
1.- Obtener la probabilidad de las siguientes jugadas en una mano de 5 cartas de una
baraja de 52 cartas:
a) Pareja. b) Doble pareja. c) Trío. d) Escalera. e) Color. f) Full. g) Póker h) Escalera de
color.
Solución:
Ignorando el orden en el que son repartidas las cartas tenemos combinaciones de 52
elementos tomados de 5 en 5.
 52 
52!
=
  = 2598960
 5  5!( 52 − 5 ) !
En todos los casos consideramos que no se da ninguna jugada mejor.
Existen 13 cartas de cada palo y tomamos 2 de las cuatro iguales, quedando todavía por
escoger 5-2=3
 4  12 
13   ⋅ 43  
 2   3  0, 422569
a) P(pareja) =
=
 52 
 
 5
Para doble pareja queda por escoger 5-4=1 con 44 posibilidades.
 4   4  13 
      4 ⋅11
2 2 2 
0, 047539
b) =
P(doble pareja) =
 52 
 
 5
 4
2  12 
 13 ⋅ 4  
3
 2  0, 021129
c) P(trio) =
=
 52 
 
 5
10 tipos distintos de escaleras y 45 por cada tipo, y del total de escaleras hay 40 escaleras
de color que tiene que ser restadas
10 ⋅ 45 − 40
d) P(escalera)
= = 0, 003935
 52 
 
 5
13 
4   − 40
 5
0, 001965 Color son 5 cartas del mismo palo
e) =
P(color) =
 52 
 
 5
 4  4
 13  12
3   2
0, 001441 Full es obtener un trío y una pareja
f) =
P(full) =
 52 
 
 5
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Asignatura: Cálculo y Estadística 7
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 4
  ⋅13 ⋅12 ⋅ 4
4
0, 00024
g)
=
P(pokér) =
 52 
 
 5
Escalera de color son Cinco cartas en secuencia (los ases pueden emplearse como primero
o como ultimo de la serie) y del mismo palo. Son 10 posibilidades de inicio por 4 palos.
40
h) P(escalera de color)
= = 0, 000015
 52 
 
 5
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Asignatura: Cálculo y Estadística 8
Probabilidad
2.- El circuito ilustrado debajo opera si y sólo si hay una trayectoria de dispositivos
funcionales de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione se
indica en el gráfico. Suponga que los dispositivos fallan independientemente. ¿Cuál es la
probabilidad de que el circuito opere?
0.9
0.9
0.8
0.95
0.75
0.9
A1
B1
C1
A2
B2
C2
Solución:
En particular:
=
P ( A1 ) 0,9;
=
P ( A 2 ) 0,95;
=
P ( B1 ) 0,9;
=
P ( B2 ) 0,=
75; P ( C1 ) 0,8;
=
P ( C2 ) 0,9;
Sea F el suceso el circuito funciona.
Sea F el suceso el circuito no funciona.
La situación será:
F = ( A1 ∪ A 2 ) ∩ ( B1 ∪ B2 ) ∩ ( C1 ∪ C2 ) ⇒
P(F)= P ( ( A1 ∪ A 2 ) ∩ ( B1 ∪ B2 ) ∩ ( C1 ∪ C2 ) )= P ( A1 ∪ A 2 ) P ( B1 ∪ B2 ) P ( C1 ∪ C2 )=
)) (1 − P ( B ∩ B )) (1 − P ( C ∩ C )) =
( (
=
(1 − P ( A ) P ( A )) (1 − P ( B ) P ( B )) (1 − P ( C ) P ( C )) =
=
1 − P A1 ∩ A 2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
995 975 980
=(1 − 0,1 ⋅ 0, 05 ) (1 − 0,1 ⋅ 0, 25)(1 − 0, 2 ⋅ 0,1) = 3 3 3 ≈ 0,9507
10 10 10
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Asignatura: Cálculo y Estadística 9
Probabilidad
3. La probabilidad de que llueva un determinado día es 0.3. Pero cuando la vecina canta
al levantarse, la probabilidad de que llueva se duplica. La vecina tiene la costumbre de
cantar todos los días al levantarse a menos que vaya a salir con el novio. La vecina sale
con el novio el 70% de los días. Calcule la probabilidad de que en un determinado día:
a) Llueva y la vecina haya cantado al levantarse.
b) La vecina haya cantado, dado que ese día termino lloviendo.
c) La vecina cante al levantarse y no llueva.
d) Llueva, sabiendo que ese día la vecina no cantó al levantarse.
Solución:
P(A ) = 0.3
Sea A el suceso {un determinado día llueve} ⇒
Sea B el suceso {la vecina canta al levantarse} ⇒ P(B ) = 0.3 , ya que el 70% de los días la
vecina sale con el novio.
Si la vecina canta al levantarse, la probabilidad de lluvia es doble, ⇒ P A B = 0.6
( )
a) La probabilidad de que llueva y la vecina haya cantado al levantarse es,
P ( A  B ) = P A P ( B ) = 0.6 ⋅ 0.3 = 0.18
B
( )
b) La probabilidad de que la vecina haya cantado, dado que ese día acabó lloviendo es:
P ( A  B ) 0.18
P B=
= = 0.6
A
P (A)
0.3
( )
c) La probabilidad de que la vecina cante un determinado día y no llueva es:
P B  A =P(B) − P(B  A) =0.3 − 0.18 =0.12
(
)
Nota. Observe que B  A = B − ( A  B) .
d) La probabilidad de que llueva, sabiendo que ese día la vecina salió con el novio, y por
tanto, no cantó es:
( )
6
P(A  B) P(A) − PA  B) 0.3 − 0.24
=
P A
=
= =
B
70
0.7
P(B)
P(B)
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Asignatura: Cálculo y Estadística 10
Probabilidad
4.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es
0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace
blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad de que una flecha haga blanco.
Solución:
Consideramos los sucesos:
S = “flecha lanzada por el suplente”
T = “flecha lanzada por el titular”
B = “la flecha hace blanco”
P(S)=0,8; P(T)=0,2; P(B/S)=0,5; P(B/T)=0.7.
- Teorema de la probabilidad total
P(B) = P(B / S)P(S) + P(B / T)P(T) = 0,5 ⋅ 0,8 + 0, 7 ⋅ 0, 2 = 0,54
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Asignatura: Cálculo y Estadística 11
Probabilidad
5.- Se está experimentando con tres tipos de semillas de trigo A, B, C. Se sembró una
parcela en la que germinará un 60% de plantas de tipo A, 35% del tipo B, y un 5% del
tipo C. La probabilidad de que una espiga tenga más de 50 granos de trigo es 0.2 para el
tipo A, 0.9 para el tipo B, y 0.45 para el tipo C. Si se elige una espiga al azar, a) ¿Cuál es
la probabilidad de que tenga más de 50 granos? b) Sabiendo que una espiga tiene más de
50 granos ¿cuál es la probabilidad de que sea en de tipo A?
Solución:
Tenemos una partición de la parcela en tres grupos con las correspondientes probabilidades de
pertenecer a uno de ellos: P(A)=0,6; P(B)=0,35; P(C)=0,05.
El suceso X= “más de 50 granos” y las probabilidades condicionadas a cada grupo:
P(X/A)=0,2; P(X/B)=0,9; P(X/C)=0,45
P ( A ∩ X ) = P(X / A)P(A) = 0, 2 ⋅ 0, 6 = 0,12
P ( B ∩ X ) = P(X / B)P(B) = 0,9 ⋅ 0,35 = 0,315
P ( C ∩ X ) = P(X / C)P(C) = 0, 45 ⋅ 0, 05 = 0,0225
a)
Teorema de la probabilidad total:
P(X) =P(X / A)P(A) + P(X / B)P(B) + P(X / C)P(C) =0,12 + 0,315 + 0, 0225 =0, 4575
b)
Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
( A ) P(A)
=
( A ) P(A) + P ( X B) P(B) + P ( X C ) P(C)
P (A  X)
A
P=
=
X
P(X)
P X
( )
P X
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0,12
= ≈ 0,26
0, 4575
Asignatura: Cálculo y Estadística 12
Probabilidad
6.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es
0,8; si no se lo deja el titular hace blanco con probabilidad 0,7. Calcular la probabilidad
de que una flecha haga blanco y sea lanzada por el titular.
Solución:
Consideramos los sucesos:
S = “flecha lanzada por el suplente”
T = “flecha lanzada por el titular”
B = “la flecha hace blanco”
P(S)=0,8; P(T)=0,2; P(B/T)=0.7.
P(T ∩ B) = P(B / T)P(MT) = 0, 7 ⋅ 0, 2 = 0,14
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 13
Probabilidad
7.- En una competición de tiro al arco. La probabilidad de dejar el arco al suplente es
0,8 y la de que éste haga blanco si le deja el arco es 0,5; si no se lo deja el titular hace
blanco con probabilidad 0,7. Una flecha hace blanco. Calcular la probabilidad de que la
haya lanzado el titular.
Solución:
Consideramos los sucesos:
S = “flecha lanzada por el suplente”
T = “flecha lanzada por el titular”
B = “la flecha hace blanco”
P(S)=0,8; P(T)=0,2; P(B/S)=0,5; P(B/T)=0.7.
- Teorema de Bayes
7
P(T ∩ B)
P(B / T)P(T)
0, 7 ⋅ 0, 2
P(T / B) =
=
=
=
P(B)
P(B / S)P(S) + P(B / T)P(T)) 0,5 ⋅ 0,8 + 0, 7 ⋅ 0, 2 27
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 14
Probabilidad
8.- En un curso de una escuela de ingenieros sólo hay tres grupos. Se sabe que, el 5% del
grupo A, el 10% del grupo B y el 20% del grupo C aprueban todas las asignaturas en la
convocatoria de junio. Se sabe también que el 40 % estudia en el grupo A, el 20% en el
grupo B y el 40% en el grupo C. Si elegimos un estudiante de dicho curso al azar,
calcular:
a) La probabilidad de que sea del grupo A y haya aprobado todas las asignaturas en
junio.
b) La probabilidad de que haya aprobado todas las asignaturas en junio.
Solución:
Consideramos los sucesos:
A = “alumno del grupo A”
B = “alumno del grupo B”
C = “alumno del grupo C”
Tenemos una partición de los alumnos de la escuela en tres grupos con las correspondientes
probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(A)=0,4; P(B)=0,2; P(C)=0,4.
El suceso X= “aprobar todas las asignaturas en junio” y las probabilidades de aprobar
condicionado a cada grupo:
P(X/A)=0,05; P(X/B)=0,1; P(X/C)=0,2
a) Probabilidad de ser del grupo A y haya aprobado:
P ( A ∩ X ) = P(X / A)P(A) = 0, 05 ⋅ 0, 4 = 0, 02
b) Teorema de la Probabilidad total:
( A)
PX
P(A )
P(B )
P(C)
0, 05 ⋅ 0, 4
+
P X 
 A
( B)
PX
0,1 ⋅ 0, 2
+
P X 
 B
( C)
PX
0, 2 ⋅ 0, 4
P X 
 C
P(X) = P(X / A)P(A) + P(X / B)P(B) + P(X / C)P(C) = 0, 02 + 0, 02 + 0, 08 = 0,12
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Asignatura: Cálculo y Estadística 15
Probabilidad
9.- Hay noventa aspirantes para un trabajo en un departamento de una cierta empresa.
Algunos son titulados universitarios y algunos no, alguno de ellos tienen al menos tres
años de experiencia y alguno no la tienen, el análisis exacto es
Titulados
No titulados
universitarios universitarios
Al menos tres
años de
18
9
experiencia
Menos de tres
años de
36
27
experiencia
Si el orden en que el gerente de la empresa entrevista a los aspirantes es aleatorio, T es el
suceso que el primer aspirante entrevistado sea titulado universitario, y E es el suceso de
que el primer aspirante entrevistado tenga al menos tres años de experiencia, determine
cada una de las siguientes probabilidades:
a) P(T) ; b) P(E) ; c) P(T  E) ; d) P(T  E) ; e) P(E / T) ; f) P(T / E)
Solución
Al menos tres años de
experiencia
Menos de tres años de
experiencia
a) P(T) =
54 3
= ;
90 5
b) P(E)
=
63 7
;
=
90 10
c) P(T ∩ E) =
18 1
= ;
90 5
d) P(T ∩ E) =
27 3
;
=
90 10
e) P(E / T)
=
P(T ∩ E) 18 1
;
= =
P(T)
54 3
f) P(T / E)
=
P(T ∩ E) 27 3
= =
63 7
P(E)
Titulados universitarios
18
Titulados no
universitarios
9
27
36
27
63
54
36
90
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Asignatura: Cálculo y Estadística 16
Probabilidad
10.- He estudiado bien cinco de los siete temas de un examen. Se eligen dos temas al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien a esos dos temas?
Solución:
Aplicando la Regla de Laplace tenemos combinaciones de 7 elementos tomados dos a dos
como los casos posibles y 5 sobre 2 los favorables.
5
 
2  5 ⋅ 4 10
=
P =
=
 7  7 ⋅ 6 21
 
 2
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Asignatura: Cálculo y Estadística 17
Probabilidad
11.- Se lanza simultáneamente cinco monedas. Hallar la probabilidad de obtener al
menos una cara.
Solución:
En una moneda la probabilidad de obtener cara es igual a ½ y consecuentemente la
probabilidad de no obtener cara 1-1/2=1/2.
Obtener al menos una cara con 5 monedas es el suceso contario de no obtener cara con
ninguna de las cinco monedas y por ser independientes las monedas queda:
5
31
1
P(al menos 1 cara)=1-P(no obtener cara)= 1 −   =
32
2
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Asignatura: Cálculo y Estadística 18
Probabilidad
12.- ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, sabiendo que sólo se pueden lanzar
3 torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con cada uno de ellos es 0.2?
Solución:
Es suficiente con hacer blanco con un torpedo, luego pasamos al suceso contrario:
P(no hacer blanco)= 1-P(hacer blanco)=1-0,2=0,8 con un torpedo.
En tres disparos independientes, será:
0, 488
P(hacer blanco con al menos un torpedo de 3)= 1 − 0,83 =
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Asignatura: Cálculo y Estadística 19
Probabilidad
13.- Una urna se ha llenado lanzando un dado y colocando bolas blancas en número
igual al número de puntos obtenidos al lanzar el dado. A continuación se añadieron
bolas negras en número determinado por una segunda tirada del dado. Se sabe también
que el número total de bolas en la urna es 8. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga
exactamente 5 bolas blancas?
Solución:
Tenemos dos sucesos: A={primera tirada salga un 5} y B={la suma de las tiradas sea 8}
;
5
de las 36 posibilidades hay 5 que suman 8, a saber (2,6),(3,5),(4,4),(5,3) y (6,2)
62
1
P(A ∩ B) =
62
P ( A ∩ B ) 1/ 36 1
P(A=
/ B)
= =
P(B)
5 / 36 5
P(B) =
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Asignatura: Cálculo y Estadística 20
Probabilidad
14.- En una clase hay 10 alumnos, de los que 8 no fuman y 12 alumnas de las que 9 son
fumadoras. Se elige al azar dos estudiantes de la clase. Sea A=”elegir un alumno
fumador”, B=”elegir una alumna” y C=”elegir una alumna fumadora. Hallar P(A),
P(B), P(C), P(A ∪ B), P(A ∪ C)
Solución:
Alumnos
Alumnas
TOTAL:
Fuman
2
9
5
No fuman
8
3
17
TOTAL:
10
12
22
 22  22 ⋅ 21
De entre 22 alumnos escogemos 2, luego =
  = 231
2
2
En cada caso escogemos una persona obligatoriamente del suceso determinado y la segunda
libremente
Dos alumnos fumadores a combinar con los 20 restantes más la posibilidad de que los dos
sean alumnos fumadores
41
2 ⋅ 20 + 1
=
P(A) =
231
 22 
 
2
Tenemos 12 alumnas a combinar con los 10 alumnos más la posibilidad de escoger solamente
alumnas.
12 
12 ⋅10 +  
 2  186
=
P(B) =
231
 22 
 
2
Ahora son 9 alumnas fumadoras con los 13 restantes y solamente escoger del grupo de 9 dos.
9
9 ⋅13 +  
 2  153
=
P(C) =
231
 22 
 
2
Calculemos previamente las intersecciones
24
18
12 ⋅ 2
2⋅9
P(A ∩ B)=
=
P(A ∩ C)=
=
 22  231
 22  231
 
 
2
2
203
41 186 24
+
−
=
231 231 231 231
41 153 18 176
P(A ∪ C) = P(A) + P(C) − P(A ∩ C) =
+
−
=
231 231 231 231
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) =
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Asignatura: Cálculo y Estadística 21
Probabilidad
15.- Se tienen dos urnas, una con 50 bolas blancas y otra con 50 bolas negras. Calcular la
probabilidad de escoger una urna y sacar una bola blanca. Y si sacamos 49 bolas
blancas y las ponemos con las 50 bolas negras.
Solución:
Obviamente en el primer caso la probabilidad de escoger urna y a continuación sacar una bola
blanca es ½
Consideramos los siguientes sucesos:
U1 = “escoger la urna nº1”
U2 = “escoger la urna nº2”
B = “sacar bola blanca”
Por el teorema de la probabilidad total
1
1 49 74
P(B) = P(U1 ) ⋅ P  B  + P(U 2 ) ⋅ P  B  = ⋅1 + ⋅
=
 U1 
 U1  2
2 99 99
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Asignatura: Cálculo y Estadística 22
Probabilidad
16.- Se ha hecho un lanzamiento de dados y se ha obtenido 4 puntos. ¿Cuál es la
probabilidad de que se hayan lanzado 3 dados?
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos:
A1 = “lanzar un dado”
A2 = “lanzar dos dados”
A3 = “lanzar tres dados”
A4 = “lanzar cuatro dados”
B = “obtener 4 puntos”
P(B / A1 ) =
1
; solamente un caso de 6
6
P(B / A 2 ) =
3
de las 36 posibilidades hay 3 que suman 4, a saber (1,3), (2,2) y (3,1)
62
P(B / A 3 ) =
3
de las 216 posibilidades hay 3 que suman 4, a saber (1,1,2), (1,2,2) y (2,1,1)
63
P(B / A 4 ) =
1
; solamente un caso de 64
4
6
No hay razones para no suponer que los cuatros sucesos son equiprobables
P=
( A1 ) P=
( A 2 ) P=
( A3 ) P=
( A4 )
1
4
Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
P  B  P(A 3 )
A3  P ( A3  B)
 A3 

P
=
=
=

P(B)
 B
P  B  P(A1 ) + P  B  P(A 2 ) + P  B  P(A 3 ) + P  B  P(A 4 )
 A1 
 A2 
 A4 
 A3 
.
3 1
⋅
18
63 4
=
1 1 3 1 3 1 1 1 343
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
6 4 6 2 4 63 4 6 4 4
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Asignatura: Cálculo y Estadística 23
Probabilidad
17.- Tres plantas de una fábrica de automóviles producen diariamente 800, 1200 y 2000
unidades respectivamente. El porcentaje de unidades del modelo A es 60%, 20% y 40%
respectivamente. Calcular la probabilidad de que:
a) Un automóvil elegido al azar sea del modelo A.
b) Un automóvil de este modelo haya sido fabricado en la primera planta.
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos:
A = “producir un automóvil modelo A”
B1 = “producir un automóvil en la planta 1”
B2 = “producir un automóvil en la planta 2”
B3 = “producir un automóvil en la planta 3”
Datos:
800
=
800 + 1200 + 2000
1200
=
P ( B2 ) =
800 + 1200 + 2000
2000
=
P ( B3 ) =
800 + 1200 + 2000
=
P ( B1 )
1
; P(A / B1 ) = 0, 6
5
3
; P(A / B2 ) = 0, 2
10
1
; P(A / B3 ) = 0, 4
2
a)
Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)
1
3
1
P(A) = P  A  P(B1 ) + P  A  P(B2 ) + P  A  P(B3 ) = 0, 6 + 0, 2 + 0, 4 = 0,38
B
B
B
1
2
3


5
10
2

b)
Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
1
P  A  P(B1 )
0, 6
P
B
A

B
(
)
B1 
1
1

5 0,32
P  =
=
= =

A


P(A)
P  A  P(B1 ) + P  A  P(B2 ) + P  A  P(B3 ) 0,38
 B1 
 B2 
 B3 
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 24
Probabilidad
18.- En el programa de Cálculo y Estadística hay 7 temas. Un estudiante prepara
solamente 4 de ellos. En el examen se sacan 3 temas al azar. Calcular la probabilidad de
que por lo menos dos de ellos estén entre los 4 preparados.
Solución:
Tenemos combinaciones de 7 elementos tomados tres a tres como los casos posibles.
Primeramente la probabilidad de responder exactamente a dos:
 4
4⋅3
 ⋅3
⋅3
2
18


2
P(2) = =
=
7 ⋅ 6 ⋅ 5 35
7
 
3⋅ 2
3
la probabilidad de responder exactamente a los tres:
 4 4 ⋅3⋅ 2
 
3
4
3 ⋅=
2
P(3)
= =
 7  7 ⋅ 6 ⋅ 5 35
 
3⋅ 2
3
Y por lo tanto la probabilidad de responder al menos dos de los temas:
P(al menos 2) = P(2) + P(3) =
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18 4 22
+
=
35 35 35
Asignatura: Cálculo y Estadística 25
Probabilidad
19.- En una reunión hay 14 personas de las que sólo 4 fuman tabaco rubio, 3 sólo fuman
negro y 2 fuman de las dos clases. Se elige al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad
de que sea fumador? Se eligen al azar dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que una
(al menos) fume? ¿Y la de que las dos fumen rubio?
Solución:
Hay 9 personas fumadoras, ya que 4+3+2=9, y por lo tanto 14-9=5 son los no fumadores.
P(un fumador) =
9
14
Ahora escogemos dos personas y queremos calcular la probabilidad de que al menos una sea
fumador. Pasamos al suceso complementario, es decir, que ninguna sea fumador.
5
5⋅ 4
 
2
81
P(al menos un fumador) =
1 − P(no sean fumadores) =
1−   =
1− 2 =
14 ⋅13 91
14 
 
2
2 
Por último la probabilidad de que las dos personas escogidas fumen rubio.
6
6⋅5
 
2
15

2
P(rubio)
= =
=
14  14 ⋅13 91
 
2
3 
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 26
Probabilidad
20.- En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es
0,95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber
peligro es 0.1.
a) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione.
b) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no hubiese
peligro.
Solución:
Sea A el suceso {hay peligro} ⇒
( )
P (A) =
0.1 ⇒ P A =−
1 0.1 =
0.9
( A ) = 0.95 , P ( B A ) = 0.03
Sea B el suceso {la alarma funciona} ⇒ P B
(
)
( )
( ( ))
a) P A  B =P B P ( A ) = 1 − P B
P ( A ) =(1 − 0.95) ⋅ 0.1 =0.005
A
A
b)
( )
( A ) P ( A )=
( A) P (A) + P (B A) P (A)
P(A  B)
P A
=
=
B
P(B)
P B
P B
27
0.03 ⋅ 0.9
=
0.95 ⋅ 0.1 + 0.03 ⋅ 0.9 122
Resultado 22,13%
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Asignatura: Cálculo y Estadística 27
Probabilidad
21.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, sin
embargo, la probabilidad de aprobar el test de Estadística, aunque, haya aprobado la
Estadística es de 0,5. Por otra parte, los suspensos del test representan el 99% cuando
corresponden a los suspensos en Estadística. Calcular la probabilidad de aprobar
Estadística sabiendo que aprobó el test.
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos:
B1
A1 = “Aprobar el examen de Estadística”
A2 = “No aprobar el examen de Estadística”
B1 = “Aprobar el test”
A1
B2
B2 = “No aprobar el test”
B1
Datos:
P ( A1 ) = 0, 6 ; P(B1 / A1 ) = 0,5 ; P(B2 / A 2 ) = 0,99
A2
B2
Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
B
P  1  P(A1 )
A1 
0, 6 ⋅ 0,5
A1 


P
=
=
=

B
B
B
1

P  1  P(A1 ) + P  1  P(A 2 ) 0, 6 ⋅ 0,5 + (1 − 0,99 ) ⋅ 0, 4
 A1 
 A2 
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75
≈ 0.9868421052
76
Asignatura: Cálculo y Estadística 28
Probabilidad
22.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no
suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0.2, pero si no suena, la
probabilidad de que llegue tarde es 0.9.
a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador.
b) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo.
c) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el
despertador.
Solución:
Sean los sucesos
S = ”el despertador suena”, y S = el despertador no suena”
T = “el trabajador llega tarde”, y T = “el trabajador no llega tarde”
Del enunciado obtenemos las siguientes probabilidades
P(S) = 0.8; P(T/S) = 0,2; P(T/ S )=0.9.
a)
( )
 S) P T =
= 0.16
P ( T=
·P(S) 0.2·0.8
S
b) La probabilidad de llegar temprano es uno menos la probabilidad de que llegue tarde
( )
( )
()
Por tanto la probabilidad de que llegue temprano es P ( T ) =
1 − P(T) =
0.66 .
(
)
=
P(T) P ( T  S)=
 T  S  P T ·P ( S) + P T ·P S = 0.2·0.8 + 0.9·0.2 = 0.34
S


S
c) Por la fórmula de Bayes
P ( S  T ) 0.16
P S=
= =
T
P(T)
0.34
( )
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
0.47
Asignatura: Cálculo y Estadística 29
Probabilidad
23- En una terraza de un bar el 60% de las mesas consumen vino, en el 30% cerveza y
en el 20% ambas bebidas. Elegimos una mesa al azar:
a) Si han pedido vino, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pedido también cerveza?
b) Si han pedido cerveza, ¿cuál es la probabilidad de que no hayan pedido también
vino?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan pedido ni vino ni cerveza?
Solución:
Consideramos los sucesos: V = “vino”; C = “cerveza”
P(V)=0,6; P(C)=0,3; P(V ∩ C) =
0, 2
a)
P(C / =
V)
P(C ∩ V) 0, 2 1
= =
P(V)
0, 6 3
b)
P(V / C) =
1 − P(V / C) =
1−
P(C ∩ V)
0, 2 1
=
1−
=
P(C)
0,3 3
c)
P(C ∩ V) =
P(C ∪ V) =−
1 P(C ∪ V) =−
1 ( P(C) + P(V) − P(C ∩ V) ) =
0,3
=
1 − 0, 6 − 0,3 + 0, 2 =
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Asignatura: Cálculo y Estadística 30
Probabilidad
24.- Tenemos 3 cajas con tornillos. En la primera hay 3 defectuosos y 7 buenos; en la
segunda hay uno malo de los 5 que tiene y en la tercera tiene 8 de los que 2 son
defectuosos. Escogiendo un tornillo al azar entre todos ellos, ¿cuál es la probabilidad de
que sea bueno?
Solución:
Tenemos que escoger previamente una de las tres cajas: P(caja)=1/3.
El suceso X= “tornillo bueno” y las probabilidades condicionadas a cada caja:
P(X/caja1)=7/10; P(X/caja2)=4/5; P(X/caja3)=6/8
Teorema de la probabilidad total:
P(X) = P(X / caja1)P(caja1) + P(X / caja2)P(caja2) + P(X / caja3)P(caja3) =
7 1 41 61
+
+
=
10 3 5 3 8 3
3
4
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 31
Probabilidad
25.- Se sabe que una determinada enfermedad afecta a un 10% de las personas. Existe
una prueba con un índice de acierto del 90% sobre las personas enfermas; pero con un
índice de falso positivo, es decir, dar por enferma a una persona sana, del 1%. Calcular
la probabilidad de ser una persona enferma si el resultado de la prueba es que es sana.
Solución:
Consideramos los sucesos:
0,9
T
E
S = “persona sana”
0,1
0,1
E = “persona enferma”
T = “positivo”
0,9
P(S)=0,9; P(E)=0,1; P(T/E)=0,9; P(T/S)=0.01.
S
T
0,01 T
0,99
T
P(T / E) =
1 − P(T / E) =
1 − 0,9 =
0,1
P(T / S) =
1 − P(T / S) =
1 − 0, 01 =
0,99
Teorema de Bayes
P(E ∩ T)
P(T / E)P(E)
0,1 ⋅ 0,1
=
P(E / T) =
=
= 0,0111
P(T)
P(T / E)P(E) + P(T / S)P(S) 0,1 ⋅ 0,1 + 0,99 ⋅ 0,9
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 32
Probabilidad
26.- Tres máquinas de una planta de montaje producen el 30%, 25% y 45% de
productos, respectivamente. Se sabe que el 2%, 3%, y el 1% de los productos de cada
máquina tienen defectos.
a) Seleccionado un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de esté defectuoso?
b) Seleccionado un producto al azar resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que
proceda de la primera máquina?
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos:
D = “producto defectuoso”
B1 = “producido en la máquina 1”
B2 = “producido en la máquina 2”
B3 = “producido en la máquina 3”
Datos:
P ( B1 ) = 0,3 ; P(D / B1 ) = 0, 02
P ( B2 ) = 0, 25 ; P(D / B2 ) = 0, 03
P ( B3 ) = 0, 45 ; P(D / B3 ) = 0, 01
a)
Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)
P(D) =P  D  P(B1 ) + P  D  P(B2 ) + P  D  P(B3 ) =0,3 ⋅ 0, 02 + 0, 25 ⋅ 0, 03 + 0, 45 ⋅ 0, 01 =
 B1 
 B2 
 B3 
0, 018
b)
Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
P  D  P(B1 )

0,3 ⋅ 0, 02
B1  P ( B1  D )
 B1 

P=
=
= = 0, 3
 D


P(D)
0, 018
P  D  P(B1 ) + P  D  P(B2 ) + P  D  P(B3 )
 B1 
 B2 
 B3 
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 33
Probabilidad
27.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan el 40%, 30%, 20%
y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2,
0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?
b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del
primer radar?
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos:
M = “multa por exceso de velocidad”
B1 = “radar 1”
B2 = “radar 2”
B3 = “radar 3”
B4 = “radar 4”
Datos:
P ( B1 ) = 0, 2 ; P(M / B1 ) = 0, 4
P ( B2 ) = 0,1 ; P(M / B2 ) = 0,3
P ( B3 ) = 0,5 ; P(M / B3 ) = 0, 2
P ( B4 ) = 0, 2 ; P(M / B4 ) = 0,3
a)
Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)
P(M) = P  M  P(B1 ) + P  M  P(B2 ) + P  M  P(B3 ) + P  M  P(B4 ) =
 B1 
 B2 
 B4 
 B3 
= 0, 4 ⋅ 0, 2 + 0,3 ⋅ 0,1 + 0, 2 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0, 2 = 0, 27
b)
Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
B1  P ( B1  M )
P =
=

 M
P(M)
P  M  P(B1 )
4 ⋅ 0, 2
 B1 = 0,=
P(M)
0, 27
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
8
27
Asignatura: Cálculo y Estadística 34
Probabilidad
28.- En un pueblo existen 3 hoteles que dan servicio al 20%, 50%, 30% de los turistas.
Se sabe que la probabilidad de no encontrar habitación es: 0,05, 0,08 y 0,03
respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar habitación?
b) Sabiendo que ha encontrado habitación, ¿cuál es la probabilidad de que sea en el
primer hotel?
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos:
H = “encontrar habitación”
B1 = “Hotel 1”
B2 = “Hotel 2”
B3 = “Hotel 3”
Datos:
P ( B1 ) = 0, 2 ; P(H / B1 ) = 0,95
P ( B2 ) = 0,5 ; P(H / B2 ) = 0,92
P ( B3 ) = 0,3 ; P(H / B3 ) = 0,97
a)
Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)
P(H) = P  H  P(B1 ) + P  H  P(B2 ) + P  H  P(B3 ) = 0, 2 ⋅ 0,95 + 0,5 ⋅ 0,92 + 0,3 ⋅ 0,97 =
 B1 
 B2 
 B3 
0,941
b)
Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
P  H  P(B1 )
0, 2 ⋅ 0,95
B1  P ( B1  H )
 B1 

P=
=
= = ≈ 0,2
 H


P(H)
0,941
P  H  P(B1 ) + P  H  P(B2 ) + P  H  P(B3 )
 B1 
 B2 
 B3 
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 35
Probabilidad
29.- La compañía farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las
cuales 10 eran defectuosas; la compañía B entregó 100 unidades de las que había 20
defectuosas y la compañía C entregó 200 unidades de las que 25 eran defectuosas.
Se almacenaron todas las unidades de forma que se mezclaron aleatoriamente. Calcular:
1º.- Probabilidad de que una unidad tomada al azar sea de la compañía A.
2º.- Probabilidad de que sea de C y defectuosa.
3º.- Probabilidad de que sea de A y buena.
4º.- Probabilidad de que sea buena.
5º Si resultó ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía C?
6º Si es buena ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía B?
Solución:
Sean los sucesos:
A = ”la unidad elegida al azar sea de la compañía A”. Análogamente para las compañías
B y C. Sea D el suceso “elegir unidad defectuosa” y Dc “elegir unidad buena”.
1º P (=
A)
300
= 0.5
600
( )
25 200
2º P (=
C  D) P D =
P (C)
≈ 0.4166
C
200 600
(
c
3º P ( A =
Dc ) P D
4º P ( Dc )
=
( )
5º=
P C
D
P=
A
A) ( )
290 1
≈ 0.4833
300 2
290 + 80 + 175
≈ 0.90833
600
P (C  D)
0.04166
=
≈ 0.4545
P(D)
1 − 0.90833
6º Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
(
P B
D )
c
( )
( )
80 1
c
P D
P(B)
B
100 6
=
≈
=
c
c
c
290
1
80 1 175 1
D
D
D
P
P(A) + P
P(B) + P
P(C)
+
+
A
B
C
300 2 100 6 200 3
(
)
(
)
0.1467
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 36
Probabilidad
30.- Según el empleo y sexo, los profesores de la E.T.S.I.T.G.C se distribuyen según la
tabla siguiente:
Si nos encontramos con un profesor en el aparcamiento, calcular:
a) La probabilidad de que sea hombre.
b) La probabilidad de que sea catedrático.
c) La probabilidad de que sea
Mujer (M) Hombre (H) Total
hombre y profesor de escuela
Catedrático. (C)
4
6
10
universitaria.
Profesor Escuela
d) La probabilidad de que
10
28
38
Universitaria (P)
siendo mujer sea catedrático.
Profesor
e) La probabilidad de que sea
1
13
14
Asociado (S)
mujer pero no sea profesor de
escuela universitaria.
Total
15
47
62
f) La probabilidad de que
siendo hombre no sea profesor
asociado.
g)¿Son independientes los sucesos ser catedrático y ser mujer?
Solución:
En primer lugar, definimos los sucesos elementales que describen el problema:
C el suceso “ser catedrático”
P el suceso “ser profesor de escuela universitaria”
S el suceso “ser profesor asociado”
H el suceso “ser hombre”
M el suceso “ser mujer”.
47
a) La probabilidad de que sea hombre es P(H) =
.
62
b) La probabilidad de que sea catedrático es P(C) =
10
.
62
c) La probabilidad de que sea hombre y profesor de escuela universitaria es P(H  P) =
28
.
62
4
P(C  M) 62 4
d) La probabilidad de que siendo mujer sea catedrático es P C =
.
= =
M
15 15
P(M)
62
( )
e) La probabilidad de que sea mujer pero no profesora de escuela universitaria es
5
.
P MP =
62
(
)
f) La probabilidad de que siendo hombre no sea profesor asociado es
34
P S H
34
P S=
= 62
=
H
47
P (H)
47
62
( )
(
)
g) Los sucesos ser catedrático y ser mujer no son sucesos independientes, ya que las
4
10 15
probabilidades P(C  M)
=
≈ 0.0645 y P(C) P(M)
=
≈ 0.039 son distintas.
62
62 62
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 37
Probabilidad
31.- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras
que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue
del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que
elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador?
Solución:
Tenemos los siguientes sucesos: F= “fumador”; C= “cáncer”
Tenemos una partición en dos grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a
uno de ellos: P(F)=0,4; P(Fc)=0,6.
Las probabilidades de tener cáncer condicionado a cada grupo:
P(C/F)=0,9; P(C/Fc)=0,05
Teorema de la Probabilidad total:
P(C) = P(C / F)P(F) + P(C / Fc )P(Fc ) = 0,9 ⋅ 0, 4 + 0, 05 ⋅ 0, 6 = 0,39
Teorema de Bayes:
P(F
=
/ C)
P(F ∩ C)
P(C / F)P(F)
0,9 ⋅ 0, 4
=
=
≈ 0.923076923
c
c
P(C)
P(C / F)P(F) + P(C / F )P(F )
0,39
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Asignatura: Cálculo y Estadística 38
Probabilidad
32.- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; 2 monedas con 2 caras;
y 2 monedas con 2 cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide:
a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento.
b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida
tenga cara y cruz?
Solución:
Sean los siguientes sucesos:
A= “la moneda elegida tiene cara y cruz”
B= “la moneda elegida tiene cruz y cruz”
C= “la moneda elegida tiene cara y cara”
X= “Obtener cara en el lanzamiento de la moneda”
Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a
uno de ellos: P(A)=5/9; P(B)=2/9;P(C)=2/9.
La probabilidad de obtener cara con cada grupo:
P(X/A)=0,5; P(X/B)=0;P(X/C)=1
a) Teorema de la Probabilidad total:
5
2
2
P(X)= P(X / A)P(A) + P(X / B)P(B) + P(X / C)P(C)= 0,5 ⋅ ⋅ +0 ⋅ + 1 ⋅ =
9
9
9
1
2
b) Teorema de Bayes:
P(A ∩ X) P(X / A)P(A)
=
=
P(A=
/ X)
P(X)
P(X)
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
5
0,5 ⋅
9 5
=
9
0,5
Asignatura: Cálculo y Estadística 39
Probabilidad
33.- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 30%,
la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50%
de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una población
tenga casa propia?
b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. ¿Cuál es la
probabilidad de que esa persona sea de la clase baja?
Solución:
Sean los siguientes sucesos:
A= “clase baja”
B= “clase media”
C= “clase alta”
X= “casa propia”
Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a
uno de ellos: P(A)=0,3; P(B)=0,65; P(C)=0,05.
La probabilidad de tener casa propia con cada grupo:
P(X/A)=0,05; P(X/B)=0,50; P(X/C)=0,8
a) Teorema de la Probabilidad total:
P(X)
= P(X / A)P(A) + P(X / B)P(B) + P(X / C)P(C)
= 0, 05 ⋅ 0,3 ⋅ +0,5 ⋅ 0, 65 + 0,8 ⋅ 0,=
05
19
= 0,38
50
b) Teorema de Bayes:
P(A
=
/ X)
P(A ∩ X) P(X / A)P(A) 0, 05 ⋅ 0,3 3
=
= =
76
P(X)
P(X)
0,38
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 40
Probabilidad
34.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una
conduce al recinto A en la que hay 4 coches de los que sólo 3 tienen gasolina y la otra al
recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una puerta y un
coche, se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de escapar?
b) Si se sabe que ha escapado, ¿cuál es la probabilidad de que hay salido por la puerta
B?
Solución:
Sean los sucesos:
E = “escapar”; A =”elige la puerta A”; B =”elige la puerta B”
Según el enunciado, P(A) = 0.5; P(B) = 0.5; P(E/A) =3/4= 0.75; P(E/B)= 0.2;
a) P(E) = P(E/A)·P(A) + P(E/B)·P(B) = 0.75·0.5 + 0.2·0.5 = 0.475
b) P(B / E)
P ( E / B )·P ( B )
0.1
4
=
=
=0.2105263157
P ( E / A )·P ( A ) + P ( E / B )·P ( B ) 0.475 19
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 41
Probabilidad
35.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan el 40%, 30%, 20%
y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2,
0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?
b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del
primer radar?
Solución:
Consideramos los siguientes sucesos: M = “multa por exceso de velocidad”
B1 = “radar 1”
B2 = “radar 2”
B3 = “radar 3”
B4 = “radar 4”
Datos:
P ( B1 ) = 0, 2 ; P(M / B1 ) = 0, 4
P ( B2 ) = 0,1 ; P(M / B2 ) = 0,3
P ( B3 ) = 0,5 ; P(M / B3 ) = 0, 2
P ( B4 ) = 0, 2 ; P(M / B4 ) = 0,3
a) Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)
P(M) = P  M  P(B1 ) + P  M  P(B2 ) + P  M  P(B3 ) + P  M  P(B4 ) =
 B1 
 B2 
 B4 
 B3 
= 0, 4 ⋅ 0, 2 + 0,3 ⋅ 0,1 + 0, 2 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0, 2 = 0, 27
b) Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)
B1  P ( B1  M )
P =
=

 M
P(M)
P  M  P(B1 )
4 ⋅ 0, 2
 B1 = 0,=
P(M)
0, 27
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
8
27
Asignatura: Cálculo y Estadística 42
Probabilidad
36.-. Un libro ha sido traducido por tres traductores A, B y C. El 90% de las páginas que
traduce A no contienen errores. El 95% de las traducidas por B y el 99% de las
traducidas por C tampoco tienen errores. El libro tiene 500 páginas, de las cuales A, B y
C han traducido 125, 175 y 200 páginas respectivamente.
Si elegimos al azar una página del libro ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún
error?
Solución:
Definimos los sucesos:
X el suceso “la página no tiene errores”
A el suceso “la página fue traducida por el traductor A”
B el suceso “la página fue traducida por el traductor B”
C el suceso “la página fue traducida por el traductor C”
Conocemos la probabilidad de los siguientes
sucesos
125
P(A ) =
500 ,
90
( A ) = 100
PX
200
P(C) =
500
175
P(B ) =
500 ,
,
95
( B ) = 100
PX
,
( A)
PX
P(A )
,
99
( C) = 100
P(B )
PX
P(C)
Además los sucesos A  X , B  X , C  X son
excluyentes y recubren X, por tanto
P (X)
+
P X 
 A
( B)
PX
175 95
500 100
+
P X 
 B
( C)
PX
P X 
 C
P=
(( A  X )  ( B  X )  ( C  X ))
125 90
500 100
200 99
500 100
= P (A  X) + P (B  X) + P (C  X) =
( A)
= P (A) P X
=
( B)
+ P ( B) P X
( C)
+ P (C) P X
=
200 99 1907
125 90 175 95
+
+
=
≈ 0.9535
500 100 500 100 500 100 2000
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 43
Probabilidad
37.- Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La
probabilidad de que un caso se deba remitir al bufete A es 0.3; de que se remita al bufete
B es 0.5 y de que se remita al bufete C es 0.2. La probabilidad de que un caso remitido al
bufete A sea ganado en los tribunales es 0.6; para el bufete B esta probabilidad es 0.8 y
para el bufete C es 07.
a) Calcular la probabilidad de que la empresa gane un caso.
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, hallar la probabilidad de que lo ganase el bufete
A
Solución:
a) Definamos el suceso “ganar un caso" por G. Entonces, utilizando el teorema de la
probabilidad total tenemos la probabilidad pedida:
( A ) + P ( B) P ( G B) + P ( C) P ( G C ) = 0,3·0.6+0.5·0.8+0.2·0.7= 0.72
P (G ) = P (A) P G
b) En este caso, debemos hacer uso del teorema de Bayes:
( )
G
P ( A  G ) P ( A )·P A
0.3·0.6
A
P=
=
= = 0.25
G
P (G )
P (G )
0.72
( )
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 44
Probabilidad
38.- El 30% de los empleados de una empresa son ingenieros el 20% son economistas y
el 50% no son ingenieros ni economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto
directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no
economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea ingeniero?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
Solución:
Sean los sucesos:
D = “directivo”;
Economista”
I =”ingeniero”; E = “economista”; Pc = “Personal no Ingeniero y no
Según el enunciado, P(I) = 0.3; P(E) = 0.2; P(Pc) = 0,6 P(D/I) = 0.75; P(D/E)= 0.5; P(D/Pc)
= 0.2
a) P(D) = P(D/I)·P(I) + P(D/E)·P(E) + P(D/Pc) = 0.75·0.3 + 0.5·0.2 + 0.5·0.2 = 0.425
b) P(I / D)
0.225
P(D / I)·P(I)
= 0.5294
=
c
c
P(D / I)·P(I) + P(D / E)·P(E) + P(D / P )·P(P ) 0.425
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M.
Asignatura: Cálculo y Estadística 45
http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/REGLA%20DE%20LAPLACE.JPG[21/02/2012 18:54:06]
http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Probabilidad%20condicionada.JPG[21/02/2012 18:54:07]
http://www2.topografia.upm.es/...ticas/primero/Apuntes/Vademecum/Teorema%20de%20la%20probabilidad%20total.JPG[21/02/2012 18:54:07]
http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Teorema%20de%20Bayes.JPG[21/02/2012 18:54:09]
Suceso
Podemos, definir un suceso de un experimento aleatorio como un subconjunto del espacio
muestral.

Suceso elemental es cada uno de los resultados posibles de una experiencia.

Suceso compuesto es el conjunto de varios sucesos elementales.

Suceso imposible es aquel que no se puede realizar nunca y se le denota .

Suceso seguro es aquel que se verifica siempre, que es precisamente el espacio muestral
E.

Suceso contrario o complementario al suceso A es cuando se verifica si no se verifica
A. Se denota A .

Sucesos incompatibles, si no pueden verificarse juntos, A  B = 

Sucesos independientes son cuando la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del
otro, es decir, la probabilidad de la intersección de dos sucesos coincide con el producto
de las probabilidades de dichos sucesos: P  A  B   P  A  P  B 
U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía
158